KINEMATIKA DENGAN ANALISIS VEKTOR

Oleh :Dra. Soelastri Kohar

SMA Negeri 20 Surabaya

1. Menganalisis gejala alam dan keteraturannya dalam cakupan mekanika benda titik

Standat Kompetensi

1.1Menganalisis gerak lurus, gerak melingkar, dan gerak parabola dengan

menggunakan vektor.

Kompetensi Dasar

Menentukan vektor posisi awalMenentukan vektor posisi akhirMenentukan vektor perpindahanMenentukan besar perpindahan Menentukan vektor kecepatan rata-rataMenentukan besar kecepatan rata-rataMenentukan arah kecepatan rata-rataMenentukan besar kecepatan sesaatMenentukan arah kecepatan sesaat

Tujuan Pembelajaran

Menentukan posisi dari kecepatanMenentukan vektor percepatan rata-rataMenentukan besar percepatan rata-rataMenentukan besar percepatan sesaatMenentukan arah percepatan sesaat Menentukan kecepatan dari percepatanMenentukan posisi dari percepatan

Tujuan Pembelajaran

Posisi suatu benda dapat dinyatakan dengan sebuah vektor, vektor ini dinyatakan dalam bentuk vektor-vektor satuan

1. Posisi partikel

• Pada sb. x vektor satuannya adalah

Pada sb. y vektor satuannya adalah Pada sb. z vektor satuannya adalah

z

y

X

PERPINDAHAN

Perpindahan : posisi akhir – posisi awal

Posisi akhir:

Posisi awal:

kjir 0000 zyx

kjir zyx

X

y

r0

r

Vektor posisi awal

Vektor posisi akhir

Vektor perpindahan

Sebuah partikel bergerak dari titik P1 (4, -2) menuju titik P2 (8,2) selama 2 sekon.

Tentukan :a. Vektor posisi awal dan vektor posisi akhirb. Vektor perpindahanc. Besar perpindahan

Contoh soal 1:

a). Vektor posisi awal : r1 = 4i – 2j Vektor posisi akhir : r2 = 8i + 2j

b). Vektor perpindahan : ∆ r = r2 – r1

∆ r = (8i + 2j ) – (4i - 2j) ∆ r = (8 – 4)i +(2 – (-2))j

∆ r = 4i + 4j

c). Besar perpindahan : = 4√2 satuan 

Penyelesaian :

Vektor posisi suatu partikel diberikan oleh r = (t3 + 1)i + (2t2)j, t dalam sekon dan r dalam meter. Tentukanlah besar dan arah

perpindahan partikel dari t1 = 1s sampai ke

t2 = 2s!

Contoh soal 2:

Vektor posisi : r = (t3 + t)i + (2t2)jUntuk t1 = 1s, maka :→r1 = (13 + 1)i + (2(1)2)j = 2i +2j

Untuk t2 = 2s, maka :→r2 =(23 + 2)i+(2(2)2)j = 10i + 8j

* Vektor perpindahan : ∆ r = r2 – r1

∆ r = (10i + 8j ) – (2i + 2j) ∆ r = (10 – 2)i + (8 –2 )j ∆ r = 8i + 6j

Besar perpindahan :

Penyelesaian :

mr 10

Ɵ = 36,870

2.Kecepatan

Kecepatan adalah besaran vektor yang menyatakan laju perubahan posisi (perpindahan) terhadap waktu

a.Kecepatan Rata-rata rvKecepatan rata-rata partikel didefinisikan sebagai perbandingan perubahan posisi (perpindahan) partikel dengan selang waktu tertentu.

kvjvivv zyxr

Besar kecepatan rata-rata :

Vektor posisi suatu benda dinyatakan dengan r = 4t2i – (6t2 + 2t)j – (4t3 – 1)k. Bila r dalam meter dan t dalam sekon, maka tentukan kecepatan rata-rata benda selama 2 detik pertama.

