Post on 11-Mar-2019
DiferensiasiDiferensiasiDiferensiasiDiferensiasi
Sudaryatno Sudirham
Bahan Kuliah Terbuka
dalam format pdf tersedia di
www.buku-e.lipi.go.id
dalam format pps beranimasi tersedia di
www.ee-cafe.org
Pengertian-Pengertian
Kita telah melihat bahwakemiringan garis lurus adalah
)(
)(
12
12
xx
yy
x
ym
−−=
∆∆=
Bagaimanakah dengan garis lengkung?
∆x∆y
0
1
2
-1
0 1 2 3 4 x
y
P1
∆y
∆x
x
yP2
y = f(x)
Jarak kedua titik potong semakin keciljika ∆x di perkecil menjadi ∆x*
Pada kondisi ∆x mendekati nol, kita peroleh
)()()(
limlim00
xfx
xfxxf
x
y
xx′=
∆−∆+=
∆∆
→∆→∆
Ini merupakan fungsi turunan dari
)(xf di titik P
Ekivalen dengan kemiringan garis singgung di titik P
P1∆y*
∆x*
x
y y = f(x)
∗2P
Garis Lengkung
Garis lurus dengan kemiringan ∆y/∆xmemotong garis lengkung di dua titik
(x1,y1)
(x2,y2)
x
y
f ′(x) di titik (x1,y1) adalah turunan y di titik (x1,y1),
f ′(x) di titik (x2,y2) adalah turunan y di titik (x2,y2)
),(xfy =Pada suatu garis lengkungkita dapat memperoleh turunannya di berbagaititik pada garis lengkung tersebut
maka dikatakan bahwa fungsi f(x) “dapat didiferensiasi di titik tersebut”
x
y
x ∆∆
→∆ 0limJika pada suatu titik x1 di mana benar ada
Penurunan ini dapat dilakukan jika y memang merupakan fungsi x. Jika tidak, tentulah penurunan itu tidak dapat dilakukan.
x
yy
dx
d
dx
dy
x ∆∆==
→∆ 0lim)(
Jika dalam suatu domain suatu fungsi f(x) dapat di-diferensiasidi semua x dalam dalam domain tersebut
kita katakan bahwa fungsi f(x) dapat di-diferensiasi dalam domain.
kita baca “turunan fungsi y terhadap x”
Mononom
kxfy == )(0
00)()(
lim0
0 =∆
=∆
−∆+=′→∆ xx
xfxxfy
x
Contoh:
xxfy 2)(11 ==
222)(2
lim)(0
1 =∆∆=
∆−∆+=′
→∆ x
x
x
xxxxf
x
Contoh:
0
2
4
6
8
10
0 1 2 3 4 5x
yxy 21 =
2)(1 =′ xf
Fungsi ramp
Fungsi tetapan
222 2)( xxfy ==
xxxx
xxxxx
x
xxxxf
x
xx
4)222(lim
2)2(2lim
2)(2lim)(
0
222
0
22
02
=∆+×=∆
−∆+∆+=∆
−∆+=′
→∆
→∆→∆
Turunan fungsi mononom pangkat 2 berbentuk mononompangkat 1 (kurva garis lurus)
Contoh:
333 2)( xxfy ==
2222
0
33323
0
33
03
623232lim
2)33(2lim
2)(2lim)(
xxxxx
x
xxxxxxx
x
xxxxf
x
x
x
=∆+∆×+×=∆
−∆+∆+∆+=
∆−∆+
=′
→∆
→∆
→∆
Turunan fungsi mononom pangkat 3 berbentuk mononompangkat 2 (kurva parabola)
Contoh:
nmxxfy == )(
)1()( −×=′ nxnmy
Secara umum, turunan fungsi mononom
adalah
kxfy =′=′ )(
Jika n = 1 maka kurva fungsi berbentuk garis lurus
dan turunannya berupa nilai konstan,
nmxy =
)(xfy ′=′Jika n > 1, maka turunan fungsi akan merupakan fungsi x,
nmxy =
Fungsi turunan ini dapat diturunkan lagi dan kita mendapatkan fungsi turunan berikutnya, yang mungkin masih dapat diturunkan lagi
)(xfy ′′=′′ turunan dari )(xfy ′=′
)(xfy ′′′=′′′ turunan dari )(xfy ′′=′′*) Untuk n berupa
bilangan tak bulat akandibahas kemudian
*)
dx
dyxfy =′=′ )( disebut turunan pertama,
2
2)(
dx
ydxfy =′′=′′ turunan kedua,
3
3)(
dx
ydxfy =′′′=′′′ turunan ke-tiga, dst.
