Post on 29-Sep-2015
description
DEKOMPOSISI SPEKTRALDAN
DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR
Pertemuan 2 & 3
DEKOMPOSISI SPEKTRALDAN
DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR
Ingat : Vektor dan Matriks Ortogonal
vektor dan
a dan b saling ortogonal jikaa dan b saling ortonormal jikaa dan b di normalisasi (normalized) :
danu dan v saling ortonormal :
Ilustrasi 1
dan Saling ortogonalkarena
dan Saling ortonormalkarena
dimana
Saling ortogonal dansaling ortonormal
dankarena
Matriks ortogonalMatriks dikatakan ortogonal jika
or
dan , untuk
Ini berarti setiap kolom (baris) dari Q saling ortonormal , yaknidan , untuk
adalah matriks ortogonal(periksa)
Eigenvalues and Eigenvectors
Pasangan
jika setiappasanagan nilai eigen dan vektor eigen yang bersesuaian
disebut pasangan-
memenuhi persamaan
dan vector
Nilai-nilai igen dapat diperoleh dengan menyelesaikanprsamaan (determinan)
Secara umum dapat bernilai kompleks
Nilai-nilai igen dapat diperoleh dengan menyelesaikanprsamaan (determinan)
Pada umumnya dalam statistik multivariat kita bekerja padavektor-vektor eigen yang normnya 1 (normalized)
Jika A simetri, maka semua nilai eigen bernilai riilJika A definit positif maka semua nilai eigen bernilai positif
Jika vektor-vektor eigen ortonormal maka
atau
kita punya persamaan matriks (lihat teks)
atau
ortogonal diagonal
Hasil ini memegang peranandalam dekomposisi spektral
Dekomposisi spektral dari matrik simeri
simetri
Dekomposisi spektral
Definit positif
Dekomposisi spektral
nilai-nilai eigen dari AVektor-vektor eigen (normalized) yangbersesuaian dengan(ortonormal)
Sifat-sifat matriks simetrisimetri
Vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen, semuanya ortonormal
Mempunyai k pasangan nilai eigen dan vektor eigen
Vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen, semuanya ortonormalSemua nilai eigen bernilai riilJika salah satu nilai eigen bernilai nol, berimplikasi A singularJika A nonsingular , maka terdapat invers
Contoh
Lanjutan
Mudah diperiksa bahwa P ortogonal
Matriks Definit positif & Form KuadratikMisalkan matriks simetri dan vector
A disebut definit positif jikax A x disebut bentuk kuadratikMatriks simetri definit positif jika dan hanya jikasemua nilai eigennya positifDefinit positif dari bentuk kuadratik dapat diinterpretasikan sebagai kuadrat jarak
RangkumanMisal matriks simetri berukuran .Makanilai eigen dan vektor eigen
mempunyai k pasang
Vektor-vektor eigen dapat dipilih sehingga memenuhidan saling mutually perpendicular
Matrik simetri mempunyai dekomposisi spektral
dimanaadalah nilai-nilai eigen dari A dan
adalah vektor-vektor eigen (yang dinormalisasi/uniter) yangbersesuaian dengan
dan
Matrik defenit positif dengan dekomposisi spektral
Misalkan matriks yang kolom-kolomnya merupakanvektor-vrktor eigen yang dinormalisir, maka
dimanadan matriks diagonaldan matriks diagonal
CC: Dalam hal ini A harus definit positif, dimana semua nilai-nilai eigennnya juga positif
A matriks definit positif dengan dekomposisi spektral
dan inversnya
makamaka
disebut matriks akar kuadrat atau matriks standar deviasidimana
dan
Ilustrasi 1matriks simetri
Nilai-nilai eigen diperoleh dengan menyelesaikan persamaan
Untuk , vektor eigennya , dinormalisasi menjadi
Untuk ,vektor eigennya ,dinormalisasi menjadi
Dekomposisi spektral dari A adalah
CC : disini ada nilai eigen bernilai negatif ( ), jadi A bukan matriksdefinit positif. Akibatnya , tidak berlaku ??
