PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIANFAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN

UNIVERSITAS ANDALAS

KALKULUS 2018

Dr. DINAH CHERIE, S.TP., M.Si

FADLI IRSYAD, S.TP., M.Si

PUTRI WILANDARI Z., S.TP., M.Si

DESKRIPSI SINGKAT MATA KULIAH

Mata Kuliah Kalkulus membahas tentang (1) Sistem bilangan,pertaksamaan serta koordinat kartesius, (2) fungsi dan limit, (3)turunan dan aplikasinya, (4) integral dan aplikasinyaserta (5)fungsi-fungsi transenden.

Turunan menjelaskan beberapa konsep mengenai kecepatansesaat dan gradient singgung, hubungannya dengan kekontinuan,aturan dasar turunan, turunan tingkat tinggi, penurunan implisit,laju yang berkaitan, diferensial dan aproksimasi, serta maksimum,minimum dan nilai rata suatu fungsi. Integral membahas beberapatopik mengenai integral tak tentu, persamaan diferensial,sederhana, notasi sigma dan luas, integral tentu dan teorema dasarkalkulus, serta aplikasi integral untuk memecahkan masalah yangberkaitan dengan luas pada bidang, volume benda pejal, momendan pusat massa.

TUJUAN/CPL

RPS

Materi Ajar UTS/UAS

Pendahuluan & Sistem Bilangan1

Fungsi dan Limit 2

Turunan3

Turunan dan Aplikasinya4

Diferensial dan Aproksimasi5

Permasalahan Maksimum dan

Minimum dari Suatu Fungsi7

Maksimum dan Minimum6

PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIANFAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN

UNIVERSITAS ANDALAS

Dr. DINAH CHERIE, S.TP., M.Si

FADLI IRSYAD, S.TP., M.Si

PENDAHULUAN & SISTEM BILANGAN

Himpunan

Kalkulus merupakan ilmu yang mempelajari tentang

perubahan dan pertumbuhan. Pendiferensialan dan

penintegralan adalah proses dasar dari kalkulus.

Himpunan : koleksi / kumpulan sesuatu.

Elemen Suatu Himpunang : a adalah elemen himpunan S

(a ∈ S), jika a bukan elemen himpunan S (a ∉ S),

himpunan kosong di notasikan ∅

Himpunan S terdiri dari a, t, j, k : S = {a, t, j, k}

Himpunan A anggota himpunan B : A ⊆ B

Himpunan A anggota himpunan murni B : A ⊂ B

Gabungan Himpunan A dan B : A ∪ B

Irisan Himpunan A dan B : A ∩ B

Latihan 1

1. A= {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 4, 5, 6}, C = {2, 3, 5};pernyataan yang benar adalah :

a. 3 ∈ 𝐴

b. 1 ∈ 𝐶

c. 2 ∉ 𝐶

d. 3 ∉ 𝐵

e. 𝐵 ⊆ 𝐴

f. 𝐶 ⊆ 𝐴

g. 𝐶 ⊂ 𝐴

h. 4 ∈ 𝐴 ∪ 𝐶

i. 6 ∈ 𝐵 ∪ 𝐶

j. 4 ∈ 𝐴 ∩ 𝐶

k. 6 ∈ 𝐵 ∩ 𝐶

l. 𝐴 ∩ 𝐶 = 𝐶

m. 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝐴

n. 𝐴 ∪ 𝐶 = 𝐴

Latihan 1

2. Jika A = {a, c, d, e, g}, B = {b, c, d, f}, dan C = {d, e, g} .Tentukanlah

a. A ∪ 𝐶

b. 𝐴 ∩ 𝐶

c. 𝐵 ∩ 𝐶

d. 𝐵 ∪ 𝐶

e. 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶

f. (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐴 ∪ 𝐶

g. 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)

Sistem Bilangan Nyata/Real

Bilangan real, dinotasikan dengan memainkan peranan

yang sangat penting dalam Kalkulus. Untuk itu, pertama

kali akan diberikan beberapa fakta dan terminologi dari

bilangan real. Secara geometri, bilangan real dapat

digambarkan sebagai garis bilangan, dinotasikan dengan

= (-,).

Sistem Bilangan Nyata/Real

Bilangan Rasional : Bilangan yang dapat dinyatakan

sebagai a/b di mana a, b bilangan bulat dan b tidak sama

dengan 0. Batasan dari bilangan rasional adalah mulai dari

selanga (-∞, ∞).

Bilangan Irasional : Bilangan riil yang tidak bisa dibagi

(hasil baginya tidak pernah berhenti). Bilangan irasional

tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai

bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Jadi bilangan

irasional bukan merupakan bilangan rasional. Contoh yang

paling populer dari bilangan irasional adalah bilangan π,

2, dan bilangan e.

Interval

0

Bilangan PositifBilangan Negatif

a b

Makna:

(a,b) = {x| a < x < b} (Interval Terbuka)

[a,b] = {x| a ≤ x ≤ b} (Interval Tertutup)

(a,b] = {x| a < x ≤ b} (Interval Setengah Terbuka)

[a,b) = {x| a ≤ x < b} (Interval Setengah Terbuka)

(a,∞) = {x| a < x} (Interval Terbuka)

(a,-∞) = {x| x < a} (Interval Terbuka)

(b,∞) = {x| b < x} (Interval Terbuka)

(b,-∞) = {x| x < b} (Interval Terbuka)

[a,∞) = {x| a ≤ x} (Interval Tertutup)

(a,-∞] = {x| a > x } (Interval Terbuka)

(∞,-∞) = {x| -∞ < x < ∞} (Interval Terbuka)

Desimal

Bentuk desimal yang berhenti atau berulangmenyatakan bilangan rasional. Contoh : ½ =0,5 ; 1/3 =0.333…

Sistem bilangan real R dengan oprasi penjumlahan (+)dan perkalian (x) padanya memenuhi :

Sifat aljabar (komutatif, asosiatif, distributif, …)

Sifat urutan (hukum trikotomi, transitif, aditif) yangmelibatkan simbol <, >, =.

Sifat kelengkapan, yaitu bahwa R ‘merupakan’ garisyang “tak berlubang”

Garis Bilangan Real sebagai representasi R

Logika

Dalam berargumen, kita akan sering menggunakankalimat

“Jika … maka … ”

(dibaca : jika P maka Q

P Q

B B B

B S S

S B B

S S B

Kalkulasi dan Estimasi

( 430 + 10 +37.8)/2.75

Bilangan mana yang lebih besar?

22/7 atau 3,14?

Benar/ Salah kalimat berikut?

Jika x > 1, maka x2 > 1.

Jika x2 > 1, maka x > 1.

Untuk semua ,

Untuk semua ,

x 2 0x

20 0x x x

Pertidaksamaan

Permasalahan Matematika yang berkaitan dengan intervalterletak pada pertidaksamaan aljabar. Himpunan jawabatau solusi dari pertidaksamaan aljabar merupakan salahsatu dari bentuk interval di atas. Adapun penjelasannyadiberikan berikut. Bentuk umum pertidaksamaan aljabar :

𝐴 𝑥

𝐵 𝑥<𝐶 𝑥

𝐷 𝑥

Solusi:

Menambahkan Bilangan yang samapada kedua ruas pertidaksamaan

Mengalikan bilangan positif yang sama pada kedua ruas

Mengalikan bilangan negatif pada kedua ruas kemudiantanda pertidaksamaan harus dibalik

Pertidaksamaan

Contoh :

a. 1

𝑥< 3

b. x -1 < x + 3

c. 2x -7 < 4x - 2

d. -5 ≤ 2x +6 < 4

e. 𝑥2 − 𝑥 < 6

f. −𝑥

3< 2𝑥 + 1

g. 6

𝑥−1≥ 5

h. -1 < -2x +3 ≤ 2

i. 𝑥 + 1 <−1

𝑥−1

j. 𝑥−2

𝑥−1>

𝑥+3

𝑥+1

k. 𝑥2−4𝑥+3

𝑥+2> 0

l. x < x + 5

m. − 𝑥+3

3< 2𝑥 + 1

n. 6

𝑥−1≥ 5 +2

o. -1+x < -2x +3 ≤ 2

p. 3 + 𝑥 <−1

𝑥−1

Nilai Absolut, Akar Kwadrat, Kwadrat

Nilai mutlak atau nilai absolut dari bilangan real xdidefinisikan sebagai jarak dari x terhadap 0, sehingganilai mutlak dari setiap bilangan selalu bernilai positif.