344 2)( xxfy ==
12
;12)2(6
;6)3(2
4
)12(4
2)13(4
=′′′==′′
==′−
−
y
xxy
xxy
Contoh:
nmxxfy == )(Kurva fungsi mononom yang memiliki beberapa turunan
akan berpotongan dengan kurva fungsi-fungsi turunannya.
-100
0
100
200
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
4xy =
34xy =′
212xy =′′ xy 24=′′′
24=′′′′y
212xy =′′34xy =′
Contoh:34xy =′ 212xy =′′ xy 24=′′′ 24=′′′′y
4xy = dan turunan-turunannya Fungsi
Polinom
Contoh: 24)(11 +== xxfy
{ } { }4
242)(4lim)(1 =
∆+−+∆+=′
→∆ x
xxxxf
xx
f1(x) = 4x + 2
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2x
y
4)('1 =xf Turunan fungsi inisama dengan
turunan f(x)=4x karena turunan daritetapan 2 adalah 0.
Secara Umum: Jika F(x) = f(x) + K maka Fʹ(x) = f′ (x)
)2(4)(22 −== xxfy 84)(2 −= xxf
4)(2 =′ xf
)2(4)(2 −−−−==== xxf
4)(2 ====′′′′ xf
-15
-10
-5
0
5
10
-1 0 1 2 3 4xy
Contoh:
Contoh: 524)( 233 −+== xxxfy
{ } { }28224
5245)(2)(4lim
22
03
+=+×=∆
−+−−∆++∆+=′→∆
xxx
xxxxxxy
x
5245)( 2344 −++== xxxxfy
{ } { }281522435
5245 5)(2)(4)(5lim
22
2323
04
++=+×+×=∆
−++−−∆++∆++∆+=′→∆
xxxx
x
xxxxxxxxxy
x
Contoh:
Secara Umum:
Turunan fungsi polinom, yang merupakan jumlah beberapa mononom, adalah jumlah turunan masing-masing mononom dengan syarat setiap mononom yang membentuk polinom itu
memang memiliki turunan.
Fungsi Yang Merupakan Perkalian
Dua Fungsi
dx
dvw
dx
dwv
dx
vwd
dx
dy +== )(
)(
))(()(
vwvwwvvw
wwvvyy
∆∆+∆+∆+=∆+∆+=∆+
x
wv
x
vw
x
wv
x
vwvwvwwvwv
x
yyy
x
y
∆∆∆+
∆∆+
∆∆=
∆−∆∆+∆+∆+=
∆−∆+=
∆∆
)()(
vwy =Jika
maka
Contoh:
44422323
3018126362)32(
xxxxxxxdx
xxdy =+=×+×=
×=′
56xy = 430xy =′Turunan adalah
Jika dipandang sebagai perkalian dua fungsi
dx
duvw
dx
dvuw
dx
dwuv
dx
duv
dx
dvuw
dx
dwuv
dx
uvdw
dx
dwuv
dx
wuvd
dx
uvwd
)()()(
)( )(
)())(()(
++=
++=+==
Jika uvwy =
56xy =
44442
222
3012126)4)((3x
)6)(2()1)(32()(
xxxxxx
xxxxxdx
uvwd
dx
dy
=++=×+
×+×==
Contoh:Jika dipandang sebagai perkalian tiga fungsi
Fungsi Yang Merupakan Pangkat dari suatu Fungsi
vvvvy ××== 2361Contoh:
dx
dvv
dx
dvv
dx
dvvv
dx
dvv
dx
dvv
dx
dvv
dx
dvv
dx
dvvv
dx
dvv
dx
dvvv
dx
dvv
dx
dvvv
dx
dvvv
dx
dvvv
dx
dy
5
4555
22345
32
23231
6
2
)()()(
=
++++=
++
++=
++=
dx
dvv
dx
dv
dv
dv
dx
dv 566
6==
dx
dvnv
dx
dv nn
1−=
Contoh ini menunjukkan bahwa
Secara Umum:
Contoh: 2332 )1()1( −+= xxy
)12()1)(1(6
)1()1(6)1()1(6
2)1(3)1()3)(1(2)1(
)1()1(
)1()1(
3223
22233322
22232332
3223
2332
−++−=
+−+−+=
+−+−+=
+−+−+=
xxxxx
xxxxxx
xxxxxx
dx
xdx
dx
xdx
dx
dy
Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian dua fungsi dan pangkat suatu fungsi
Fungsi Rasional
Fungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsi
w
vy = 1−= vwy
−=
+−=+−=
+==
=
−−
−−−
dx
dwv
dx
dvw
w
dx
dv
wdx
dv
w
v
dx
dvw
dx
dvvw
dx
dvw
dx
dwv
dx
vwd
w
v
dx
d
dx
dy
2
212
111
1
1
)(
2w
dx
dwv
dx
dvw
w
v
dx
d
−=
atau
Jadi:
3
2 3
x
xy
−=
4
2
6
244
6
223
9)93(2
)3)(3()2(
x
x
x
xxx
x
xxxx
dx
dy
+−=−−=
−−=
Contoh:
22 1
xxy +=
3
2 22
