Post on 24-Feb-2018
INTEGRAL TAK TENTU
(pecahan rasional)
Agustina Pradjaningsih, M.Si.
Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
agustina.fmipa@unej.ac.id
DEFINISI 1
Fungsi suku banyak derajad n dengan n
bulat non negatif
0 dimana
,)( 2
210
n
n
nn
a
xaxaxaaxP
Fungsi konstan dipandang sbg fungsi
suku banyak derajad nol yaitu
00 )( axP
Fungsi pecahan rasional adalah
fungsi dengan bentuk
dengan N dan D fungsi suku banyak.)(
)(
xD
xN
DEFINISI 2
Dalam bagian ini akan dibahas mencari
integral tak tentu dari fungsi pecahan
rasional yaitu
)(
)(
xD
xN
BENTUK N(x) DAN D(x)
1. N(x)=D’(x)
2. Derajad N(x) tidak kurangdari derajad D(x)
3. Derajad N(x) kurang dariderajad D(x)
1. N(x)=D’(x)
Dari rumus integrasi dasar telah
diketahui bahwa
Cln xx
dx
Sehingga jika N(x) = D’(x) maka
C)(ln)(
)('
)(
)( xDdx
xD
xDdx
xD
xN
Ctansecln
sectan
secsectansec
sectansec&tansec
dasar integrasi rumus dari
sectan
sec)sec(tansec
2
2
xx
dxxx
xxxdxx
Cxx dxxCxxdx
dxxx
xxxdxx
Contoh 1
dxxsec Cari
Jika derajad N(x)≥derajad D(x), lebih
dahulu dilakukan pembagian N(x) oleh
D(x), sehingga
dengan
Q(x) & R(x) suku banyak dalam x, dan
derajad R(x)<derajad D(x).
)(
)()(
)(
)(
xD
xRxQ
xD
xN
2. Derajad N(x) tidak kurang dari derajad D(x)
Integrasi Q(x) sudah dapat
dikerjakan.
Integrasi merupakan
integral fungsi pecahan rasional
dengan derajat suku banyak
pembilang kurang dari derajat
suku banyak penyebut.
)(
)(
xD
xR
C O N T O H
dx
x
x
1 Cari
2
3
C1ln2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
111
11
2
2
222
3
22
3
xx
dxx
xx
dxx
xdxxdx
x
xxdx
x
x
x
xx
x
x
Contoh 2
Tanpa mengurangi keumumannya,
diambil koefisien suku pangkat
tertinggi dari x di dalam D(x) adalah
satu, kecuali dlm keadaan khusus
integral dapat disederhanakan dengan
menggunakan subtitusi.
3. Derajad N(x) kurang dari derajad D(x)
Pada bentuk derajat N(x) kurang dari
derajat D(x) maka integrand dipisah
lebih dahulu menjadi pecahan-pecahan
parsialnya.
C3ln152ln101ln
)3(15
)2(10
)1(64
66
sehingga
)3(
15
)2(
10
)1(
1
)3)(2)(1(
66
64
66
23
2
2
23
2
xxx
x
dx
x
dx
x
dxdx
xxx
x
xxx
xxx
x
xxx
x
Contoh 3
dx
xxx
x
64
66Cari
23
2
a. Semua akar real dan berlainan
b. Semua akar real dan ada yang sama
c. Punya akar tidak real yang berlainan
d. Punya akar tidak real yang sama
Dalam memisahkan atas pecahan-
pecahan parsialnya, dibedakan 4
keadaan akar-akar persamaan D(x)=0 :
)(
)(
xD
xN
Misalkan D(x)=0 punya akar a,b,c,d yang
real dan berlainan, maka
D(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)
a. Semua akar real dan berlainan
untuk setiap nilai x yang diberikan maka
nilai ruas kiri sama dengan nilai ruas
kanan, sedang A,B,C dan D konstanta yang
akan dicari.
