Tabel Normal, MLE Distribusi Normal & Weibull, Grafik Mean & Standar Deviasi USING R
SKRIPSI ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL 2 …eprints.unram.ac.id/8454/1/SKRIPSI JULISTRIA...
Transcript of SKRIPSI ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL 2 …eprints.unram.ac.id/8454/1/SKRIPSI JULISTRIA...
SKRIPSI
ESTIMASI PARAMETER
DISTRIBUSI WEIBULL 2 PARAMETER MENGGUNAKAN
METODE LINEARISASI (METODE DERET TAYLOR)
JULISTRIA PUTRI
G1D011014
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS MATARAM
2015
i
SKRIPSI
ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL 2 PARAMETER MENGGUNAKAN
METODE LINEARISASI (METODE DERET TAYLOR)
THE ESTIMATION OF 2 PARAMETER WEIBULL DISTRIBUTION PARAMETER
USING LINEARIZATION METHOD (TAYLOR SERIES METHOD)
Diajukan untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh
gelar Sarjana Sains dalam Ilmu Matematika
JULISTRIA PUTRI
G1D011014
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS MATARAM
2015
ii
PERNYATAAN
Dengan ini saya menyatakan bahwa didalam skripsi ini tidak terdapat
karya yang pernah diajukan untuk memperoleh gelar kesarjanaan di suatu
perguruan tinggi dan sepanjang pengetahuan saya juga tidak terdapat karya atau
pendapat yang pernah dituliskan atau dipublikasikan oleh orang lain, kecuali yang
secara tertulis diacu dalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka.
Mataram, Maret 2015
Julistria Putri
iii
HALAMAN PENGESAHAN
SKRIPSI
ESTIMASI PARAMETER
DISTRIBUSI WEIBULL 2 PARAMETER MENGGUNAKAN
METODE LINEARISASI (METODE DERET TAYLOR)
Julistria Putri
G1D011014
Telah dipertahankan di depan Tim Komisi Penguji
pada tanggal 7 April 2015
Susunan
KOMISI PENGUJI
1. Mustika Hadijati, M.Si.
(Pembimbing I)
2. Desy Komalasari, M.Si.
(Pembimbing II)
3. Lailia Awalushaumi, M.Si.
(Penguji)
Mengesahkan,
Dekan FMIPA Universitas Mataram,
Prof. Ir. I Made Sudarma, M. Sc., Ph. D. NIP. 19600606 198503 1 032
a.n Ketua Program Studi Matematika,
Sekretaris
Mamika Ujianita Romdhini, M.Si. NIP. 19820710 200501 2 001
iv
PRAKATA
Segala puja dan puji bagi Allah SWT yang telah memberikan limpahan
rahmat, hidayah, dan kasih sayang-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan
skripsi dengan judul Estimasi Parameter Distribusi Weibull 2 Parameter
Menggunakan Metode Linearisasi (Metode Deret Taylor). Dalam kesempatan
ini, penulis juga banyak mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang
telah membantu dalam pengerjaan skripsi ini, yaitu kepada :
1. Kedua orang tua tercinta, atas kegigihan, perjuangan, air mata dalam doa, dan
kasih sayangnya selama ini.
2. Prof. Ir. I Made Sudarma, M.Sc., Ph.D., selaku Dekan FMIPA Universitas
Mataram yang telah memberikan kesempatan untuk melaksanakan skripsi ini.
3. Mamika Ujianita Romdhini, M.Si., selaku Sekretaris Program Studi
Matematika FMIPA Universitas Mataram.
4. Mustika Hadijati, M.Si, selaku Dosen Pembimbing I, yang telah meluangkan
banyak waktunya untuk memberikan bimbingan, arahan, dan bantuan tak
terhingga kepada penulis, sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.
5. Desy Komalasari, M.Si., selaku Dosen Pembimbing II, atas keikhlasan
mengarahkan dan membimbing penulis dalam menyusun skripsi ini dari awal
hingga akhir.
6. Lailia Awalushaumi, M.Si., selaku Dosen Penguji atas kesediaannya menguji
tugas akhir ini dan selaku Dosen Pembimbing Akademik, atas motivasi dan
dukungan untuk melaksanakan skripsi ini.
7. Para dosen dan staf tata usaha di Program Studi Matematika, atas ilmu dan
bantuannya. Semoga jasa bapak dan ibu tercatat sebagai amal dan pahala di
sisi-Nya
8. Keluarga tercinta, Ibu Sudirah, Sulung Fahrial, Fariz Ragil Ananda, Devi, atas
canda tawa, doa serta dukungan dan kasih sayang tak terhingga selama
penyelesaian skripsi ini.
v
9. Sahabat pejuang skripsi My Cebong (Jannah, Asmita, Fauziah, Indi, Aya’,
Uyung, Qori’, Puji) dan seluruh teman-teman math’11 unyu’ yang telah
banyak membantu dan selalu mendukung serta memberikan nasehat.
10. Buat Dinda Family dan Rajib Maulana, atas bantuan dan dukungannya.
11. Buat seluruh GAMATIKA FMIPA Universitas Mataram yang selalu memberi
semangat dan motivasi.
12. Semua pihak yang membantu dan memberikan dukungan dalam proses
penyelesaian tugas akhir ini.
Penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun demi
kesempurnaan skripsi ini. Semoga bantuan dan bimbingan yang telah diberikan
kepada penulis selama penyelesaian skripsi ini mendapat balasan setimpal dari
Allah SWT dan dapat memberi manfaat bagi pembacanya. Amin.
Mataram, Maret 2015
Penulis
Julistria Putri
vi
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ................................................................................... i
PERNYATAAN .......................................................................................... ii
HALAMAN PENGESAHAN ..................................................................... iii
PRAKATA .................................................................................................. iv
DAFTAR ISI ............................................................................................... vi
DAFTAR GAMBAR ................................................................................... viii
DAFTAR TABEL ....................................................................................... ix
DAFTAR LAMPIRAN ............................................................................... x
INTI SARI ................................................................................................... xi
ABSTRACT ................................................................................................ xii
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ...................................................................... 1
1.2 Rumusan Masalah .................................................................. 2
1.3 Tujuan Penelitian ................................................................... 2
1.4 Manfaat Penelitian ................................................................. 3
1.5 Batasan Masalah .................................................................... 3
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Analisis Regresi ..................................................................... 4
2.2 Regresi Nonlinear .................................................................. 4
2.3 Metode Kuadrat Terkecil dalam Kasus Nonliear .................... 5
2.4 Metode Linearisasi (Metode Deret Taylor) ............................. 6
2.5 Asumsi Regresi Nonlinear ..................................................... 8
2.6 Distribusi Weibull .................................................................. 10
2.6.1 Uji Mann untuk Distribusi Weibull ............................... 10
2.7 Matriks .................................................................................. 11
vii
BAB III METODE PENELITIAN
3.1 Alat ........................................................................................ 13
3.2 Sumber Data dan Variabel Penelitian ..................................... 13
3.3 Langkah-Langkah Penelitian .................................................. 13 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Metode Kuadrat Terkecil Nonlinear ....................................... 17
4.2 Metode Linearisasi (Metode Deret Taylor) ............................. 20
4.3 Aplikasi pada Data ................................................................. 21
4.3.1 Uji Distribusi Data ........................................................ 22
4.3.2 Penentuan Nilai Dugaan Parameter Awal ..................... 22
4.3.3 Estimasi Parameter Distribusi Weibull 2 Parameter dengan
Metode Linearisasi (Metode Deret Taylor) ................... 24
4.3.4 Perhitungan Mean dan Variansi .................................... 40
4.4 Interpretasi Model Regresi Nonlinear ..................................... 41 BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan ............................................................................ 43
5.2 Saran ...................................................................................... 44
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................. 45 LAMPIRAN-LAMPIRAN
viii
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 3.1 Bagan langkah-langkah penelitian. 14
Gambar 3.2 Bagan aplikasi data pada proses estimasi dengan metode
linearisasi (metode deret Taylor). 15
Gambar 4.1 Plot ACF error. 37
Gambar 4.2 Plot kenormalan error. 38
Gambar 4.3 Plot pencaran titik nilai variabel independen dengan
nilai error. 39
Gambar 4.4 Grafik data kecepatan angin terbesar terhadap peluang
Weibull. 42
ix
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 4.1 Ringkasan hasil iterasi. 34
Tabel 4.2 Ringkasan hasil iterasi menggunakan SAS 9. 35
Tabel 4.3 Analisis Varian (ANOVA). 35
Tabel 4.4 Uji t. 39
x
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1 : Data kecepatan angin terbesar perbulan di wilayah Nusa Tenggara
Barat tahun 2009-2014.
Lampiran 2 : Perhitungan uji Mann untuk kecepatan angin.
Lampiran 3 : Perhitungan pendugaan nilai awal parameter.
Lampiran 4 : Hasil estimasi parameter menggunakan program SAS 9.
Lampiran 5 : Pemeriksaan asumsi regresi nonlinear.
Lampiran 6 : Perhitungan peluang kumulatif data kecepatan angin.
xi
ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL 2 PARAMETER MENGGUNAKAN METODE LINEARISASI
(METODE DERET TAYLOR)
JULISTRIA PUTRI
INTISARI
Estimasi parameter adalah sebuah prosedur untuk mencari parameter dari sebuah model yang paling cocok pada suatu data pengamatan yang ada. Dalam mengestimasi parameter distribusi Weibull 2 parameter, probability density function (pdf) dapat dilihat sebagai suatu model persamaan regresi dengan bentuk persamaan nonlinear, sehingga estimasi parameter distribusi sama artinya dengan estimasi parameter regresi nonlinear. Metode yang digunakan untuk mengestimasi parameter model regresi nonlinear adalah metode linearisasi (metode deret Taylor). Tujuan penelitian ini adalah melakukan estimasi dan menerapkannya dalam memodelkan data kecepatan angin terbesar per bulan di wilayah NTB. Berdasarkan hasil analisis yang telah dilakukan, estimasi parameter regresi nonlinear menggunakan metode linearisasi (metode deret Taylor) diperoleh nilai
parameter �� = 4.4779 dan �� = 17.7524 dengan nilai MSE = 0.00269 dan �� = 0.99216 . Didapatkan model dengan persamaan regresi nonlinear sebagai berikut
��� =4.4779
17.7524�.������
�.������� �−���
17.7524��.����
�
Kata Kunci : Estimasi parameter, distribusi Weibull 2 parameter, regresi
nonlinear, metode linearisasi (detode deret Taylor).
xii
THE ESTIMATION OF 2 PARAMETER WEIBULL DISTRIBUTION PARAMETER
USING LINEARIZATION METHOD (TAYLOR SERIES METHOD)
JULISTRIA PUTRI
ABSTRACT
Parameter estimation is a procedure to find the parameters of a model that is best suited to an existing observational data. In estimating parameters the Weibull distribution 2 parameters, probability density function (pdf) an be seen as a regression model with the form of nonlinear equations, so the distribution parameter estimation synonymous with nonlinear regression parameter estimates. The method used to estimate the parameters of nonlinear regression model is a method of linearization (Taylor series method). The purpose of this study was to estimate and implement them in modeling largest wind speed data per month in NTB. Based on analysis result that have been done, a nonlinear regression parameter estimation using linearization method (Taylor series method) obtained
value of the parameter �� = 4.4779 and �� = 17.7524 with MSE = 0.00269 and �� = 0.99216. Obtained models with nonlinear regression equation as follows
��� =4.4779
17.7524�.������
�.������� �−���
17.7524��.����
�
Keywords: Parameter estimation, 2 parameter Weibull distribution, nonlinear
regression, linearization method (Taylor series method).