4
2102
xx
xxx
dx
dy −=×−×+=
Contoh:
1dengan ;1
1 22
2≠
−+= x
x
xy
2222
33
22
22
)1(
4
)1(
2222
)1(
2)1(2)1(
−−=
−−−−=
−+−−=
x
x
x
xxxx
x
xxxx
dx
dy
(agar penyebut tidak nol)Contoh:
Fungsi BerpangkatTidak Bulat
(v adalah fungsi yang bisa diturunkan)
q
pn = dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠ 0Bilangan tidak bulat
dx
dvpv
dx
dyqy pq 11 −− =
Jika y ≠ 0, kita dapatkandx
dv
qy
pv
dx
vd
dx
dyq
pqp
1
1/ )(−
−==
( ) )/(1/1 qppqqpq vvy −−− ==
dx
dvv
q
p
dx
dvv
q
p
dx
dv
qv
pv
dx
vd
dx
dy
qp
qpppqpp
pqp
1)/(
)/()1()/(
1/
)(
−
+−−−
−
=
===
sehingga
qpn vvy /== pq vy =
Formulasi ini mirip dengan keadaan jika n bulat,hanya perlu persyaratan bahwa v ≠ 0 untuk p/q < 1.
Fungsi Parametrik danKaidah Rantai
Kaidah rantai
)(tfx = dapat diturunkan terhadap t,
)(xFy = dapat diturunkan terhadap x dan Jika
( ) )()( tgtfFy == dapat diturunkan terhadap t menjadimaka
dt
dx
dx
dy
dt
dy =
Apabila kita mempunyai persamaan
maka relasi antara x dan y dapat dinyatakan dalam t. Persamaan demikian disebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter. Jika kita eliminasi t dari kedua persamaan di atas, kita dapatkan persamaan yang berbentuk
)(dan )( tfytfx ==
)(xFy =
Fungsi Implisit
Sebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk explisitnamun sebagian yang lain tidak.
Untuk fungsi yang dapat diubah dalam bentuk eksplisit, turunanfungsi dapat dicari dengan cara seperti yang sudah kita pelajari di
atas.
Untuk mencari turunan fungsi yang tak dapat diubah ke dalambentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebut diferensiasi
implisit. Dalam cara ini kita menganggap bahwa fungsi y dapatdidiferensiasi terhadap x.
Fungsi implisit ini merupakan sebuah persamaan. Jika kita melakukan operasi matematis di ruas kiri, maka operasi yang sama harus dilakukan pula di ruas kanan agar kesamaan tetap terjaga. Kita lakukan diferensiasi (cari turunan) di kedua ruas, dan kita akan peroleh
822 =++ yxyxContoh:
yxdx
dyyx
dx
dyy
dx
dxy
dx
dyxx
−−=+
=+++
2)2(
022
yx
yx
dx
dy
2
2
++−=
0)2( ≠+ yx kita peroleh turunanJika
434 434 =−+ yxyx
0124)3(44
0)3()4(
44
3323
43
33
=−++
=−++
dx
dyyy
dx
dyyxx
dx
yd
dx
xdy
dx
dyxx
Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah persamaan. Kita lakukan diferensiasi pada kedua ruas, dan kita akan memperoleh
Contoh:
)(3
)(32
33
yxy
yx
dx
dy
−+−=
0)( 32 ≠− yxy kita dapat memperoleh turunanUntuk
Turunan FungsiTrigonometri
x
xxxxxx
xxx
dx
xd
dx
dy
∆−∆+∆=
∆−∆+==
sinsincoscossin
sin)sin(sin
xy sin= maka Jika
Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cos∆x = 1 dan sin∆x = ∆x. Oleh karena itu
xdx
xdcos
sin =
x
xxxxxx
xxx
dx
xd
dx
dy
∆−∆−∆=
∆−∆+==
cossinsincoscos
cos)cos(cos
xy cos= maka Jika
Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cos∆x = 1 dan sin∆x = ∆x. Oleh karena itu
xdx
xdsin
cos −=
Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari.
