Deret Taylor

dan Analisis Galat

2

Definisi :

Andaikata f dan semua turunannya, f’,f’’,f’’’,…

menerus di dalam selang [a,b]. Misalkan :

xoє[a,b], maka nilai-nilai x di sekitar xo dan xє[a,b],

f(x) dapat diperluas (diekspansi) ke dalam deret

Taylor :

...)(!

)(....)(

!2

)()(

!1

)()()( )(''

2

0

'

o

mm

oo

ooo xf

m

xxxf

xxxf

xxxfxf

Deret Taylor

Jika (x-xo)=h, maka :

Contoh :

Hampiri fungsi f(x)=sin(x) ke dalam deret

Taylor di sekitar xo=1.

Penyelesaian :

f(x) = sin(x) f’’’(x) = - cos(x)

f’(x) = cos(x) f(4)(x) = sin(x)

f’’(x) = - sin(x) dst.

...)(!

....)(!2

)(!1

)()( )(''2

0

' o

mm

oo xfm

hxf

hxf

hxfxf

maka :

Kasus khusus adalah bila fungsi diperluas di

sekitar xo=0, maka deretnya dinamakan deret

Maclaurin yang merupakan deret Taylor baku.

Contoh-1 :

f(x)= sin(x) dimana xo = 0

...)1sin(24

)1cos(6

)1sin(2

)1cos()1sin( )sin( )(432

hhh

hxxf

...0351,00901,04208,05403,08415,0)( 432 hhhhxf

Penyelesaian :

Contoh-2 : f(x)=ex dimana xo=0

Penyelesaian :

)0cos(6

)0sin(2

)0cos()0sin( )sin( )(32 hh

hxxf

1206 )sin( )(

53 xxxxxf

...!4

)0(

!3

)0(

!2

)0(

!1

)0()( 0

430

200

e

xxe

xe

xeexf x

...!4!3!2

1)(43

02

xx

ex

xexf x

Karena suku-suku deret Taylor tidak berhingga

banyaknya, maka untuk alasan praktis deret Taylor

dipotong sampai suku order tertentu. Deret Taylor

yg dipotong s/d order ke-n dinamakan deret Taylor

terpotong yg dinyatakan:

Dengan demikian deret Taylor yg dipotong

sampai suku order ke-n dapat ditulis :

)()(!

)(....)(

!2

)()(

!1

)()()( )(''

2

0

' xRxfn

xxxf

xxxf

xxxfxf no

nn

oo

ooo

)(/ );()!1(

)()( )1( residusisagalatdisebutxcxcf

n

xxxR o

non

)()()( xRxPxf nn

dimana :

Contoh : f(x)=sin(x); xo=1; utk deret Taylor

orde

ke-n

Penyelesaian :

)(!

)()(

1

o

kn

k

k

on xf

k

xxxP

)()!1(

)()( )1(

)1(

cfn

xxxR n

n

on

)1sin(!4

)1()1cos(

!3

)1()1sin(

!2

)1()1cos(

!1

)1()1sin()(

432

4

xxxxxP

)cos(!5

)1()(

)!14(

)1()(

5)14(

)14(

4 cx

cfx

xRGalat

• Galat berasosiasi dengan seberapa dekat

solusi hampiran terhadap solusi sejatinya.

Semakin kecil galatnya, semakin teliti

solusi numerik yg didapatkan. Kita harus

memahami dua hal, yaitu :

a. Bagaimana menghitung galat

b. Bagaimana galat timbul

Analisis Galat

Misalkan :

Contoh :

: , ^

makaasejatinilaiterhadaphampirannilaiadalaha

galatdisebutaa ^

45,10 10,5; ^

aa 05,05,1045,10

^

aaMutlakGalat

%100 : xa

relatifGalat R

%100 : ^

x

a

hampiranrelatifGalat RA

• Contoh :

Diketahui : a= 10/3; â = 3,333

Hitung : (a). Galat !

(b). Galat mutlak !

(c). Galat relatif !

(d). Galat relatif hampiran !

Penyelesaian :

(a). Galat : є = a-â = 10/3 – 3,333

= 10.000/3000 – 9999/3000

= 1/3000 = 0,000333

(b). Galat mutlak : |є|=|a-â) = 0,000333

(c).

