DETERMINAN MATRIK

Yulvi Zaika

DEFINISI

Untuk setiap matriks persegi, ada satu bilangan tertentu yang disebut determinan

Determinan adalah jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari suatu matriks bujur sangkar.

Disimbolkan dengan: AA det

Metode untuk menghitung determinan matriks:• Metode Sarrus• Metode minor dan kofaktor (Teorema Laplace)

Jika |A| 0 disebut matriks non singular

SIFAT-SIFAT DETERMINANApabila semua unsur dalam 1 baris atau 1 kolom = 0, maka harga determinan matriks = 0

Harga determinan tidak berubah apabila semua baris diubah menjadi kolom atau semua kolom diubah menjadi baris.

TAA

Contoh:

953

732

321

B 1

953

732

321

det B

Nilai determinan tidak berubah jika dilakukan operasi elementer matrix

D2=A2-( 2x A1)

Jadi, determinan D = determinan A

Jika B diperoleh dari A dengan mempertukarkan setiap dua barisnya atau kolomnya, maka:

AC

Lanjutan….

Contoh:

Baris 1 ditukar dengan baris 3

lanjutan………

oJika dua baris atau kolomya dari A adalah identik, maka :

oApabila semua unsur pada sembarang baris atau kolom dikalikan dengan sebuah faktor (yang bukan nol),maka harga determinannya dikalikan dengan faktor tersebut.

0A

Contoh:B2=3 x A2

Lanjutan………

Jika A dan B adalah dua matriks bujur sangkar, maka:

BAAB

Jadi, determinan B = 3 x determinan AJika matriks persegi A adalah matriks segitiga atas atau bawah, maka determinan dari matriks A adalah hasil kali dari elemen – elemen diagonalnya.Contoh:

2 b continue…

Contoh:

Jika matriks persegi A mempunyai invers, maka:

lanjutan………

BUKTIKAN!!!!

8

Lanjutan……… Misal A, B dan C adalah matriks persegi berukuran n x n yang berbeda di salah satu baris atau kolomnya, misal di baris ke-r yang berbeda. Pada baris ke-r matriks C merupakan penjumlahan dari matriks A dan B maka:

Contoh:

METODE SARRUS

Determinan Orde Tiga

Determinan Orde Dua

Contoh:

MINOR DAN KOFAKTORMino

rJika ada sebuah determinan dengan orde ke-n maka yang dimaksud dengan MINOR unsur aij adalah determinan yang berasal dari determinan orde ke-n dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j.

Kofaktor

Kofaktor suatu unsur determinan aij adalah:

Contoh:Kofaktor elemen a32 = c32 adalah:Matriks kofaktor:

Perjanjian tanda:

TEOREMA LAPLACE

Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlah perkalian eemen-elemen dari sembarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya.

Contoh:

Dengan menggunakan metode Sarrus:

Dengan perluasan kofaktor baris ke-1:

Dengan perluasan kofaktor kolom ke-2:

(18+3+4-2-12-9)

ELIMINASI GAUSMatriks dijadikan segitiga atas atau segitiga bawah

Solusi

Det A= -1/5

SOAL LATIHAN

Hitung determinan matriks diatas dengan metoda Sarrus Minor & Kofactor dan eliminasi gauss

1154

932

1021

A