Post on 21-Nov-2015
description
Integral Lipat dan Kalkulus Vektor/ Multiple Integral and
Vector Calculus Oleh :
Mohammad Iqbal, S.Si., M.Si.
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA
2014
OUTLINE Integral Lipat Dua
Integral Permukaan
Integral Lipat Tiga
Integral Lipat di Koordinat Tabung dan Bola
Transformasi Variabel
Teorema Green, Divergence, Stokes
OUTLINE Integral Lipat Dua
Integral Permukaan
Integral Lipat Tiga
Integral Lipat di Koordinat Tabung dan Bola
Transformasi Variabel
Teorema Green, Divergence, Stokes
Integral Lipat Dua Sepanjang persegi/ Double Integral over Rectangles
Diberikan fungsi = (, ) dimana variabel x dan y dibatasi persegi dengan = , , = , 2| , Misalkan daerah dibawah fungsi f dan diatas R adalah
= (,, ) 3|0 , , (,) kemudian akan dicari volume S
Integral Lipat Dua Sepanjang persegi/ Double Integral over Rectangles
Dengan membuat partisi menjadi m buah partisi pada interval , dengan =
pada subinterval
1, dan n buah partisi pada interval , dengan =
pada
subinterval 1, sehingga subdaerah persegi menjadi
= 1, 1, = , 2|1 ,1 Dengan mengambil titik sampel , pada setiap dan =
Integral Lipat Dua Sepanjang persegi/ Double Integral over Rectangles
Untuk volume
= = ,
Dengan volume total S adalah
= , =1
=1
Integral Lipat Dua Sepanjang persegi/ Double Integral over Rectangles
Kemudian didekati pada saat m,n sangat besar untuk mendapatkan hasil pendekatan yang lebih baik yaitu
= lim, ,
=1
=1
Sehingga diperoleh definisi integral lipat dua
Definisi : Integral Lipat Dua dari f sepanjang R adalah
, =
lim, ,
=1
=1
Jika limitnya ada
Integral Lipat Dua Sepanjang persegi/ Double Integral over Rectangles
Beberapa sifat yang ada pada integral lipat dua yaitu : , , = , , , = , Jika (,) (,) maka , ,
=
, = , =
Integral Lipat Dua Sepanjang persegi/ Double Integral over Rectangles
Hitung integral dengan = 1,2 [0,]
Penyelesaian : Solusi 1 : pertama terhadap x
= () 120
2
1
0
= 2 + 0
= 12 sin 2 + sin () 0 = 0
E X A M P L E
Integral Lipat Dua Sepanjang persegi/ Double Integral over Rectangles
syms x y; f=y*sin(x*y); F=int (f,x); F1=int (f,x,1,2); Ff=int (F1,y); Ff1=int (F1,y,0,pi); disp('fungsi integran adalah :') disp(f) disp('hasil integral tak tentu terhadap x:') disp(F) disp('hasil integral tentu terhadap x:') disp(F1) disp('hasil integral tak tentu terhadap y:') disp(Ff) disp('hasil integral tentu terhadap y:') disp(Ff1)
M A T L A B
Integral Lipat Dua Sepanjang persegi/ Double Integral over Rectangles
Penyelesaian : Solusi 2 : pertama terhadap y
0
2
1
Dengan integral parsial subtitusi : = =
= sin = 1
cos () Sehingga
cos ()
0
cos ()
0
2
1
E X A M P L E
Integral Lipat Dua Sepanjang persegi/ Double Integral over Rectangles
=
cos () + ()2
0
2
1
=
cos () + ()2
2
1
Dengan integral parsial subtitusi
= 1
= 12
= cos = sin () = sin ()2
1
2
()2
+ ()2
2
1
2
1
= sin 24 + sin = 0
E X A M P L E
Integral Lipat Dua Sepanjang persegi/ Double Integral over Rectangles
clear all; clc; syms x y; f=y*sin(x*y); F=int (f,y); F1=int (f,y,0,pi); Ff=int (F1,x); Ff1=int (F1,x,1,2); disp('fungsi integran adalah :') disp(f) disp('hasil integral tak tentu terhadap y:') disp(F) disp('hasil integral tentu terhadap y:') disp(F1) disp('hasil integral tak tentu terhadap x:') disp(Ff) disp('hasil integral tentu terhadap x:') disp(Ff1)
M A T L A B
Integral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/
Double Integral over General Region
Didefinisikan fungsi F dengan domain R yaitu
, = , , , 0, , Sehingga
, = ,
Integral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/
Double Integral over General Region
Dikenal sebagai Integral lipat dua tipe I jika = , | ,1() 2()
Sehingga
, = , 2()1()