Nilai absolut x dinotasikan | 𝑥 |

a. −𝑥 = 𝑥

b. 𝑎𝑏 = 𝑎 𝑏

c. 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏

d. 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 − 𝑏

e. 𝑎

𝑏=

𝑎

𝑏

Formula Akar Persamaan Kuadrat

Istilah ini umumnya disebut Quadratic Formula. Yang

merupakan solusi dari persamaan kuadrat ax2 +bx +c = 0

𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2− 4𝑎𝑐

2𝑎• d = (b2 – 4ac) merupakan diskriminan dari persamaan

kuadrat.

• Jika d > 0 maka akar persamaannya adalah dua bilangan

real

• Jika d = 0 maka akar persamaannya 1 bilangan real

• Jika d < 0 maka tidak ada solusi bilangan real

Sistim Koordinat

Pelopor: Pierre de Fermat (1629) & Ren´e Descartes (1637)

Misalkan P(x1, y1) dan Q(x2, y2) dua buah titik pada bidang, jaraknya

adalah d (P,Q) = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)

2

Sistim Koordinat

Tunjukkan semua nilai x dengan batasan: -2 < x ≤ 3 dan semuanilai y dengan batasan: -3 ≤ y < 2 pada koordinat kartesius X-Y!

Tentukan jarak antara P ( –2 , 3 ) dan Q ( 4 , –1 )

Tentukan jarak antara P ( 2 , –3 ) dan Q ( 2 , 5 )

Garis Lurus

Bentuk umum: Ax + By + C = 0 dengan A,B, dan Ckonstanta.

Nilai A dan B tidak boleh nol secara bersamaan.

Grafik garis lurus ditentukan oleh dua titik (x1, y1) dan(x2, y2) yang memenuhi persamaan tersebut.

Misalkan (x1, y1) dan (x2, y2)dua titik pada garis tersebut.Kemiringan garis didefinisikan

sebagaim = (y2−y1)/(x2−x1)

Buktikan bahwa m = −A/B .

Garis Lurus

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik (x1, y1) dan

(x2, y2) : 𝑦−𝑦1

𝑦2−𝑦

1

= 𝑥−𝑥

1

𝑥2−𝑥

1

Persamaan garis lurus dengan kemiringan m dan melalui

titik (x1, y1) :

y – y1 = m (x – x1)

Misalkan garis l1 dan l2 dua buah garis dengan kemiringan m1

dan m2.

Jika kedua garis tersebut sejajar ⇐⇒ m1 = m2

Jika kedua garis tersebut saling tegak lurus ⇐⇒ m1.m2 = −1

Lingkaran

Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang jaraknyasama terhadap titik tertentu (disebut pusat lingkaran).

Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan jari-jari r adalah: x2 + y2 = r2 (gambar sebelah kiri).

Bila pusat lingkaran berada di titik (p, q) makapersamaannya menjadi (x − p)2 + (y − q)2 = r2.

Elips

Bentuk umum elips yang berpusat di (0, 0) :

Untuk elips yang berpusat di (p, q) persamaannya :(𝑥−𝑝)2

𝑎2+

(𝑦−𝑞)2

𝑏2=1

𝑥2

𝑎2+𝑦2

𝑏2= 1

Hiperbola

Bentuk umum yang berpusat di (0, 0) :

𝑥2

𝑎2−

𝑦2

𝑏2= 1 atau

−𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2= 1

Soal

Tentukan persamaan lingkaran dan tentukan pusat

lingkarannya serta radiusnya.

x2 – 2x + y2 + 6y = –6

Tentukan persamaan dari lingkaran yang memiliki segmen

(2 , 4 ) ke (8 , 12 ) yang menjadi diameter.

TERIMA KASIH

To be Continue ........

PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIANFAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN

UNIVERSITAS ANDALAS

FUNGSI DAN LIMIT

Dr. DINAH CHERIE, S.TP., M.Si

FADLI IRSYAD, S.TP., M.Si

Fungsi

Misalkan A dan B dua buah himpunan. Fungsi dari A keB adalah aturan memasangkan (memadankan) setiapelemen di A dengan satu elemen di B.

Bila elemen-elemen dari A lebih banyak dari elemen-elemen B, dapatkah kita membuat fungsi dari A ke B?

Fungsi

Jika f adalah fungsi yang memetakan X ke Y, maka

ditulis: f : X Y atau f (x) dengan x anggota himpunan

X.

f (x) = x2 – 3x + 2 dan X = {x | x: –1 ≤ x < 3, x ∈ B}

f (x) = x2 – 4

f (3) = 32 – 4 = 5

f (a) = a2 – 4

f (a+h) = (a+h)2 – 4 a2 + 2ah + h2 –4

Untuk f (x) = x2 – 2x +3 tentukan :

a. f (3) b. f (2 + b) c. f (3 + b) – f(2)

d. [f (4 + b) – f(4)]/b

Pergeseran Grafik Fungsi

Diberikan grafik fungsi y = f(x) dan a > 0. Selanjutnyadibentuk fungsi g(x) = f(x − a), maka gambar grafik g(x)dapat diperoleh dengan menggeser grafik f(x) sejauh ake kanan

Operasi pada Fungsi

Misalkan f(x) dan g(x) fungsi-fungsi real dengan daerah

definisi Df dan Dg.

(f + g)(x) = f(x) + g(x), Df+g = Df ∩ Dg

(f − g)(x) = f(x) − g(x), Df−g = Df ∩ Dg

(fg)(x) = f(x) g(x), Dfg = Df ∩ Dg

(f/g)(x) = f(x)/g(x), Df/g = Df ∩ Dg ∩ {x|g(x) = 0}

fn(x) = f(x) f(x) …. f(x) Dfn = Df

Contoh: Misalkan f(x) =4𝑥 + 1 dan g(x) = 9 − 𝑥2

Tentukan f + g, f − g, fg, f/g, dan f5 beserta daerahdefinisinya.

n suku

Fungsi Komposisi

Komposisi dari fungsi f(x) dan g(x) didefinisikan sebagai :

(g o f) (x) = g(f(x))

syarat yang harus dipenuhi adalah Rf ∩ Dg≠ ∅

Contoh Diketahui fungsi f(x)= 1 − 𝑥 dan g(x)=𝑥

1 − 𝑥

Tentukan Domain dan range dari fungsi f(x) dan g(x)

Apakah g o f terdefinisi? Bila ya tentukan rumusnya?

Apakah f o g terdefinisi? Bila ya tentukan rumusnya?

Fungsi Trigonometri

r = 𝑥2 + 𝑦2

sin α =𝑦

𝑟 cosec α =

𝑟

𝑦

cos α =𝑥

𝑟 sec α =

𝑟

𝑥

tan α =𝑦

𝑥 cot α =

𝑥

𝑦

β

α

r

x

y

tan α =𝑦

𝑥 cot α =

𝑥

𝑦

tan α =sin αcos α

sin2α + cos2α =𝑦

𝑟

2+

𝑥

𝑟

2=𝑦2+𝑥2

𝑟2=

𝑟2

𝑟2= 1

Menyelesaikan Persamaan Sinus

Jika Sin x0 = sin 0 (x Є R ), maka :

x0 = + k.3600, atau

x0 = (1800-0) + k.3600

Jika Sin x0 = sin 0(x Є R ), maka :

x0 = 0+ k.2π, atau

x0 = (π-0) + k.2π, k Є B

Karena Sinus berharga positif hanya berada di kuadranI, kuadran II dan lebih dari kuadran IV

Kuadran II

Sin xo = sin (180o – αo)

Pembuktian Menggunakan rumus trigonometri jumlahdan selisih dua sudut

Sin ( ) sin cos cos sin

Maka :

Sin xo = sin 180o cos αo – cos 180o sin αo

Sin xo = (0) cos αo – (-1) sin α0

Sin xo = sin αo (Terbukti)

Maka :

xo = 180o – αo

Besar dari Kuadran IV

Sin xo = sin (αo + k. 360o)

Pembuktian Menggunakan rumus trigonometri jumlahdan selisih dua sudut :

Sin ( + ) sin cos + cos sin

Maka :

Sin xo = sin αo cos (k.360o) + cos αo sin (k.360o)

Jika k = 0

Sin xo = sin αo cos (k.360o) + cos αo sin (k.360o)

Sin xo = sin αo cos (0.360o) + cos αo sin (0.360o)

Sin xo = sin αo cos 0o + cos αo sin 0o

Sin xo = sin αo (1) + cos αo sin (0)

Sin xo = sin αo (Terbukti)

Besar dari Kuadran IV

Sin xo = sin (αo + k. 360o)

Pembuktian Menggunakan rumus trigonometri jumlahdan selisih dua sudut :

Sin ( + ) sin cos + cos sin

Maka :

Sin xo = sin αo cos (k.360o) + cos αo sin (k.360o)

Jika k = 1

Sin αo = sin αo cos (k.360o) + cos αo sin (k.360o)

Sin αo = sin αo cos (1.360o) + cos αo sin (1.360o)

Sin αo = sin αo cos 360o + cos αo sin 360o

Sin αo = sin αo (1) + cos αo sin (0)

Sin αo = sin αo (Terbukti)

Contoh soal 1

Tentukan himpunan penyelesaian

sin x = sin 200 ; 0 ≤x ≤3600 adalah?...

