INTEGRASI NUMERIK

INTEGRASI NUMERIK

Di dalam kalkulus, terdapat dua hal penting yaitu integral dan turunan(derivative)Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik.

INTEGRASI NUMERIKFungsi yang dapat dihitung integralnya :

Fungsi yang rumit misal :

Cxxxdxx

Cxdxx

Cbaadxbax

Cbaadxbax

Caedxe

Cnaxdxax

axax

nn

+−=

+=

++=+

++−=+

+=

++

=

∫∫

∫∫

∫

∫+

||ln||ln

||ln1

)sin(1)cos(

)cos(1)sin(

1

1

dxexx x5.0

2

0

23

sin5.01)1cos(2

∫ +++

INTEGRASI NUMERIK

Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan. digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x. Penerapan integral : menghitung luas dan volume-volume benda putar

Dasar Pengintegralan NumerikDasar Pengintegralan NumerikPenjumlahan berbobot dari nilai fungsi

)(...)()(

)()(

1100

0

nn

i

n

ii

b

a

xfcxfcxfc

xfcdxxf

+++=

≈∑∫=

x0 x1 xnxn-1

f(x)

x

Dasar Pengintegralan NumerikDasar Pengintegralan NumerikMelakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti saat awal belajar integral – penjumlahan bagian-bagian.

Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih mendekati jawaban eksak.

0

2

4

6

8

10

12

3 5 7 9 11 13 15

Dasar Pengintegralan NumerikDasar Pengintegralan Numerik

Formula Newton-Cotes

- Berdasarkan pada

dxxfdxxfIb

a n

b

a ∫∫ ≅= )()(

Nilai hampiran f(x) dengan polinomial

nn

1n1n10n xaxaxaaxf ++++= −

−Λ)(

fn (x) bisa fungsi linearfn (x) bisa fungsi kuadrat

fn (x) bisa juga fungsi kubik ataupolinomial yang lebih tinggi

Polinomial dapat didasarkan pada data

INTEGRASI NUMERIK

Luas daerah yang diarsir L dapatdihitung dengan :L =

( )∫b

adxxf

Metode Integral Reimann

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35

Metode Integral Reimann

Luasan yang dibatasi y = f(x) dansumbu x Luasan dibagi menjadi N bagian padarange x = [a,b]Kemudian dihitung Li : luas setiappersegi panjang dimana Li=f(xi). ix∆

Metode Integral Reimann

Luas keseluruhan adalah jumlah Li dandituliskan :

DimanaDidapat

( ) ( ) ( ) ( )

( ) i

n

ii

n

n

xxf

xxfxxfxxfxxfLLLLL

∆=

∆++∆+∆+∆=++++=

∑=0

3221100

210

.....

( ) ( )∑∫=

=n

ii

b

axfhdxxf

0

hxxxx n =∆==∆=∆=∆ ...210

∫1

0

2 dxxL =Contoh

Hitung luas yang dibatasi y = x2 dan sumbu x untuk range x = [0,1]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x**2

ContohDengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :

Secara kalkulus :

Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333= 0,052

( )( )( ) 385,085,31.0

00.181.064.049.036.025.016.009.004.001.001.0

)(.10

0

==++++++++++=

= ∑=i

ixfhL

.....3333,0|31 1

03

1

0

2 === ∫ xdxxL

Algoritma Metode Integral Reimann:

Definisikan fungsi f(x)Tentukan batas bawah dan batas ata integrasiTentukan jumlah pembagi area NHitung h=(b-a)/NHitung

∑=

=N

iixfhL

0)(.