(d).

Pendekatan lain, perhitungan numerik yg meng-

gunakan pendekatan lelaran (iteration), єRA dihitung dengan

cara :

dimana : ar+1 = nilai hampiran lelaran sekarang

ar = nilai hampiran lelaran sebelumnya

0,01%100%x (10/3)

0,000333 100%x : relatifGalat

aR

999

1100%x

3,333

0,000333 100%x :hampiran relatifGalat

^

aRA

1

1

r

rrRA

a

aa

• Proses lelaran dihentikan bila :

|єRA| < єS

єS = Toleransi galat yang dispesifikasikan

Semakin kecil єS, semakin teliti solusinya,

namun semakin banyak proses lelarannya

• Contoh :

Diketahui : Xr+1=(-Xr+13 + 3)/6; r =0,1,2,3

Xo= 0,5; єs= 0,00001

Hitung : єRA !

Penyelesaian :

Xo = 0,5

X1 = 0,4791667;

X2 = 0,4816638;

X3 = 0,4813757;

X4 = 0,4814091;

X5 = 0,4814052;

sRA

043478,0X

)XX(

1

o1

sRA

0051843,0X

)XX(

2

12

sRA

0005984,0X

)XX(

3

23

sRA

0000693,0X

)XX(

4

34

! ,0000081,0X

)XX(

5

45 berhentisRA

• Secara umum terdapat dua sumber utama

penyebab galat dlm perhitungan numerik,

yaitu :

1. Galat pemotongan (truncation error)

2. Galat pembulatan (round-off error)

Ada sumber galat lain, yaitu :

1. Galat eksperimental

2. Galat pemrograman

SUMBER UTAMA GALAT NUMERIK

(1). Galat Pemotongan (truncation error).

Galat ini timbul akibat penggunaan

hampiran sebagai pengganti formula

eksak. Maksudnya, ekspresi matema-

tika yg lebih kompleks diganti dengan

formula yg lebih sederhana.

Tipe galat pemotongan bergantung pd

metode komputasi yg digunakan untuk

penghampiran shg kadang-kadang di-

sebut juga galat metode.

Misalkan: turunan pertama f(x1), dihampiri dengan formula :

dimana : h = lebar absis xi+1

Contoh : hampiran fungsi cos(x) dengan bantuan deret Taylor di sekitar x = 0 !

Penyelesaian :

f(x) = cos(x) f(4)(x) = sin(x)

f’(x) = - sin(x)

f’’(x) = - cos(x)

h

xfxfx iif

)()()( 1

1

'

Maka :

Galat pemotongan :

......!10!8!6!4!2

1)cos()(108642

xxxxx

xxf

Nilai hampiran Galat pemotongan

)()!1(

)()( )1(

)1(

cfn

xxxR n

n

on

)cos(!7

)()!16(

)0()(

7)16(

)16(

6 cx

cfx

xR

Nilai Rn yg tepat hampir tdk pernah dapat kita

peroleh, karena kita tdk mengetahui nilai c

sebenarnya terkecuali informasi bahwa c terletak

pada selang tertentu. Karenanya tugas kita

adalah mencari nilai maksimum yg mungkin dari

|Rn| untuk c dalam selang yg diberikan, yaitu :

)!1(

)x-(xx )()(

)1(

o)1(

ncfxR

nn

xcx

n Makso

• Contoh-1 :

Gunakan deret Taylor orde 4 di sekitar

xo=1 untuk menghampiri ln(0,9) dan beri-

kan taksiran untuk galat maksimum yang

dibuat !

Penyelesaian :

f(x) = ln(x) f(1) = 0

f’(x) = 1/x f’(1) = 1

f’’(x) = -1/x2 f’(1) = -1

f’’’(x) = 2/x3 f’’’’(1) = 2

f(4)(x) = - 6/x4 f(4)(1) = -6

f(5)(x) = 24/x5 f(5)(c) = 24/c5

Deret Taylor :

Jadi : ln(0,9) = -0,1053583 dengan galat pemo-

tongan < 0,0000034.