Ilustrasi 2
Nilai-nilai eigen
Vektor2 eigen dinormalisasi
dinormalisasi
(A definit positif)
dinormalisasiDekomposisi spektral
Karena A definit positif (semua nilai eigen positif), maka
DEKOMPOSISI NILAISINGULAR
DEKOMPOSISI NILAISINGULAR
Nilai Singulir dan Dekomposisi Singulir
Maka dekomposisi singulir adalahMaka dekomposisi singulir adalah
dimana
pasanagn nilai eigen dan vektor eigen
dengan entri (i,i) adalah
r buah vektor unit ortog berukuran mx1r buah vektor unit ortog berukuran kx1
Ilustrasi
131
113ATentukan dekomposisi nilai singulir dari matriks
Solusi
131
113
113113
111111
nilai-nilai eigen
nilai-nilai eigen
Jadi
nilai-nilai eigen
Matriks-matriks khususMatriks-matriks khusus
Perkalian KroneckerDefinisi 2.1Misalkan A dan B dua buah matriks masing-masing berukurandandinotasikan sebagai yaitu suatu matriks berukuran
didefinisikan sebagai,
maka perkalian Kronecker (Kronecker product) dari A dan B
dan =
Misalmaka
Operator
Operator yang mentransformasikan matriks kedalam bentuk vektor
.
Jika A adalah matriks berukuran dengan kolom ke-i adalah
disebut operator vec disingkat
maka adalah sebuah vektor berukuran
dan dinyatakan sebagai
Misalmaka
lainnya adalah nol.
Suatu matriks bujur sangkar P disebut matriks komutasi jika setiap baris dansetiap kolom dari matrik P hanya mengandung sebuah elemen 1, dan yang
Matriks Komutasi (Commutation matriks)
Matriks Identitas termasuk salah satu matrik komutasi.
DefinisiMisalkan adalah matriks berukurandengan elemen tidak nol, yaitu 1 pada posisiMaka matriks komutasi berukuran dinotasikan dengan
yakni baris ke-i dan kolom-j.
Maka matriks komutasi berukuran dinotasikan dengandan didefenisikan sebagai
Contoh membentuk matriks KomutasiMisalakan diberikan dua matriks identitas
dan
kolom pertama dari adalahdan kolom pertama dari adalah
maka
sehingga
Selanjutnya,kolom pertama dari adalahdan kolom kedua dari adalah
maka
sehingga
Selanjutnya,Selanjutnya,kolom pertama dari adalahdan kolom ketiga dari adalah
maka
sehingga
Selanjutnya,kolom kedua dari adalahdan kolom pertama dari adalah
maka
sehingga
Selanjutnya,Selanjutnya,kolom kedua dari adalahdan kolom kedua dari adalah
maka
sehingga
Selanjutnya,kolom kedua dari adalahdan kolom ketiga dari adalah
maka
sehingga
Diperoleh Matriks komutasinya adalah
Dapat ditunjukkan bahwa (sifat)Dapat ditunjukkan bahwa (sifat)
Perhatikan bahwa untuk memperoleh matriks komutasi , setiap kolom padamatriks identitas pertama dikalikan dengan setiap kolom pada matriks identitasyang kedua.Matriks
dengan kolom ke-j pada matriks identitas yang keduadiperoleh dari perkalian kolom ke-i pada matriks identitas pertama
Perkalian Hadamart (The Hadamard Product)
Operator dari perkalian Hadamard dinotasikan dengan
yakni suatu operator yang mengalikan dua matriks berukuran samadengan elemen-elemen yang indeksnya bersesuaian
Misalkan A dan B dua matriks berukuran sama yakni
maka perkalian Hadamard dari matriks A dan B didefenisikan sebagai