xxx
xxx
x
x
dx
d
dx
xd 222
2sec
cos
1
cos
)sin(sincos
cos
sintan ==−−=
=
xxx
xxx
x
x
dx
d
dx
xd 222
2csc
sin
1
sin
)(coscossin
sin
coscot −=−=−−=
=
xxx
x
x
x
xdx
d
dx
xdtansec
cos
sin
cos
)sin(0
cos
1sec22
==−−=
=
xxx
x
x
x
xdx
d
dx
xdcotcsc
sin
cos
sin
)(cos0
sin
1csc22
−=−=−=
=
Contoh:
Tegangan pada suatu kapasitor dengan kapasitansi C = 2×10-6 farad merupakan fungsi sinus vC = 200sin400t volt. Arus yang mengalir pada kapasitor ini adalah
Hubungan antara tegangan kapasitor vC dan arus kapasitor iC adalah
dt
dvCi C
C =
( ) ampere 400cos160,0400sin200102 6 ttdt
d
dt
dvCi C
C =××==
-200
-100
0
100
200
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
vC iC
vC
iC
t [detik]
Contoh:
Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinus iL = −0,2cos400t ampere.
Hubungan antara tegangan induktor vL dan arus induktor iL adalah
dt
diLv L
L =
( ) tttdt
d
dt
diLv L
L 400sin200 400400sin2,05,2400cos2,05,2 =×××=−×==
vL
iL
vL iL
-200
-100
0
100
200
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 t[detik]
Turunan FungsiTrigonometri Inversi
xy 1sin−= yx sin= ydydx cos=
ydx
dy
cos
1=21
1
xdx
dy
−=x
1
21 x−
y
ydx
dy
sin
1−= 21
1
xdx
dy
−
−=
x
1 21 x−y
xy 1cos−= yx cos= ydydx sin−=
xy 1tan−= yx tan= dyy
dx2cos
1=
ydx
dy 2cos=21
1
xdx
dy
+=x
1
21 x+y
xy 1cot−= yx cot= dyy
dx2sin
1−=
ydx
dy 2sin−= 21
1
xdx
dy
+−=
x
1
21 x+y
xy 1sec−=y
yxcos
1sec == dy
y
xdx
2cos
)sin(0 −−=
1
1
1
1
sin
cos
2
22
2
−=
−×==
xx
x
x
xy
y
dx
dy
1
x12 −xy
xy 1csc−=y
yxsin
1csc == dy
y
xdx
2sin
)(cos0 −=
1
1
1
1
cos
sin
2
22
2
−
−=
−×−=
−=
xx
x
x
xy
y
dx
dy1
x
12 −x
y
Fungsi Trigonometridari Suatu Fungsi
dx
dvv
dx
dv
dv
vd
dx
vdcos
)(sin)(sin ==
dx
dvv
dx
dv
dv
vd
dx
vdsin
)(cos)(cos −==
Jika v = f(x), maka
dx
dvv
dx
dv
x
xx
v
v
dx
d
dx
vd 22
22sec
cos
sincos
cos
sin)(tan =+=
=
dx
dvv
v
v
dx
d
dx
vd 2cscsin
cos)(cot −=
=
dx
dvvv
dx
dv
v
v
vdx
d
dx
vdtansec
cos
sin0
cos
1)(sec2
=+=
=
dx
dvvv
vdx
d
dx
vdcotcsc
sin
1)(csc −=
=
dx
dw
wdx
wd
2
1
1
1)(sin
−=
−
dx
dw
wdx
wd
2
1
1
1)(cos
−−=
−
dx
dw
wdx
wd2
1
1
1)(tan
+=
−
dx
dw
wdx
wd2
1
1
1)(cot
+−=
−
dx
dw
wwdx
wd
1
1)(sec
2
1
−=
−
dx
dw
wwdx
wd
1
1)(csc
2
1
−−=
−
Jika w = f(x), maka
Fungsi Logaritmikdan
Fungsi Eksponensial
Turunan Fungsi Logaritmik
)0( 1
ln)(1
>== ∫ xdtt
xxfx
xxf ln)( = didefinisikan melalui suatu integralFungsi logaritmik
luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan
sumbu-t, dalam selang antara t = 1 dan t = x
x t
1/x
1/t
x +∆x 1/(x+∆x)
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4
y
∫=x
dtt
x1
1
ln
∆=
∆−∆+= ∫
∆+ xx
xdt
txx
xxx
dx
xd 11)ln()ln(ln
Luas bidang ini lebih kecil dari luas persegi panjang (Δx × 1/x). Namun jika Δx
makin kecil, luas bidang tersebut akan makin mendekati (Δx × 1/x); dan jika Δx
mendekati nol luas tersebut sama dengan (Δx × 1/x).