)(4

)1(

3

)1(

2

)1()1()ln( 4

432

xRxxx

xx

)(4

)1,0(

3

)1,0(

2

)1,0(1,0)9,0ln( 4

432

xR

)(1053583,0)9,0ln( 4 xR

0000034,05!

(-0,1)x

c

24)9,0(

5

519,0

5

Maksc

R

Contoh-2 :

Hampiri nilai secara numerik,yaitu :

dengan deret Maclaurin orde 8 !

Penyelesaian :

Deret Maclaurin orde 8 dari adalah :

dxex

1

0

2

2

)( xexf

2

)( xexf

!4!3!21

86422 xxx

xex

dxxxx

xdxex )!4!3!2

1(861

0

1

0

422

4617724,1216

1

42

1

10

1

3

11

0

1

21642103

9753

x

xxxxxx

• Perhitungan dgn metode numerik hampir

selalu menggunakan bilangan riil.

Masalah timbul bila komputasi numerik

dikerjakan dengan komputer karena

semua bilangan riil tdk dapat disajikan

secara tepat di dlm komputer. Keterbatas

an komputer dlm menyajikan bilangan riil

menghasilkan galat yg disebut galat

pembulatan.

GALAT PEMBULATAN

• Contoh :

1/6 = 0,16666666, kalau 6 digit komputer

hanya menuliskan 0,166667.

Galat pembulatannya = 1/6 – 0,166667 =

-0,00000033.

Kebanyakan komputer digital mempunyai

dua cara penyajian bilangan riil, yaitu :

(a). Bilangan titik tetap (fixed point)

Contoh : 62.358; 0,013; 1.000

(b). Bilangan titik kambang (floating point)

Contoh : 0,6238 x 103 atau 0,6238E+03

0,1714 x 10-13 atau

0,1714E-13

Digit-digit berarti di dalam format bilangan

titik kambang disebut juga “Angka Bena”

(significant figure).

• Adalah angka bermakna, angka penting atau

angka yg dapat digunakan dgn pasti.

• Contoh :

43.123 memiliki 5 angka bena (4,3,1,2,3)

0,1764 memiliki 4 angka bena (1,7,6,4)

0,0000012 memiliki 2 angka bena (1,2)

278.300 memiliki 6 angka bena (2,7,8,3,0,0)

0,0090 memiliki 2 angka bena (9,0)

ANGKA BENA

Galat akhir atau galat total pada solusi numerik

merupakan jumlah galat pemotongan dan galat

pembulatan.

Contoh :

9800667,024

)2,0(

2

)2,0(1)2,0(

42

Cos

Galat pemotongan Galat pembulatan

GALAT TOTAL

• Galat pemotongan timbul karena kita

menghampiri cos(0,2) s/d suku orde 4

sedangkan galat pembulatan timbul

karena kita membulatkan nilai hampiran

ke dalam 7 digit bena.

• Di dalam metode numerik, fungsi f(x)

sering diganti dgn fungsi hampiran yang

lebih sederhana. Satu cara mengungkap-

kan tingkat ketelitian penghampiran itu

adalah dengan menggunakan notasi :

O-Besar (Big-Oh).

ORDE PENGHAMPIRAN

• Misal : f(h) dihampiri dgn fungsi p(h).

Jika |f(h)-p(h)| ≤ M|hn|, yg dlm hal ini M adalah

konstanta riil > 0, maka kita katakan bahwa p(h)

menghampiri f(h) dengan orde penghampiran

O(hn) dan ditulis dgn :

f(h) = p(h) + O(hn)

O(hn) juga dapat diartikan sebagai orde galat

dari penghampiran fungsi. Karena h umumnya

cukup kecil, yaitu < 1, maka semakin tinggi nilai

n semakin kecil galat, yg berarti semakin teliti

penghampiran fungsinya.

• Metode yg berorde O(h2) misalnya, lebih teliti drpd metode yg berorde O(h). Juga pada metode yg berorde O(h2), jika ukuran h dijadikan setengah kali semula, maka galatnya menjadi seperempat kali galat semula.