Jawab :

sin x = sin 200 ; 0 ≤x ≤3600

x1 = αo + k.3600

x1 = 20o + k.3600

Untuk k=0 x1 = 200 + (0).3600

= 200

Untuk k=1 x1 = 200 + (1).3600

= 200 + 3600

= 3800 (Tidak memenuhi)

x2 = (180o–αo) + k.3600

x2 = (180o–20o) + k.3600

x2 = 160o + k.3600

Untuk k=0 x2 = 1600 + (0).3600

= 1600

Untuk k=1 x2 = 1600 + (1).3600

= 160o + 360o

= 5200 (Tidak Memenuhi)

Jadi Himpunan Penyelesaiaan {200,1600}

Contoh soal 2

Tentukan himpunan penyelesaian

sin x = sin 1/3 π ; 0 ≤x ≤ 2π adalah?...

Jawab :

sin x = sin 1/3 π; 0 ≤x ≤ 2π

x1 = αo + k. 2π

x1 = 1/3 π + k. 2π

Untuk k=0 x1 = 1/3 π + (0). 2π

= 1/3 π

Untuk k=1 x1 = 1/3 π + (1). 2π

= 1/3 π + 2π

= 2 1/3 π (Tidak memenuhi)

x2 = (π – αo) + k. 2π , 0 ≤x ≤ 2π

x2 = (π – 1/3 π) + k. 2π

x2 = 2/3 π + k. 2π

Untuk k=0 x2 = 2/3 π + (0). 2π

= 2/3 π

Untuk k=1 x2 = 2/3 π + (1). 2π

= 2/3 π + 2π

= 2 2/3 π (Tidak memenuhi)

Jadi Himpunan Penyelesaiaan {2/3 π, 1/3 π }

Contoh soal 3

Tentukan himpunan penyelesaian

sin x = 1/2 ; 0 ≤x ≤3600 adalah?...

Jawab :

sin x = ½ ; 0 ≤x ≤3600

sin x = 30o

x1 = αo + k.3600

x1 = 30o + k.3600,

Untuk k=0 x1 = 300 + (0).3600

= 300

Untuk k=1 x1 = 300 + (1).3600

= 300 + 3600

= 3900 (Tidak memenuhi)

x2 = (1800–αo) + k.3600

x2 = (1800–30o) + k.3600

x2 = 1500 + k.3600

Untuk k=0 x2 = 1500 + (0).3600

= 1500

Untuk k=1 x2 = 1500 + (1).3600

= 1500 + 3600

= 5200 (Tidak Memenuhi)

Jadi Himpunan Penyelesaiaan {300,1500}

Contoh soal 1

sin2α + cos2α = 1

sin (-x ) = - sin x ; cos ( -x ) = cos x; tan ( -x ) = - tan x

sin ( 𝜋/2 - x ) = cos x ; cos (𝜋/2 - x ) = sin x ; tan (𝜋/2 - x) = cot x

sin ( x + y ) = sin x cos y + sin y cos x

cos ( x + y ) = cos x cos y – sin x sin y

tan (x+y) =tan 𝑥 +tan 𝑦

1−tan 𝑥.tan 𝑦

sin ( x - y ) = sin x cos y – sin y cos x

cos ( x - y ) = cos x cos y + sin x sin y

Fungsi

tan (x – y) =tan 𝑥 −tan 𝑦

1−tan 𝑥.tan 𝑦

sin 2x = 2 sin x cos x

cos 2x = 2 cos2x –1 = 1 – 2 sin2xos x

tan 2x =2tan 𝑥

1−tan2 𝑥

sin 2 x + cos2 x = 1

PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIANFAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN

UNIVERSITAS ANDALAS

LIMIT

Dr. DINAH CHERIE, S.TP., M.Si

FADLI IRSYAD, S.TP., M.Si

Konsep Limit

Definisi IntuitifMisalkan y=f(x) suatu fungsi, a dan L bilangan riil

sedemikian hingga:

Bila x dekat a tetapi tidak sama dg a (xa), f(x) dekat ke L

Bila xmendekati a tetapi xa, maka f(x)mendekati L

Misalkan f(x) dapat kita buat sedekat mungkin ke L dgmembuat x cukup dekat a tetapi tdk sama dg a

Maka dapat dikatakan bhw limit f(x) bila x mendekati aadalah L,

Lxfax

)(lim

Limit

Fungsi f(x) = (x2 – 1)/(x – 1) terdefinisi untuk xdisekitar 1 tetapi tidak di x = 1. Pertanyaannyasekarang adalah: berapa nilai f(x) untuk x di sekitar 1?

Persisnya: jika x mendekati 1, maka f(x) akanmendekati bilangan apa? (Catat di sini bahwaungkapan x mendekati 1 tidakmengharuskan x = 1.?

Untuk menjawab pertanyaan di atas, perhatikan tabelnilai f(x) pada halaman berikut. Tampak jelas bahwaf(x) mendekati 2 ketika x mendekati 1.

Catat bahwa f(x) = x + 1 untuk x ≈ 1. (Lambang x ≈ 1berarti x di sekitar 1.)

LIMIT

Misalkan I = (a, b) suatu interval buka di R dan c ∈ I.Fungsi f(x) dikatakan terdefinisi di I kecuali mungkin dic, artinya f(x) terdefinisi disemua titik pada I\{c} dan dic boleh terdefinisi boleh juga tidak.

LIMIT

Misalkan akan dicari lim𝑥→∞

1

𝑥(dibaca limit satu per x

dengan x mendekati takhingga) maka diambillahbeberapa nilai x seperti berikut:

x 1 2 1000 1.000.000 … ∞

1/x 1 1/2 0.001 0,000.001 … 0

Limit

Bila nilai f(x) mendekati L untuk nilai x mendekati adari arah kanan maka dikatakan bahwa limit fungsif(x) untuk x mendekati a dari kanan sama dengan Ldan dinotasikan:

lim𝑥→𝑎 +

𝑓 𝑥 = 𝐿

Bila nilai f(x) mendekati l untuk nilai x mendekati adari arah kiri maka dikatakan bahwa limit fungsi f(x)untuk x mendekati a dari arah kiri sama dengan l dandinotasikan :

lim𝑥→𝑎 −

𝑓 𝑥 = 𝐿

GxgLxfaxax

)(limdan)(lim

GLxgxfxgxfaxaxax

)(lim)(lim)()(lim

Misal

(limit dari f , g ada dan berhingga)

maka

LGxgxfxgxfaxaxax

)(lim)(lim)()(lim

0,)(lim

)(lim

)(

)(lim

Gbila

G

L

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax

2.

3.

4.n

ax

n

axxfxf ))(lim())((lim

,n bilangan bulat positif

nn

ax

n

axLxfxf

)(lim)(lim

5. bila n genap L harus positif

1.

Sifat Limit

Contoh 1

Lim𝑥→−2

(𝑥2 + 5𝑥) = lim𝑥→−2

𝑥2 + lim𝑥→−2

5𝑥

= lim𝑥→−2

𝑥 lim𝑥→−2

𝑥 + lim𝑥→−2

5𝑥 = −2 −2 + 5 −2

= -6

Tentukan Lim𝑥→−2

(x4 + 3x – 2) = 8

Lim𝑥→2

3𝑥2 − 6= Lim𝑥→2

(3𝑥2 − 6)= 3 2 2 − 6 = 6

Tentukan Lim𝑥→−1

2𝑥2 + 2

Lim𝑥→2

𝑥2

𝑥2+1

Limit Indeterminate Form

Jika lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 = 0 dan lim𝑥→𝑐

𝑔 𝑥 = 0 , selanjutnya

dibagi menjadi lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥; maka ini dikatakan

indeterminate/ tidak tentu.

Jika lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 = 𝐿, L ≠ 0, dan lim𝑥→𝑐

𝑔 𝑥 = 0 , maka

lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥juga tidak terdefinisi (tidak ada).