Karena koefisien pangkat tertingginya satu
dan derajat N(x) tidak melebihi tiga maka
d
D
c
C
b
B
a
A
)(
)(
xxxxxD
xN
)2)(1)(1(D)3)(1)(1(C
)3)(2)(1(B)3)(2)(1(A5
)3(
D
)2(
C
)1(
B
)1(
A
)3)(2)(1)(1(
5
xxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxxx
x
Contoh 4
Cari integral berikut
dxxxxx
x
)3)(2)(1)(1(
5
2D]-3C-6BB-A6[D]-C-BA11[
2D]3C4BA6[D]CBA[5 23
x
xxx
Ada empat persamaan :
52D-3C-6BB-A6 (4)
1D-C-BA11 (3)
02D3C4BA6 (2)
0DCBA )1(
Diperoleh,
4
1D,1C,1B,
4
1A
)3(4
1
2
1
1
1
)1(4
1
)3)(2)(1)(1(
5
xxxxxxxx
x
C3ln4
12ln1ln1ln
4
1
3
1
4
1
2
1
1
1
1
1
4
1
)3)(2)(1)(1(
5
xxxx
dxx
dxx
dxx
dxx
dxxxxx
x
Calna
x
x
dx
Dalam keadaan ini hanya dijumpai
satu macam integral yaitu
322 )d(
G
)d(
F
d
E
)c(
D
c
C
b
B
a
A
)(
)(
xxxxxxxxD
xN
Misalkan D(x)=0 punya akar tunggal x1=a
dan x2=b, akar kembar x3=x4=c dan akar
berlipat tiga x5=x6=x7=d, maka
D(x)=(x-a)(x-b)(x-c)2(x-d)3
dan derajat N(x) tidak melebihi enam
b. Semua akar real dan ada yang sama
dimana A,B,C,D,E,F dan G konstanta yang
dicari.
k3
3
2
21
p)(
p
p)(
p
p)(
p
p
p
xxxx
k
Jika p akar berlipat k dari D(x)=0 maka
di ruas kanan dalam identitas ditulis k
pecahan berturut-turut dengan penyebut
(x-p),(x-p)2,(x-p)3,…,(x-p)k.
Jadi pecahan yg sesuai dengan akar p
yang berlipat k ini adalah
32
232
)1(
F
)1(
E
)1(
D
)1(
C
1
B
2
A
)1()1)(2(
xxx
xxxxxx
x
Contoh 5
Cari integral berikut
32 )1()1)(2( xxx
x
22
223
332
)1)(2(F)1()1)(2(E
)1()1)(2(D)1)(2(C
)1)(1)(2(B)1()1(A
xxxxx
xxxxx
xxxxxx
Dari enam persamaan tersebut diperoleh
12
1F,
36
1E,
432
5D,
8
1C,
16
1B,
27
2A
32
232
)1(12
1
)1(36
1
)1(432
5-
)1(8
1
)1(16
1
)2(27
2
)1()1)(2(
xxx
xxxxxx
x
C)1(12
1
)1(36
11ln
432
5
)1(8
11ln
16
12ln
27
2
)1(
1
12
1
)1(
1
36
1
)1(
1
432
5
)1(
1
8
1
)1(
1
16
1
)2(
1
27
2
)1()1)(2(
32
2
32
xxx
xxx
dxx
dxx
dxx
dxx
dxx
dxx
xxx
x
Dalam keadaan ini dijumpai dua
macam integral yaitu
2,3,...)(n C,a))(1(
1
)a(.2
Calna
.1
1-n
xnx
dx
xx
dx
n
T
E
O
R
E
M
A
c. Punya akar tidak real yang berlainan
Akar-akar tidak real pada
persamaan derajad tinggi dengan
koefisien real sepasang-sepasang
bersekawan, artinya jika a+bi (a, b
real) suatu akar maka a-bi juga
akar persamaan itu.
Dari teorema tersebut diketahui
bahwa a+bi dan a-bi akar dari
D(x)=0, sehingga
[x-(a+bi)][x-(a-bi)]
faktor dari D(x).
Hasil kali ini sama dengan (x-a)2+b2,
yang merupakan bentuk kuadrat
dalam x yang definit positip.