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Estimasi parameter adalah sebuah prosedur untuk mencari parameter dari
sebuah model yang paling cocok pada suatu data pengamatan yang ada. Masalah
estimasi menjadi hal yang penting yang dikaji dalam suatu distribusi tertentu.
Dalam statistika, distribusi probabilitas dapat dibagi dalam dua jenis
distribusi, yaitu distribusi variabel acak kontinu dan distribusi variabel acak
diskrit. Salah satu distribusi variabel acak kontinu adalah distribusi Weibull 2
parameter yang merupakan pengembangan dari dua distribusi yaitu distribusi
Rayleigh dan distribusi Eksponensial. Distribusi Weibull 2 parameter ini banyak
digunakan dalam merepresentasikan kecepatan dan distribusi angin, dimana angin
sebagai sumber energi yang tidak dapat dikendalikan keberadaannya dan memiliki
fluktuasi yang dapat didekati dengan pendekatan probabilistik. Selain itu juga
karena cakupannya yang begitu luas dalam keserbagunaan, fleksibilitas dan
kemanfaatannya dalam menggambarkan variasi kecepatan angin (Olaofe, 2012).
Distribusi lain yang mempunyai aplikasi yang sama dalam merepresentasikan data
kecepatan angin adalah distribusi Rayleigh, distribusi Eksponensial, distribusi
Gamma, distribusi Lognormal dan distribusi Gaussian.
Penggunaannya yang sangat luas dalam studi energi angin dan
pendekatannya yang dianggap cocok untuk memodelkan kecepatan angin menjadi
hal yang penting dalam mengkaji distribusi Weibull 2 parameter ini, yaitu dalam
mengkaji masalah estimasi parameternya. Probability density function (pdf) yang
merupakan suatu fungsi yang menyatakan nilai kemungkinan terjadinya kejadian
tertentu, dapat dilihat sebagai suatu model regresi sehingga estimasi parameter
distribusi sama artinya dengan estimasi parameter regresi. Probability density
function (pdf) distribusi Weibull 2 parameter merupakan persamaan nonlinear,
maka model regresinya adalah model regresi nonlinear.
2
Dalam mengestimasi parameter model regresi nonlinear, salah satu metode
yang biasa digunakan adalah kuadrat terkecil nonlinear. Metode kuadrat terkecil
nonlinear merupakan metode kuadrat terkecil dalam kasus (intrinsik) nonlinear,
yang digunakan untuk menduga parameter model dengan cara meminimumkan
jumlah kuadrat sisaan. Secara konseptual metode kuadrat terkecil nonlinear sama
dengan metode kuadrat terkecil pada model regresi linear, namun pada
kenyataannya metode kuadrat terkecil nonlinear tidak mudah untuk dapat
dikerjakan secara analitik, maka diperlukan metode untuk mengestimasi
parameter model regresi nonlinear yaitu salah satunya adalah metode linearisasi
(metode deret Taylor).
Berdasarkan uraian di atas, maka dalam penelitian ini dilakukan suatu
kajian mengenai estimasi parameter distribusi Weibull 2 parameter dengan
metode linearisasi (metode deret Taylor) dan memodelkan data kecepatan angin
terbesar per bulan di Nusa Tenggara Barat.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian latar belakang penelitian maka dapat dirumuskan
masalah sebagai berikut:
1. Bagaimana mengestimasi parameter distribusi Weibull 2 parameter
dengan menggunakan metode linearisasi (metode deret Taylor)?
2. Bagaimana penerapannya dalam memodelkan data kecepatan angin
terbesar per bulan di Nusa Tenggara Barat yang berdistribusi Weibull 2
parameter?
1.3 Tujuan
Berdasarkan rumusan masalah di atas, penelitian ini memiliki tujuan
sebagai berikut:
1. Mengestimasi parameter distribusi Weibull 2 parameter dengan
menggunakan metode linearisasi (metode deret Taylor).
3
2. Menerapkannya dalam memodelkan data kecepatan angin terbesar per
bulan di Nusa Tenggara Barat yang berdistribusi Weibull 2 parameter.
1.4 Manfaat
Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberi manfaat untuk menambah
wawasan tentang regresi nonlinear khususnya dalam mengestimasi parameter
distribusi Weibull 2 parameter dengan menggunakan metode linearisasi (metode
deret Taylor) dan menambah referensi apabila ingin mengembangkan ilmu
regresi.
1.5 Batasan Masalah
Adapun batasan masalah dalam penelitian ini adalah estimasi parameter
menggunakan metode linearisasi (metode deret Taylor) yang dibatasi sampai
turunan pertama.
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Analisis Regresi
Analisis regresi adalah teknik analisis yang mencoba menjelaskan bentuk
hubungan antara variabel-variabel yang mendukung sebab akibat. Prosedur
analisisnya didasarkan atas distribusi probabilitas bersama variabel-variabelnya.
Secara umum, dapat dikatakan bahwa analisis regresi berkenaan dengan
mempelajari ketergantungan suatu variabel, yaitu variabel tak bebas (dependent
variable) pada satu atau lebih variabel yang lain, yaitu variabel bebas
(independent variable) dengan maksud menduga dan atau meramalkan nilai rata-
rata hitung (mean) atau rata-rata (populasi) dari variabel tak bebas (Firdaus,
2004).
Tujuan utama dari analisis regresi adalah mendapatkan dugaan
(estimation) dari suatu variabel dengan menggunakan variabel lain yang
diketahui. Analisis regresi dapat dibedakan menjadi dua jenis yaitu regresi linear
dan regresi nonlinear. Namun yang dibahas dalam penelitian ini adalah regresi
nonlinear.
2.2 Regresi Nonlinear
Regresi nonlinear mengandung parameter yang bersifat nonlinear, dimana
turunan persamaan terhadap salah satu parameter adalah fungsi dari parameter
lain (masih mengandung parameter itu sendiri). Model regresi nonlinear
merupakan bentuk hubungan antara variabel tak bebas (dependent variable)
dengan variabel bebas (independent variable) yang tidak linear dalam parameter.
Secara umum model nonlinear ditulis sebagai berikut:
� = �(�; �) + � (2.1)
dengan � adalah fungsi ekspektasi, � adalah variabel bebas dan � adalah
parameter (Bates dan Watts, 1988).
5
2.3 Metode Kuadrat Terkecil dalam Kasus Nonlinear
Model nonlinear yang dipostulat dengan bentuk:
� = �(�; �) + � (2.2)
dengan asumsi �(�) = 0, ���(�) = �� dan �~� (0, ��) maka jumlah kuadrat sisa
untuk model nonlinear di atas didefinisikan sebagai berikut:
�(�) = ∑ {� − �(�; �)}����� (2.3)
(Gallant, 1987).
Bila terdapat sebanyak n amatan data, maka persamaan (2.2) menjadi
�� = �����, ���, … , ���; ��, ��, … , ��� + �� (2.4)
untuk � = 1,2, … , � dapat dituliskan dalam bentuk alternatifnya
�� = �(��; �) + �� (2.5)
dengan �� adalah galat ke � = 1,2, … , � dengan asumsi kenormalan galat dapat
dituliskan sebagai � ∼ � (�, ���).
� = �
����⋮��
� ∼ � (�, ���)
(Karim, 2009).
Nilai dugaan kuadrat terkecil bagi � akan dilambangkan dengan ��. Nilai
dugaan ini adalah nilai � yang meminimumkan �(�). Untuk mendapatkan nilai
dugaan kuadrat terkecil �� yaitu dengan mendiferensialkan persaman (2.3)
terhadap �, sehingga mempunyai bentuk
��(�)
���= ∑ (−2){�� − �(��; �)}�−
��(��;�)
�����
��� (2.6)
6
∑ {�� − �(��; �)}���� �
��(��;�)
��������
= 0 (2.7)
Persamaan (2.7) disebut persamaan normal untuk model nonlinear yang
merupakan hasil estimasi parameter (Draper dan Smith, 1992).
Model nonlinear seringkali tidak dapat diselesaikan secara analitik, maka
perlu dilakukan metode iterasi untuk menduga parameter di dalam suatu sistem
nonlinear.
Pada sebagian masalah nonlinear, cara yang sering dilakukan dan ternyata
berhasil adalah menuliskan persamaan normal secara terperinci dan
mengembangkan suatu teknik iteratif untuk memecahkannya bergantung pada
persamaan normalnya dan metode iterasi yang digunakan dalam memperoleh
taksiran parameter, diantaranya adalah metode linearisasi (metode deret Taylor),
metode turunan terjal (Stepest descent) dan metode jalan tengah Marquadrt
(Marquadrt’s compromise).
2.4 Metode Linearisasi (Metode Deret Taylor)
Metode linearisasi menggunakan hasil dari kuadrat terkecil dalam
beberapa tahap. Misalkan model yang ditentukan berbentuk:
�� = �(��; �) + �� (2.8)
Dan ���, ���, … , ��� adalah nilai-nilai awal bagi parameter-parameter ��, ��, … �� .
Nilai-nilai awal itu merupakan taksiran kasar atau mungkin pula nilai-nilai dugaan
awal berdasarkan informasi yang tersedia, misalnya perkiraan berdasarkan
informasi yang diperoleh dari perhitungan lain yang serupa atau yang
diperkirakan benar oleh peneliti berdasarkan pengalaman dan pengetahuannya.
Nilai-nilai awal itu diharapkan akan diperbaiki dalam proses iterasi (Draper dan
Smith, 1992).
7
Bentuk deret Taylor adalah sebagai berikut:
�(����) = �(��) + ��(��)(���� − ��) +���(��)
�!(���� − ��)
� + ⋯
+ �(�)(��)
�!(���� − ��)
� (2.9)
Bila dilakukan penguraian deret Taylor bagi �(�; �) disekitar titik �� =
(���, ���, … , ���) dan penguraian sampai turunan pertama, maka dapat dikatakan
bahwa bila � dekat pada �� maka :
�(��; �) = �(��; ��) + ∑ ���(��;�)
��������
���� (��− ���) (2.10)
Bila ditetapkan
��� = �(��; �)
��� = �� − ���
���� = �
��(��;�)
��������
Maka persamaan (2.10) dapat dituliskan sebagai berikut
�� − ��� = ∑ ��
����� + ��
���� (2.11)
Persamaan (2.11) merupakan persamaan regresi linear. Oleh karena itu dapat
ditaksir parameter-parameter ��� , � = 1,2, … � dengan cara menerapkan teori
kuadrat terkecil sebagai berikut
�� = ⟨���� ⟩=
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡���
� ���� …
���� ���
� …⋮����
⋮����
⋮����
⋮����
⋮⋯⋮⋯
����
����
⋮����
⋮���� ⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤
(���)
(2.12)
8
��� = �� =
⎣⎢⎢⎡���
���
⋮���⎦⎥⎥⎤
=
⎣⎢⎢⎢⎡����
����
⋮����⎦⎥⎥⎥⎤
���
(2.13)
�� = ⟨� − ��⟩=
⎣⎢⎢⎢⎢⎡�� − ��
�
�� − ���
⋮�� − ��
�
⋮�� − ��
�⎦⎥⎥⎥⎥⎤
���
(2.14)
Maka taksiran bagi �� diberikan oleh �� = (�����)
�����(� − ��) dengan
demikian vektor �� akan meminimumkan jumlah kuadrat galat.