Contoh

lim𝑥→1

𝑥−1

𝑥2−1= lim𝑥→1

𝑥−1

(𝑥−1)(𝑥+1)= lim𝑥→1

1

𝑥+1=

1

2

lim𝑥→1

𝑥−1 2

𝑥2−1= lim𝑥→1

(𝑥−1)(𝑥−1)

(𝑥−1)(𝑥+1)= lim𝑥→1

(𝑥−1)

(𝑥+1)=

0

2= 0

lim𝑥→1

𝑥2−1

𝑥−1 2 = lim𝑥→1

(𝑥−1)(𝑥+1)

(𝑥−1)(𝑥−1)= lim𝑥→1

(𝑥+1)

(𝑥−1)=

2

0= undifined

mengingat konsep limit karena konsep turunandijelaskan lewat limit suatu fungsi

Turunan sebuah fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca “faksen”) yang nilainya pada sembarang bilangan cadalah:

Asalkan limit ini ada dan bukan ∞ atau -∞

Jika limit ini ada, dikatakan bahwa f terdiferensiasikandi c.

Pencarian turunan disebut diferensiasi

h

cfhcfcf

h

)()(lim)('

0

Garis Tangen

Misalkan diberikan suatu fungsi f(x), maka kemiringangaris tangen L di titik P(a, f(a)) pada kurva y=f(x) dapatdiaproksimasi dengan kemiringan garis secant antaratitik P dan titik Q(a+h, f(a+h)).

Bila Q dibuat mendekati P dgn menelusuri kurva y=f(x)dan h menuju 0, maka diperoleh kemiringan garistangen kurva y=f(x) di titik P(a,f(a)):

).0(,)()(

h

h

afhaf

x

ymPQ

h

afhafm

h

)()(lim

0

Limit Indeterminate pada fungsi

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)

ℎ

Contoh tentukan limitnya untuk fungsi berikut:

𝑓 𝑥 = 7 − 2𝑥 ; limℎ→0

𝑓 4+ℎ −𝑓(4)

ℎ

𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 ; limℎ→0

𝑓 1+ℎ −𝑓(1)

ℎ

𝑓 𝑥 = 𝑥 ; limℎ→0

𝑓 3+ℎ −𝑓(3)

ℎ

Penyelesaian

𝑓 𝑥 = 7 − 2𝑥

𝑓 4 + ℎ = 7 − 2 4 + ℎ = 7 − 8 − 2ℎ = −1 − 2ℎ

𝑓 4 = 7 − 2 4 = −1

limℎ→0

𝑓 4 + ℎ − 𝑓(4)

ℎ= lim

ℎ→0

(−1 − 2ℎ) − (−1)

ℎ

= limℎ→0

−2ℎ

ℎ= −2

Penyelesaian

𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1

𝑓 1 + ℎ = 1 + ℎ − 1 = ℎ

𝑓 1 = 1 − 1 = 0

limℎ→0

𝑓 1 + ℎ − 𝑓(1)

ℎ= lim

ℎ→0

ℎ − 0

ℎ= lim

ℎ→0

ℎ

ℎ

limℎ→0−

ℎ

ℎ= −1

limℎ→0+

ℎ

ℎ= 1

Lmitnya tidak ada karena ada dua batas

yang tidak sam

𝑓 𝑥 = 𝑥

𝑓 3 + ℎ = 3 + ℎ

𝑓 3 = 3

limℎ→0

𝑓 3 + ℎ − 𝑓(3)

ℎ= lim

ℎ→0

3 + ℎ − 3

ℎ

= limℎ→0

3 + ℎ − 3

ℎ×

3 + ℎ − 3

3 + ℎ − 3

= limℎ→0

3 + ℎ − 3

ℎ ( 3 + ℎ − 3)= lim

ℎ→0

1

2 3

Teorema Limit Trigonometri

cos(x) sin(x)/x 1/cos(x)

1)sin(

lim maka ,)cos(

1lim1)cos(lim

000

x

x

xx

xxx

Contoh

.01

sinlim Tunjukkan 2

0x

xx

0dan 11

sin1,0Untuk 2 xx

x

222 1sin x

xxx

Apit). Prinsipan (menggunak 01

sinlim maka

0limdan 0)lim( karena

2

0

2

0

2

0

xx

xx

x

xx

Bukti:

TERIMA KASIH

To be Continue ........

PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIANFAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN

UNIVERSITAS ANDALAS

TURUNAN

Dr. DINAH CHERIE, S.TP., M.Si

FADLI IRSYAD, S.TP., M.Si

Turunan Aljabar

Materi:

Pengertian Turunan Fungsi Aljabar

Rumus Turunan Fungsi Aljabar

Turunan Berantai Fungsi Aljabar

Turunan Tingkat Tinggi Fungsi Aljabar

Turunan Implisit

Turunan multivariabel

Turunan Aljabar

Tujuan Perkuliahan:

Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswadiharapkan dapat menjelaskan konsep turunan,rumus-rumus, dan menghitung turunan fungsialjabar.

Pengertian Turunan

Suatu fungsi dikatakan dapat didiferensiasi di bilafungsi itu mempunyai turunan di titik tersebut.

Suatu fungsi dikatakan dapat didiferensiasi pada suatuselang bila fungsi itu dapat didiferensiasi di setiap titikpada selang tersebut.

Aplikasi: mencari kecepatan sesaat (fisika), lajupertumbuhan organisme (biologi), keuntungan marjinal(ekonomi), dll

0xx

Konsep Limit

mengingat konsep limit karena konsep turunandijelaskan lewat limit suatu fungsi

Turunan sebuah fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca “faksen”) yang nilainya pada sembarang bilangan c adalah:

Asalkan limit ini ada dan bukan ∞ atau -∞

Jika limit ini ada, dikatakan bahwa f terdiferensiasikan dic.

Pencarian turunan disebut diferensiasi

h

cfhcfcf

h

)()(lim)('

0

Secara Grafis

pengertian turunan dapat dijelaskan sebagai berikut:

Misal P(a,f(a)) adalah sembarang titik pada sebuah grafiksuatu fungsi f. Titik lain pada gambar dinotasikan denganQ(a+h,f(a+h)),dimana h adalah beda antara absis Q dan P.Kemiringan tali busur yang melalui titik P dan Q adalah

mPQh

afhaf )()(

Secara Grafis

Secara Grafis

Jika sebuah fungsi f didefinisikan pada sebuah intervalterbuka yang memuat a, maka kemiringan garis singgung mdari grafik fungsi f pada titik P(a,f(a)) adalah:

Dengan catatan limitnya ada.

h

afhafm

h

)()(lim

0

Contoh

Diketahui fungsi f(x) = x2 dapatkan kemiringan garissinggung ke grafik f(x) pada titik P(a,a2)

Penyelesaian:Dengan menggunakan penjelasan di atas maka

Jadi turunan suatu fungsi

adalah kemiringan garis

singgung fungsi tersebut pada

titik tertentu.

Contoh

1. Jika f(x) = 13x – 6, Carilah f’(4)

Penyelesaian:

1313lim13

lim

]6)4(13[6)4(13lim

)4()4(lim)4('

00

00

hh

hh

h

h

h

h

h

fhff

Contoh

2. Jika f(x)= x3 + 7x, Carilah f’(c)

Penyelesaian

73 )733(lim

733lim

]7[)(7)(lim

)()(lim)('

222

0

322

0

33

0

0

chchc

h

hhchhc

h

cchchc

h

cfhcfcf

h

h

h

h

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (i)

Teorema I (Aturan Fungsi Konstanta)

Jika f(x) = k dengan k adalah suatu konstanta untuksembarang x, f’(x)= 0.

Bukti:

Contoh: f(x) = 2 maka f’(x) = 0

00limlim)()(

lim)(000

'

hhh h

kk

h

xfhxfxf

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (i)

Teorema II (Aturan Fungsi Identitas)

Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1

Bukti:

1limlim)()(

lim)(000

'

h

h

h

xhx

h

xfhxfxf

hhh

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (ii)

Teorema III (Aturan Pangkat)

Jika f(x) = xn, dengan n bilangan-bilangan bulat positif,maka f’(x) = nxn-1

Bukti:

h

hnxhhxnn

nxh

h

xhnxhhxnn

hnxx

h

xhx

h

xfhxfxf

nnnn

h

nnnnnn

h

nn

hh

1221

0

1221

0

00

'

...2

)1(

lim

...2

)1(

lim

)(lim

)()(lim)(

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (ii)

Semua suku di dalam tanda kurung siku kecuali sukupertama mempunyai h sebagai faktor, sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila h mendekatinol. Jadi

Contoh:

f(x)=x2 maka f’(x) = 2x

1)(' nnxxf

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (iii)

Teorema IV (Aturan Kelipatan Konstanta)

Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yangterdiferensialkan, maka (kf)’ (x). Bukti: Misalkan F(x) = k.f(x). Maka

Contoh:

F(x) =5x2 maka f’(x) =5(2x) =10x

)('.