Metode Integrasi TrapezoidaAproksimasi garis lurus (linier)

[ ])()(

)()()()(

10

1100i

1

0ii

b

a

xfxf2h

xfcxfcxfcdxxf

+=

+=≈ ∑∫=

x0 x1

f(x)

L(x)

x

AturanAturan KomposisiKomposisiTrapesiumTrapesium

[ ] [ ] [ ]

[ ])()()()()(

)()()()()()(

)()()()(

n1ni10

n1n2110

x

x

x

x

x

x

b

a

xfxf2x2fxf2xf2h

xfxf2hxfxf

2hxfxf

2h

dxxfdxxfdxxfdxxf n

1n

2

1

1

0

++++++=

++++++=

+++=

−

−

∫∫∫∫−

ΛΛ

Λ

ΛΛ

x0 x1

f(x)

xx2h h x3h h x4

nabh −

=

Metode IntegrasiTrapezoida

( ) ( )( )

( ) iiii

iiii

xffL

atau

xxfxfL

∆+=

∆+=

+

+

.21

.21

1

1

∑−

==

1

0

η

iiLL

( ) ( )nn

n

iii fffffhffhL +++++=+= −

−

=+∑ 1210

1

01 2...22

221

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= ∑

−

=n

n

ii fffhL

1

10 2

2

Algoritma Metode Integrasi Trapezoida

Definisikan y=f(x)Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b)Tentukan jumlah pembagi nHitung h=(b-a)/nHitung

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= ∑

−

=n

n

ii fffhL

1

10 2

2

AturanAturan Simpson 1/3Simpson 1/3

Aproksimasi dengan fungsi parabola

[ ])()()(

)()()()()(

210

221100i

2

0ii

b

a

xfxf4xf3h

xfcxfcxfcxfcdxxf

++=

++=≈ ∑∫=

x0 x1

f(x)

xx2h h

L(x)

AturanAturan Simpson 1/3Simpson 1/3

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⇒=

=⇒=

−=⇒=

=−

=−

=

+===

−−−−

+

−−−−

+−−−−

=

1 xx0 xx

1 xxh

dxd h

xx 2

abh

2ba x bx ax let

xfxxxx

xxxx

xfxxxx

xxxx xfxxxx

xxxxxL

2

1

0

1

120

21202

10

12101

200

2010

21

ξξξ

ξξ ,,

,,

)())((

))((

)())((

))(()())((

))(()(

)()()()()()()( 212

0 xf2

1xf1xf2

1L ++−+

−=

ξξξξξξ

AturanAturan Simpson 1/3Simpson 1/3

)()()()()()()( 212

0 xf2

1xf1xf2

1L ++−+

−=

ξξξξξξ

1

1

23

2

1

1

3

1

1

1

23

0

1

12

1

0

21

1

10

1

1

)23

(2

)(

)3

()()23

(2

)(

)1(2

)()1)(

)1(2

)()()(

−

−−

−

−−

++

−+−=

++−+

−=≈

∫∫

∫∫∫

ξξhxf

ξξhxfξξhxf

dξξξhxfdξξ(hxf

dξξξhxfdξLhdxxfb

aξ

[ ])()()()( 210

b

axfxf4xf

3hdxxf ++=∫

AturanAturan KomposisiKomposisiSimpsonSimpson

x0 x2

f(x)

x4h h xn-2h xn

nabh −

=

…...

hx3x1 xn-1x

Metode Integrasi SimpsonDengan menggunakan aturan simpson, luasdari daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dansumbu X dapat dihitung sebagai berikut:

atau dapat dituliskan dengan:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnn ffhffhffhffhffhffhL ++++++++++++= −−− 11243322110 23

23

...23

23

23

23

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++= ∑∑ n

genapii

ganjilii ffffhL

0 24

3

N = 0 – n

L = L1 + L3 + L5 + . . . + Ln

Cara II (Buku Rinaldi Munir)

Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2 yang melalui ketiga titik tsb

02

20002

2002 !2)()(

!2)()()( f

hhxxf

hxfxf

hhxxxf

hxxfxp ∆

−++=∆

−+∆+=

Cara II (Buku Rinaldi Munir)

Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h]