�(�) = ∑ ��� − �(��, ��) − ∑ ������
����� �
����� (2.15)
(Karim, 2009).
Proses iteratif ini dilanjutkan terus sampai solusi yang diperoleh
konvergen, dengan kata lain sampai langkah iterasi � dan (� + 1) berlaku
����(���) − ����/����< �, � = 1,2, … , � (2.16)
Dimana � adalah suatu bilangan positif yang telah ditetapkan sebelumnya
(misalnya 0.000001). Pada setiap tahap prosedur iterasi, sebaiknya �(��) dihitung
untuk melihat apakah terjadi penurunan nilainya (Draper dan Smith, 1992).
2.5 Asumsi Regresi Nonlinear
Untuk melakukan analisis regresi linear maupun nonlinear yang benar
berdasarkan metode kuadrat terkecil, maka diperlukan asumsi-asumsi dasar yang
sering disebut dengan asumsi klasik yang harus dipenuhi diantaranya adalah:
9
1. Asumsi independen
Untuk menguji error independen yaitu dengan melihat plot ACF nya. Jika
nilai autokorelasi berada dalam batas selang kepercayaan dari korelasi
yang telah ditentukan yaitu �−�
√�,�
√��, maka korelasi bernilai 0 atau dapat
dikatakan tidak ada korelasi, jadi error independen (Bates dan Watts,
1988).
2. Asumsi kenormalan
Uji normalitas bertujuan untuk menguji apakah variabel error berdistribusi
normal atau tidak dalam model regresi tersebut. Pengujian normalitas data
dilakukan dengan menggunakan metode chart (normal P-Plot). Jika pada
grafik normal P-Plot data mengikuti garis lurus maka dapat dikatakan
berdistribusi normal (Gujarati, 1999).
3. Asumsi identik
Uji asumsi identik bertujuan untuk menguji adanya gejala
homoskedastisitas yaitu varian variabel error homogen, yang dilakukan
dengan cara mengamati scatter plot di mana sumbu horizontal
menggambarkan nilai variabel independen sedangkan sumbu vertikal
menggambarkan nilai error. Jika pada scatter plot membentuk pola
tertentu maka terjadi heteroskedastisitas pada model regresi yang
terbentuk. Sebaliknya jika pada scatter plot menyebar secara acak maka
tidak terjadi heteroskedastisitas atau memenuhi homoskedastisitas. Uji
heteroskedastisitas dapat juga dilakukan dengan uji Glejser yaitu dengan
meregresikan semua variabel independen terhadap nilai mutlak errornya.
Jika terdapat pengaruh variabel independen yang signifikan terhadap nilai
mutlak errornya maka dalam model terdapat masalah heterokedastisitas
(Suliyanto, 2011).
10
2.6 Distribusi Weibull
Distribusi Weibull telah secara luas digunakan untuk beberapa kejadian
acak. Prinsip utilitas distribusi Weibull adalah menghasilkan sebuah pendekatan
yang baik untuk hukum probabilitas dari beberapa variabel random (Hines dan
Montgomery, 1989).
Probability density function (pdf) yang merupakan suatu fungsi yang menyatakan
nilai kemungkinan terjadinya kejadian tertentu dari distribusi Weibull diberikan
sebagai:
�(�|�, �) =�
����������− �
�
���
�; � ≥ 0, �, � > 0 (2.17)
Cumulative density function (cdf) yang menyatakan probabilitas terjadinya
kejadian sampai kejadian tertentu dari distribusi Weibull diberikan sebagai
berikut:
�(�|�, �) = ∫ �(�|�, �)���
�= 1 − ����− �
�
���
� (2.18)
(Rinne, 2009).
Misalkan X variabel acak berdistribusi Weibull dengan parameter � dan �, maka
�(�) = �Γ�1+�
�� (2.19)
�(�) = �� ��1 +�
�� − �Γ�1+
�
���
�
� (2.20)
(Hines dan Montgomery, 1989).
2.6.1 Uji Mann untuk Distribusi Weibull
Untuk menguji data berdistribusi Weibull, hipotesa dalam uji Mann
adalah: (Ebeling, 1997)
11
�� : Data berdistribusi Weibull.
�� : Data tidak berdistribusi Weibull.
Wilayah kritis untuk uji ini adalah terima �� apabila � < ������(�,��,��). Nilai F
ini diperoleh dari tabel distribusi F.
Uji statistik untuk uji Mann adalah
� =�� ∑ �
������ ��� ������
� ���� �
�� ��� �
�� ∑ ������� ��� ������
� ��
���� �
(2.21)
Dimana �� =�
� dan �� =
���
�
�� = ���� − ��
�� = ���− ���1 −���.�
���.����
Dengan keterangan sebagai berikut:
�� = Nilai pendekatan Mann untuk data ke-�
� = Banyaknya data
�� = Data ke-� (data kecepatan angin yang telah diurutkan dari yang
terkecil sampai dengan yang terbesar)
2.7 Matriks
Berikut adalah beberapa definisi terkait dengan matriks.
Definisi 2.1 (Anton dan Rorres, 2004). Sebuah matriks adalah susunan
segiempat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan
tersebut dinamakan entri matriks. Matriks � berukuran � × � dituliskan sebagai
12
� = �������= �
��� ��� ⋯ ������ ��� ⋯ ���⋮
���
⋮���
⋮ ⋮⋯ ���
� (2.22)
Entri ��� disebut elemen matriks pada baris ke-� dan kolom ke- �. Jika � = �,
maka matriks tersebut dinamakan matriks bujur sangkar.
Definisi 2.2 (Anton, 2000). Jika � adalah sebarang matriks � × � , maka
transpos � , dinyatakan dengan �� , didefinisikan sebagai matriks � × � yang
didapatkan dengan mempertukarkan baris dan kolom dari � yaitu, kolom pertama
dari �� adalah baris pertama dari �, kolom kedua dari �� adalah baris kedua
dari �, dan seterusnya.
Definisi 2.3 (Anton dan Rores, 2004). Diberikan � adalah matriks bujur
sangkar. Jika terdapat matriks � yang ukurannya sama sedemikian rupa sehingga
�� = �� = � , maka � disebut dapat dibalik (invertible or nonsingular) dan �
disebut sebagai invers (inverse) dari �.
BAB III
METODE PENELITIAN
3.1 Alat
Alat yang digunakan dalam proses pengolahan data adalah software SAS 9
dan Minitab 16.
3.2 Sumber Data dan Variabel Penelitian
Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data sekunder, yaitu
data kecepatan angin terbesar per bulan di Nusa Tenggara Barat pada tahun 2009
sampai tahun 2014 yang didapatkan dari Badan Meteorologi Klimatologi dan
Geofisika (BMKG) Stasiun Klas I Kediri Nusa Tenggara Barat.
Adapun variabel yang digunakan dalam penelitian ini sebagai berikut t
adalah waktu (bulan) dan s adalah kecepatan angin terbesar per bulan (knot).
3.3 Langkah-Langkah Penelitian
Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah
sebagai berikut:
14
Dari bagan yang tertera di atas, berikut diberikan penjelasan dari masing-masing
tahapan.
1. Persiapan
Pada tahap persiapan ini, dilakukan studi literatur yang memberikan informasi-
informasi yang dibutuhkan oleh peneliti sesuai dengan permasalahan yang
diangkat.
2. Estimasi Parameter Distribusi Weibull 2 Parameter dengan Metode Kuadrat
Terkecil Nonlinear
Pada tahap ini, dilakukan estimasi parameter distribusi Weibull 2 parameter
dengan metode kuadrat terkecil nonlinear.
Estimasi Parameter Distribusi Weibull 2 Parameter
dengan Metode Kuadrat Terkecil Nonlinear
Kesimpulan
Persiapan
Gambar 3.1 Bagan Langkah-Langkah Penelitian
Interpretasi Model
Aplikasi pada Data
Estimasi Parameter Distribusi Weibull 2 Parameter
dengan Metode Linearisasi (Metode Deret Taylor)
15
3. Estimasi Parameter Distribusi Weibull 2 Parameter dengan Metode Linearisasi
(metode Deret Taylor)
Pada tahap ini, dilakukan estimasi secara iterasi dengan penguraian deret
Taylor, sehingga didapatkan suatu model regresi nonlinear.
4. Aplikasi Pada Data
Berikut diberikan bagan dari aplikasi data pada proses estimasi parameter
dengan metode linearisasi (metode deret Taylor).
Gambar 3.2 Bagan Aplikasi Data pada Proses Estimasi dengan Metode Linearisasi (Metode Deret Taylor).
Selesai
Penentuan Nilai Dugaan Parameter Awal
Mulai
Data
Iterasi dengan Metode Linearisasi (Metode Deret Taylor)
Perhitungan Mean dan Varian
Uji Distribusi Data
Ya
Tidak
16
Berikut ini diberikan penjelasan pada bagan di atas:
a. Data yang digunakan adalah data kecepatan angin terbesar per bulan yaitu
pada Januari 2009 sampai September 2014 dengan jumlah � = 69.
b. Uji Distribusi Data
Pada tahap ini, data kecepatan angin terbesar yang diperoleh akan diuji
apakah mengikuti distribusi Weibull 2 parameter atau tidak. Uji yang
digunakan adalah uji Mann.
c. Penentuan Nilai Dugaan Parameter Awal
Prosedur pendugaan nonlinear membutuhkan nilai dugaan parameter awal.
d. Melakukan iterasi dengan metode linearisasi (metode deret Taylor) sampai
hasilnya konvergen. Apabila proses konvergensinya tercapai, estimasi
parameter dapat dimasukkan ke dalam model regresi nonlinear.
e. Perhitungan Mean dan Varian
Pada tahap ini dilakukan proses perhitungan mean dan varian dari model
yang didapat.
5. Interpretasi Model Regresi Nonlinear
Menginterpretasikan hasil analisis (model regresi nonlinear yag diperoleh).
6. Menarik Kesimpulan.
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
Persamaan regresi nonlinear dengan bentuk
� = �(�; �) + �
memiliki nilai parameter yaitu � yang akan diestimasi. Pada bab ini dibahas
mengenai estimasi parameter regresi nonlinear menggunakan metode linearisasi
(metode deret Taylor) dengan menggunakan data kecepatan angin terbesar dan
diolah menggunakan software SAS 9.