)()(lim.

)()(lim

)(.)(.lim

)()(lim)(

00

00

xfk

h

xfhxfk

h

xfhxfk

h

xfkhxfk

h

xfhxfxF

hh

hh

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (iii)

Teorema V (Aturan Jumlah)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan,maka (f+g)’(x) =

f’ (x) + g’ (x). Bukti:

Contoh:

F(x)=x2+3x maka f’(x)=2x+3

)(')('

)()(lim

)()(lim

)()()()(lim

)()()()(lim)(

),()()(

00

0

0

xgxf

h

xghxg

h

xfhxf

h

xghxg

h

xfhxf

h

xgxfhxghxfxF

makaxgxfxFAndaikan

hh

h

h

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (iv)

Teorema VI (Aturan Selisih)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan,maka (f-g)’(x) = f’ (x) - g’ (x). Bukti: (f-g)’(x) = (f+(-1)g)’(x) = f’(x) – g’(x)

Contoh:

F(x) =3x2-x maka f’(x) = 6x – 1

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (v)

Teorema VII (Aturan Hasil Kali)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan,maka (f.g)’(x) = f(x).g’(x)+f’(x).g(x). Bukti:

)(')()(')(

)()(lim).(lim

)()(lim).(lim

)()(

)()()(

)(lim

h

)()()()()()()()(lim

h

)()()()(lim

h

)()(lim)(

),().()(

0000

0

0

00

xfxgxgxf

h

xfhxfxg

h

xghxghxf

h

xfhxfxg

h

xghxghxf

xgxfxghxfxghxfhxghxf

xgxfhxghxfxFhxFxF

makaxgxfxFAndaikan

hhhh

h

h

hh

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (v)

Contoh :

F(x) = (x+2)(x-5)2

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (vi)

Teorema VIII (Aturan Hasil Bagi)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan,dengan g(x) = 0.

Maka

)(

)(')()(')()(

2

'

xg

xgxfxfxgx

g

f

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (vi)

)()(

1)(')()(')(

)()(

1)()()(

)()()(lim

)()(

1)()()()()()()()(lim

)()(

1)()()()(lim

)(

)(

)(

)(

lim)()(

lim)(

,)(

)()(

0

0

0

00

xgxgxgxfxfxg

hxgxgh

xghxgxf

h

xfhxfxg

hxgxgh

hxgxfxgxfxfxghxfxg

hxgxgh

hxgxfhxfxg

h

xg

xf

hxg

hxf

h

xFhxFxF

makaxg

xfxMisalkanF

h

h

h

hh

Rumus Turunan Fungsi Aljabar (vi)

)(

)(')()(')()(

2

'

xg

xgxfxfxgx

g

f

Turunan Berantai Fungsi Aljabar

dw

dx

dx

du

Jika

dx

du

yJika

..du

dyy'

maka h(w), x g(x), u f(u), y

.du

dyy'

maka g(x) u dan (u)

Contoh:

y = (3x+1)10

Bedakan antara Turunan dan Diferensial !

Pada waktu anda menuliskan Dxy atau dy/dx = andamenuliskan lambang turunan

Jika dy = anda menyatakan lambang diferensial

Contoh:

Cari dy jika y = x3 - 3x+1

Jika kita mengetahui bagaimana menghitung turunan, makakita tahu bagaimana menghitung diferensial. Yaitu cukupmenghitung turunan lalu mengalikannya dengan dx

Dy = (3x2-3) dx

Hal ini karena dy = f’ (x) dx

Turunan Berantai Fungsi Aljabar

Contoh:

1). y = (x2+3x+5)9

x

xy

1

12).2

22

3

2).3

x

xxy

Turunan Tingkat Tinggi Aljabar

Turunan tingkat tinggi adalah turunan fungsi yang tidak hanya sampaiturunan pertama, bisa turunan kedua, ketiga, bahkan sampai turunanke n. Jika f’ adalah turunan suatu fungsi f, maka f’ juga merupakansuatu fungsi, f’ adalah turunan pertama dari f. Jika turunan dari f’ ada,turunan ini dinamakan turunan kedua dan ditulis f’’. Dengan cara yangsama turunan ketiga dari f didefinisikan sebagai turunan pertama darif’’, jika turunan ini ada. Turunan ketiga, ditulis f’’’. Turunan ke-n darifungsi f, di mana n bilangan positif yang lebih besar dari 1, adalahturunan pertama dari turunan ke (n-1) dari f. Turunan ke n dinyatakandengan f(n). Berikut ini adalah tabel cara penulisan turunan sampaidengan turunan ke-n:

Turunan Tingkat Tinggi Aljabar

Contoh:Carilah turunan ke-3 dari fungsi berikut ini: 283)( 23 xxxxf

Turunan Trigonometri

Turunan dari:

Sin x = cos x

Cos x = -sin x

Tan x = sec2 x

Sec x = sec x tan x

Cot x = -csc2 x

Csc x = -csc x cot x

Turunan Trigonometri

Contoh:

32 )1sin()1 xy

) 2cossin)2 xy

)1(cos)3 23 xy

Turunan Fungsi Implisit

Andaikan kita menjumpai sebuah persamaan sebagaiberikut :

y 3 + 7y = x3

dan kita menginginkan untuk mencari turunannya, makahal seperti ini tentulah tidak dapat secara gamblang(eksplisit) terselesaikan , akan tetapi kita harusmenggunakan cara tertentu, misalnya aturan Rantaiuntuk dapat menyelesaikannya.

Turunan Fungsi Implisit lanjutan

Hal seperti di atas yang kita sebut sebagai Turunanfungsi Implisit.

Cara untuk mendapatkan turunan fungsi Implisit, yaitu :

Jika tidak terlalu sulit, atau jika mungkin, y dinyatakansebagai bentuk eksplisit dari x, lalu didiferensialkanterhadap x (sebagai perubah bebasnya)

Turunan Fungsi Implisit lanjutan

Contoh 1:

Tentukan turunan pertama dari

4x 2 y - 3y = x3 - 1

Fungsi Implisit tersebut diubah terlebih dahulu ke dalamfungsi eksplisit menjadi :

4x 2 y - 3y = x3 - 1

atau y( 4x 2 - 3 ) = x3 -1

Turunan Fungsi Implisit lanjutan

Atau:

Setelah berubah menjadi fungsi eksplisit, maka tinggal diturunkan sehingga menjadi

34

12

3

x

xy

) ) )

924x-16x

89x-4x

924x-16x

8x)-(8x-)9x-(12x

34

8.134.3 '

24

24

24

424

23

322

x

x

xxxxy

Soal-soal latihan (i)

Carilah turunan pertama fungsi-fungsi di bawah ini:

52

25)()1

2

x

xxf

3)2)(1()()2 xxxf

)53 4)()3 xxxf

Soal-soal latihan (ii)

Carilah turunan berantai fungsi-fungsi di bawah ini:

xxuuy 2 ,3)1 45

2 ),24( ,)2 xvvvuuy

2 t dt

dy berapakah

,93tx 2 )3 22

ketika

danxxyJika

Soal-soal latihan (iii)

Carilah turunan kedua fungsi-fungsi di bawah ini:

243)()1 24 xxxxf

25)()2 zzg

2/3)2()()3 ttf

xxxf

4

2

1)()4

2

5.1 Menggambar grafik fungsiInformasi yang dibutuhkan:

A. Titik potong dengan sumbu x dan sumbu yB. Asimtot fungsi

Definisi 5.1: Asimtot fungsi adalah garis lurus yang didekati olehgrafik fungsi. Ada Tiga jenis asimtot fungsi, yakni(i) Asimtot Tegak

Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika(ii) Asimtot Datar

Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika(iii) Asimtot Miring

Garis y = ax + b disebut asimtot miring jika

dan

)(lim xfcx

bxfx

)(lim

ax

xf

x

)(lim baxxf

x

)(lim

x=a asimtot tegak

a

)(lim xfax

)(lim xfax

Dalam kasus

dan

x=a asimtot tegak

Dalam kasus

)(lim xfax

)(lim xfax

dan

a

Asimtot tegak

y= b

Garis y = b asimtot datar karena

Asimtot datar mungkin dipotong oleh grafik fungsi untuk x hingga

Tapi, jika untuk x menuju tak hingga asimtot datar dihampiri oleh

Grafik fungsi(tidak dipotong lagi)

bxfx

)(lim

baxy

y=f(x)

Garis y = ax + b asimtot miring

Asimtot miring bisa dipotong oleh kurva untuk nilai x hingga.