Contoh Soal :

Sebuah partikel bergerak dengan kedudukan r yang berubah menurut persamaan . tentukanlah besar dan arah perpindahan partikel dari t1 = 3s sampai t2 = 5s

 

Posisi : r = 4t2i – (6t2 + 2t)j – (4t3 – 1)k

Untuk t1 = 0s → r1 = 4t2i – (6t2 + 2t)j – (4t3 – 1)k

r1 = 4(0)2i –(6(0)2+2(0))j – (4(0)3 – 1)k

r1 = 0i + 0j + k

r1 = k

Untuk t2 = 2s→ r2 = 4t2i – (6t2+ 2t)j – (4t3– 1)k

r2 = 4(2)2 i – (6(2)2 + 2(2))j – (4(2)3 – 1)k

r2 = 16i – 28j – 31k

Penyelesaian :

kecepatan rata-rata rv

Besar kecepatan rata-rata :

= √485 m/s

Sebelum kalian mempelajari tentang kecepatan sesaat, maka kalian harus memahami tentang defferensial atau turunan fungsi sederhana!

1. y = tn

Contoh : y = t4

2). y = k , dengan k adalah konstanta

Contoh : y = 10

3). y = atm + btn + k

4). y = sin c. t Maka turunannya :

5). y = cos c.t Maka

turunannya :

b. Kecepatan Sesaat (v)Kecepatan sesaat (v) adalah kecepatan suatu benda pada suatu saat tertentu (∆ t mendekati 0)

Besar kecepatan sesaat :

Arah kecepatan sesaat :

Suatu partikel bergerak pada suatu bidang dalam kedudukan r = (3t2 – 2t)i + 4tj, bila r dalam meter dan t dalam secon, maka tentukan :a. Persamaan komponen kecepatan dalam arah sb x dan sb yb. Besar kecepatan sesaat dalam arah i dan j untuk t = 3sc. Besar dan arah kecepatan partikel tersebut

Contoh Soal 1:

Penyelesaian :

a). Persamaan posisi : r = (3t2 – 2t)i + 4tj

persamaan komponen kecepatan dalam arah sb x dan sb y

vx = 6t - 2i dan vy = 4j

b). Besar kecepatan sesaat dalam arah sb x dan sb y untuk t = 3s

vx = 6(3) – 2 = 16 m/s dan vy = 4 m/s

c). Besar dan arah kecepatan sesaat partikel

Arah kecepatan sesaat terhadap sb x positif

25,06

4tan

x

y

v

v

014

Sebuah partikel bergerak sepanjang garis mendatar menurut persamaan x= 2t2 -1. Tentukan kecepatan sesaat pada waktu t = 2s.

Contoh soal 2:

Penyelesaian :

Persamaan posisi partikel : x = 2t2 -1

Kecepatan sesaat :

v = 4t

Kecepatan sesaat pada waktu t = 2s adalah v = 4t = 4(2) = 8 m/s

1.

Sebelum kalian mempelajari tentang materi percepatan, maka kalian harus memahami tentang integral atau menaikkan fungsi sederhana!

bila t2 di integralkan

=

2).

Contoh : bila angka 200 di integralkan

1.

Sebelum kalian mempelajari tentang materi selanjutnya, maka kalian harus memahami tentang integral atau menaikkan fungsi sederhana!

bila t2 di integralkan

=

2).

Contoh : bila angka 200 di integralkan

= 3).

Contoh : (6t2 –t + 3 ) di integralkan

= 2t3 - ½ t2 + 3t + C

4).

5).

c). Menentukan Posisi (kedudukan ) dari kecepatan r = r0+ t3

Bila benda dengan kedudukan awal r0 dan bergerak dengan kecepatan v, maka posisi benda setiap saat t dapat ditentukan dengan persamaan : dengan: r = posisi pada

waktu t (m) r0 = posisi awal (m) v = kecepatan (m/s)

jika v = 3t2 , maka berlaku :

r = r0+ t3

suatu benda bergerak mempunyai persamaan kecepatan v = 3t2 – 12t + 9, dengan t dalam sekon dan v dalam m/s. Maka tentukan posisi benda pada detik ke 2penyelesaian :r = ro +

r = 0 + t3 - 6t2 + 9tuntuk t = 2s → r = (2)3 – 6(2)2 + 9(2) = 2m

contoh soal :