4.1 Metode Kuadrat Terkecil Nonlinear
Estimasi parameter distribusi Weibull dapat diketahui dengan metode
kuadrat terkecil nonlinear. Untuk mencari nilai estimasi parameter, perlu diketahui
cumulative density function (cdf) Weibull.
Cumulative density function (cdf) dapat diketahui dari probability density
function (pdf) Weibull seperti pada persamaan (2.18)
�(�|�, �) =�
����������− �
�
���
� (4.1)
�(�) =�
����������− �
�
���
�
sehingga
�(�) = ∫ �(�)���
�
�(�) = ∫�
����������− �
�
���
����
�
Misalkan � = ��
���
maka ��
��=
�(� �� )�
�� , jadi ������= ��
��
� sehingga
diperoleh
18
�(�) = ∫�
����
�exp(�) ��
�
�
�(�) = ∫ ����− ��
���
�� ���
���
��
�
�(�) = ∫ exp(−�) ���
�
�(�) = 1 − ������
���
� (4.2)
Cumulative density function (cdf) Weibull yang merupakan fungsi
nonlinear dengan bentuk �(�) = 1 − ����− ��
���
� yang terdiri dari dua
parameter. Digunakan metode kuadrat terkecil untuk meminimumkan jumlah
kuadrat sisa dengan terlebih dahulu menaksir parameter pada model tersebut dan
selanjutnya menyelesaikan persamaan normalnya dengan metode linearisasi
(metode deret Taylor).
Model cumulative density function (cdf) tersebut akan dibentuk kedalam
model probability density function (pdf) sehingga menghasilkan persamaan
regresi nonlinear yaitu sebagai berikut:
�� =�
����
�������− ���
���
� + ��
Prosedur estimasi parameter regresi nonlinear menggunakan metode kuadrat
terkecil dalam kasus nonlinear adalah sebagai berikut:
1. Membentuk sebuah fungsi �� dan ��
��� = ���� ; ��, ���= ∑ ����
���
= ∑ ��� − ����� �
���
= ∑ ��� − �(�� ; ��, ��)���
��� (4.3)
2. Menentukan turunan dari ��� terhadap �� dan ��, kemudian hasil turunannya
disamakan dengan nol
����
���= ∑ (−2)��� − ���� ; ��, �����
����� ;��,���
�����
���
19
∑ ��� − ���� ; ��, ���������� ;��,���
�����
��� = 0 (4.4)
����
���= ∑ (−2)��� − ���� ; ��, �����
����� ;��,���
�����
���
∑ ��� − ���� ; ��, ���������� ;��,���
�����
��� = 0 (4.5)
3. Menentukan turunan terhadap parameter �� dan ��
����� ;��,���
���= ����− �
��
�����
����
�����
�����
��� (4.6)
����� ;��,���
���= − �
���������������
��� ��������� �
���� (4.7)
Dari persamaan (4.4) dan (4.5) didapat persamaan normal dari turunan di atas
yaitu sebagai berikut:
∑ ������ �����− �
��
�����
����
�����
�����
���� −
∑ �1 − ������
�����
������− ���
�����
����
�����
�����
���� = 0�
��� (4.8)
∑ ������
⎝
⎛ − ���������
�������
��� ��������� �
����
⎠
⎞ −
∑ �1 − ������
�����
�
⎝
⎛ − ���������
�������
������������ �
����
⎠
⎞ = 0���� (4.9)
Karena persamaan normal di atas tidak linear di dalam parameter �� dan ��
maka cara yang tepat untuk menyelesaikan persamaan normal di atas adalah
dengan menggunakan metode numerik untuk melakukan penaksiran secara iterasi.
Metode numerik yang sering dipakai untuk menyelesaikan permasalahan di dalam
penaksiran parameter model nonlinear adalah metode linearisasi (metode deret
Taylor).
20
4.2 Metode Linearisasi (Metode Deret Taylor)
Estimasi parameter menggunakan metode linearisasi (metode deret Taylor)
mengharuskan untuk menentukan nilai awal bagi parameter karena berpengaruh
terhadap proses iterasi mencapai konvergen atau tidaknya, dan diharapkan akan
diperbaiki dalam proses iterasi.
Dilakukan penguraian deret Taylor bagi ���� ; ��, ��� disekitar nilai awal
��� dan ���. Penguraian deret Taylor dilakukan sampai turunan pertama fungsi
terhadap parameter-parameternya karena akan dihasilkan grafik berbentuk garis
lurus yang merupakan hasil dari penguraian deret Taylor turunan pertama suatu
persamaan regresi linear yang dihasilkan.
���� ;��, ���= ���� ;���,����+ ∑ ������ ;��,���
����(���− ����)�
����� ;��,���
����(���− ����)
���� (4.10)
Bila disederhanakan notasi menjadi
�� = ���� ; ���, ����
= 1 − ������
�������
���� = �
����� ;��,���
�����
����� ;��,���
����
= �����− ���
�����
����
�����
�����
�����− �
���������������
��� ��������� �
�����
��� = (���− ����)(���− ����)
Dari persamaan (4.10) maka bentuknya menjadi
�� − ��� = ∑ ��
����� + ��
���� (4.11)
Persamaan (4.11) sudah terbentuk menjadi model regresi linear. Oleh karena itu
dapat ditaksir parameter-parameter dengan menerapkan metode kuadrat terkecil.
21
�� = ⟨� − ��⟩=
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡�� − �1 − ����
��
��������
�� − �1 − ������
��������
⋮
�� − �1 − ������
��������⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤
���
(4.12)
�� = ⟨���� ⟩=
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡�����− �
��
�����
����
�����
�����
���� �− �
�������������������
�������� �
�����
�����− ���
�������
��
�����
�����
���� �− �
�������������������
�������� �
�����
⋮
�����− ���
�����
����
�����
�����
����
⎝
⎛
⋮
− ���������
�����������
�������� �
����
⎠
⎞
⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
���
(4.13)
�� = ��� =
⎣⎢⎢⎡���
���
⋮���⎦⎥⎥⎤
=
⎣⎢⎢⎢⎡����
����
⋮����⎦⎥⎥⎥⎤
���
(4.14)
Maka taksiran bagi ��� diberikan oleh
�� = (�����)
�����(� − ��) (4.15)
dengan demikian vektor �� akan meminimumkan jumlah kuadrat galat.
�(�) = ∑ ��� − �(�� , ��) − ∑ ������
����� �
����� (4.16)
4.3 Aplikasi Pada Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data sekunder yang
diperoleh dari Badan Meteorologi dan Geofisika (BMKG) Stasiun Klas I Kediri
Nusa Tenggara Barat tahun 2009 sampai tahun 2014. Penggunaan data kecepatan
angin terbesar per bulan yang digunakan yaitu pada Januari 2009 sampai
September 2014, dengan jumlah sampel � = 69. Variabel yang digunakan dalam
penelitian ini adalah waktu (t) dalam bulan dan kecepatan angin (s) dalam knot.
22
4.3.1 Uji Distribusi Data
Data kecepatan angin terbesar per bulan diuji apakah mengikuti distribusi
Weibull atau tidak. Uji yang digunakan adalah uji Mann. Berikut adalah
perhitungan dalam melakukan uji Mann untuk kecepatan angin.
a. Hipotesis
�� : Data kecepatan angin berdistribusi Weibull.
�� : Data kecepatan angin tidak berdistribusi Weibull.
b. Statistik uji
Statistik uji yang digunakan adalah uji Mann yang mengikuti persamaan
(2.21).
� =�� ∑ �
������ ��� ������
� ���� �
�� ��� �
�� ∑ ������� ��� ������
� ��
���� �
� =��.� (��.��������)
�� (��.�����)
� = 1.203010611
c. Kriteria keputusan dan kesimpulan
Jika nilai � < � ����� = � �.��,��.�� maka �� diterima dan �� ditolak.
Berdasarkan perhitungan di atas diperoleh � < � ����� = 1.203010611<
1.7721 maka �� diterima dan dapat disimpulkan bahwa data berdistribusi
Weibull.
4.3.2 Penentuan Nilai Dugaan Parameter Awal
Prosedur pendugaan nonlinear membutuhkan nilai dugaan parameter awal.
Nilai-nilai awal itu diharapkan akan diperbaiki dalam proses iterasi sampai
menghasilkan solusi yang konvergen. Pada penelitian ini menggunakan garis
resisten untuk penentuan nilai dugaan parameter awal. Dibandingkan dengan
menggunakan kuadrat terkecil, garis resisten tidak terpengaruh terhadap outlier
dan menghasilkan jumlah harga mutlak error lebih kecil daripada metode kuadrat
terkecil, sehingga penggunaan garis resisten baik untuk penentuan nilai dugaan
parameter awal karena semakin baik nilai dugaan awal maka semakin cepat proses
23
konvergensinya. Jadi dari persamaan (4.2) dapat ditentukan nilai dugaan
parameter awalnya.
�(�) = 1 − ������
���
�
�
���(�) = �����
�
���
�
�� �
���(�)= �
�
���
����� �
���(�)� = ����− ����
Misalkan
� = ����� �
���(��)� = ln (− ln(1 − �(��)))
dengan �(��) =(���.�)
� yang merupakan peluang kumulatif
� = ���
� = b
a = - � �� b
Maka dengan menggunakan persamaan garis resisten didapatkan nilai median
(pada Lampiran 3). Median digunakan karena resisten terhadap pencilan, sehingga
diperoleh
b =�����
�� ���
=�.���������
�.��������
= 4.76502755
a =(�� ������ )��(�� ������ )
�
=��.�����������.��������(�.���������)
�
= −13.80869704
Karena � = b dan a = - � �� b maka
� = 4.76502755 dan � = 18.13643312
24
Dari nilai � dan � yang diperoleh dapat digunakan sebagai nilai dugaan parameter
awal.
4.3.3 Estimasi Parameter Distribusi Weibull 2 Parameter dengan Metode Linearisasi (Metode Deret Taylor)
Dengan bentuk persamaan �� =�
����
�������− ���
���
� + �� dapat
mengestimasi parameter distribusi Weibull 2 parameter dengan metode linearisasi
(metode deret Taylor), sehingga dari persamaan (4.11), (4.12), (4.13) dan (4.14)
didapat iterasinya adalah sebagai berikut
Iterasi 0
Substitusi fungsi kumulatif Weibull dengan � adalah kecepatan angin dan nilai
��� = 4.76502755, ��� = 18.13643312 maka diperoleh yaitu
�� = ���� ; ���, ����= 1 − ������
�������
=
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡0.1850380.796830.3327850.1850380.185038
⋮0.618887⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎤
����
Substitusi � peluang distribusi Weibull sehingga diperoleh
�� = ⟨� − ��⟩=
⎣⎢⎢⎢⎢⎡−0.0763426−0.03596020.0367799−0.0618499−0.0473571
⋮0.112997 ⎦
⎥⎥⎥⎥⎤
����
25
Dihitung turunan masing-masing parameter �� dan �� sehingga diperoleh
�� =
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡− 0.055524216 −0.0438113720.031670184 −0.085071416− 0.051262566− 0.055524216− 0.055524216
⋮− 0.002776095
0.070933611−0.0438113720.043811372
⋮−0.096592131⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎤
����
Dilakukan perhitungan untuk memperoleh penduga bagi ��� menggunakan
persamaan (4.15) yaitu sebagai berikut
����� = �0.109035 0.0874322
0.0874322 0.302567����
(�����)
�� = �11.9375 −3.449555− 3.44955 4.301871
����
���(� − ��) = �
− 0.0736243− 0.139734
����
���=�−0.396869237−0.347144613
����
Maka akan diperoleh nilai dugaan untuk ��� dan ��� sebagai berikut
��������= �
4.3681617.7893
�
Nilai SSE untuk iterasi 0 sebagai berikut
���(�) = ∑ ��� − ���� ; ���, ��������
���
= 0.255267494
26
Untuk melihat kekonvergenannya, maka dengan menggunakan persamaan (2.16)
diperoleh yaitu
��������
���� < � = �
�.�����������.���������
�.���������� > 0.0001
= |0.08328783| > 0.0001
��������
���� < � = �
��.�����������.��������
��.��������� > 0.0001
= |0.01940732| > 0.0001
Karena nilai error parameter �� dan �� lebih dari 0.0001 solusi konvergen belum
diperoleh maka proses iterasi dilanjutkan.