Integral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/
Double Integral over General Region
Dikenal sebagai Integral lipat dua tipe II jika = , | , () 2()
Sehingga
, = , 2()1()
Integral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/
Double Integral over General Region Hitung dengan D adalah
daerah yang dibatasi oleh garis = 1 dan parabola 2 = 2 +6
Penyelesaian : Gambar disamping merupakan daerah yang dibentuk oleh D sehingga Mencari titik potong :
1 = 2 + 6 2 2 + 1 = 2 + 6 2 4 5 = 0 5 + 1 = 0 = 5 = 1
E X A M P L E
Integral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/
Double Integral over General Region
= {(,)| 3 5, 2 + 6 2 + 6} = 2+6 2+6
1
3
+ 2+61
5
1
= 122 2+62+6 13
+ 122 12+6 51
= (0)13
+ 52 + 22 12 351
= 0 + 54 2 + 23 3 1841
5
= 36
E X A M P L E
Integral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/
Double Integral over General Region
clear all; clc; syms x y; f=x*y; F=int (f,y); F1=int (f,y,(-1)*sqrt(2*x+6),sqrt(2*x+6)); F2=int (f,y,x-1,sqrt(2*x+6)); Ff1=int (F1,x,-3,-1); Ff2=int (F2,x,-1,5); Fftot=Ff1+Ff2; disp('fungsi integran adalah :') disp(f) disp('hasil integral tak tentu terhadap y:') disp(F) disp('hasil integral tentu terhadap y:') disp(F1) disp(F2) disp('hasil integral tak tentu terhadap x:') disp(Ff1) disp(Ff2) disp('hasil integral tentu terhadap x:') disp(Fftot)
M A T L A B
Integral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/
Double Integral over General Region
= {(,)|22 3 + 1,2 4}
+1
22 3
4
2
= 122 22 3
+1
4
2
= 32 + 2 + 2 58 + 332 92 42
= 42 + 133 22 6482
4
= 36
E X A M P L E
Integral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/
Double Integral over General Region
clear all; clc; syms x y; f=x*y; F=int (f,x); F1=int (f,x,((y^2)/2)-3,y+1); Ff=int (F1,y); Ff1=int (F1,y,-2,4); disp('fungsi integran adalah :') disp(f) disp('hasil integral tak tentu terhadap x:') disp(F) disp('hasil integral tentu terhadap x:') disp(F1) disp('hasil integral tak tentu terhadap y:') disp(Ff) disp('hasil integral tentu terhadap y:') disp(Ff1)
M A T L A B
Integral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/
Double Integral over General Region Hitung Volume Tetahedron yang
dibatasi oleh bidang + 2 + =2, = 2, = 0, = 0; Penyelesaian : Untuk menggambar grafik tetrahedron Bid-xy : = 0 + 2 = 0 Bid-yz : = 0 2 + = 0 Bid-xz : = 0 + = 0 Seperti gambar disamping. Selanjutnya, ditentukan domain daerah D untuk menentukan batasan integral yaitu
E X A M P L E
Integral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/
Double Integral over General Region = {(, )|0 1, 2 1 2}
Sehingga, volume tetrahedron
= 122
1
0
= (2 2)122
1
0
= 2 2 2
12
1
0
E X A M P L E
Integral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/
Double Integral over General Region
= (2 + 22 1 + 24 + 22 + 24 )10
= 2 2 + 1 10
= 33 2 + 0
1 = 13
E X A M P L E
Integral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/
Double Integral over General Region Sketsa domain integral dan hitung
integral berikut
1
(1 + 2)1
1
0
Penyelesaian : Daerah integrasi : = {(,)|0 1, 1}
Dengan mengintegralkan fungsi terhadap x akan mengalami kesulitan sehingga dilakuka perubahan terhadap batas integrasinya yaitu : = {(,)|0 1,2 1}
E X A M P L E
Integral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/
Double Integral over General Region 1
(1 + 2)12
1
0
Subtitusi : = 1 + 2 = 1 + 2 = 2 (1 + 2)1 + 2 21 10
= 2 21 + 2 10
Subtitusi : = 1 + 2 = 2 = 2 tan1 + 2 1 + 20
1 = 2 + 2( 2 + 1)
E X A M P L E
Integral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/
Double Integral over General Region Sketsa domain integral dan hitung
integral berikut
2 + 220
1
0
Penyelesaian : Daerah integral : = {(,)|0 1,0 2}
