Kelompok 9

Uji Cramer Coefficient C dan Uji Konkordansi Kendall W

Nama:

Ariyan Riga B. (11.6562)Maryama Yuyinatun M. (11.6777)

Theresa Novalia (11.6927)Yosta Rambu Lika Enga (11.6962)

Kelas:2A

Uji Cramer Coefficient CPart 1

Uji Cramer Coefficient C

Data Kualitatif Data Kuantitatif

Skala Nominal Skala OrdinalSkala Interval atau

Rasio

Koefisien Korelasi Cramer C

Korelasi Spearman

Korelasi PearsonKorelasi Kendall Tau

Koefisien Konkordansi Kendall

W

• Koefisien Cramer C merupakan sebuah ukuran dari derajat hubungan/asosiasi atau korelasi antara dua variabel.

• Digunakan pada data dimana data tersebut adalah data kualitatif dan satu atau kedua variabel berskala nominal kemudian dihitung dari sebuah tabel kontingensi.

Pengertian

• Nilai Koefisien Cramer tidak pernah negatif, hanya berkisar antara 0 dan 1. Hal ini dikarenakan koefisien ini mengukur hubungan antara variabel kategori yang tidak memperhatikan urutan (order) diantara mereka.

Pengertian

Tabel Kontingensi

Variabel 1 Variabel 2

Total 1 2 .................... c

1 R1

2 R2

.

.

.

R Rr

Total C1 C2 ...................... Cc N

Formula Koefisien Cramer C

𝐶= ඨ 𝜒2𝑁(𝐿− 1)

𝐸𝑖𝑗 = 𝑅𝑖𝐶𝑗𝑁

𝜒2 = (𝑂𝑖𝑗 − 𝐸𝑖𝑗)2𝐸𝑖𝑗𝑐

𝑗=1𝑟

𝑖=1

Keterangan

• r = banyaknya baris (row)• c = banyaknya kolom (column)• O = nilai observasi (observed value)• = nilai harapan yang diperkirakan

(expected value)• L = jumlah baris atau kolom dalam

tabel kontingensi r x k mana yang lebih kecil

• N = jumlah seluruh observasi

E

Prosedur

1. Aturlah frekuensi-frekuensi observasi dalam suatu tabel kontingensi k x r.

2. Tentukan expected value atau nilai harapan pada masing-masing sel.

Prosedur

• Note:Jika lebih dari 20% di antara sel-sel itu mempunyai frekuensi yang diharapkan kurang dari 5, atau jika ada sembarang sel yang mempunyai frekuensi yang diharapkan kurang dari 1, gabungkanlah kategori-kategori untuk meningkatkan frekuensi-frekuensi yang diharapkan yang tidak memadai.

Prosedur

3. Hitung4. Hitung harga C5. Untuk menguji apakah nilai

Koefisien Cramer C mengindikasikan hubungan yang signifikan antara dua variabel kategori di dalam populasinya, gunakan cara seperti pada uji independensi chi-square.

χ2

Uji Signifikansi Koefisien Korelasi Cramer C

• Uji ini digunakan untuk menentukan apakah ada cukup bukti untuk menyatakan bahwa dua variabel kualitatif saling berhubungan.

1. H0 = tidak ada hubungan antara dua variabel dalam populasiH1 = ada hubungan antara dua variabel dalam populasi

Uji Signifikansi Koefisien Korelasi Cramer C

2. Tentukan taraf nyata (α)

3. Wilayah kritik𝜒2 > 𝜒2(𝛼;𝑑𝑓=(𝑟−1)(𝑐−1))

4. Statistik uji

5. Buat keputusan6. Buat kesimpulan pada tingkat

kepercayaan tertentu

Uji Signifikansi Koefisien Korelasi Cramer C

𝜒2 = (𝑂𝑖𝑗 − 𝐸𝑖𝑗)2𝐸𝑖𝑗𝑐

𝑗=1𝑟

𝑖=1 ~ 𝜒2(𝛼;𝑑𝑓)

𝑑𝑓= ሺ𝑟− 1ሻሺ𝑐− 1ሻ

Contoh Soal

o Suatu sampel survei dilaksanakan untuk mengetahui buying habit penduduk yang bertempat tinggal di berbagai penjuru kota dalam membeli obat-obatan tanpa resep dokter (α=5%). Diperoleh data sebagai berikut.