Iterasi 1
Substitusi fungsi kumulatif Weibull dengan � adalah kecepatan angin dan nilai
���= 4.36816 dan ��� = 17.7893 maka diperoleh yaitu
�� = ���� ; ���, ����= 1 − ������
�������
=
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡0.2243789350.8113895540.377957320.2243789350.224378935
⋮0.651034439⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎤
����
Substitusi � peluang distribusi Weibull sehingga diperoleh
�� = ⟨� − ��⟩ =
⎣⎢⎢⎢⎢⎡−0.115683283−0.050519989−0.008392103−0.101190529−0.086697776
⋮−0.080849619⎦
⎥⎥⎥⎥⎤
����
27
Dihitung turunan masing-masing parameter �� dan �� sehingga diperoleh
�� =
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡− 0.061813105 −0.0483926630.036852753 −0.077253954− 0.050364478− 0.061813105− 0.061813105
⋮0.004326047
−0.072514078−0.048392663−0.048392663
⋮−0.090211384⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎤
����
Dilakukan perhitungan untuk memperoleh penduga bagi ��� menggunakan
persamaan (4.15) yaitu sebagai berikut
����� = �0.12500331 0.086530683
0.086530683 0.288648246����
(�����)
�� = �10.09456297 −3.026138011−3.026138011 4.371596936
����
���(� − ��) = �
0.009986210.000553515
����
���=�−0.099131414−0.027799905
����
Maka akan diperoleh nilai dugaan untuk ��� dan ��� sebagai berikut
��������= �
4.46729493217.7614886
�
Nilai SSE untuk iterasi 1 sebagai berikut
���(�) = ∑ ��� − ���� ; ���, ��������
���
= 0.181342626
28
Untuk melihat kekonvergenannya, maka dengan menggunakan persamaan (2.16)
diperoleh yaitu
��������
���� < � = �
�.�����������.���������
�.���������� > 0.0001
= |0.022694017| > 0.0001
��������
���� < � = �
��.����������.��������
��.��������� > 0.0001
= |0.001562733| > 0.0001
Karena nilai error parameter �� dan �� lebih dari 0.0001 solusi konvergen belum
diperoleh maka proses iterasi dilanjutkan.
Iterasi 2
Substitusi fungsi kumulatif Weibull dengan � adalah kecepatan angin dan nilai
���= 4.467294932 dan ��� = 17.7614886 maka diperoleh yaitu
�� = ���� ; ���, ����= 1 − ������
�������
=
⎣⎢⎢⎢⎢⎡0.2196708030.8172041670.3750355050.2196708030.219670803
⋮0.654029394⎦
⎥⎥⎥⎥⎤
����
Substitusi � peluang distribusi Weibull sehingga diperoleh
�� = ⟨� − ��⟩=
⎣⎢⎢⎢⎢⎡−0.110975151−0.056334602−0.005470288−0.096482397−0.081989643
⋮0.077854664 ⎦
⎥⎥⎥⎥⎤
����
29
Dihitung turunan masing-masing parameter �� dan �� sehingga diperoleh
�� =
⎣⎢⎢⎢⎢⎡− 0.060404447 −0.0486814820.03687295 −0.078131011
− 0.049642128− 0.060404447− 0.060404447
⋮0.004898339
−0.073888068−0.048681482−0.048681482
⋮−0.092360048⎦
⎥⎥⎥⎥⎤
����
Dilakukan perhitungan untuk memperoleh penduga bagi ��� menggunakan
persamaan (4.15) yaitu sebagai berikut
����� = �0.119613526 0.085406444
0.085406444 0.298585561����
(�����)
�� = �10.50595147 −3.005088234− 3.005088234 4.208689447
����
���(� − ��) = �0.000366045
− 0.001581328����
���=�0.008597687−0.007755319
����
Maka akan diperoleh nilai dugaan untuk ��� dan ��� sebagai berikut
��������= �4.47589262
17.75373328�
Nilai SSE untuk iterasi 2 sebagai berikut
���(�) = ∑ ��� − ���� ; ���, ��������
���
= 0.180297886
30
Untuk melihat kekonvergenannya, maka dengan menggunakan persamaan (2.16)
diperoleh yaitu
��������
���� < � = �
�.����������.���������
�.���������� > 0.0001
= |0.0085976867| > 0.0001
��������
���� < � = �
��.�����������.�������
��.�������� > 0.0001
= |0.000436637| > 0.0001
Karena nilai error parameter �� dan �� lebih dari 0.0001 solusi konvergen belum
diperoleh maka proses iterasi dilanjutkan.
Iterasi 3
Substitusi fungsi kumulatif Weibull dengan � adalah kecepatan angin dan nilai
���= 4.47589262 dan ��� = 17.75373328 maka diperoleh yaitu
�� = ���� ; ���, ����= 1 − ������
�������
=
⎣⎢⎢⎢⎢⎡0.2194840610.8182777590.3751838530.2194840610.219484061
⋮0.654902523⎦
⎥⎥⎥⎥⎤
����
Substitusi � peluang distribusi Weibull sehingga diperoleh
�� = ⟨� − ��⟩=
⎣⎢⎢⎢⎢⎡−0.110788409−0.057408194−0.005618635−0.096295656−0.081802902
⋮0.076981535 ⎦
⎥⎥⎥⎥⎤
����
31
Dihitung turunan masing-masing parameter �� dan �� sehingga diperoleh
�� =
⎣⎢⎢⎢⎢⎡−0.060263821 −0.0487824320.036938535 −0.078159704−0.049508349−0.060263821−0.060263821
⋮0.005081359
0.074114877−0.0487824320.048782432
⋮−0.092604979⎦
⎥⎥⎥⎥⎤
����
Dilakukan perhitungan untuk memperoleh penduga bagi ��� menggunakan
persamaan (4.15) yaitu sebagai berikut
����� = �0.119002391 0.085202055
0.085202055 0.299936891����
(�����)
�� = � 10.5416075 −2.997567538− 2.997567538 4.188678382
����
���(� − ��) = �
0.000103089− 0.000196341
����
���=�0.001675272−0.001131426
����
Maka akan diperoleh nilai dugaan untuk ��� dan ��� sebagai berikut
��������= �4.477567891
17.75260186�
Nilai SSE untuk iterasi 3 sebagai berikut
���(�) = ∑ ��� − ���� ; ���, ��������
���
= 0.180280053
32
Untuk melihat kekonvergenannya, maka dengan menggunakan persamaan (2.16)
diperoleh yaitu
��������
���� < � = �
�.�����������.��������
�.��������� > 0.0001
= |0.000374288| > 0.0001
��������
���� < � = �
��.�����������.��������
��.��������� < 0.0001
= |0.0000637289| < 0.0001
Karena nilai error parameter �� dan �� lebih dari 0.0001 solusi konvergen belum
diperoleh maka proses iterasi dilanjutkan.
Iterasi 4
Substitusi fungsi kumulatif Weibull dengan � adalah kecepatan angin dan nilai
���= 4.477567891 dan ��� = 17.75260186 maka diperoleh yaitu
�� = ���� ; ���, ����= 1 − ������
�������
=
⎣⎢⎢⎢⎢⎡0.2194840610.8182777590.3751838530.2194840610.219484061
⋮0.654902523⎦
⎥⎥⎥⎥⎤
����
Substitusi � peluang distribusi Weibull sehingga diperoleh
�� = ⟨� − ��⟩ =
⎣⎢⎢⎢⎢⎡− 0.110788409− 0.057408194− 0.005618635− 0.096295656− 0.081802902
⋮0.076981535 ⎦
⎥⎥⎥⎥⎤
����
33
Dihitung turunan masing-masing parameter �� dan �� sehingga diperoleh
�� =
⎣⎢⎢⎢⎢⎡− 0.060263821 −0.0487824320.036938535 −0.078159704− 0.049508349− 0.060263821− 0.060263821
⋮0.005081359
0.074114877−0.0487824320.048782432
⋮−0.092604979⎦
⎥⎥⎥⎥⎤
����
Dilakukan perhitungan untuk memperoleh penduga bagi ��� menggunakan
persamaan (4.15) yaitu sebagai berikut
����� = �0.119002391 0.085202055
0.085202055 0.299936891����
(�����)
�� = [10.54859751]���
���(� − ��) = [−1.2140858005953805]���
���=[0.000146916]���
Maka akan diperoleh nilai dugaan untuk ��� dan ��� sebagai berikut
��������= �
4.47771480817.75260186
�
Diperoleh nilai untuk ���= 4.477714808 dan ��� = 17.75260186 dengan nilai
SSE untuk iterasi 4 sebagai berikut
���(�) = ∑ ��� − ���� ; ���, ��������
���
= 0.180279595
34
Untuk melihat kekonvergenannya, maka dengan menggunakan persamaan (2.16)
diperoleh yaitu
��������
���� < � = �
�.�����������.���������
�.���������� < 0.0001
= |0.0000328116| < 0.0001
��������
���� < � = �
��.�����������.��������
��.��������� < 0.0001
= |0.0000637289| < 0.0001
Karena nilai error parameter �� dan �� kurang dari 0.0001 solusi konvergen sudah
tercapai maka proses iterasi berhenti.