xdx
xd 1ln =
ln(x+∆x)−lnx
Tentang integral akan dipelajari lebih lanjut
Turunan Fungsi Eksponensial
xey = xexy == lnln
penurunan secara implisit di kedua sisi
11ln ==
dx
dy
ydx
yd
xeydx
dy ==atau
Jadi turunan dari ex adalah ex itu sendiri
xey =′ xey =′′ xey =′′′ dst.
.
dx
dve
dx
dv
dv
de
dx
de vvv
==)(xvv =Jika
xey1tan−
=2
tan1tan
1
tan1
1
x
e
dx
xde
dx
dy xx
+==
−− −
Diferensial dx dan dy
dx dan dy didefinisikan sebagai berikut:
Turunan fungsi y(x) terhadap x dinyatakan dengan formulasi
)(lim0
xfx
y
dx
dy
x′=
∆∆
=→∆
Sekarang kita akan melihat dx dan dy yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga rasio dy/dx , jika dx≠ 0, sama dengan turunan fungsi yterhadap x. Hal ini mudah dilakukan jika x adalah peubah bebas dan y merupakan fungsi dari x: )(xFy =
dxxFdy )('=2). dy, yang disebut sebagai diferensial y, adalah fungsi dari x dan dxyang dinyatakan dengan
1). dx, yang disebut sebagai diferensial x, adalah bilangan nyata dan merupakan peubah bebas lain selain x;
Penjelasan secara grafis
Pdx
dy
θ
y
xIni adalah
peubah bebas
Ini adalah fungsi(peubah tak bebas)
dxxFdy )('= Pdx
dy
θ
y
x
Jika dx berubah, maka dyberubah sedemikian rupasehingga dy/dx samadengan kemiringan garissinggung pada kurva
θ= tandx
dydxdy )(tanθ=
adalah besar perubahan nilai ysepanjang garis singgung di titik P
pada kurva, jika nilai x berubah sebesar dx
adalah laju perubahan yterhadap perubahan x.
Pdx
dyθ
x
yP
dx
dy
θ
x
y
Pdx
dy
θ
x
y
Diferensial dx dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke kanan” dan negatif jika “mengarah ke kiri”.
Diferensial dy dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke atas” dan negatif jika “mengarah ke bawah”.
Dengan pengertian diferensial seperti di atas, kita kumpulkan formula turunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam tabel berikut.
Dalam tabel ini v adalah fungsi x.
konstan ;0 == cdx
dc
dx
dvc
dx
dcv =
dx
dw
dx
dv
dx
wvd +=+ )(
cdvdcv =
konstan ;0 == cdc
dwdvwvd +=+ )(
dx
dvw
dx
dwv
dx
dvw += wdvvdwvwd +=)(
2w
dx
dwv
dx
dvw
dx
w
vd −
=
2w
vdwwdv
w
vd
−=
dx
dvnv
dx
dv nn
1−= dvnvdv nn 1−=
1−= nn
cnxdx
dcx dxcnxcxd nn 1)( −=
DiferensialTurunan Fungsi
Ada dua cara untuk mencari diferensial suatu fungsi.
1).Mencari turunannya lebih dulu (kolom kiri tabel), kemudian dikalikan dengan dx.
2). Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanan tabel)
Contoh: 653 23 −+−= xxxy
563 2 +−=′ xxy
dxxxdy )563( 2 +−=sehingga
Kita dapat pula mencari langsung dengan menggunakan formula dalam tabel di atas
dxxx
dxxdxdxxdxdxdxddy
)563(
563 )6()5()3()(2
223
+−=
+−=−++−+=
Bahan Ajar
DiferensiasiSudaryatno Sudirham