Contoh Soal

Keterangan : Yang didalam kurung menunjukkan nilai harapan.

Toko

Tempat

Pembelian

Tempat Tinggal

Jumlah Utara Timur Selatan Barat

Toko obat 218 (195) 200 (195) 183 (195) 179 (195) 780

Toko

kelontong 39 (60) 52 (60) 87 (60) 62 (60) 240

Tempat

lainnya 43 (45) 48 (45) 30 (45) 59 (45) 180

Jumlah 300 300 300 300 1200

Contoh Soal

Kemudian kita bisa menghitung nilai C

𝜒2 = (𝑂𝑖𝑗 − 𝐸𝑖𝑗)2𝐸𝑖𝑗𝑐

𝑗=1𝑟

𝑖=1 ~ 𝜒2(𝛼;𝑑𝑓)

𝜒2 = 35,17

𝐶= ඨ 𝜒2𝑁(𝐿− 1)

𝐶= ඨ 35,171200(3− 1) = 0,12

Lakukan uji signifikansi1. H0 = tidak ada hubungan antara dua

variabel dalam populasiH1 = ada hubungan antara dua variabel dalam populasi

2. α = 0,053. Wilayah kritik:

Contoh Soal

𝜒2 > 𝜒2(0,05;𝑑𝑓=(3−1)(4−1)) 𝜒2 > 12,592

4. Statistik uji

5. Keputusan: tolak H0 (jatuh di wilayah kritik).

Contoh Soal

𝜒2 = 35,17

6. Kesimpulan: dengan tingkat kepercayaan 95% dapat dikatakan ada hubungan antara tempat tinggal penduduk dengan toko tempat pembelian obat tanpa resep dimana nilai koefisien Cramer C sebesar 0,12, yaitu besar hubungan tempat tinggal penduduk dengan toko tempat pembelian obat tanpa resep adalah sebesar 0,12.

Contoh Soal

Uji Konkordansi Kendall WPart 2

Data Kualitatif Data Kuantitatif

Skala Nominal Skala OrdinalSkala Interval atau

Rasio

Koefisien Korelasi Cramer C

Korelasi Spearman

Korelasi PearsonKorelasi Kendall Tau

Koefisien Konkordansi Kendall

W

Uji Konkordansi Kendall W

Pengertian

• Koefisien Konkordansi Kendall W adalah sebuah ukuran yang menyatakan asosiasi (hubungan) antara k himpunan ranking

• Jika rs (koefisien korelasi Spearman) dan T (koefisen korelasi Kendall Tau) menyatakan tingkat hubungan antara 2 variabel, maka W menyatakan derajat hubungan di antara k himpunan ranking.

• Nilai W antara 0 sampai 1 (0≤w≤1).

• Dapat digunakan saat datanya berupa data kualitatif minimal berskala ordinal.

• Uji konkordansi Kendall W ini dapat menetapkan kecocokan antara beberapa penilai, antara 3 asosiasi atau lebih.

Pengertian

Untuk menghitung W:1.Cari jumlah ranking Ri dalam setiap

kolom pada suatu tabel k x N2.Bagi jumlah tersebut dengan N untuk

mendapat mean (rata-rata) Ri

3.Cari nilai s, s = jumlah kuadrat deviasi observasi dari mean Ri

Metode

𝑠= ቆ𝑅𝑖 − σ𝑅𝑖𝑁 ቇ

2

Metode4. Kemudian kita menghitung harga W

(buku Nonparametric Statistics for Behavioral Science karya Sidney Siegel), atau bisa juga menggunakan rumus:

buku Nonparametric Statistics for Behavioral Science karya Sidney Siegel dan John Castellan.

𝑊= 𝑠112𝑘2(𝑁3 − 𝑁)

𝑊= σ (𝑅𝑖ഥ𝑁𝑖=1 − 𝑅ത)2112𝑁(𝑁2 − 1)

Keterangan• k = banyaknya himpunan ranking

penjejangan, misal yang memberi ranking• = grand mean dari • N = banyaknya obyek atau individu yang

diberi ranking• = jumlah maksimum yang

mungkin dicapai deviasi kuadrat, yaitu jumlah s yang dapat terjadi dengan adanya kecocokan sempurna di antara k ranking.

