KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Vektor di...

KS091206KS091206KS091206KS091206

KALKULUS DAN ALJABAR KALKULUS DAN ALJABAR KALKULUS DAN ALJABAR KALKULUS DAN ALJABAR LINEARLINEARLINEARLINEARKALKULUS DAN ALJABAR KALKULUS DAN ALJABAR KALKULUS DAN ALJABAR KALKULUS DAN ALJABAR LINEARLINEARLINEARLINEAR

Vektor di Ruang ‘N’Vektor di Ruang ‘N’Vektor di Ruang ‘N’Vektor di Ruang ‘N’

TIM KALIN

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

Setelah menyelesaikan pertemuan ini

mahasiswa diharapkan :

– Dapat mengetahui definisi dan dapat

menghitung perkalian vektor di ruang n-

Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR

RUANG N EUCLEDIAN 2

menghitung perkalian vektor di ruang n-

eucledian

Ruang-n Euclidean

RUANG N EUCLEDIAN 3

(Euclidean n-space)

Review: Bab 3 membahas Ruang-2 dan Ruang-3

Ruang-n : himpunan yang beranggotakan vektor-vektor dengan n komponen

{ … , v = (v1, v2, v3, v4, …, vn), ….. }

RUANG N EUCLEDIAN 4

• Atribut: arah dan “panjang” / norma ||v||

• Aritmatikavektor-vektor di Ruang-n:

1. Penambahan vektor

2. Perkalian vektor dengan skalar

3. Perkalian vektor dengan vektor

Norma sebuah vektor:Norma Euclidean (Euclidean norm) di Ruang-n :

u = (u1, u2, u3, … , un)

RUANG N EUCLEDIAN 5

||u|| = √√√√ u12 + u2

2 + u32 + … + un

2

d(u,v) = ||u-v| |= √√√√ (u1-v1)2 + (u2-v2)2 + (u3-v3)2 + … + (un-vn)2

Example:

If u = (1, 3, -2, 7) and v = (0, 7, 2, 2) then in the Euclidean space R4.

||u|| = = =

2222 )7()2()3()1( +−++ 63 73

RUANG N EUCLEDIAN 6

And

d(u,v) = = 2222 )27()22()73()01( −+−−+−+− 58

Penambahan vektor: di Ruang-n

u = (u1, u2 , u3, …, un); v = (v1, v2 , v3, …, vn)

w = (w1, w2 , w3, …, wn) = u + v

w = (u1, u2 , u3, …, un) + (v1, v2 , v3, …, vn)

RUANG N EUCLEDIAN 7

w = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3, …, un + vn)

w1 = u1 + v1

w2 = u2 + v2

………..

w2 = un + vn

Negasi suatu vektor:

u = (u1, u2 , u3, …, un)

– u = (– u1, – u2 , – u3, …, – un)

Selisih dua vektor:

RUANG N EUCLEDIAN 8

w = u – v = u + (– v)

= (u1 – v1, u2 – v2, u3 – v3, …, un – vn)

Vektor nol: 0 = (01, 02 , 03, …, 0n)

Perkalian skalar dengan vektor:

w = kv = (kv1, kv2 , kv3 , …, kvn)

(w1, w2 , w3,…, wn) = (kv1, kv2 , kv3 , …, kvn)

RUANG N EUCLEDIAN 9

(w1, w2 , w3,…, wn) = (kv1, kv2 , kv3 , …, kvn)

w1= kv1

w2 = kv2

…..…

wn = kvn

Perkalian titik: (perkalian Euclidean)

u . v = skalar

u . v = u1v1 + u2v2 + u3v3 + … + unvn

RUANG N EUCLEDIAN 10

u . v = 0 jika u dan v ortogonal

Catatan:perkalian silang hanya di Ruang-3

Example:

The Euclidean inner product of the vectors

u = (-1, 3, 5, 7) and v = (5, -4, 7, 0) in R4 is


u.v = (-1)(5)+(3)(-4)+(5)(7)+(7)(0) = 18

Aritmatika vektor di Ruang-n:

Teorema 4.1.1.:u, v, w vektor-vektor di Ruang-n

k, l adalah skalar (bilangan real)

• u + v = v + u

• (u + v) + w = u + (v + w)

• u + 0 = 0 + u = u


• u + 0 = 0 + u = u

• u + (-u) = (-u) + u = 0

• k(lu) = (kl)u

• k(u + v) = ku + kv

• (k + l) u = ku + lu

• 1u = u

Teorema 4.1.2:

Vektor-vektor u, v, w di Ruang-n; k adalah skalar

• u . v = v . u

• u . (v + w) = u .v + u .w

• k(u . v) = (ku) . v = u . (kv)


• v .v > 0 jika v ≠ 0

v . v = 0 jika dan hanya jikav = 0

Example 2 Theorem 4.1.2 allows us to perform computation

with Euclidean inner products in much the same way that we

perform them with ordinary arithmetic products. For Exmple,

(3u + 2v).(4u + v) = (3u).(4u + v) + (2v).(4u + v)