02

00

02

00

02

2

2

3

0

2

0

200

22

2

2

3

0

2

0

2

00

2200

2

02

2

0

322

3422

44

68

242

|462

!2)(

)(

fhfhxhfL

fhhfhxhfL

fhh

hhf

hhxhfL

fhx

hxf

hxxfL

dxfhhxxf

hxfL

xdxpdxxfL

hxx

h

hh

∆+∆+=

∆⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+∆+=

∆⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+∆+=

∆⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+∆+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

−+∆+=

==

==

∫

∫∫

Cara II (Buku Rinaldi Munir)

Mengingat

Maka selanjutnya

010 fff −=∆

)4(3

334

3

332

3222

)2(3

)(22

210

210

012010

012010

fffhL

fhfhfhL

fhfhfhhfhfxhfL

fffhffhxhfL

++=

++=

+−+−+=

+−+−+=

01201120102 2)()( ffffffffff +−=−−−=∆−∆=∆

AturanAturan Simpson 3/8Simpson 3/8Aproksimasi dengan fungsi kubik

[ ])()()()(

)()()()()()(

3210

33221100i

3

0ii

b

a

xfxf3xf3xf8h3

xfcxfcxfcxfcxfcdxxf

+++=

+++=≈ ∑∫=

x0 x1

f(x)

xx2h h

L(x)

x3h

AturanAturan Simpson 3/8Simpson 3/8

)())()((

))()(()())()((

))()((

)())()((

))()(()())()((

))()(()(

3231303

2102

321202

310

1312101

3200

302010

321

xfxxxxxx

xxxxxxxfxxxxxx

xxxxxx

xfxxxxxx

xxxxxxxfxxxxxx

xxxxxxxL

−−−−−−

+−−−

−−−+

−−−−−−

+−−−

−−−=

[ ])()()()( 3210

b

a

b

a

xfxf3xf3xf8h3

3abh ;L(x)dxf(x)dx

+++=

−=≈ ∫∫

Error Pemenggalan

3abh ;f

6480abfh

803E 4

545

t−

=−

−=−= )()()( )()( ξξ

Metode Integrasi Gauss

Metode Newton Code (Trapezoida, Simpson) berdasarkan titik2 data diskrit. Dengan batasan :

H samaLuas dihitung dari a sampai b

Mengakibatkan error yang dihasilkancukup besar.

Metode Integrasi GaussMisal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang[-1,1]

Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss)

Misal x1=-1, x2=1 dan c1=c2=1 menjadi m. trapezoidaKarena x1, x2,,c1 dan c2 sembarang maka kita harus memilih nilaitersebut sehingga error integrasinya min

( )

2

)1()1()1()1(2

)(1

1

=

−+≈−+≈= ∫−

h

ffffhdxxfI

)()()( 2211

1

1

xfcxfcdxxfI +≈= ∫−

Metode Integrasi GaussBagaimana mencari x1, x2,,c1 dan c2 Persamaan dibawah inidianggap memenuhi secara tepat bila empat polinom berikutdijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1]f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3

)()()( 2211

1

1

xfcxfcdxxfI +≈= ∫−

0

32

0

21

1

1

3322

311

1

1

2222

211

1

12211

1

121

==+

==+

==+

==+

∫

∫

∫

∫

−

−

−

−

dxxxcxc

dxxxcxc

dxxxcxc

dxcc

Didapat

31

31

1

21

21

−==

==

xx

cc

Metode Integrasi Gauss

Persamaan dibawah ini dinamakanmetode Gauss Legendre 2 titik

)31()