R

N)(Nk12

1 32

iR

• Observasi berangka sama. Jika ada observasi berangka sama, dan proporsi angka sama dalam ranking-ranking itu besar, kita harus mengadakan koreksi untuk angka sama dalam menghitung harga W.

(buku Nonparametric Statistics for Behavioral Science karya Sidney Siegel)

Metode

𝑇𝑗 = (𝑡𝑖3 − 𝑡𝑖)𝑔𝑗𝑖=1 𝑊= 𝑠112𝑘2ሺ𝑁3 − 𝑁ሻ− 𝑘σ 𝑇𝑇

• Atau bisa juga menggunakan rumus:

(buku Nonparametric Statistics for Behavioral Science karya Sidney Siegel dan John Castellan)

• t = banyaknya observasi dalam suatu kelompok yang memperoleh angka sama untuk suatu ranking tertentu

Metode

𝑊= 12σ𝑅𝑖2 − 3𝑘2𝑁(𝑁+ 1)2𝑘2𝑁(𝑁2 − 1) − 𝑘σ 𝑇𝑗𝑇

Prosedur

1. Misalkan N banyak individu (obyek) yang diberi ranking dan k = banyak penilai yang memberikan ranking. Tuangkan ranking-ranking observasi dalam tabel k x N.

2. Untuk masing-masing individu tetapkanlah Ri, yakni jumlah ranking yang diberikan kepada individu itu oleh k penilai.

3. Tentukan mean Ri itu. Nyatakan setiap Ri sebagai suatu deviasi dari mean tersebut. Kuadratkan deviasi-deviasi itu, dan jumlahkan kuadrat-kuadrat tersebut untuk memperoleh s.

Prosedur

4. Apabila proporsi angka sama dalam k himpunan ranking itu besar, pergunakan rumus

Atau

𝑊= 𝑠112𝑘2ሺ𝑁3 − 𝑁ሻ− 𝑘σ 𝑇𝑇

Prosedur

𝑊= 12σ𝑅𝑖2 − 3𝑘2𝑁(𝑁+ 1)2𝑘2𝑁(𝑁2 − 1) − 𝑘σ 𝑇𝑗𝑇

Kalau tidak ada angka sama (proporsi angka samanya kecil), pergunakan rumus:

Atau

Prosedur

𝑊= 𝑠112𝑘2(𝑁3 − 𝑁)

𝑊= σ (𝑅𝑖ഥ𝑁𝑖=1 − 𝑅ത)2112𝑁(𝑁2 − 1)

Uji Signifikansi W• Untuk sampel kecil (N ≤ 7)

Agar asosiasi signifikan maka nilai W hitung harus lebih besar sama dengan W tabel, yang dilihat di tabel T dan bergantung pada α, k dan N. Artinya kita dapat menolak H0 saat sehingga dengan tingkat kepercayaan tertentu kita dapat mengatakan bahwa k-ranking tidak berhubungan.

• Tabel T (buku Nonparametric Statistics for Behavioral Science karya Sidney Siegel dan John Castellan)

tabelhitung WW

• Untuk sampel besar (N>7)1. H0 : tidak ada hubungan antara k-

ranking dalam populasiH1 : ada hubungan antara k-ranking dalam populasi

2. Tentukan taraf nyata (α)

Uji Signifikansi W

3. Wilayah kritik

4. Statistik ujiAtau

Karena,

𝜒2 > 𝜒2𝛼(𝑛−1)

Uji Signifikansi W

𝜒2 = 𝑠112𝑘𝑁 ሺ𝑁+ 1ሻ 𝜒2 = 𝑘ሺ𝑁− 1ሻ𝑊

𝑠112𝑘𝑁 ሺ𝑁+ 1ሻ= 𝑘ሺ𝑁− 1ሻ𝑊

5. Buat keputusan

6. Buat kesimpulan pada tingkat kepercayaan tertentu

Uji Signifikansi W

Contoh Soal

o (Tidak ada angka sama)Ranking diberikan kepada 6 pelamar pekerjaan oleh tiga eksekutif perusahaan. Kemudian ingin diketahui apakah ada hubungan antara ranking yang diberikan oleh tiga eksekutif perusahaan tersebut. (α=5%)

