I. SISTEM BILANGAN REAL · MUTLAK Definisi : Nilai absolut pada bilangan real didefinisikan sebagai...
Transcript of I. SISTEM BILANGAN REAL · MUTLAK Definisi : Nilai absolut pada bilangan real didefinisikan sebagai...
PROGRAM PERKULIAHANDASAR DAN UMUM
(PPDU) TELKOM UNIVERSITY
KALKULUS IMUG1A4
I. SISTEM BILANGAN REAL
TUJUAN PEMBELAJARAN• Mengetahui dan memahami definisi dan jenis-jenis
sistem bilangan• Menyelesaikan pertaksamaan• Menyelesaikan pertaksamaan dengan nilai mutlak
SISTEM BILANGAN
N : bilangan asli
Z : bilangan bulat
Q : bilangan rasional
R : bilangan real
N : 1, 2, 3, ...
Z : …,-2,-1,0,1,2,..
0,,, bZbabaqQ :
R Q Irasional
,3,2Contoh bilangan irasional:
GARIS BILANGANSetiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garisyang disebut dengan garis bilangan
Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang
Selang/Interval
INTERVALNotasi himpunan Notasi interval axx a,
axx a,
bxax ba,
bxax ba,
bxx ,b
bxx ,b
xx ,
Geometric picture
a
a
a b
a b
b
b
SIFAT–SIFAT BILANGAN REAL Trikotomi
Dalam sifat trikotomi, hanya terdapat satupernyataan yang benar diantara hal-hal berikut:
Contoh: Andi lebih tua daripada BayuDapat diekspresikan menjadi: a > b
Maka:Andi tidak lebih muda daripada Bayu (bukan a < b)Andi tidak sama umurnya dengan Bayu (bukan a = b)
SIFAT–SIFAT BILANGAN REAL
TransitifJika a < b dan b < c, maka a < cJika a > b dan b > c, maka a > c
Contoh:Jika Andi lebih tua daripada BayuBayu lebih tua daripada CindyMaka, Andi pasti lebih tua daripada Cindy
SIFAT–SIFAT BILANGAN REAL Perkalian
Jika a < b dan c positif, maka ac < bcJika a < b dan c negative, maka ac > bc
PERTIDAKSAMAANBentuk umum pertidaksamaan :
dengan A(x), B(x), C(x), D(x) adalah suku banyak (polinom) dan B(x) ≠ 0, D(x) ≠ 0
A x C xB x D x
PERTIDAKSAMAAN• Menyelesaikan suatu pertidaksamaan
adalah mencari solusi semua himpunanbilangan real yang membuatpertidaksamaan berlaku.
• Himpunan solusi bilangan real ini disebutjuga Himpunan Penyelesaian (Hp)
CARA MENENTUKAN HP1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :
2. Faktorkan P(x) dan Q(x) menjadi faktor-faktorlinier dan/atau kuadrat
3. Tentukan titik pemecah (pembuat nol faktorlinear).
4. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut padagaris bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul
0)()(
xQxP
CONTOHTENTUKAN HIMPUNAN PENYELESAIAN
DARI PERTIDAKSAMAAN BERIKUT
53213 x352313 x
8216 x48 x84 x
8,4Hp = 4 8
1.
8462 x248 x248 x842 x
221
x
2,
21
22
1
Hp 2.
0352 2 xx
0312 xxTitik pemecah :
21
x and 3x
3
++ ++--
21
3.
Hp =
3,
21
637642 xxxxx 7642 6376 xxdan4672 xx dan 6637 xx
4.
109 x 010 xdan
910
x 010 xdan
910
x dan 0x
HP =
,0
910,
09
10
Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :
Hp =
910,0
132
11
xx
013
21
1
xx 0
1312213
xxxx
5.
0131
3
xxx
Titik pemecah : -1, 13 , 3
3++ ++--
-1
--
13
Hp = 1, 1 ,33
xx
xx
321
032
1
xx
xx
0
32231
xx
xxxx
032322 2
xxxx
6.
322 2 xxUntuk pembilang mempunyai nilaidiskriminan (D) < 0 sehingga nilainya selalu positif, maka pembilang tidak menghasilkan titik pemecah.
Maka, titik pemecahnya adalah -3 dan 2 (daripenyebut)
-3 2-- ++ --
, 3 2, Hp =
SOAL LATIHANCari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
2
2
2
2
2 57. 1258. 12
9. 2 4 0
10. 1 02 111.
3
xx
x x
x x
xx x
xx
2
2
3 2
1. 3 5 2 12. 4 3 1 4
3. 6
4. 3 2 0
5. 5 4 016. 02
x xx
x x
x x
x x xxx
PERTIDAKSAMAAN NILAIMUTLAK
Definisi :
Nilai absolut pada bilangan real didefinisikansebagai
0,0,
xxxx
x
Arti Geometris|x| : Jarak dari x ke titik 0 (asal)
• Sifat-sifat nilai mutlak:
yx
yx
2xx axaaax 0,
axaax 0, or ax yx 22 yx
6. Ketaksamaan segitigayxyx
1.2.
3.
4.
5.
yxyx
PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK
CONTOHTENTUKAN HIMPUNAN PENYELESAIAN
DARI PERTIDAKSAMAAN BERIKUT
41 x
352 x
# Gunakan sifat kedua3523 x53235 x
822 x
Hp = 4,1 1 4
1.
0422 xx
352 x# Gunakan sifat keempatkarena ruas kiri maupun kanan keduanya positif.
952 2 x925204 2 xx016204 2 xx08102 2 xx
TP : 1, 4
1 4++--++
Hp = 4,1
5432 xx2. # Gunakan sifat keempat
22 5432 xx2540169124 22 xxxx
0162812 2 xx23 7 4 0x x
34
Titik pemecah : , -1
(3 4)( 1) 0x x
Hp = 4[ , 1]3
Jika digambar pada garis bilangan :
-13
4
++--++
272
x
272
x
272
x
52
x
92
x
10 x 18x
18,,10
3.
atau
atau
atau
Hp =
-18 -10
# Gunakan sifat ketiga
2222
2xxxx
x
1111
1xxxx
x
Jadi kita mempunyai 3 interval :
-1 2
I II III 1, 2,1 ,2
4. 2123 xxKita definisikan dahulu :
1x2123 xx
2123 xx2136 xx
227 x92 x
92 x
29
x
29,
I. Untuk
atau
1,29,
29-1
Hp1 =
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkanbahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah
Sehingga Hp1 = 1,
1,
21 xII. Untuk
2123 xx
2123 xx2136 xx
245 x74 x
74 x
47
x
47,atau
Hp2 = 2,147,
-1 24
7
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah
Sehingga Hp2 =
47,1
47,1
2x2123 xx
2123 xx
2163 xx272 x
52 x
III. Untuk
25
x
,25
atau
Hp3 =
,2,25
2 25
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah
Sehingga Hp3 =
,25
5 ,2
Hp
Jadi Hp = 7 5, ,4 2
47
25-1
47 2
5-1
47
25-1
1 2 37 5, 1 1, ,4 2
7 5, ,4 2
Hp Hp Hp
SOAL LATIHANCari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
8. 2 3 2 3
9. 2 3 4 5
410. 1 1
2 111. 35
12. 3 2
213.1 1
x x
x x
xx
xx x
x xx x
1. 2 7 3
2. 2 63
3. 1 2 2
4. 1 2( 2)
5. 2 2 326. 1
7. 2
x
x
x x
x x
x x x
xx
x x
Terima Kasih