Tabel 4.1 Ringkasan Hasil Iterasi
Iterasi �� �� SSE
0 4.765032755 18.13643312 0.255267494
1 4.36816 17.7893 0.181342626
2 4.467294932 17.7614886 0.180297886
3 4.47589262 17.75373328 0.180280053
4 4.477567891 17.75260186 0.180279595
Dari hasil iterasi yang ke empat telah diperoleh iterasi yang konvergen,
sehingga iterasi dapat berhenti. Didapat untuk nilai parameter ��= 4.477714808
dan nilai parameter ��= 17.75260186, dengan nilai MSE sebagai berikut
��� =���
���
=�.���������
����
= 0.00269074
35
Tabel 4.2 Ringkasan Hasil Iterasi Menggunakan SAS 9
Iterasi �� �� SSE
0 4.7650 18.1364 0.2553
1 4.4856 17.7426 0.1803
2 4.4779 17.7523 0.1803
3 4.4779 17.7524 0.1803
Dapat dilihat pada Tabel 4.2 iterasi menunjukan hasil yang hampir sama
dengan tabel 4.1. Jadi diperoleh nilai taksiran parameternya adalah ��= 4.4779
dan nilai parameter ��= 17.7524 dengan nilai MSE = 0.00269. Didapatkan
model cumulative density function (cdf) sebagai berikut
�(��) = 1 − ����− ���
��.������.����
� (4.17)
Tabel 4.3 Tabel Analisis Varian (ANOVA)
Sumber
Derajat
Bebas
(db)
Sum Square
(SS)
Mean Square
(MS)
F
hitung Pr > F
Model 2 22.8185 11.4093 4240.19 < 0.0001
Error 67 0.1803 0.00269
Total 69 22.9988
Dari tabel di atas, untuk uji ketepatan model dapat dihitung nilai dari
koefisien determinasi (��) dan uji serentak (uji F).
1. Koefisien determinasi (��)
�� =���
���=
��.����
��.����= 0.99216
36
Nilai dari koefisien determinasi (��) = 0.99216 menunjukan besarnya
keragaman yang mampu dijelaskan oleh model dan dapat dikatakan model
yang diperoleh tepat karena keragamannya cukup besar yaitu 99.216%.
2. Uji serentak (uji F)
��: Model dikatakan tidak tepat
��: Model dikatakan tepat
Dari uji F dapat dilihat ��= 0.0001< � = 0.05 yang berarti �� ditolak,
maka model yang diperoleh tepat.
Dalam pemeriksaan asumsi model regresi nonlinier, sama halnya dengan
melakukan pemeriksaan asumsi model regresi linier sederhana yaitu pemeriksaan
mengenai asumsi error. Asumsi tersebut antara lain asumsi independen, asumsi
kenormalan dan asumsi identik dari error.
1. Asumsi independen
Untuk menguji asumsi autokorelasi dengan nilai error tidak saling
mempengaruhi atau independen, maka digunakan hipotesis berikut
�� ∶ �� = 0, � = 1,2, … , �
(Korelasi antar error bernilai nol atau tidak terdapat korelasi antar error
yang satu dengan error yang lainnya)
�� ∶ �� ≠ 0, � = 1,2, … , �
(Korelasi antar error bernilai tidak sama dengan nol atau terdapat
korelasi antar error yang satu dengan error yang lainnya).
37
161412108642
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Lag
Au
toco
rre
lati
on
Gambar 4.1 Plot ACF Error
Dari nilai autokorelasi yang diperoleh (pada Lampiran 4), terlihat bahwa
semua nilai autokorelasi berada dalam batas yang telah ditentukan yaitu
�−�
√�,�
√�� dimana batas menunjukan selang kepercayaan dari korelasi, maka
korelasi bernilai 0 jadi hipotesis awal akan diterima.
Selain itu, dapat dilihat pada plot autokorelasi dari error, apabila terdapat
nilai autokorelasi pada tiap lag yang berada di luar batas kepercayaan 95%,
maka hipotesis awal akan ditolak. Dari Gambar 4.1 di atas, terlihat bahwa
tidak ada lag yang berada di luar batas garis kepercayaan, sehingga hipotesis
awal diterima. Hal ini menunjukkan bahwa tidak terdapat korelasi antara nilai
error yang satu dengan yang lainnya, sehingga dapat dikatakan bahwa asumsi
autokorelasi error terpenuhi dan error independen.
2. Asumsi normal
Untuk menguji asumsi kenormalan dapat digunakan statistik uji Kolmogorov
-Smirnov dengan hipotesis berikut.
�� ∶ error menyebar mengikuti distribusi normal
�� ∶ error tidak menyebar mengikuti distribusi normal
38
0.150.100.050.00-0.05-0.10-0.15-0.20
99.9
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
0.1
RESI
Pe
rce
nt
Mean -0.01219
StDev 0.05005
N 69
KS 0.070
P-Value >0.150
Gambar 4.2 Plot Kenormalan Error
Pengujian asumsi kenormalan dari error, dilakukan dengan membandingkan
nilai Kolmogorov-Smirnov yang diperoleh dengan nilai tabel Kolmogorov-
Smirnov. Karena diperoleh nilai �� = 0.07 yang lebih kecil dibandingkan
nilai ������� = 0.164 yang artinya �� diterima, sehingga dapat dikatakan
bahwa error menyebar mengikuti distribusi normal. Dapat dilihat juga pada
hasil plot kenormalan pada Gambar 4.2, bahwa plot data cenderung dapat
didekati dengan garis lurus dengan nilai p-value 0.150 > 0.05 yang artinya
�� diterima.
3. Asumsi identik
Untuk menguji asumsi identik dari error, dapat digunakan statistik uji Glejser
dengan hipotesis sebagai berikut:
�� ∶ tidak terjadi gejala heteroskedastisitas
�� ∶ terjadi gejala heteroskedastisitas
39
Tabel 4.4 Tabel Uji t
Parameter Estimasi Nilai t Pr > |t|
a 0.018245 0.05 0.9590
b 4.808E36 0.00 0.9995
Pendeteksian pada uji Glejser ini dilakukan dengan meregresikan nilai mutlak
residual terhadap variabel independen. Dari hasil perhitungan tidak terjadi
gejala heteroskedastisitas, dimana tidak ada nilai t hitung yang signifikan atau
nilai signifikan lebih dari 0.05 (p > 0.05). Jadi secara keseluruhan dapat
disimpulkan bahwa tidak ada masalah heterokedastisitas.
Pengujian asumsi identik juga dapat dilihat dari plot pencaran titik antara nilai
variabel independen dengan nilai error berikut.
0.1460.1450.1440.1430.142
-0.050
-0.075
-0.100
-0.125
-0.150
Fitted Value
Re
sid
ua
l
Versus Fits(response is C4)
Gambar 4.3 Plot Pencaran Titik Nilai Variabel Independen dengan Nilai Error
Dari gambar plot di atas terlihat bahwa error tidak membentuk suatu pola
tertentu, sehingga dapat dikatakan error konstan tidak dipengaruhi oleh
perubahan nilai prediksi yang dihasilkan dari model. Hal ini menunjukan
varian error konstan atau terjadi homokedastisitas, sehingga asumsi identik
terpenuhi.
40
Berdasarkan pengujian asumsi error yang telah dilakukan, dapat dilihat
bahwa semua asumsi terpenuhi sehingga dapat dikatakan bahwa model memenuhi
asumsi error regresi.
4.3.4 Perhitungan Mean dan Variansi
Mean dari distribusi Weibull yaitu
�(�) = � = ∫ ��(�)���
�
= ∫ ��
����������− �
�
���
����
�
Misal � = ��
���
maka �� =�
�������� dan � = �
�
��
� = ∫ ��
�� ���[−�]���
�
= ∫ ���
� ���[−�]���
�
= �Γ�1+�
�� (4.18)
Varian dari distribusiWeibull
�� = ∫ (� − �)��(�)���
�
= ∫ (�� − 2��+ ��)�(�)���
�
= ∫ ���(�)�� −�
�2�(�) + ��
= ∫ ���(�)�� −�
���
= ���1+�
�� − �βΓ�1 +
�
���
�
= �� ��1 +�
�� − �Γ�1 +
�
���
�
� (4.19)
41
Nilai mean dari kecepatan angin dapat diperoleh dengan menggunakan
persamaan (4.18) yaitu
�(�) = �Γ�1 +�
��
= 17.7524Γ�1+�
�.�����
= 17.7524Γ(1.223318966)
= 16.19574
Variansi dari kecepatan angin dapat diperoleh dengan menggunakan
persamaan (4.19) yaitu
���(�) = �� ��1+�
�� − �Γ�1+
�
���
�
�
= 17.7524� �Γ�1+�
�.����� − �Γ�1+
�
�.������
�
�
= 17.7524�[Γ(1.446637933) − [Γ(1.223318966)]�]
= 16.82444214
4.4 Interpretasi Model
Berdasarkan cumulative density function (cdf) yang diperoleh pada
persamaan (4.17) dapat ditentukan probability density function (pdf) distribusi
Weibull 2 parameter adalah
��� =�.����
��.�����.������
�.��������− ���
��.������.����
� (4.20)
Sehingga akan menghasilkan kurva probability density function (pdf) distribusi
Weibull 2 parameter pada gambar 4.4 berikut
42
302520151050
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
X
De
nsit
y
Gambar 4.4 Grafik Data Kecepatan Angin Terbesar terhadap Peluang Weibull
Dari gambar 4.4 dihasilkan kurva yang simetrik dengan mean, median dan
modus dari distribusi tersebut berhimpitan, sehingga diperoleh nilai kecepatan
angin terbesar berdasarkan hasil analisis pada persamaan (4.18) yaitu 16.2 knot
dengan peluang terbesarnya adalah antara kecepatan angin 16 knot sampai 17 knot
yaitu 0.095.
BAB V
PENUTUP
Berdasarkan hasil analisis dan pembahasan di atas, dapat ditarik beberapa
kesimpulan sebagai berikut:
5.1 Kesimpulan
1. Hasil estimasi parameter dengan menggunakan metode linearisasi
(metode deret Taylor) diperoleh
�� = ��� + (��� ��)����
� (� − ��)
�� = ��� + (��� ��)����
� (� − ��)
dimana
�� = ����; ���, ���� = 1 − ��� ���
����
���
�� = ⟨� − ��⟩ =
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡�� − �1 − ��� �
��
����
���
�
�� − �1 − ��� ���
����
���
�
⋮
�� − �1 − ��� ���
����
���
�⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤
44
�� =
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡
���� �− ���
���
��
� ���
���
��
�� ���
����
⎝
⎛− ���������
����
���
��������
�����
�� � �
⎠
⎞
���� �− ���
���
��
� ���
���
��
�� ���
����
⎝
⎛− ���������
����
���
��������
�����
�� � �
⎠
⎞
⋮
���� �− ���
���
��
� ���
���
��
�� ���
����
⎝
⎛
⋮
− ���������
����
���
��������
�����
�� � �
⎠
⎞
⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
�� = (��� ��)����
� (� − ��)
2. Hasil estimasi pada data kecepatan angin terbesar per bulan di Nusa
Tenggara Barat diperoleh sebuah model yaitu
��� =�.����
��.�����.���� ���.������� �− �
��
��.�����
�.����
�
Dari model tersebut diperoleh nilai keragaman yang cukup besar yaitu
99.216%, dapat dikatakan model yang diperoleh tepat.
5.2 Saran
Adapun saran dalam penelitian ini adalah, untuk penelitian selanjutnya
dapat dilakukan suatu kajian untuk lebih dari 2 parameter dalam mengestimasi
distribusi Weibull.
45
DAFTAR PUSTAKA
Anton, H dan Rorres, C. 2004. Dasar-dasar Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi Edisi 8 Jilid 1, diterjemahkan oleh: Refina I dan Irzam H, Erlangga, Jakarta.
Anton, H. 2000. Dasar-dasar Aljabar Linear Edisi 7 Jilid 1. Erlangga, Jakarta.