Misalkan
Jadi
x1 = p, x2 = x3 = q,
x4 = a+bi, x5 = a-bi,
x6 = c+di, x7 = c-di
akar-akar persamaan tersebut.
}d)c}{(b)a){(q)(p()( 2222 xxxxxD
Karena derajat N(x) kurang dari
derajad D(x) maka pemisahan
atas pecahan-pecahan parsial adalah
Dimana konstanta A,B,C,D,E,F dan G
konstanta yang dicari.
)(
)(
xD
xN
22222 d)c(
GF
b)a(
ED
q)(
C
q
B
p
A
)(
)(
x
x
x
x
xxxxD
xN
1
1
3
1
)1(3
1
1
3
1C,
3
1B,
3
1A
)CA()CBA()BA(
)1(C)B()1(A
1
CB
1
A
)1)(1(1
23
2
2
223
xx
x
xx
x
xx
xxxxx
xx
x
xxxx
x
x
x
Contoh 6
dx
x
x
1 cari
3
C3
12arctan
3
31ln
6
11ln
3
1
1
arctan1
2
11ln
6
11ln
3
1
)(2
31ln
2
1
3
11ln
3
1
12
3
1
12
2
1
3
11ln
3
1
1
3-12
2
1
3
11ln
3
1
1
1
3
1
)1(
1
3
1
1
2
3
43
21
43
2
432
21
2
22
2
23
xxxxdx
x
x
xxxx
x
dxxxx
xx
dxdx
xx
xx
dxxx
xx
dxxx
xdx
xdx
x
x
Dalam keadaan ini dijumpai dua
macam integral yaitu
Cb
aarctan
b
BaA
b)a(ln2
A
b)a(
BA.2
Calna
.1
22
22
x
xdxx
x
xx
dx
Analogi dengan bentuk c, jika a+bi
merupakan akar berlipat k dari
persamaan D(x)=0, maka a-bi, dan
faktor-faktor dari D(x) yang sesuai
dengan akar-akar ini adalah
[(x-a)2+b2]]k
d. Punya akar tidak real yang sama
Misalkan
322222 }d)c}{(b)a{()q)(p()( xxxxxD
akar-akar persamaan tersebut :
1. x1 = p, x2 = x3 = q,
2. Akar tunggal kompleks
a+bi & a-bi
3. Akar kompleks berlipat tiga
c+di, dan c-di
Karena derajat N(x) kurang dari
derajad D(x) maka pemisahan
atas pecahan-pecahan parsial adalah
dimana konstanta A,B,C,D,E,F,G,H,
I,J dan K konstanta yang dicari.
)(
)(
xD
xN
32222222222d)c(
KJ
d)c(
IH
d)c(
GF
b)a(
ED
q)(
C
q
B
p
A
)(
)(
x
x
x
x
x
x
x
x
xxxxD
xN
k
k
x
x
x
x
x
x
22
k
222
22
22
11
d)c(
BA
d)c(
BA
d)c(
BA
tiga suku terakhir yang sesuai dengan
faktor 322 ]d)c[( x
]d)c[( 22 x
kx ]d)c[( 22 Jika D(x) mempunyai faktor
maka pecahan yang sesuai dengan faktor
ini terdiri atas k suku pecahan berturut-
turut dengan penyebut
dari pangkat satu sd k dan pembilang
suatu bentuk linear dalam x.
0E,1D,1C,1B,1A
diperoleh
2E)-2C-A(E)2D-2B-(C
)D2CB2A()B2C(B)A(
)2(E)D()1)(2(C)B()1(A
1523
)1(
ED
1
CB
2
A
)1)(2(
1523
234
222
23
22222
23
x
xxx
xxxxxx
xxx
x
x
x
x
xxx
xxx
Contoh 7
dx
xx
xx22
23
)1)(2(
1523 cari
C)1(2
1arctan1ln
2
12ln
C)1(2
1
11
2
2
12ln
C)1(2
1
1
22
2
12ln
)1(1
1
2
1
)1)(2(
1523
2
2
222
22
222
22
23
xxxx
xx
dxdx
x
xx
xdx
x
xx
dxx
xdx
x
xdx
x
dxxx
xx
Dalam keadaan ini dijumpai tiga
macam integral yaitu
,...3,2untuk
b)a(
BA 3.