Untuk satu fungsi tidak mungkin ada sekaligus asimtot datar

dan asimtot miring

Contoh Tentukan semua asimtot dari

Jawab :

(i) Asimtot tegak : x = 2, karena

dan

(ii) Asimtot datar :

2

42lim

2

2 x

xx

x

Maka asimtot datar tidak ada

2

42)(

2

x

xxxf

2

42lim

2

2 x

xx

x

)(

)1(lim

2

42lim)(lim

2

2

212

4222

xx

xx

xxx x

x

x

xxxf

)(

)1(lim

2

2

21

42

xx

xx

x

MA1114 KALKUU I 113

xx

xx

x

xfa

xx

1.

2

42lim

)(lim

2

xx

xx

x 2

42lim

2

2

1)1(

)1(lim

)1(

)1(lim

2

42

22

42222

x

xx

xx

xx

x x

x

(iii) Asimtot miring

02

4lim

xx

2

)2(42lim

2

x

xxxx

x

xx

xx

x

2

42lim

2

axxfbx

)(lim

Asimtot miring y = x

2

242lim

22

x

xxxx

x

1

1)(

xxf

3

1)(

xxxf

1

2)(

2

2

x

xxxf

3

2)(

x

xxf

Tentukan semua asimtot dari fungsi berikut :

Soal Latihan

1

2)(

2

2

x

xxxf

1.

2.

3.

4.

5.

22

12)(

x

xxf

C. Kemonotonan Fungsi

Definisi 5.2 Fungsi f(x) dikatakan

monoton naik pada interval I jika untuk

) ) Ixxxfxfxx 212121 ,,

x1

f(x1)

x2

f(x2)

I

Fungsi f(x) monoton naik pada selang I

Fungsi f monoton turun pada selang I

f(x1)

f(x2)

x1 x2

monoton turun pada interval I jika untuk

) ) Ixxxfxfxx 212121 ,,

I

Teorema 5.1 : Andaikan f diferensiabel di selang I, maka

Fungsi f(x) monoton naik pada I jika

Fungsi f(x) monoton turun pada I jika

Contoh Tentukan selang kemonotonan dari

Jawab :

f(x) monoton naik

f(x) monoton turun pada (0,2) dan (2,4).

Ixxf 0)('

Ixxf 0)('

2

42)(

2

x

xxxf

),4(dan)0,(pada

2

2

)2(

)42(1)2)(22()('

x

xxxxxf 2

22

)2(

42462

x

xxxx

22

2

)2(

)4(

)2(

4

x

xx

x

xx

0 2 4

++++++---------------------+++++++ f’(x)

x

00Tidak

ada

D. Ekstrim Fungsi

Definisi 5.3 Misalkan f(x) kontinu pada selang I yang memuat c,

f(c) disebut nilai global dari f pada I jika

f(c) disebut nilai lokal dari f pada I jika terdapat selang

buka yang memuat c sehingga untuk setiap x pada

selang buka tadi. Nilai maksimum dan minimum fungsi disebut juganilai ekstrim

imummin

maksimumIx

xfcf

xfcf

)()(

)()(

minimum

maksimum

)()(

)()(

xfcf

xfcf

Titik pada daerah definisi dimana kemungkinan terjadinya ekstrim

fungsi disebut titik kritis.

Max

lokal

Min

lokal

Max

globalMin

global Max

lokal

Min

lokal

a b c d e f

Nilai ekstrim fungsi pada selang I=[a,f]

Ada tiga jenis titik kritis :

Titik ujung selang I

Titik stasioner ( yaitu x = c dimana ) ,

secara geometris : garis singgung mendatar dititik (c,f(c))

Titik singulir ( x = c dimana tidak ada ), secarageometris: terjadi patahan pada grafik f di titik (c,f(c))

0)(' cf

)(' cf

Teorema 5.3 : Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal

Jika 0)('

0)('

xf

xf),( cc

0)('

0)('

xf

xfpada dan pada

),( cc Maka f(c) merupakan nilai

minimum

maksimum lokal

c

Disebelah kiri c monoton naik

(f ’>0) dan disebelah kanan c

monoton turun (f’<0)

f(c) nilai maks lokal

c

f(c) nilai min lokal

Disebelah kiri c monoton turun

(f ’<0) dan disebelah kanan c

monoton naik (f’>0)

f(c)

f(c)

Teorema 5.4 Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal

Misalkan . Jika ,maka f(c) merupakan

nilai lokal f

Contoh :Tentukan nilai ekstrim dari

Jawab:

0)(' cf0)(''

0)(''

cf

cf

minimum

maksimum

2

42)(

2

x

xxxf

2)0( f

6)4( f

2)2(

)4()('

x

xxxf

0 2 4

++++++---------------------+++++++

Dengan menggunakan uji turunan pertama :

di x = 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai

di x = 4 tercapai minimum lokal dengan nilai

f’(x)

x

0Tidak

ada0

Soal Latihan

630152)( 345 xxxxf

3

13)(

2

x

xxxf

2

12)(

2

x

xxxf

x

xxf

2)1()(

Tentukan selang kemonotonan dan ektrim fungsi berikut :

1.

2.

3.

4.

E. Kecekungan Fungsi

Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada interval I bila naik pada

interval I, dan f(x) dikatakan cekung kebawah pada interval I bila turun

pada interval I.

Teorema 5.6 Uji turunan kedua untuk kecekungan

1. Jika , maka f cekung ke atas pada I.

2. Jika , maka f cekung ke bawah pada I.

)(' xf)(' xf

Ixxf ,0)("Ixxf ,0)("

Grafik fungsi cekung keatas Grafik fungsi cekung kebawah

x

y

x

y

2

42)(

2

x

xxxfTentukan selang kecekungan daricontoh

Jawab :

2

2

)2(

4)('

x

xxxf

4

22

)2(

)4)(2(2)2)(42()(''

x

xxxxxxf

4

2

)2(

))4(2)2)(42)((2(

x

xxxxx

3

22

)2(

82882

x

xxxx3)2(

8

x

Grafik f cekung keatas pada ),2( dan cekung kebawah pada

selang )2,(

2

f”(x)

x

+++- - - - -

Tidak

ada

F. Titik belok

Definisi 5.4 Misal f(x) kontinu di x = b. Maka (b,f(b)) disebuttitik belok dari kurva f(x) jika :

terjadi perubahan kecekungan di x = b, yaitu di sebelah

kiri dari x =b, fungsi f cekung ke atas dan di sebelah

kanan dari x =b fungsi f cekung ke bawah atau

sebaliknya

x = b adalah absis titik belok, jika atau tidak

ada.

f b"( ) 0 )(" bf

c

f(c)

(c,f(c)) titik belok

c

f(c)

(c,f(c)) titik belok

Karena disebelah kiri c cekung

keatas dan disebelah kanan c

cekung kebawah

Karena disebelah kiri c cekung

kebawah dan disebelah kanan c

cekung keatas

c

f(c)

(c,f(c)) bukan titik belok

Karena disekitar c tidak

Terjadi perubahan kecekungan

c

Walaupun di sekitar c

Terjadi perubahan

Kecekungan tapi tidak ada

Titik belok karena f tidak

terdefinisi di c

12)(.1 3 xxf

4)(.2 xxf

Tentukan titik belok (jika ada) dari

26)(' xxf xxf 12)('',

●0

+++++++-------------

Di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, dan f(0)= -1 maka (0,-1)

merupakan titik belok

212)('' xxf

●0

++++++++++++++

Tidak ada titik belok, karena tidak terjadi perubahan

kecekungan

f”(x)

x

0

f”(x)

x

0

2

42)(.3

2

x

xxxf

3)2(

8)(''

xxf

●2

+++++--------------

Walaupun di x = 2, terjadi perubahan kecekungan, tidak ada

titik belok karena fungsi f(x) tidak terdefinisi di x = 2

f”(x)

x

Tidak

ada

Soal Latihan

630152)( 345 xxxxf

3

13)(

2

x

xxxf

2

12)(

2

x

xxxf

x

xxf

2)1()(

Tentukan selang kecekungan dan titik belok fungsi berikut :

1.