Dengan melihat fungsi integran diatas terlihat sulit untuk diintegral terhadap y sehingga batas integrasi diubah ke koordinat kutub karena kurva batas integrasi merupakan lingkaran
E X A M P L E
Integral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/
Double Integral over General Region 2 = 2 = 2
2 + 2 = 0 ( 12)2+( 0)2= 14
Sehingga jari-jari =1/2 dan melihat daerah kurva maka diperoleh
= {(, )|0 12 , 0 } = , = ,
= cos
0
12
0
E X A M P L E
Integral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/
Double Integral over General Region
= cos 0
12
0
= 220
12 sin 0 = 8
E X A M P L E
OUTLINE Integral Lipat Dua
Integral Permukaan
Integral Lipat Tiga
Integral Lipat di Koordinat Tabung dan Bola
Transformasi Variabel
Teorema Green, Divergence, Stokes
OUTLINE Integral Lipat Dua
Integral Permukaan
Integral Lipat Tiga
Integral Lipat di Koordinat Tabung dan Bola
Transformasi Variabel
Teorema Green, Divergence, Stokes
Integral Permukaan / Surface Integral
Didefinisikan S kurva permukaan parametrik oleh fungsi bernilai vektor 2 peubah yaitu
, =< , , , , (, ) > Dengan u,v berada pada region D Dengan vektor singgung terhadap 1 yaitu turunan r terhadap v
= + + Dan vektor singgung terhadap 2 yaitu turunan r terhadap u
= + + Jika normal vektor tdak nol maka permukaan S dikatakan smooth
Integral Permukaan / Surface Integral
Kemudian dibuat partisi sehingga
=1
=1
Atau
=
Jika fungsi parametrik = (,) dengan x=x dan y=y sebagai parameter
= + + , Dan
= + , = +
Integral Permukaan / Surface Integral
= 1 0
0 1
=
= 1 + 2 + 2 Maka integral permukaan adalah
= 1 +
2 +
2
Integral Permukaan / Surface Integral
Tentukan area dari parabolik = 2 + 2 dibawah bidang z=9
Penyelesaian : = 2 + 2
Merupakan persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jari Sehingga daerah = , 2 + 2 9
= 2, = 2 = 1 + 42 + 42
E X A M P L E
Integral Permukaan / Surface Integral
Dengan mengubah koordinat kartesius ke koordinat polar sehingga, = {(,)|0 2, 0 3} = 1 + 422 + 4223
0
2
0
= 20
1 + 4230
= 02 1 + 42 3/2120
3
= 2(37 37 112 ) = (37 37 1)6
E X A M P L E
Integral Permukaan / Surface Integral
Tentukan luas permukaan bidang 2 + 5 + = 10 yang berada dalam
tabung 2 + 2 = 9 Penyelesaian : 2 + 2 = 9 merupakan tabung dengan jari-jari 3 di titik asal 2 + 5 + = 10 Saat z=0 2 + 5 = 10 (0,2,0),(5,0,0) Saat y=0 2 + = 10 (0,0,10),(5,0,0) Saat x=0 5 + = 10 (0,0,10),(0,2,0) Sehingga domain daerah integrasi adalah :
= , |0 3,0 10 25 Dengan = 2 dan = 5
E X A M P L E
Integral Permukaan / Surface Integral
= 1 + 2 2 + 5 21025
0
3
0
= 3010250
3
0
= 30 01025 30
= 30 10 25 30
= 30 2 250
3
= 30 6 95 = 21 305
E X A M P L E
OUTLINE Integral Lipat Dua
Integral Permukaan
Integral Lipat Tiga
Integral Lipat di Koordinat Tabung dan Bola
Transformasi Variabel
Teorema Green, Divergence, Stokes
OUTLINE Integral Lipat Dua
Integral Permukaan
Integral Lipat Tiga
Integral Lipat di Koordinat Tabung dan Bola
Transformasi Variabel
Teorema Green, Divergence, Stokes
Integral Lipat Tiga/Triple Integral
Didefinisikan balok dengan domain ={(,)| , , } Dibuat partisi kubus dengan domain =1, 1, 1,
Dan setiap kubus memiliki volume yaitu = Kemudian jumlahan riemann diperoleh
( , , )=1
=1
=1
Maka integral lipat tiga
= , ,
= lim,,( , , )
=1
=1
=1
Integral Lipat Tiga/Triple Integral
Dari definisi integral lipat tiga dengan domain daerah = , , ,1 2 ,1 , 2 , Diperoleh
,, = ,, 2(,)1(,)
2()1()
Integral Lipat Tiga/Triple Integral
Tentukan daerah integral dan volume dari integral
22
0
1
0
1
0
Penyelesaian : Daerah integrasi = {(, , )|0 1,0 2 2, 0 1 }
022
1
0
1
0
2 2 10
1
0
E X A M P L E
Integral Lipat Tiga/Triple Integral
2 2 0110
2 2 1 + 2 2 10
1 2 10
33
0
1 = 1 13 = 23
