DEKOMPOSISI SPEKTRALDAN

DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR

Pertemuan 2 & 3

DEKOMPOSISI SPEKTRALDAN

DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR

Ingat : Vektor dan Matriks Ortogonal

vektor dan

a dan b saling ortogonal jikaa dan b saling ortonormal jikaa dan b di normalisasi (normalized) :

danu dan v saling ortonormal :

Ilustrasi 1

dan Saling ortogonalkarena

dan Saling ortonormalkarena

dimana

Saling ortogonal dansaling ortonormal

dankarena

Matriks ortogonalMatriks dikatakan ortogonal jika

or

dan , untuk

Ini berarti setiap kolom (baris) dari Q saling ortonormal , yaknidan , untuk

adalah matriks ortogonal(periksa)

Eigenvalues and Eigenvectors

Pasangan

jika setiappasanagan nilai eigen dan vektor eigen yang bersesuaian

disebut pasangan-

memenuhi persamaan

dan vector

Nilai-nilai igen dapat diperoleh dengan menyelesaikanprsamaan (determinan)

Secara umum dapat bernilai kompleks

Nilai-nilai igen dapat diperoleh dengan menyelesaikanprsamaan (determinan)

Pada umumnya dalam statistik multivariat kita bekerja padavektor-vektor eigen yang normnya 1 (normalized)

Jika A simetri, maka semua nilai eigen bernilai riilJika A definit positif maka semua nilai eigen bernilai positif

Jika vektor-vektor eigen ortonormal maka

atau

kita punya persamaan matriks (lihat teks)

atau

ortogonal diagonal

Hasil ini memegang peranandalam dekomposisi spektral

Dekomposisi spektral dari matrik simeri

simetri

Dekomposisi spektral

Definit positif

Dekomposisi spektral

nilai-nilai eigen dari AVektor-vektor eigen (normalized) yangbersesuaian dengan(ortonormal)

Sifat-sifat matriks simetrisimetri

Vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen, semuanya ortonormal

Mempunyai k pasangan nilai eigen dan vektor eigen

Vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen, semuanya ortonormalSemua nilai eigen bernilai riilJika salah satu nilai eigen bernilai nol, berimplikasi A singularJika A nonsingular , maka terdapat invers

Contoh

Lanjutan

Mudah diperiksa bahwa P ortogonal

Matriks Definit positif & Form KuadratikMisalkan matriks simetri dan vector

A disebut definit positif jikax A x disebut bentuk kuadratikMatriks simetri definit positif jika dan hanya jikasemua nilai eigennya positifDefinit positif dari bentuk kuadratik dapat diinterpretasikan sebagai kuadrat jarak

RangkumanMisal matriks simetri berukuran .Makanilai eigen dan vektor eigen

mempunyai k pasang

Vektor-vektor eigen dapat dipilih sehingga memenuhidan saling mutually perpendicular

Matrik simetri mempunyai dekomposisi spektral

dimanaadalah nilai-nilai eigen dari A dan

adalah vektor-vektor eigen (yang dinormalisasi/uniter) yangbersesuaian dengan

dan

Matrik defenit positif dengan dekomposisi spektral

Misalkan matriks yang kolom-kolomnya merupakanvektor-vrktor eigen yang dinormalisir, maka

dimanadan matriks diagonaldan matriks diagonal

CC: Dalam hal ini A harus definit positif, dimana semua nilai-nilai eigennnya juga positif

A matriks definit positif dengan dekomposisi spektral

dan inversnya

makamaka

disebut matriks akar kuadrat atau matriks standar deviasidimana

dan

Ilustrasi 1matriks simetri

Nilai-nilai eigen diperoleh dengan menyelesaikan persamaan

Untuk , vektor eigennya , dinormalisasi menjadi

Untuk ,vektor eigennya ,dinormalisasi menjadi

Dekomposisi spektral dari A adalah

CC : disini ada nilai eigen bernilai negatif ( ), jadi A bukan matriksdefinit positif. Akibatnya , tidak berlaku ??

Ilustrasi 2

Nilai-nilai eigen

Vektor2 eigen dinormalisasi

dinormalisasi

(A definit positif)

dinormalisasiDekomposisi spektral

Karena A definit positif (semua nilai eigen positif), maka

DEKOMPOSISI NILAISINGULAR

DEKOMPOSISI NILAISINGULAR

Nilai Singulir dan Dekomposisi Singulir

Maka dekomposisi singulir adalahMaka dekomposisi singulir adalah

dimana

pasanagn nilai eigen dan vektor eigen

dengan entri (i,i) adalah

r buah vektor unit ortog berukuran mx1r buah vektor unit ortog berukuran kx1

Ilustrasi

131

113ATentukan dekomposisi nilai singulir dari matriks

Solusi

131

113

113113

111111

nilai-nilai eigen

nilai-nilai eigen

Jadi

nilai-nilai eigen

Matriks-matriks khususMatriks-matriks khusus

Perkalian KroneckerDefinisi 2.1Misalkan A dan B dua buah matriks masing-masing berukurandandinotasikan sebagai yaitu suatu matriks berukuran

didefinisikan sebagai,

maka perkalian Kronecker (Kronecker product) dari A dan B

dan =

Misalmaka

Operator

Operator yang mentransformasikan matriks kedalam bentuk vektor

.

Jika A adalah matriks berukuran dengan kolom ke-i adalah

disebut operator vec disingkat

maka adalah sebuah vektor berukuran

dan dinyatakan sebagai

Misalmaka

lainnya adalah nol.

Suatu matriks bujur sangkar P disebut matriks komutasi jika setiap baris dansetiap kolom dari matrik P hanya mengandung sebuah elemen 1, dan yang

Matriks Komutasi (Commutation matriks)

Matriks Identitas termasuk salah satu matrik komutasi.

DefinisiMisalkan adalah matriks berukurandengan elemen tidak nol, yaitu 1 pada posisiMaka matriks komutasi berukuran dinotasikan dengan

yakni baris ke-i dan kolom-j.

Maka matriks komutasi berukuran dinotasikan dengandan didefenisikan sebagai

Contoh membentuk matriks KomutasiMisalakan diberikan dua matriks identitas

dan

kolom pertama dari adalahdan kolom pertama dari adalah

maka

sehingga

Selanjutnya,kolom pertama dari adalahdan kolom kedua dari adalah

maka

sehingga

Selanjutnya,Selanjutnya,kolom pertama dari adalahdan kolom ketiga dari adalah

maka

sehingga

Selanjutnya,kolom kedua dari adalahdan kolom pertama dari adalah

maka

sehingga

Selanjutnya,Selanjutnya,kolom kedua dari adalahdan kolom kedua dari adalah

maka

sehingga

Selanjutnya,kolom kedua dari adalahdan kolom ketiga dari adalah

maka

sehingga

Diperoleh Matriks komutasinya adalah

Dapat ditunjukkan bahwa (sifat)Dapat ditunjukkan bahwa (sifat)

Perhatikan bahwa untuk memperoleh matriks komutasi , setiap kolom padamatriks identitas pertama dikalikan dengan setiap kolom pada matriks identitasyang kedua.Matriks

dengan kolom ke-j pada matriks identitas yang keduadiperoleh dari perkalian kolom ke-i pada matriks identitas pertama

Perkalian Hadamart (The Hadamard Product)

Operator dari perkalian Hadamard dinotasikan dengan

yakni suatu operator yang mengalikan dua matriks berukuran samadengan elemen-elemen yang indeksnya bersesuaian

Misalkan A dan B dua matriks berukuran sama yakni

maka perkalian Hadamard dari matriks A dan B didefenisikan sebagai