= (3u).(4u) + (3u).v + (2v).(4u) + (2v).(v)

= 12(u.u) + 3(u.v) + 8(v.u) + 2(v.v)


= 12(u.u) + 3(u.v) + 8(v.u) + 2(v.v)

= 12(u.u) + 11(u.v) + 2(v.v)

The reader should determine which parts of Theorm 4.1.2 were

used in each step

Teorema 4.1.3 - 4.1.5:

| u . v | ≤ || u || || v ||

|| u || ≥ 0

|| u || = 0 jika dan hanya jikau = 0

|| ku || = | k | || u ||

|| u + v || ≤ || u || + || v ||


|| u + v || ≤ || u || + || v ||

d(u, v) ≥ 0

d(u, v) = 0 jika dan hanya jikau = v

d(u, v) = d(v, u)

d(u, v) ≤ d(u, w) + d(w, v)

kv

v u + v v

Pembuktian Bahwa ||u + v || ≤ || u || || v ||


(a)

||kv|| = ||k||||v||

u

(b)

||u+v|| ||u|| + ||v||

≤

Teorema 4.1.6 – 4.1.7:

u . v = ¼ || u + v || 2 – ¼ || u – v || 2


Teorema Pythagoras

|| u + v || 2 = || u || 2 + || v || 2

u

v u + v

Example : In the Euclidean space R4 the vectors

u = (-2, 3, 1, 4) and v = (1, 2, 0, -1)

are orthogonal, since


are orthogonal, since

u.v = (-2)(1) + (3)(2) + (1)(0) + (4)(-1) = 0

Perkalian Titik (dot product) dikerjakan dengan

perkalian matriksu = (u1, u2 , u3, …, un); v = (v1, v2 , v3, …, vn)

u . v = u1v1 + u2v2 + u3v3 + … + unvn

Kalau vektor u dan vektor v masing-masing ditulis dalam notasi matriks baris, maka


baris, maka

u . v = (u1 u2 u3 … un) v1

v2

v3 u . v = (u) (v)T

vn

u = (u1, u2 , u3, …, un); v = (v1, v2 , v3, …, vn)

u . v = u1v1 + u2v2 + u3v3 + … + unvn

Kalau vektor u dan vektor v masing-masing ditulis dalam notasi matriks kolom, maka

u . v = (u1 u2 u3 … un) v1 = v . u

v2


v3 u . v = (u)T (v)

v . u = (v)T (u)

vn u . v = (v)T (u)

Matriks A (n x n), u dan v masing-masing vektor kolom

Au . v = u . (ATv) ?

(Au) . v = v . (Au) perkalian titik bersifat komutatif (T.4.1.2)

= vT(Au) v vektor kolom

= (vTA)u perkalian matriks asosiatif (T.1.4.1)

= (ATv)T u (MN)T = NTMT & (MT)T = M (T.1.4.9)


= (ATv)T u (MN)T = NTMT & (MT)T = M (T.1.4.9)

ATv merupakan vektor kolom; maka (ATv)T vektor baris

= u . (ATv) persamaan (7)

Jadi Au . v = u . (ATv) terbukti

Diketahui matriks A (n x n), u dan v masing-masing vektor kolom

u . Av = ATu . v ?

u . (Av) = (Av) . u perkalian titik bersifat komutatif

= v . (ATu) baru dibuktikan

di slide sebelum ini: Au . v = u . (ATv)

= (A u) . v perkalian titik komutatif


= (ATu) . v perkalian titik komutatif

Jadi: u . Av = ATu . v terbukti

Contoh:

• Hitunglah eucledian norm dari vektor berikut :

– (-2,5)

– (1,-2,2)

– (3,4,0,-12)

– (-2,1,1,-3,4)



• Hitunglah eucledian inner product u.v

– u = (1,-2) , v = (2,1)

– u = (0,-2,1,1), v = (-3,2,4,4)

– u = (2,-2,2), v = (0,4,-2)

Let’s Try !

1. Carilah semua skalar k sehingga ||kv||=3, di mana v = (-1, 2, 0, 3).

2. Carilah jarak euclidis di antara u dan v bila u=(6,0,1,3,0) dan

v=(-1,4,2,8,3)

3. u=(3,0,1,2), v=(-1,2,7,-3), dan w=(2,0,1,1). Carilah:

a. ||-2u|| + 2||u|| b. c.


4. u1=(-1,3,2,0), u2=(2,0,4,-1), u3=(7,1,1,4), dan u4=(6,3,1,2). Carilah skalar

c1,c2,c3, dan c4 sehingga c1u1+c2u2+c3u3+c4u4=(0,5,6,-3)

5. Buktikanlah identitas berikut:

||u+v||2 + ||u-v||2 = 2||u||2 + 2||v||2.

Tafsirkanlah hasil ini secara geometris pada R2.

6. Buktikanlah identitas berikut:

u.v = ¼||u+v||2 - ¼||u-v||2


KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Vektor di...

Documents

Transcript of KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Vektor di...