Cb
aarctan
b
BaA
b)a(ln2
A
b)a(
BA.2
Calna
.1
22
22
22
ndxx
x
x
xdxx
x
xx
dx
n
,...3,2untuk
b)a(
BA
Cb
aarctan
b
BaAb)a(ln
2
A
b)a(
BA
2,3,...)(n C,a))(1(
1
)a(
Calna
22
22
22
1-n
ndxx
x
xxdx
x
x
xnx
dx
xx
dx
n
n
Pada penyelesaian bentuk terdapat t
empat macam integral :
)(
)(
xD
xN
integral keempat dapat diselesaikan jika dapat
menyelesaikan
nt
dt
21
integral keempat dng subtitusi y = x-a.
integral kedua dari ruas terakhir diubah menjadi
Dengan
nn
b
ynt
dtdydy
y 21-2n22n22 1b
BaA
)(1b
BaA
b
BaA
b
yt
dy
yy
yddy
y
ydx
x
xnnnn 2222
22
2222 b
BaA
b
)b(
2
A
b
BaAA
b)a(
BA
121212
12122
122
2
1-n2
12
2
2
122
22
2
)1(
1
2n2
1
)1(2n2
1
)1(
)1(
1
2n2
1
)1()1(
)1(
1
2n2
1
)1(
-
2)1(
)1(1
)1(
1
)1()1()1(
1
)1(
nnn
nnn
nn
nn
nnnn
td
t
t
t
dt
ttd
t
dt
t
dt
td
t
dtt
dttt
ntd
td
dtt
t
t
dtdt
t
tt
t
dt
RUMUS REDUKSI
Diperoleh rumus reduksi yaitu
untuk n = 2, 3,…
Ruas kanan dari integral terakhir diperoleh
dari rumus reduksi sebelumnya.
222232
22222
)1(4
3
)1(4)1(
Carctan2
1
)1(212
1
)1(2)1(
t
dt
t
t
t
dt
tt
t
t
dt
t
t
t
dt
12122 )1(2n2
3n2
)1)(2n2()1( nnn t
dt
t
t
t
dt
dx
xxx
xxxx22
234
)32)(1(
812114 Hitung
-1E 1, D 0,C 0,B1,A
E3C9A )ED5C3B12A(
)D3C5B10A()C3B4A()BA(
)1E)(D()32)(1C)(B()32(A
812114
positipdefinit 2)1(32
)32(
ED
32
CB
1
A
)32)(1(
812114
234
222
234
22
22222
234
x
xxx
xxxxxxxx
xxxx
xxx
xx
x
xx
x
xxxx
xxxx
Contoh 7
22
2
12
22
2
12
222
2222
22
2222
234
})(1{2
1
)32(2
11ln
})(1{2
1
)32(2
11ln
})1(2{2
)32(2
11ln
)32(2
)32(
22
2
11ln
)32(
422
2
11ln
)32(
1
1)32)(1(
812114
x
x
dx
xxx
dx
xxx
x
dx
xxx
xx
dxdx
xx
xx
dxxx
xx
dxxx
x
x
dxdx
xxx
xxxx
C2
1arctan
4
2
)32(2
21ln
C2
1arctan
4
2
))(1(4
2
)32(2
11ln
Carctan4
2
)1(4
2
)32(2
11ln
)1(2
1
)1(22
2
)32(2
11ln
)1(2
2
)32(2
11ln
2
1 misal,
})(1{2
1
)32(2
11ln
2
2
2
1
2
1
2
22
222
222
22
2
12
x
xx
xx
x
xxx
tt
t
xxx
t
dt
t
t
xxx
t
dt
xxx
xt
dx
xxx
x
x
x