E X A M P L E
Integral Lipat Tiga/Triple Integral
Hitung volume integral
yang dibatasi oleh bidang z=y, bidang-xy, dan tabung parabolik y = 1 2 Penyelesaian :. Dengan daerah integrasi :
= , , |0 1 ,1 1,0 Sehingga
= 2 0
1
0
1
0
E X A M P L E
Integral Lipat Tiga/Triple Integral
= 2 0 = 2 210
1
0
1
0
1
0
= 2 330
1
1
0
= 2 1 323 = 2. 215 1 52 01 = 41510
. 1 = 415
E X A M P L E
OUTLINE Integral Lipat Dua
Integral Permukaan
Integral Lipat Tiga
Integral Lipat di Koordinat Tabung dan Bola
Transformasi Variabel
Teorema Green, Divergence, Stokes
OUTLINE Integral Lipat Dua
Integral Permukaan
Integral Lipat Tiga
Integral Lipat di Koordinat Tabung dan Bola
Transformasi Variabel
Teorema Green, Divergence, Stokes
Integral Lipat Koordinat Tabung
Dengan koordinat tabung : = , = , =
Dan =
Integral Lipat Koordinat Tabung
Hitung integral
2 + 2
Dengan D merupakan daerah yang dibatasi tabung 2 + 2 = 16 dan bidang z=-5, z=4 Penyelesaian : Daerah integrasinya = , , | 4 4,
16 2 16 2 ,5 4 Fungsi integran terlihat sulit untuk diintegral sehingga fungsi ditransformasikan ke dalam koordinat tabung yaitu
E X A M P L E
Integral Lipat Koordinat Tabung/Cylindrical Coordinate
= , = , =
Dan =
Dengan batas integrasi menjadi = ,, |0 4,0 2,5 4
= 4 . 40
= 4 45
2
4
0
2
0
2
0
4
5
= 4 54 02 330
4 = 4.9.2 . 643 = 384
E X A M P L E
Integral Lipat Koordinat Bola/spherical coordinate
Dengan koordinat bola = sin , = , =
Dan = 2 sin
Integral Lipat Koordinat Bola
Dengan menggunakan koordinat bola hitung integral
2 + 2 + 2
Dengan D merupakan bola dengan persamaan 2 + 2 + 2 1 Penyelesaian : Koordinat bola yaitu = sin , = , =
Dan = 2 sin
Sehingga daerah integrasi
E X A M P L E
Integral Lipat Koordinat Bola
= ,, |0 1,0 2, 0 2 = 82.2 sin1
0
2
0
2
0
= 8 sin410
2
0
2
0
= 8 02 cos 02 550
1 = 8.2 . 1. 15 = 45
E X A M P L E
OUTLINE Integral Lipat Dua
Integral Permukaan
Integral Lipat Tiga
Integral Lipat di Koordinat Tabung dan Bola
Transformasi Variabel
Teorema Green, Divergence, Stokes
OUTLINE Integral Lipat Dua
Integral Permukaan
Integral Lipat Tiga
Integral Lipat di Koordinat Tabung dan Bola
Transformasi Variabel
Teorema Green, Divergence, Stokes
Transformasi Variabel
Suatu daerah integrasi dapat ditransformasi ke bentuk yang lain dengan melihat fungsi bernilai vektor singgung dari daerah tersebut yaitu Misalkan fungsi bernilai vektor , = , + , dimana = , , = (, ) Dengan fungsi bernilai vektor singgung
= + , = + = 0
0 =
=
Dimana (,)(,) =
dikenal sebagai matriks jacobian, sehingga
, = (, )
(,)(, ) dudv
Integral Lipat Koordinat Bola
Hitung integral 2
3 dengan
D merupakan daerah yang dibatasi oleh garis 2 = 0, 2 =4,3 = 1,3 = 8
Penyelesaian : Gambar grafik untuk daerah integrasi dapat dilihat disamping Terlihat juga bahwa sulit untuk mengintegralkan fungsi integran diatas. Dimisalkan = 2 dan = 3 Sehingga batas integrasinya berubah menjadi = , |0 4,1 8
E X A M P L E
Integral Lipat Koordinat Bola
Dengan matriks jacobian : (, )(, ) = 1(, )
(,) = 1
= 11 23 1 = 15 Diperoleh
=
. 15 = 15 = 1581
4
0
8
1
4
0
220
4 ln 18 = 15 . 16. ln 8 = 8 ln 85
E X A M P L E
OUTLINE Integral Lipat Dua
Integral Permukaan
Integral Lipat Tiga
Integral Lipat di Koordinat Tabung dan Bola
Transformasi Variabel
Teorema Green, Divergence, Stokes
OUTLINE Integral Lipat Dua
Integral Permukaan
Integral Lipat Tiga
Integral Lipat di Koordinat Tabung dan Bola
Transformasi Variabel
Teorema Green, Divergence, Stokes
Teorema Green
Misalkan C merupakan kurva tertutup yang positif dan smooth dan D adalah daerah yang dibatasi oleh C. jika P dan Q fungsi yang mempunyai turunan parsial kontinu di daerah terbuka D maka,
+ =
Bukti :
Teorema Divergence