2.

3.

4.

3/1)( xxf 5.

2

42)(

2

x

xxxfContoh: Diketahui

a. Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsib. Tentukan selang kecekungan dan titik belokc. Tentukan semua asimtotd. Gambarkan grafik f(x)

a. Fungsi f(x) monoton naik pada selang ),4(,)0,( monoton turun pada selang (0,2) dan (2,4).

2)0( f

6)4( f

di x = 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai

di x = 4 tercapai minimum lokal dengan nilai

b. Grafik f cekung keatas pada ),2( dan cekung kebawah pada

selang )2,( , tidak ada titik belok

c. Asimtot tegak x = 2, asimtot miring y = x, tidak ada asimtot

datar

d. Grafik f(x)

2

y=x

0 2 4

++++++----------++++++ 'f

2--------------------- +++++++++++ ''f

-24

6

00Tidak

ada

Tidak

ada

x

x

21

2)(

x

xxf

xxxf

1)(

134

)( 234

xxx

xf

1)(

x

xxf

4)(

2

2

x

xxf

A. Gambarkan grafik fungsi berikut dengan mencari terlebih dahulu

selang kemonotonan,ekstrim fungsi, kecekungan, titik belok,

dan asimtot

Soal Latihan

1.

2.

3.

4.

5.

)(' xfy

B. Misalkan f suatu fungsi kontinu dan f(-3)=f(0)=2, serta

nilai fungsi yg lain dibutuhkan, silakan didefinisikan sendiri.

Jika grafik seperti gambar berikut :

a. Tentukan selang kemonotonan fungsi f

b. Tentukan selang kecekungan fungsi f

c. Sketsa grafik fungsi f(x).

5.2 Menghitung limit fungsi dengan Aturan L’Hôpital

Bentuk tak tentu dalam limit :

1. Aturan L’Hôpital untuk bentuk

Andaikan lim f(x) = lim g(x) = 0. Jika

Maka

,.0,,

0

0

0

0

atau,,)('

)('lim L

xg

xf

lim( )

( )lim

' ( )

' ( )

f x

g x

f x

g x

20

2cos1lim

x

x

x

limcos

limsin

limcos

x x x

x

x

x

x

x

02

0 0

1 2 2 2

2

4 2

22

Contoh Hitung

Jawab

bentuk (0/0)

Ctt : aturan L’hopital bisa digunakan beberapa kali asalkan

syaratnya dipenuhi

2. Aturan L’Hôpital untuk bentuk

Andaikan lim f(x) = lim g(x) = . Jika atau,,)('

)('lim L

xg

xf

)('

)('lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xfmaka

Contoh Hitung53

1lim

2

2

xx

xx

x

32

12lim

x

x

x

12

2lim

x

(bentuk

53

1lim

2

2

xx

xx

x

32

1lim

2

xx

x

x

)

Jawab

Ctt: walaupun syarat di penuhi, belum tentu limit dapat

dihitung dengan menggunakan dalil L’Hopital

Contoh Hitung32

1lim

2

xx

x

x

)22()32(

1lim

2

12

21

xxxx 1

32lim

2

x

xx

x

1

)22()32(lim

2

12

21

xxx

x 32

1lim

2

xx

x

x

Jawab

)(

Soal seperti diatas tidak bisa diselesaikan dengan

menggunakan aturan L’Hopital, karena setelah

dilakukan aturan L’Hopital muncul lagi bentuk semula

Soal seperti diatas diselesaikan dengan cara sbb

2

322

1

1

)1(lim

xx

x

x x

x

2

32

1

1||

)1(lim

xx

x

x x

x

2

32

1

1

)1(lim

xx

x

x x

x

11

)1(lim

2

32

1

xx

x

x

32

1lim

2

xx

x

x)1(

)1(lim

2

322

1

xx

x

x x

x

3. Bentuk 0 .

Untuk menyelesaikannya rubah kedalam bentuk

atau

Contoh : Hitung

Jawab :

0

0

lim cscx

x x0

2

0cos

2lim

sinlimcsclim

0

2

0

2

0

x

x

x

xxx

xxx

4. Bentuk -

Misalkan lim f(x)=lim g(x) = . Untuk menghitung

lim [ f(x) - g(x) ] dilakukan dengan menyederhanakan

bentuk [ f(x)- g(x) ] sehingga dapat dikerjakan menggunakan

cara yang telah dikenal sebelumnya

Contoh : Hitung

Jawab :

)lim csc cotx

x x

0

)lim csc cot limsin

cos

sinlim

cos

sinlim

sin

cosx x x xx x

x

x

x

x

x

x

x

0 0 0 0

1 10

Soal Latihan

limx

x

x

2 1

2 5

lim cscx

x x0

2

limx

x x x

2

limsin

cosx

x

x 01

)lim cot cosx

x x

0

2 1 2

limx

x x x

2 23 3

Hitung limit berikut ( bila ada )

1.

2.

3.

4.

5.

6.

5.4 Teorema Nilai Rata-rataTeorema 5.8 Misalkan f kontinu pada [a,b] dan

diferensiabel pada (a,b), maka terdapat paling sedikit

satu

atau

5.5 Masalah maksimum minimum lainnyaTurunan dapat juga dipergunakan dalam menyelesaikan masalah

sehari-hari yang berkaitan dengan masalah memaksimumkan/

meminimumkan fungsi. Langkah pertama yang harus dilakukan

adalah memodelkan masalah tersebut menjadi fungsi satu peubah.

Setelah itu gunakan aturan-aturan turunan untuk menentukan

nilai maksimum atau nilai minimum

ab

afbfcfbac

)()()('),(

).)((')()( abcfafbf

Contoh:

1. Tentukan ukuran persegi panjang yang dapat dibuat dari kawat sepanjang 100 cm agar luasnya maksimum

jawabMisal panjang y, lebar x

y

x

Luas= L = x y, karena 2x + 2y = 100 y = 50 - x

Sehingga Luas = L(x) = x(50-x) ,50 2xx 500 xxxL 250)(' x = 25

02)25('' LKarena maka di x = 25 terjadi maks lokal.

Karena L(0) = 0, L(25) = 625, L(50) = 0 agar luas maks haruslah

x = 25 dan y = 25

MA1114 KALKULUS

I

145

2. Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan caramemotong keempat pojoknya berupa bujur sangkar dan melipatnya.Tentukan ukuran kotak agar volume kotak maksimum.

x

x

x

x

45-2x

24-2x

Misal, panjang sisi potongan di pojok

persegi panjang x, sehingga

45-2x

24-2x

x

V(x) = (45-2x) (24-2x) x

,10801384)( 23 xxxxV 120 x

)9023(12)(' 2 xxxV

)5)(18(12 xx

Sehingga diperoleh titik stasioner

x = 18 dan x = 5

MA1114 KALKULUS

I

146

27624)('' xxV

Sehingga

0156)18('' V

0156)5('' V

di x =18 terjadi min lokal

di x = 5 terjadi maks lokal

Untuk menentukan volume maksimum bandingkan nilai

Volume jika x = 5 dan x = 0, x = 12 (batas Df)

V(0) = 0

V(12)= 0

V(5) =2450

Agar volume kotak maksimum maka ukuran kotak :

panjang 35 cm lebar 14 cm tinggi 5 cm

MA1114 KALKULUS I 147

Bisa saja masalah yang dihadapi harus dimodelkan

kedalam bentuk fungsi implisit, seperti contoh berikut

Contoh

Sebuah roket yang diluncurkan vertikal diamati dari menara kontrol

yang berjarak 3 km dari tempat peluncuran. Tentukan kecepatan

vertikal roket pada saat jaraknya dari tempat peluncuran 5 km dan

dan jarak ini bertambah dengan kecepatan 5000 km/jam

Menara

kontrol

3 km

Misal ketinggian roket y dan jarak dari

menara z

yz Diketahui

5000dt

dzSaat z = 5000

MA1114 KALKULUS I 148

Dengan menggunakan dalil pythgoras diperoleh

22 9 zy

Pada saat z = 5 y = 4

Dengan menggunakan turunan fungsi implisit didapatkan

dt

dzz

dt

dyy 22

Jika data y = 4, z = 5, dan 5000dt

dzdisubstitusikan diperoleh

62505000.4

5

dt

dyKecepatan vertikal roket = km/jam

MA1114 KALKULUS

I

149

Soal Latihan

1. Tentukan dua buah bilangan yang selisihya 100 dan hasilkalinya minimum

2. Tentukan ukuran persegi panjang dengan luas 1000 dan

kelilingnya minimum

2cm

3. Tentukan titik pada garis 6x + y = 9 yang terdekat ke titik (-3,1)

4. Tentukan ukuran persegi panjang yang memiliki luas terbesar

dengan alas pada sumbu x serta dua titik sudutnya di atas sumbu x

serta terletak pada parabola 28 xy

5. Tentukan ukuran segitiga samakaki yang memiliki luas terbesar

sehingga dapat diletakkan dalam lingkaran berjari-jari r

MA1114 KALKULUS

I

150

6. Kota A terletak 3 km dari garis pantai yang lurus dan kota B

terletak 4 km dari titik di pantai yang terdekat dari A. Pemerintah

Daerah setempat akan memasang kabel telepon dari kota A

ke kota B. Jika biaya pemasangan kabel dari A ke B untuk setiap

kilometer melewati jalan laut dua kali besarnya dibandingkan biaya

pasang kabel lewat darat. Tentukan letak titik di pantai agar biayapemasangan kabel telepon dari A ke B semurah mungkin.