Bates, D.M dan Watts, D.G, 1988, Nonlinear Regression Analysis and Its Applications, Jhon Wiley and Son, Canada.
Draper, N. dan Smith H., 1992, Analisis Regresi Terapan Ed. 2, diterjemahkan oleh: Bambang Sumantri, Gramedia Pustaka Utama, Jakarta.
Ebeling, C.E., 1997, Realibility and Maintainability Engineering, McGraw Hill, Singapore.
Firdaus, M., 2004, Ekonometrika Suatu Pendekatan Aplikatif, PT. Bumi Aksara, Jakarta.
Gallant, R.A, 1987, Nonlinear Statistical Models, Jhon Wiley and Son, NewYork.
Gujarati, D., 1999, Basic Econommetrics Fourth Edition, McGraw Hill, New York.
Hines, W.W dan Montgomery, D.C., 1989, Probabilitas dan Statistika dalam Ilmu Rekayasa dan Manajemen Ed.2, diterjemahkan oleh: Rudiansyah, UI Press, Jakarta.
Karim, M.E., 2009, Non-Linier Models, University of Dhaka, Bangladesh.
Olaofe, Z.O dan Folly, K.A., 2012, Statistical Analysis of the Wind Resources at Darling for Energy Production, International Journal of Renewable Energy Research, Vol.2 No.2, hal 1.
Rinne, H, 2009, The Weibull Distribution, CRC Press, United States of America.
Suliyanto, 2011, Ekonometrika Terapan: Teori dan aplikasi dengan SPSS, Andi Yogyakarta, Purwokerto.
Lampiran 1. Data Kecepatan Angin Terbesar Per Bulan di Wilayah Nusa
Tenggara Barat Tahun 2009- 2014
Tahun 2009 2010 2011 2012 2013 2014
Januari
Februari
Maret
April
Mei
Juni
Juli
Agustus
September
Oktober
November
Desember
13
20
15
13
13
9
15
10
13
15
15
18
17
14
12
13
16
40
16
13
12
13
16
14
30
20
13
14
24
12
24
17
18
16
18
15
26
18
29
22
18
20
18
20
18
17
15
15
24
45
20
13
14
9
16
14
14
13
22
18
18
38
16
11
14
14
19
21
18
Keterangan: Kecepatan angin dalam knot
Sumber: BMKG Stasiun Klimatologi Klas I Kediri-NTB
Lampiran 2. Perhitungan Uji Mann untuk Kecepatan Angin
�� �� ��(����) �� (��) ��(����)
− �� (��)
��(����) − �� (��)
��
-0.35615 0.061536 2.833213 2.772589 0.060625 0.985183
-0.29461 0.040484 2.833213 2.772589 0.060625 1.497509
-0.25413 0.040119 2.833213 2.772589 0.060625 1.511112
-0.21401 0.039812 2.890372 2.833213 0.057158 1.435724
-0.1742 0.03956 2.890372 2.833213 0.057158 1.444859
-0.13464 0.039364 2.890372 2.833213 0.057158 1.452055
-0.09528 0.039224 2.944439 2.890372 0.054067 1.378435
-0.05605 0.03914 2.944439 2.890372 0.054067 1.381377
-0.01691 0.039115 2.944439 2.890372 0.054067 1.382277
0.022203 0.039149 2.944439 2.890372 0.054067 1.381056
0.061352 0.039247 2.944439 2.890372 0.054067 1.377626
0.100598 0.039411 2.944439 2.890372 0.054067 1.371894
0.140009 0.039646 2.944439 2.890372 0.054067 1.363756
0.179655 0.039958 2.944439 2.890372 0.054067 1.353102
0.219613 0.040354 2.944439 2.890372 0.054067 1.339808
0.259967 0.040844 2.944439 2.890372 0.054067 1.323737
0.300812 0.041439 2.995732 2.944439 0.051293 1.237801
0.342251 0.042153 3.044522 2.995732 0.04879 1.157461
0.384404 0.043003 3.044522 2.995732 0.04879 1.134564
0.427407 0.044014 3.044522 2.995732 0.04879 1.108514
0.471421 0.045214 3.044522 2.995732 0.04879 1.079091
0.516635 0.046643 3.044522 2.995732 0.04879 1.046044
0.563278 0.048351 3.091042 3.044522 0.04652 0.96213
0.611629 0.05041 3.135494 3.091042 0.044452 0.881798
0.662039 0.05292 3.135494 3.091042 0.044452 0.839988
0.714959 0.056022 3.218876 3.178054 0.040822 0.728678
Lampiran 2: Lanjutan
�� �� ��(����) �� (��) ��(����)
− �� (��)
��(����) − �� (��)
��
0.770981 0.059934 3.218876 3.178054 0.040822 0.681119
0.830914 0.064997 3.218876 3.178054 0.040822 0.628059
0.895911 0.07179 3.295837 3.258097 0.03774 0.525702
0.967702 0.081381 3.401197 3.367296 0.033902 0.416576
1.049083 0.096004 3.433987 3.401197 0.03279 0.341547
1.145087 0.121348 3.663562 3.637586 0.025975 0.214058
1.266435 -1.26643 3.713572 3.688879 0.024693 -0.0195
� �ln(����) − ln (��)
���
���
������
34.94314348
�� � �ln(����) − ln (��)
���
���
������
1205.53845
�� �� ��(����) �� (��) ��(����)
− �� (��)
��(����) − �� (��)
��
-4.92725 1.105921 2.302585 2.197225 0.105361 0.09527
-3.82133 0.518224 2.302585 2.197225 0.105361 0.203311
-3.3031 0.343964 2.397895 2.302585 0.09531 0.277094
-2.95914 0.258901 2.484907 2.397895 0.087011 0.336079
-2.70024 0.208356 2.564949 2.484907 0.080043 0.384164
-2.49188 0.17484 2.564949 2.484907 0.080043 0.457806
-2.31704 0.15099 2.564949 2.484907 0.080043 0.530118
-2.16605 0.13316 2.639057 2.564949 0.074108 0.556535
-2.03289 0.119332 2.639057 2.564949 0.074108 0.621023
-1.91356 0.108303 2.639057 2.564949 0.074108 0.684264
-1.80526 0.099308 2.639057 2.564949 0.074108 0.746242
-1.70595 0.091839 2.639057 2.564949 0.074108 0.806937
-1.61411 0.085542 2.639057 2.564949 0.074108 0.866331
Lampiran 2: Lanjutan
�� �� ��(����) �� (��) ��(����)
− �� (��)
��(����) − �� (��)
��
-1.52857 0.080169 2.639057 2.564949 0.074108 0.924402
-1.4484 0.075534 2.639057 2.564949 0.074108 0.981127
-1.37287 0.0715 2.639057 2.564949 0.074108 1.036482
-1.30137 0.067961 2.639057 2.564949 0.074108 1.090442
-1.23341 0.064837 2.70805 2.639057 0.068993 1.06409
-1.16857 0.062063 2.70805 2.639057 0.068993 1.111654
-1.10651 0.059587 2.70805 2.639057 0.068993 1.157844
-1.04692 0.057368 2.70805 2.639057 0.068993 1.202631
-0.98955 0.055372 2.70805 2.639057 0.068993 1.245986
-0.93418 0.053571 2.70805 2.639057 0.068993 1.287881
-0.88061 0.051941 2.70805 2.639057 0.068993 1.328282
-0.82867 0.050464 2.70805 2.639057 0.068993 1.367158
-0.7782 0.049124 2.772589 2.70805 0.064539 1.313797
-0.72908 0.047905 2.772589 2.70805 0.064539 1.34721
-0.68117 0.046798 2.772589 2.70805 0.064539 1.379095
-0.63437 0.045791 2.772589 2.70805 0.064539 1.409415
-0.58858 0.044877 2.772589 2.70805 0.064539 1.43813
-0.54371 0.044048 2.772589 2.70805 0.064539 1.4652
-0.49966 0.106998 2.772589 2.70805 0.064539 0.603176
-0.39266 0.392661 2.833213 2.772589 0.060625 0.154394
� �ln(����) − ln (��)
���
���
������
29.47357
�� � �ln(����) − ln (��)
���
���
������
1002.101
Lampiran 3. Perhitungan Pendugaan Nilai Awal Parameter
Urutan �(�) −�� (� − �(��)) �� �(�) �� (− ��(� − �(��)))
1 9 0.007273 2.197225 -4.92362
2 9 0.021979 2.197225 -3.81767
3 10 0.036905 2.302585 -3.29942
4 11 0.052056 2.397895 -2.95543
5 12 0.067441 2.484907 -2.6965
6 12 0.083067 2.484907 -2.48811
7 12 0.09894 2.484907 -2.31324
8 13 0.115069 2.564949 -2.16222
9 13 0.131463 2.564949 -2.02903
10 13 0.14813 2.564949 -1.90966
11 13 0.16508 2.564949 -1.80133
12 13 0.182322 2.564949 -1.70198
13 13 0.199866 2.564949 -1.61011
14 13 0.217723 2.564949 -1.52453
15 13 0.235906 2.564949 -1.44432
16 13 0.254425 2.564949 -1.36875
17 13 0.273293 2.564949 -1.29721
18 14 0.292525 2.639057 -1.22921
19 14 0.312133 2.639057 -1.16433
20 14 0.332134 2.639057 -1.10222
21 14 0.352543 2.639057 -1.04258
22 14 0.373377 2.639057 -0.98517
23 14 0.394654 2.639057 -0.92975
24 14 0.416394 2.639057 -0.87612
25 14 0.438617 2.639057 -0.82413
26 15 0.461346 2.70805 -0.77361
27 15 0.484602 2.70805 -0.72443
Lampiran 3: Lanjutan
Urutan �(�) −�� (� − �(��)) �� �(�) �� (− ��(� − �(��)))
28 15 0.508413 2.70805 -0.67646
29 15 0.532805 2.70805 -0.6296
30 15 0.557806 2.70805 -0.58374
31 15 0.583448 2.70805 -0.5388
32 15 0.609766 2.70805 -0.49468
33 16 0.636794 2.772589 -0.45131
34 16 0.664574 2.772589 -0.40861
35 16 0.693147 2.772589 -0.36651
36 16 0.722561 2.772589 -0.32495
37 16 0.752866 2.772589 -0.28387
38 16 0.784119 2.772589 -0.24319
39 17 0.81638 2.833213 -0.20288
40 17 0.849716 2.833213 -0.16285
41 17 0.884202 2.833213 -0.12307
42 18 0.91992 2.890372 -0.08347
43 18 0.956962 2.890372 -0.04399
44 18 0.995428 2.890372 -0.00458
45 18 1.035433 2.890372 0.03482
46 18 1.077106 2.890372 0.074278
47 18 1.120591 2.890372 0.113856
48 18 1.166054 2.890372 0.153625
49 18 1.213682 2.890372 0.193658
50 18 1.263692 2.890372 0.234038
51 18 1.316336 2.890372 0.274852
52 19 1.371906 2.944439 0.316201
53 20 1.430746 2.995732 0.358196
54 20 1.493266 2.995732 0.400966
Lampiran 3: Lanjutan
Urutan �(�) −�� (� − �(��)) �� �(�) �� (− ��(� − �(��)))
55 20 1.559958 2.995732 0.444659