Misalkan E adalah daerah padatan dan S adalah batas permukaan dari E dengan arahan positif. Misal F merupakan lapangan vektor dengan elemen fungsi yang mempunyai turunan parsial kontinu pada daerah terbuka E maka
. =
Bukti :
Teorema Stokes
Misalkan S adalah permukaan yang smooth yang dibatasi kurva C tertutup dengan arah positif. Misal F adalah lapangan vektor dengan elemen yang mempunyai turunan parsial kontiu di daerah terbuka yang berisi S maka
= Bukti :
Integral Lipatdan Kalkulus Vektor/ Multiple Integral and Vector Calculus OUTLINEOUTLINEIntegral Lipat Dua Sepanjang persegi/Double Integral over RectanglesIntegral Lipat Dua Sepanjang persegi/Double Integral over RectanglesIntegral Lipat Dua Sepanjang persegi/Double Integral over RectanglesIntegral Lipat Dua Sepanjang persegi/Double Integral over RectanglesIntegral Lipat Dua Sepanjang persegi/Double Integral over RectanglesIntegral Lipat Dua Sepanjang persegi/Double Integral over RectanglesIntegral Lipat Dua Sepanjang persegi/Double Integral over RectanglesIntegral Lipat Dua Sepanjang persegi/Double Integral over RectanglesIntegral Lipat Dua Sepanjang persegi/Double Integral over RectanglesIntegral Lipat Dua Sepanjang persegi/Double Integral over RectanglesIntegral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/Double Integral over General RegionIntegral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/Double Integral over General RegionIntegral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/Double Integral over General RegionIntegral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/Double Integral over General RegionIntegral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/Double Integral over General RegionIntegral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/Double Integral over General RegionIntegral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/Double Integral over General RegionIntegral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/Double Integral over General RegionIntegral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/Double Integral over General RegionIntegral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/Double Integral over General RegionIntegral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/Double Integral over General RegionIntegral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/Double Integral over General RegionIntegral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/Double Integral over General RegionIntegral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/Double Integral over General RegionIntegral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/Double Integral over General RegionIntegral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/Double Integral over General RegionOUTLINEOUTLINEIntegral Permukaan / Surface IntegralIntegral Permukaan / Surface IntegralIntegral Permukaan / Surface IntegralIntegral Permukaan / Surface IntegralIntegral Permukaan / Surface IntegralIntegral Permukaan / Surface IntegralIntegral Permukaan / Surface IntegralOUTLINEOUTLINEIntegral Lipat Tiga/Triple IntegralIntegral Lipat Tiga/Triple IntegralIntegral Lipat Tiga/Triple IntegralIntegral Lipat Tiga/Triple IntegralIntegral Lipat Tiga/Triple IntegralIntegral Lipat Tiga/Triple IntegralOUTLINEOUTLINEIntegral Lipat Koordinat TabungIntegral Lipat Koordinat TabungIntegral Lipat Koordinat Tabung/Cylindrical CoordinateIntegral Lipat Koordinat Bola/spherical coordinateIntegral Lipat Koordinat BolaIntegral Lipat Koordinat BolaOUTLINEOUTLINETransformasi VariabelIntegral Lipat Koordinat BolaIntegral Lipat Koordinat BolaOUTLINEOUTLINETeorema GreenTeorema DivergenceTeorema StokesSlide Number 65