Contoh Soal

Pelamar

a b c d e f

Eksekutif

X 1 6 3 2 5 4

Eksekutif

Y 1 5 6 4 2 3

Eksekutif

Z 6 3 2 5 4 1

Ri 8 14 11 11 11 8 𝑅ത𝑖 2,67 4,67 3,67 3,67 3,67 2,67

= (2,67-3,5)2 + (2,67-3,5)2 + (2,67-3,5)2 + (2,67-3,5)2 +

(2,67-3,5)2 + (2,67-3,5)2 = 2,833

𝑊= σ (𝑅𝑖ഥ𝑁𝑖=1 − 𝑅ത)2112𝑁ሺ𝑁2 − 1ሻ

(𝑅𝑖ഥ𝑁

𝑖=1 − 𝑅ത)2

Contoh Soal

𝑊= 2,8331126ሺ62 − 1ሻ= 0,16

Dapat dilakukan uji signifikansi.1. H0 : tidak ada hubungan antara 3

ranking dalam populasiH1 : ada hubungan antara 3 ranking dalam populasi

2. α = 0,053. Wilayah kritik:

Contoh Soal

tabelhitung WW 0,660Whitung

4. Statistik uji

5.Keputusannya adalah terima H0

6.Kesimpulan : dengan tingkat kepercayaan 95%, belum cukup bukti mengatakan ada hubungan yang signifikan dari 3 ranking dalam populasi tersebut

Contoh Soal

𝑊= 2,8331126ሺ62 − 1ሻ= 0,16

o Ada angka samaKendall (1948a, hal. 83) telah memberikan suatu contoh dimana 10 objek diberi ranking dalam 3 variabel yang berbeda-beda: X,Y, dan Z.

Contoh Soal

Variabel Entity

Total

a b c d e f g h i j

X 1 4,5 2 4,5 3 7,5 6 9 7,5 10

Y 2,5 1 2,5 4,5 4,5 8 9 6,5 10 6,5

Z 2 1 4,5 4,5 4,5 4,5 8 8 8 10

Ri 5,5 6,5 9 13,5 12 20 23 23,5 25,5 26,5 -

Ri2

30,25 42,25 81 182,25 144 400 529 552,25 650,25 702,25 3313,5

Contoh Soal

Untuk faktor koreksi angka sama menggunakan rumus

Contoh Soal

𝑊= 12σ𝑅𝑖2 − 3𝑘2𝑁(𝑁+ 1)2𝑘2𝑁(𝑁2 − 1) − 𝑘σ 𝑇𝑗𝑇

𝑇𝑗 = (𝑡𝑖3 − 𝑡𝑖)𝑔𝑗𝑖=1

Dalam soal tersebut,• Variabel X ada 2 angka 4,5 dan ada 2

angka 7,5

• Variabel Y ada 2 angka 2,5; ada 2 angka 4,5 dan ada 2 angka 6,5

• Variabel Z ada 4 angka 4,5 dan ada 3 angka 8

𝑇𝑥 = (23 − 2) + (23 − 2) = 6+ 6 = 12

𝑇𝑦 = (23 − 2) + (23 − 2) + (23 − 2) = 6+ 6+ 6 = 18

𝑇𝑧 = (43 − 4) + (33 − 3) = 60+ 24 = 84

Contoh Soal

Dapat dilakukan uji signifikansi.1. H0 : tidak ada hubungan antara 3

ranking dalam populasiH1 : ada hubungan antara 3 ranking dalam populasi

Contoh Soal

𝑊= 12ሺ3313,5ሻ− (3× 32 × 10× (10+ 1)2(32 × 10× ሺ102 − 1ሻ) − (3× 114) = 0,828

2. α = 0,053. Wilayah kritik:

4. Statistik uji

Contoh Soal

𝜒2 > 𝜒2𝛼(𝑛−1) 𝜒2 > 𝜒20,001;9 𝜒2 > 16,92

𝜒2 = 𝑘ሺ𝑁− 1ሻ𝑊 𝜒2 = 3ሺ10− 1ሻ0,828 = 22,35

5.Keputusannya adalah tolak H0

6.Kesimpulan : dengan tingkat kepercayaan 95%, dapat dikatakan ada hubungan dari 3 ranking dalam populasi tersebut dengan besar hubungan yang dinyatakan dalam koefisien konkordansi Kendall W sebesar 0,828

Contoh Soal

Terimakasih