31()(

1

1

−+=∫

−

ffdxxf

Transformasi

Range [a,b] [-1,1] X u f(x) g(u) dx du

∫=b

ai dxxfL )( ∫

−

=1

1)( duugLi

Transformasi

duabdx

uabbax

aububax

aabuxabuax

uabax

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

−++=

−++=

+++=++=−

+=

−−

2

2)()(

2

2))(1(2))(1(22

21

a x b

-1 u 1

Transformasi

duuabbafabduug ∫∫−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++

−=1

1

1

1 2)()()(

21)(

∫−

=1

1

)( duugLi

( ))()()(21)( 2

121 abuabfabug ++−−=

AnalisaDibandingkan dengan metode Newton-Cotes (Trapezoida, Simpson 1/3, 3/8) metode Gauss-Legendre 2 titik lebih sederhana dan efisiendalam operasi aritmatika, karena hanyamembutuhkan dua buah evaluasi fungsi. Lebih teliti dibandingkan dengan metode Newton-Cotes.Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebihdahulu menjadi

∫−

1

1

)( duug

Algoritma Integrasi KuadraturGauss dengan Pendekatan 2 titik

Definisikan fungsi f(x)Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b)Hitung nilai konversi variabel :

Tentukan fungsi g(u) dengan:

Hitung

( ) )(21

21 abuabx ++−=

( ))()()(21)( 2

121 abuabfabug ++−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

31

31 ggL

Contoh Soal

Metode Gauss Legendre 3 Titik

Parameter x1, x2 , x3 ,c1 ,c2 dan c3 dapat dicari denganmembuat penalaran bahwa kuadratur Gauss bernilaitepat untuk 6 buah fungsi berikut :

Dengan cara yang sama didapat

)()()()( 332211

1

1

xfcxfcxfcdxxfI ++≈= ∫−

543

2

)(;)(;)()(;)(;1)(

xxfxxfxxfxxfxxfxf===

===

95;

98;

95

321 === ccc

53;0;53 321 ==−= xxx

Metode Gauss Legendre 3 Titik

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=∫

− 53

950

98

53

95)(

1

1

gggduug

Algoritma Metode Integrasi Gauss Dengan Pendekatan 3 Titik

Metode Gauss n-Titik

Beberapa Penerapan IntegrasiNumerik

Menghitung Luas DaerahBerdasarkan GambarMenghitung Luas dan Volume Benda Putar

Menghitung Luas DaerahBerdasarkan Gambar

Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandaiatau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnyaadalah 100.000 mm atau 100 m.Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam halini n=22). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:

Skala 1:100000

0 105

6

3

15

9

Menghitung Luas DaerahBerdasarkan Gambar

Dari tabel di atas, luas area dapat dihitungdengan menggunakan 3 macam metode:Dengan menggunakan metode integrasi Reimann

Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida

Dengan menggunakan metode integrasi Simpson

5.7316

0== ∑

=iiyhL

5.7322

15

1160 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= ∑

=iiyyyhL

74243 160 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++= ∑∑

== genapii

ganjilii yyyyhL

Menghitung Luas dan Volume Benda Putar

Luas benda putar:

Volume benda putar:

∫=b

ap dxxfL )(2π

[ ]∫=b

ap dxxfV 2)(π

Contoh :

Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4 bagian

bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perludihitung dengan membagi-bagi kembali ruangnya, bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali.

Bagian I:

Bagian II:

4 cm

6cm

7 cm

12 cm

7 cm

5 cm

I II III IV

satuan dalam cm

ππ 56)7)(4(2 ==IL

ππ 196)7)(4( 2 ==IV

( ) ππ 288)12(122 ==IIL

( )( ) ππ 345612122 2 ==IIV

Contoh :Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan pembagianarea , misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:

Pada bagian II dan IV: danDengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh:

ππ 10822

2)(4

150 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++= ∑

=iiIVII yyyhLL

( ) ππ 5.118722

4

1

225

20 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++== ∑

=iiIVII yyyhVV

IVII LL = IVII VV =

Contoh :Luas permukaan dari botol adalah:

Luas = 1758.4 cm2Volume botol adalah:

Volume = 18924.78 cm3

4.1758560

10828810856

==

+++=+++=

πππππ

IVIIIIII LLLLL

πππππ

60245.118734565.1187196

=+++=

+++= IVIIIIII VVVVV