PROGRAM PERKULIAHANDASAR DAN UMUM

(PPDU) TELKOM UNIVERSITY

KALKULUS IMUG1A4

I. SISTEM BILANGAN REAL

TUJUAN PEMBELAJARAN• Mengetahui dan memahami definisi dan jenis-jenis

sistem bilangan• Menyelesaikan pertaksamaan• Menyelesaikan pertaksamaan dengan nilai mutlak

SISTEM BILANGAN

N : bilangan asli

Z : bilangan bulat

Q : bilangan rasional

R : bilangan real

N : 1, 2, 3, ...

Z : …,-2,-1,0,1,2,..

0,,, bZbabaqQ :

R Q Irasional

,3,2Contoh bilangan irasional:

GARIS BILANGANSetiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garisyang disebut dengan garis bilangan

Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang

Selang/Interval

INTERVALNotasi himpunan Notasi interval axx a,

axx a,

bxax ba,

bxax ba,

bxx ,b

bxx ,b

xx ,

Geometric picture

a

a

a b

a b

b

b

SIFAT–SIFAT BILANGAN REAL Trikotomi

Dalam sifat trikotomi, hanya terdapat satupernyataan yang benar diantara hal-hal berikut:

Contoh: Andi lebih tua daripada BayuDapat diekspresikan menjadi: a > b

Maka:Andi tidak lebih muda daripada Bayu (bukan a < b)Andi tidak sama umurnya dengan Bayu (bukan a = b)

SIFAT–SIFAT BILANGAN REAL

TransitifJika a < b dan b < c, maka a < cJika a > b dan b > c, maka a > c

Contoh:Jika Andi lebih tua daripada BayuBayu lebih tua daripada CindyMaka, Andi pasti lebih tua daripada Cindy

SIFAT–SIFAT BILANGAN REAL Perkalian

Jika a < b dan c positif, maka ac < bcJika a < b dan c negative, maka ac > bc

PERTIDAKSAMAANBentuk umum pertidaksamaan :

dengan A(x), B(x), C(x), D(x) adalah suku banyak (polinom) dan B(x) ≠ 0, D(x) ≠ 0

A x C xB x D x

PERTIDAKSAMAAN• Menyelesaikan suatu pertidaksamaan

adalah mencari solusi semua himpunanbilangan real yang membuatpertidaksamaan berlaku.

• Himpunan solusi bilangan real ini disebutjuga Himpunan Penyelesaian (Hp)

CARA MENENTUKAN HP1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :

2. Faktorkan P(x) dan Q(x) menjadi faktor-faktorlinier dan/atau kuadrat

3. Tentukan titik pemecah (pembuat nol faktorlinear).

4. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut padagaris bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul

0)()(

xQxP

CONTOHTENTUKAN HIMPUNAN PENYELESAIAN

DARI PERTIDAKSAMAAN BERIKUT

53213 x352313 x

8216 x48 x84 x

8,4Hp = 4 8

1.

8462 x248 x248 x842 x

221

x

2,

21

22

1

Hp 2.

0352 2 xx

0312 xxTitik pemecah :

21

x and 3x

3

++ ++--

21

3.

Hp =

3,

21

637642 xxxxx 7642 6376 xxdan4672 xx dan 6637 xx

4.

109 x 010 xdan

910

x 010 xdan

910

x dan 0x

HP =

,0

910,

09

10

Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :

Hp =

910,0

132

11

xx

013

21

1

xx 0

1312213

xxxx

5.

0131

3

xxx

Titik pemecah : -1, 13 , 3

3++ ++--

-1

--

13

Hp = 1, 1 ,33

xx

xx

321

032

1

xx

xx

0

32231

xx

xxxx

032322 2

xxxx

6.

322 2 xxUntuk pembilang mempunyai nilaidiskriminan (D) < 0 sehingga nilainya selalu positif, maka pembilang tidak menghasilkan titik pemecah.

Maka, titik pemecahnya adalah -3 dan 2 (daripenyebut)

-3 2-- ++ --

, 3 2, Hp =

SOAL LATIHANCari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

2

2

2

2

2 57. 1258. 12

9. 2 4 0

10. 1 02 111.

3

xx

x x

x x

xx x

xx

2

2

3 2

1. 3 5 2 12. 4 3 1 4

3. 6

4. 3 2 0

5. 5 4 016. 02

x xx

x x

x x

x x xxx

PERTIDAKSAMAAN NILAIMUTLAK

Definisi :

Nilai absolut pada bilangan real didefinisikansebagai

0,0,

xxxx

x

Arti Geometris|x| : Jarak dari x ke titik 0 (asal)

• Sifat-sifat nilai mutlak:

yx

yx

2xx axaaax 0,

axaax 0, or ax yx 22 yx

6. Ketaksamaan segitigayxyx

1.2.

3.

4.

5.

yxyx

PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

CONTOHTENTUKAN HIMPUNAN PENYELESAIAN

DARI PERTIDAKSAMAAN BERIKUT

41 x

352 x

# Gunakan sifat kedua3523 x53235 x

822 x

Hp = 4,1 1 4

1.

0422 xx

352 x# Gunakan sifat keempatkarena ruas kiri maupun kanan keduanya positif.

952 2 x925204 2 xx016204 2 xx08102 2 xx

TP : 1, 4

1 4++--++

Hp = 4,1

5432 xx2. # Gunakan sifat keempat

22 5432 xx2540169124 22 xxxx

0162812 2 xx23 7 4 0x x

34

Titik pemecah : , -1

(3 4)( 1) 0x x

Hp = 4[ , 1]3

Jika digambar pada garis bilangan :

-13

4

++--++

272

x

272

x

272

x

52

x

92

x

10 x 18x

18,,10

3.

atau

atau

atau

Hp =

-18 -10

# Gunakan sifat ketiga

2222

2xxxx

x

1111

1xxxx

x

Jadi kita mempunyai 3 interval :

-1 2

I II III 1, 2,1 ,2

4. 2123 xxKita definisikan dahulu :

1x2123 xx

2123 xx2136 xx

227 x92 x

92 x

29

x

29,

I. Untuk

atau

1,29,

29-1

Hp1 =

Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkanbahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah

Sehingga Hp1 = 1,

1,

21 xII. Untuk

2123 xx

2123 xx2136 xx

245 x74 x

74 x

47

x

47,atau

Hp2 = 2,147,

-1 24

7

Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan

bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah

Sehingga Hp2 =

47,1

47,1

2x2123 xx

2123 xx

2163 xx272 x

52 x

III. Untuk

25

x

,25

atau

Hp3 =

,2,25

2 25

Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan

bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah

Sehingga Hp3 =

,25

5 ,2

Hp

Jadi Hp = 7 5, ,4 2

47

25-1

47 2

5-1

47

25-1

1 2 37 5, 1 1, ,4 2

7 5, ,4 2

Hp Hp Hp

SOAL LATIHANCari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

8. 2 3 2 3

9. 2 3 4 5

410. 1 1

2 111. 35

12. 3 2

213.1 1

x x

x x

xx

xx x

x xx x

1. 2 7 3

2. 2 63

3. 1 2 2

4. 1 2( 2)

5. 2 2 326. 1

7. 2

x

x

x x

x x

x x x

xx

x x

Terima Kasih