UTS Semester Pendek 2006/ 2007

Kalkulus I

Hari/ Tanggal: Rabu/ 25 Juli 2007

Waktu: 13 s/d 15

Bahan: sampai dengan Penerapan Turunan

Ruang: B 307

TERIMA KASIH

To be Continue ........

PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIANFAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN

UNIVERSITAS ANDALAS

TURUNAN DAN APLIKASINYA

Dr. DINAH CHERIE, S.TP., M.Si

FADLI IRSYAD, S.TP., M.Si

TERIMA KASIH

To be Continue ........

PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIANFAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN

UNIVERSITAS ANDALAS

DIFERENSIAL DAN APROKSIMASI

Dr. DINAH CHERIE, S.TP., M.Si

FADLI IRSYAD, S.TP., M.Si

TERIMA KASIH

To be Continue ........

PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIANFAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN

UNIVERSITAS ANDALAS

MAKSIMUM DAN MINIMUM

Dr. DINAH CHERIE, S.TP., M.Si

FADLI IRSYAD, S.TP., M.Si

TERIMA KASIH

To be Continue ........

PROGRAM STUDI TEKNIK PERTANIANFAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN

UNIVERSITAS ANDALAS

PERMASALAHAN MAKSIMUM DAN

MINIMUM DARI SUATU FUNGSI

Dr. DINAH CHERIE, S.TP., M.Si

FADLI IRSYAD, S.TP., M.Si

TERIMA KASIH

To be Continue ........

Integral Tak Tentu

Jika diketahui F(x) = x2, maka turunannya adalah F’(x) = 2x = f(x).Bila operasi dibalik yakni diketahui f(x) = 2x dapatkah ditemukanF(x) sebagai anti turunan dari f(x) sedemikian sehingga F’(x) = 2x =f(x)? Jawabannya adalah DAPAT. Caranya adalah sebagai berikut:

F(x) = x2 sebab F’(x) = 2x = f(x) atau

F(x) = x2 + 1 sebab F’(x) = 2x = f(x) atau

F(x) = x2 + 7 sebab F’(x) = 2x = f(x) atau

F(x) = x2 - 10 sebab F’(x) = 2x = f(x) atau

………… dan seterusnya sehingga dapat ditulis

F(x) = x2 + C untuk sembarang konstanta C.

Ini benar sebab F’(x) = 2x = f(x)

Ternyata anti turunan F dari f jawabnya tidak hanya satu. Dapatdikatakan bahwa himpunan anti turunan F dari f(x)=2x adalah F(x)= x2 + C berlaku untuk sembarang konstanta C.

Dapat dimengerti bahwa himpunan anti turunan F dari f

yang dirumuskan oleh f(x) = xn adalah

Sebab turunannya F’(x) = x2 = f(x)

Himpunan anti turunan F dari f ditulis dalam bentuk integral(Leibniz)

1, 1

1)( 1

nCx

nxF n

dxxfxF )()(

Kemunculan C ini disebut konstanta integrasi

Dari definisi , maka f(x) disebut integran

Sedang F(x) adalah hasil integrasi.

Karena hasil penghitungan bertambah dengan konstanta

sembarang C maka disebut integral tak tentu

adalah rumus dasar

integral tak tentu

CxFxFd )()]([

dxxfxF )()(

CxFxf )()(

1, 1

1 1

nCxn

dxx nn

Teori I (Aturan Pangkat)

Jika r adalah sembarang bilangan rasional kecuali -1, maka:

Contoh:

Berapa anti turunan dari f(x) = x4/3

1, C1r

x dxx

1rr

n

Teori II (Aturan Trigonometri)

Cx cossec - x cot seccos

Cx sec x tansec

Cxcot - seccos

Cx tan sec

Cx sin cos

Cx cos- sin

2

2

dxx

dxx

dxx

dxx

dxx

dxx

Teori II (Aturan Trigonometri)

Cx cx cossecln- x cossec

Cx tanx secln x sec

Cx cossecln- Cx sinln x cot

Cx secln Cx cosln- x tan

otdx

dx

dx

dx

Teori III (Integral Tak Tentu - Linier)

Jika f dan g memiliki anti turunan (integral tak tentu) dan andaikank suatu konstanta, maka:

Cdxxgxf

Cdxxgxf

Cdxxkf

g(x)dxf(x)dx )]()([

g(x)dxf(x)dx )]()([

f(x)dxk )(

Contoh:

Tentukan besarnya nilai integral berikut!

)dx 4x3x .1 2

)duuu 123 .2 2/3

dttt

2

1 .3

Teori IV (Aturan Pangkat yang digeneralisir)

Andaikan g suatu fungsi terdiferensiasikan dan r suatu bilanganrasional yang bukan -1, maka:

Cr

xgxg

rr

1

g(x)dx )(')(

1

Contoh:

Selesaikan integral berikut!

) )dx 34x3xx .1 330

4

dxxx cossin .2 10

) )dx 216x6xx .3 253

dxxx 2

22

32

.4

) dxxx 2 4 .510

2

Selesaikan integral berikut!

)dx xx .1 2

) dxx 1 .22

)dz

z

z

1 .3

22

) d cossin .4

dy 52y

3y .5

2

Latihan

Selesaikan integral berikut!

dxxx sin2 .1

) dxxx cos1 .2 2

)dt

t

t

4 .3

3

dx 4-2x .4 3

dx 82x

18x .5

3

2

Latihan

Integral Tentu

Anggaplah f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup[a, b]. Jika:

Ada, maka f adalah terintegrasikan pada [a, b]

Lebih lanjut disebut integral tentu

(atau integral Riemann) f dari a ke b, diberikan oleh

i

n

iP

xixf

)(lim

10

b

a

dxxf )(

b

a

dxxf )( i

n

iP

xixf

)(lim

10

Selesaikan integral berikut!

Berdasarkan definisi

0)( a

a

dxxf

a

b

b

a

badxxfdxxf ,)()(

0

2

2

3 dxx

6

2

3

2

6

3 dxxdxx

Anggaplah f kontinu pada selang tertutup [a, b] dananggaplah x sebagai sebuah titik (peubah) pada (a, b).Maka:

Teorema 1

)()( xfdttfdx

dx

a

Jika f dan g terintegrasikan pada [a, b] dan jika f(x)≤g (x)untuk semua x dalam [a, b], maka:

Teorema 2 (Sifat Perbandingan)

b

b

b

a

dxxgdxxf )()(

Jika f terintegrasikan pada selang [a, b] dan m≤ f(x) ≤M untuk semua x dalam [a, b], maka:

Teorema 3 (Sifat Keterbatasan)

b

a

abMdxxfabm )()()(

Andaikan bahwa f dan g terintegrasikan pada [a, b] danbahwa k konstanta. Maka kf dan f+g terintegrasikan dan

Teorema 4 (Kelinieran Integral Tentu)

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf

dxxgdxxfdxxgxf

dxxfkdxxkf

)()()()(

)()()()(

)()(

Contoh soal

2

0

)1( dxx

2

0

2 )1( dxx

1

2

2 )23( dxx

5

0

2 )1( dxxx

)

2

1

24 13 dxxx

2

2

2 )1)(1( dxxx x

tdt0

sin3

dxxx )cos(sin

2/

0

223 )cos()(sin

dxxxx

Selesaikan integral berikut!

dxx

4

x .1

5

5-

2

5

dxx

x

cos .2

/4

/9

2

2

dx sinxx cos .3

/2

0

2

)dt

2t

1 .4

3

1-

2

)dx xx .5

8

1

4/31/3

Latihan