Umumnya deret Taylor digunakan untuk menghampiri fungsi. Misalkan :

xi+1 = xi + h, i=0,1,2,….. Adalah titik-titik sebesar h, maka hampiran f(xi+1) dengan deret Taylor di sekitar xi adalah :

Dalam hal ini :

Jadi, kita dapat menuliskan :

)()(!

)(....)(

!2

)()(

!1

)()()( 1

)(1''2

1'11

ini

nn

iii

iii

iiii xRxf

n

xxxf

xxxf

xxxfxf

)()(!

....)(!2

)(!1

)()( 1

)(''2

'

1 ini

nn

iiii xRxfn

hxf

hxf

hxfxf

1

1)1()1(

1 );()()!1(

)(

ii

nnn

in xtxhOtfn

hxR

n

k

n

i

kk

i hOxfk

hxf

0

1

1 )()(!

)(

Contoh :

)(!4!3!2

1)( 5432

hOhhh

hexf x

)(4432

)ln()( 55432

hOxxxx

xxxf

)(!5!3

)sin()( 753

hOhh

hhxf

)(!6!6!4

1)cos()( 8642

hOhhh

hxf

BILANG TITIK AMBANG

Bilangan riil di dalam komputer umumnya disajikan dalam format

bilangan titik-ambang

Bilangan titik-ambang a ditulis sebagai

a = ± m × B p = ± 0.d1d2d3d4d5d6 ...dn × Bp

m = mantis/mantisa (riil), d1d2d3d4d5d6 ...dn adalah digit mantis.

B = basis sistem bilangan yang dipakai (2, 8, 10, 16, dsb)

p = pangkat(berupabilanganbulat), dari–Pmin sampai+Pmaks

Contoh: 245.7654 = 0.2457654 × 103

BILANG TITIK AMBANG

Bilangan Titik-ambang Ternormalisasi

Syarat: digit yang pertama tidak boleh 0

a = ± m × Bp = ± 0.d1d2d3d4d5d6... dn× Bp

1 ≤ d1 ≤ B -1 dan 0 ≤ dk ≤ B-1 untuk k > 1.

Pada sistem desimal, 1 ≤ d1 ≤ 9 dan 0 ≤ dk ≤ 9, Pada sistem desimal, 1

≤ d1 ≤ 9 dan 0 ≤ dk ≤ 9,

Sedangkan pada sistem biner, d1 =1dan 0 ≤ dk ≤ 1.

Contoh: 0.0563 × 10-3 0.563 × 10-4,

0.00023270 × 106 0.23270 × 103

BILANG TITIK AMBANG

Pembulatan pada Bilangan Titik-ambang

Bilangan riil di dalam komputer mempunyai rentang nilai yang terbatas.

Bilangan titik-ambang yang tidak dapat mencocoki satu dari nilai-nilai di

dalam rentang nilai yang tersedia, dibulatkan kesalah satu nilai di

dalam rentang

Galat yang timbul akibat penghampiran tersebut diacu sebagai galat

pembulatan.

Ada dua teknik pembulatan yang lazim dipakai oleh komputer, yaitu

pemenggalan (chopping) dan pembulatan ke digit terdekat (in-

rounding).

PEMENGGALAN (CHOPPING)

Pemenggalan (chopping) Misalkan a = ±0.

d1d2d3 ... dndn+1 ... × 10p

flchop(a) = ±0. d1d2d3 ... Dn-1dn × 10p

Contoh: π = 0.314159265358... × 100p

flchop(π) = 0.3141592 × 100p ( 7 digit

mantis)

Galat= 0.000000065...

PEMBULATAN

Pembulatan ke digit terdekat (in-rounding)

Misalkan a = ±0. d1d2d3 ... dndn+1 ... × 10p

flround(a) = ±0. d1d2d3 ... dn × 10p

PEMBULATAN

Contoh: a = 0.5682785715287 × 10-4 :

Di dalamkomputer 7 digit dibulatkan menjadi

flround(a) = 0.5682786 × 10-4

Di dalam komputer 8 digit dibulatkan menjadi?

Di dalam komputer 6 digit dibulatkan menjadi

Didalam komputer 9 digit dibulatkan menjadi?