3. Percepatan a. Percepatan rata-rataPercepatan rata-rata didefinisikan sebagai

perubahan kecepatan dibagi dengan selang waktu

ar = axi + ayj + azk

dengan : ar = percepatan rata-rata (m/s2) ax = vektor percepatan rata-rata pada sb x ay = vektor percepatan rata-rata pada sb y az = vektor percepatan rata-rata pada sb z

Sebuah batu dilempar sehingga bergerak pada sebuah bidang 2 dimensi. Persamaan komponen kecepatannya dalam arah sb x dan sb y adalah vx = (6 + 3t) m/s dan vy = (3t + 2) m/s untuk t1 = 1s dan t2 = 3s. Tentukan :

a. Komponen percepatan rata-ratab. Vektor percepatan rata-ratac. Besar percepatan rata-ratad. Arah percepatan rata-rata

Contoh Soal :

Penyelesaian :Untuk t1 = 1s → vx = 6 + 3t = 6 + 3(1) = 9 m/s dan

Vy = 3t + 2 = 3(1) + 2 = 5 m/s

Untuk t2 = 3s → vx = 6 + 3t = 6 + 3(3) = 15 m/s dan

Vy = 3t + 2 = 3(3) + 2 = 11 m/s

a. Komponen percepatan rata-rata :

m/s2

m/s2

= 3√2 m/s2

b. Vektor percepatan rata-rata : a = axi + ayj

a = 3i + 3j m/s2

c). Besar percepatan rata-rata :

d). Arah percepatan rata-rata :

= = 1 → Ɵ = 45o

Percepatan sesaat didefinisikan sebagai harga limit dari percepatan rata-rata untuk ∆t mendekati nol

b. Percepatan sesaat

Besar percepatan sesaat :

Arah percepatan sesaat :

Sebuah roket yang telah ditembakkan bergerak dengan kecepatan v = (6t – 2t2)i + 5tj. Tentukan :a. Vektor percepatan sesaat roket pada t = 1sb. Besar dan arah percepatan sesaat

Contoh Soal 1:

Penyelesaian :

a = (6 – 4t)i + 5j

a). Vektor percepatan pada saat t = 1s adalah :

a = (6 – 4t)i + 5j = (6 – 4(1))i + 5j = (2i + 5j) m/s2

b). Besar dan arah percepatan sesaat

Arah percepatan sesaat :

5,22

5tan

068

Posisi ssebuah partikel diberikan oleh x = 4 – 27t + t3, dimana satuan koefisien masing-masing adalah m; m/s dan m/s2.Tentukan :a. Kecepatan partikel pada t = 2sb. Percepatan partikel pada t = 5s

Contoh Soal 2:

a). Kecepatan partikel :

Penyelesaian :

= - 27 – 3t2

Untuk t = 2s → v = - 27 – 3t2

v = - 27 – 3 (2)2 = -15 m/s

b). Percepatan partikel :

Untuk t = 5s → a = 6.(5) = 30 m/s2

Apabila fungsi percepatan diketahui, maka fungsi kecepatan dapat dicari dengan mengintegralkan fungsi percepatan. Jika kecepatan partikel mula-mula v0, maka kecepatan akhir partikel vt dapat dihitung dengan rumus :

Vt = v0 +

Dengan : vt = kecepatan pada saat t (m/s) vo = kecepatan awal (m/s) a = fungsi percepatan (m/s2)

4. Menentukan kecepatan dari percepatan

Sebuah mobil diluncurkan setelah t sekon percepatannya dinyatakan a = 3t2 - ½ t3. Hitunglah kecepatan pada saat t = 2 s !Penyelesaian :

Vt = v0 +

v = 0 + v = t3 - ⅛ t4

Contoh Soal :

Kecepatan pada t = 2s → v = 23 - ⅛ (2)4 = 8 – 2 = 6 m/s