BILANGAN IRASIONAL

A. Definisi Bilangan irasional

Bilangan irasional merupakan bilangan yang dapat dinyatakan

dalam bentuk pecahan desimal, tetapi tidak dapat dinyatakn dalam bentuk

pecahan biasa a/b, dimana a dan b bilanga-bilangan bulat.

Contoh :

1. Bilangan 0,13113111311113… adalah bilangan irasional, karena pecahan

desimal ini adalah pecahan desimal tak terhingga, tetapi tidak berulang.

B. Sifat Bilangan Irasional

Terbagi atas :

1. Sifat tertutup, dibagi mnjadi 2 :

a. Sifat tertutup penjumlahan

Apabila a dan b adalah bilangan-bilangan irasional, maka

a+b adalah bilangan irasional

b. a sifat tertutup pengurangan

Apabila a dan b adalah bilangan-bilangan irasional, a ≠ b

Maka a – b adalah bilangan rasional.

Contoh:(a) √3 x √3=3,bukan bilangan irasional.

( b) 2√3:√3 =2, bukan bilangan irasional.

2. Sifat komutatif

a. Komutatif penjumlahan

Apabila a dan b adalah bilangan-bilangan irasional,maka

a+b=b +a.

b. Komutatif perkalian

Apabila a dan b adalah bilangan-bilangan irasional,maka

a.b=b.a

3. Sifat asosiatif

a. Asosiatif penjumlahan

Apabila a,b dan c adalah bilangan-bilangan irasional,maka

a+(b+c)=(a+b)+c

b. Asosiatif perkalian

Apabila a,b dan c adalah bilangan-bilangan

irasional,maka: a.(b.c)=(a.b).c

4. Sifat distributif

Apabila a,b dan c adalah bilangan-bilangan irasional,maka:

a. a.(b+c)=(a.b)+(a.c)

b. a.(b-c)=(a.b)-(a.c)

c. (a+b):c=(a:c)+(b:c)

d. (a-b) : c = (a:c)-(a:c)

5. Sifat konsulasi

Apabila a,b dan c adalah bilangan-bilangan irasional dan :

a. a+c = b+c, maka a =b

b. a.c =b.c, maka a=b

c. a-c =b –c maka a=b

d. a:c=b:c,maka a=ⱥ

6. Elemen identitas

a. Identitas penjumlahan

Apabila a adalah bilangan irasional,maka:a+0=0+a=a

b. Identitas perkalian

Apabila a bilangan irasional,maka:a.1=1.a=a

7. Perkalian dengan nol

Apabila a adalah bilangan irasional,maka:a.0=0.a=0

8. Sifat invers

a. Invers penjumlahan

Apabila a adalah bilangan irasional,maka terdapat suatu

bilangan irasional lainnya –a,sedemikian sehingga a-(-a)=0

b. Invers perkalian

Apabila a adalah bilangan irasional,maka terdapat suatu

bilangan irasional lainnya 1/a,sedemikian sehingga a.1/a=1

9. Trikotomi

Apabila a dan b adalah bilangan-bilangan irasional maka hanya

berlaku salah satu dari tiga kemungkinan berikut ini:

a. a<b

b. a=b

c. a>b

10. Transitif urutan

Apabila a,b dan c adalah bilangan-bilangan irasional,a<b dan

b<c,maka a<c.

11.

Apabila a,b dan c adalah bilangan-bilangan irasional,dan a

b,maka:

a. a.c<b.c,jika c>0

b. a.c>b.c,jika c<0