56 20 1.631417 2.995732 0.489449
57 20 1.708378 2.995732 0.535544
58 21 1.791759 3.044522 0.583198
59 22 1.882731 3.091042 0.632724
60 22 1.982815 3.091042 0.684517
61 24 2.09404 3.178054 0.739095
62 24 2.219203 3.178054 0.797148
63 24 2.362304 3.178054 0.859638
64 26 2.529358 3.258097 0.927966
65 29 2.730029 3.367296 1.004312
66 30 2.981344 3.401197 1.092374
67 38 3.317816 3.637586 1.199307
68 40 3.828641 3.688879 1.34251
69 45 4.927254 3.806662 1.594782
Scatter Plot antara �� �(�) dan �� (− ��(� − �(��)))
4.03.53.02.52.0
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
x
y
Pengelompokan �� �(�) dan �� (− ��(� − �(��)))
Kelompok Bawah Tengah Atas
� � � � � �
2.197225 -4.92362 2.639057 -0.87612 2.890372 0.113856
2.197225 -3.81767 2.639057 -0.82413 2.890372 0.153625
2.302585 -3.29942 2.70805 -0.77361 2.890372 0.193658
2.397895 -2.95543 2.70805 -0.72443 2.890372 0.234038
2.484907 -2.6965 2.70805 -0.67646 2.890372 0.274852
2.484907 -2.48811 2.70805 -0.6296 2.944439 0.316201
2.484907 -2.31324 2.70805 -0.58374 2.995732 0.358196
2.564949 -2.16222 2.70805 -0.5388 2.995732 0.400966
2.564949 -2.02903 2.70805 -0.49468 2.995732 0.444659
2.564949 -1.90966 2.772589 -0.45131 2.995732 0.489449
2.564949 -1.80133 2.772589 -0.40861 2.995732 0.535544
2.564949 -1.70198 2.772589 -0.36651 3.044522 0.583198
2.564949 -1.61011 2.772589 -0.32495 3.091042 0.632724
2.564949 -1.52453 2.772589 -0.28387 3.091042 0.684517
2.564949 -1.44432 2.772589 -0.24319 3.178054 0.739095
2.564949 -1.36875 2.833213 -0.20288 3.178054 0.797148
2.564949 -1.29721 2.833213 -0.16285 3.178054 0.859638
2.639057 -1.22921 2.833213 -0.12307 3.258097 0.927966
2.639057 -1.16433 2.890372 -0.08347 3.367296 1.004312
2.639057 -1.10222 2.890372 -0.04399 3.401197 1.092374
2.639057 -1.04258 2.890372 -0.00458 3.637586 1.199307
2.639057 -0.98517 2.890372 0.03482 3.688879 1.34251
2.639057 -0.92975 2.890372 0.074278 3.806662 1.594782
Median 2.564949 -1.70198 2.772589 -0.36651 3.044522 0.583198
Lampiran 4. Hasil Estimasi Parameter Menggunakan Program SAS 9
data kecepatan; input t y; datalines; 13 0.108696 20 0.760870 15 0.369565 13 0.123188 13 0.137681 9 0.007246 15 0.384058 10 0.036232 13 0.152174 15 0.398551 15 0.413043 18 0.601449 17 0.557971 14 0.253623 12 0.065217 13 0.166667 16 0.471014 40 0.978261 16 0.485507 13 0.181159 12 0.079710 13 0.195652 16 0.500000 14 0.268116 30 0.949275 20 0.775362 13 0.210145 14 0.282609 24 0.876812 12 0.094203 24 0.891304 17 0.572464 18 0.615942 16 0.514493 18 0.630435 15 0.427536 26 0.920290 18 0.644928 29 0.934783 22 0.847826 18 0.659420 20 0.789855 18 0.673913 20 0.804348 18 0.688406 17 0.586957 15 0.442029 15 0.456522 24 0.905797 45 0.992754 20 0.818841 13 0.224638 14 0.297101 9 0.021739 16 0.528986 14 0.311594 14 0.326087
Lampiran 4: Lanjutan
13 0.239130 22 0.862319 18 0.702899 18 0.717391 38 0.963768 16 0.543478 11 0.050725 14 0.340580 14 0.355072 19 0.746377 21 0.833333 18 0.731884 ; proc nlin data=kecepatan method=newton; parameters a=4.765032755 b=18.13643312; model y=1-exp(-(t/b)**a); proc print data=nlinout; run;
Sum of Iter a b Squares 0 4.7650 18.1364 0.2553 1 4.4856 17.7426 0.1803 2 4.4779 17.7523 0.1803 3 4.4779 17.7524 0.1803
Sum of Mean Approx
Source DF Squares Square F Value Pr > F Model 2 22.8185 11.4093 4240.19 <.0001 Error 67 0.1803 0.00269 Uncorrected Total 69 22.9988
Approx
Parameter Estimate Std Error Approximate 95% Confidence Limits a 4.4779 0.1765 4.1255 4.8302 b 17.7524 0.1138 17.5251 17.9796 Approximate Correlation Matrix a b a 1.0000000 -0.5355807 b -0.5355807 1.0000000
Lampiran 5. Pemeriksaan Asumsi Regresi Nonlinear
Asumsi autokorelasi error
161412108642
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Lag
Au
toco
rre
lati
on
Lag ACF T LBQ
1 0.105273 0.87 0.80 2 0.140807 1.16 2.25 3 0.159296 1.28 4.13 4 0.145273 1.14 5.72 5 0.097050 0.75 6.44 6 0.065185 0.50 6.77 7 0.003553 0.03 6.77 8 0.129062 0.99 8.11 9 0.198436 1.50 11.33 10 0.193743 1.41 14.44 11 0.142559 1.01 16.16 12 0.125611 0.88 17.52 13 0.155651 1.08 19.64 14 0.113911 0.78 20.79 15 0.092165 0.62 21.56 16 0.006688 0.04 21.57 17 -0.004882 -0.03 21.57
Asumsi normal error
0.150.100.050.00-0.05-0.10-0.15-0.20
99.9
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
0.1
RESI
Pe
rce
nt
Mean -0.01219
StDev 0.05005
N 69
KS 0.070
P-Value >0.150
Asumsi identik error
0.1460.1450.1440.1430.142
-0.050
-0.075
-0.100
-0.125
-0.150
Fitted Value
Re
sid
ua
l
Versus Fits(response is C4)
Pengujian asumsi identik error dengan menggunakan SAS 9
data kecepatan; input t y; datalines; 13 0.110778 20 0.057436 15 0.005617 13 0.096285 13 0.081793 9 0.039380 15 0.008876 10 0.037446 13 0.067300 15 0.023368
15 0.037861 18 0.053474 17 0.003232 14 0.038370 12 0.093769 13 0.052807 16 0.004734 40 0.021739 16 0.019226 13 0.038314 12 0.079277 13 0.023822 16 0.033719 14 0.023877 30 0.050697 20 0.042943 13 0.009329 14 0.009384 24 0.102085 12 0.064784 24 0.087592 17 0.011261 18 0.038981 16 0.048212 18 0.024488 15 0.052354 26 0.075710 18 0.009995 29 0.065094 22 0.078880 18 0.004497 20 0.028451 18 0.018990 20 0.013958 18 0.033483 17 0.025753 15 0.066847 15 0.081339 24 0.073100 45 0.007246 20 0.000535 13 0.005164 14 0.005108 9 0.024887 16 0.062705 14 0.019601 14 0.034094 13 0.019657 22 0.064388 18 0.047976 18 0.062468 38 0.036232 16 0.077197 11 0.059934 14 0.048587 14 0.063079 19 0.004209 21 0.046859 18 0.076961 ; proc model data=kecepatan; parms a=4.4779 b=17.7524; y=1-exp(-(t/b)**a); fit y; run;
Nonlinear OLS Summary of Residual Errors DF DF
Adj Equation Model Error SSE MSE Root MSE R-Square R-Sq y 2 67 1.7283 0.0258 0.1606 -30.302 -30.769 Nonlinear OLS Parameter Estimates (Not Converged) Approx Approx Parameter Estimate Std Err t Value Pr > |t| a 0.015475 0.3517 0.04 0.9650 b 3.864E43 8.565E46 0.00 0.9996
Lampiran 6. Perhitungan Peluang Kumulatif Data Kecepatan Angin
Bulan-Tahun Kecepatan
(knot) Peluang
Januari 2009 13
0.219474
Februari 2009 20
0.818306
Maret 2009 15
0.375182
April 2009 13
0.219474
Mei 2009 13
0.219474
Juni 2009 9
0.046626
Juli 2009 15
0.375182
Agustus 2009 10
0.073678
September 2009 13
0.219474
Oktober 2009 15
0.375182
November 2009 15
0.375182
Desember 2009 18
0.654923
Januari 2010 17
0.561203
Februari 2010 14
0.291993
Maret 2010 12
0.158987
April 2010 13
0.219474
Mei 2010 16
0.466281
Juni 2010 40
1
Juli 2010 16
0.466281
Agustus 2010 13
0.219474
September 2010 12
0.158987
Oktober 2010 13
0.219474
Lampiran 6: Lanjutan
Bulan-Tahun Kecepatan
(knot) Peluang
November 2010 16 0.466281
Desember 2010 14 0.291993
Januari 2011 30 0.999972
Februari 2011 20 0.818306
Maret 2011 13 0.219474
April 2011 14 0.291993
Mei 2011 24 0.978897
Juni 2011 12 0.158987
Juli 2011 24 0.978897
Agustus 2011 17 0.561203
September 2011 18 0.654923
Oktober 2011 16 0.466281
November 2011 18 0.654923
Desember 2011 15 0.375182
Januari 2012 26 0.996
Februari 2012 18 0.654923
Maret 2012 29 0.999877
April 2012 22 0.926706
Mei 2012 18 0.654923
Juni 2012 20 0.818306
Juli 2012 18 0.654923
Agustus 2012 20 0.818306
Lampiran 6: Lanjutan
Bulan-Tahun Kecepatan
(knot) Peluang
September 2012 18 0.654923
Oktober 2012 17 0.561203
November 2012 15 0.375182
Desember 2012 15 0.375182
Januari 2013 24 0.978897
Februari 2013 45 1
Maret 2013 20 0.818306
April 2013 13 0.219474
Mei 2013 14 0.291993
Juni 2013 9 0.046626
Juli 2013 16 0.466281
Agustus 2013 14 0.291993
September 2013 14 0.291993
Oktober 2013 13 0.219474
November 2013 22 0.926706
Desember 2013 18 0.654923
Januari 2014 18 0.654923
Februari 2014 38 1
Maret 2014 16 0.466281
April 2014 11 0.110659
Mei 2014 14 0.291993
Juni 2014 14 0.291993
Lampiran 6: Lanjutan
Bulan-Tahun Kecepatan
(knot) Peluang
Juli 2014 19 0.742168
Agustus 2014 21 0.880192
September 2014 18 0.654923
Grafik data kecepatan angin terbesar terhadap peluang kumulatif Weibull
5040302010
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
x
y