ARITMETIKA BILANGAN TITIK

AMBANG

Kasus1: Penjumlahan (termasuk pengurangan) bilangan

yang sangat kecil ke (atau dari) bilangan yang lebih besar

menyebabkan timbulnya galat pembulatan.

Contoh: Misalkan digunakan komputer dengan 4 digit

(basis 10). Hitunglah:

1.557 + 0.04381 = 0.1557 × 101 + 0.4381 × 10-1.

Cari Galat dari penyelesaian penjumlahan aritmetika

terhadap bilangan pendekatan yang didapat dengan

pemotongan dan pembulatan!

ARITMETIKA BILANGAN TITIK

AMBANG

Kasus2: Pengurangan dua buah bilangan yang hampir

sama besar (nearly equal).

Bila dua bilangan titik-ambang dikurangkan, hasilnya

mungkin mengandung nol pada posisi digit mantis yang

paling berarti (posisi digit paling kiri).

Keadaan ini dinamakan kehilangan angka signifikan (loss

of significance). Baik pemenggalan maupun pembulatan ke

digit terdekat menghasilkan jawaban yang sama

ARITMETIKA BILANGAN TITIK

AMBANG

Contoh:

Kurangi 0.56780 × 105 dengan 0.56430 ×

105 (5 angka signifikan) serta tentukan bilangan

galat yang didapat dari pembulatan dan pemenggalan!

Kurangi 3.1415926536 dengan 3.1415957341 (11 angka

signifikan) serta tentukan bilangan galat yang didapat dari

pembulatan dan pemenggalan!

ARITMETIKA BILANGAN TITIK

AMBANG

Contoh:

Diberikan. hitunglah f(500)

dengan menggunakan 6 angka bena dan pembulatan ke

digit terdekat!

Penyelesaian:

(Solusi eksak adalah: 11.174755300747198…)! Kenapa

hasil tidak akurat? Apakah ada cara penyelesaian yang

lebih baik?

)1()( xxxxf

15.11

223.0*500

)3607.223830.22(500

)500501(500)500(

f

44

Perambatan Galat

• Pada suatu proses komputasi yang memiliki error akan menyebabkan penumpukkan error apabila proses tersebut dilakukan secara beruntun.

• Menyebabkan hasil yang menyimpang dari sebenarnya kondisi tidak stabil (ketidakstabilan numerik)

• Kondisi Stabil : error pada hasil antara memiliki pengaruh yang sedikit pada hasil akhir.

• Ketidakstabilan matematik : kondisi yang timbul karena hasil perhitungan sangat peka terhadap perubahan kecil data.

45

Ketidakstabilan

• Dikatakan tidak stabil jika hasil tidak teliti sebagai

akibat metode komputasi yang dipilih.

• Contoh :

– F(x) =x (√(x+1)- √ x), hitung f(500) sampai 6 angka penting,

solusi asli =11.174755300747198…

– F(x) = √(x+1)- √ x, hitung f(12345) sampai 6 angka penting ,

solusi asli = 0.00450003262627751

– Cari akar-akar polinom x2 – 40x + 2 = 0 sampai 4 angka

penting

– F(x) = (ex -1- x) / x2 hitung f(0.01) sampai angka 6 penting

46

Kondisi Buruk • Persoalan dikatakan berkondisi buruk bila

jawabannya sangat peka terhadap

perubahan kecil data atau error pembulatan.

• Contoh :

– x2 -4x + 3.999 = 0 akar-akar x1 = 2.032 dan x2

= 1.968

– x2 -4x + 4.000 = 0 akar-akar x1 = x2 = 2.000

– x2 -4x + 4.001 = 0 akar-akarnya imajiner

47

Bilangan Kondisi

• Bilangan kondisi didefinisikan sebagai :• Bilangan Kondisi = |εRA [f(â)]/ εRA (â)| = |â

f’(a)/f(â)|

• Arti bilangan kondisi :– Bilangan kondisi = 1, galat relatif hampiran fungsi sama

dengan galat relatif x

– Bilangan kondisi >1, galat relatif hampiran fungsi besar

– Bilangan kondisi <1, galat relatif hampiran fungsi kecil

• Kondisi buruk bilangan kondisi besar

• Kondisi baik bilangan kondisi kecil