SISTEM BILANGAN RIIL FUNGSI DAN GRAFIK

NOVIAR BAGUS S.

Materi yang akan dibahas :

A. Pengantar

B. Operasi pada fungsi

C. Fungsi trigonometri

A. Pengantar

Definisi : Fungsi adalah suatu aturan padanan yg menghubungkan tiap obyek x dalam suatu himpunan, yg disebut daerah asal, dgn sebuah nilai unik f(x) dari himpunan kedua. Himpunan nilai yg diperoleh secara demikian disebut daerah hasil (jelajah) fungsi tersebut.

A. Pengantar (2)

xf

f(x)

A. Pengantar (3)

Notasi fungsi → huruf tunggal seperti f (atau g atau F)

f(x) → dibaca f dari x atau f pada x → menunjukkan nilai yg diberikan oleh f kepada x.

Contoh : f(x) = x3 – 4

f(-2) = (-2)3 – 4 = -12

f(a) = a3 - 4

A. Pengantar (4)

Daerah Asal : himpunan elemen-elemen pada mana fungsi itu mendapat nilai.

Daerah Hasil : himpunan nilai-nilai yang diperoleh secara demikian.

Daerah Asal Mula (Domain Natural) : Jika sebuah fungsi tidak dirinci daerah asalnya, maka daerah asal yg digunakan adl himp bil. Riil terbesar shg aturan fungsi ada maknanya dan memberikan nilai bil. Riil.

A. Pengantar (5)

Contoh : Carilah daerah asal mula utk f(x) = 1/ (x-3).

Peny. : daerah asal mula utk f adalah {x ε R : x ≠ 3}

A. Pengantar (6)

Grafik Fungsi Syarat : Jika daerah asal dan daerah hasil

sebuah fungsi adl bil. Riil Alat : Bidang koordinat Cartesius Grafik fungsi f adl grafik dari persamaan y =

f(x)

A. Pengantar (7)

x

y

01 2 3

1

2

-1-2-3

-1

-2

A. Pengantar (8)

Fungsi genap : jika f(-x) = f(x), maka grafik simetri thd sumbu y.

Fungsi ganjil : jika f(-x) = -f(x), grafik simetri thd titik asal.

Fungsi tidak ganjil dan genap : jika f(-x) ≠ f(x) dan f(-x) ≠ -f(x)

A. Pengantar (9)

Contoh : f(x) = x3 – 2x g(x) = x2 - 4

h(x) = 2 / (x - 1)

B. Operasi pada Fungsi

Jumlah

(f + g)(x) = f(x) + g(x) Selisih

(f - g)(x) = f(x) - g(x) Hasil Kali

(f . g)(x) = f(x) . g(x) Hasil Bagi

)(

)()(

xg

xfx

g

f

Komposisi Fungsi

Jika f bekerja pada x → f(x) dan kemudian g bekerja pada f(x) → g(f(x)) berarti kita telah menyusun g dengan f

Fungsi yg dihasilkan disebut komposit g dengan f, dinyatakan g ο f.

(g o f) = g(f(x))

Komposisi Fungsi (g o f)(x)

fg

x

f(x)

g(f(x))

Komposisi Fungsi (f o g)(x)

fg

x

g(x)

f(g(x))

Komposisi Fungsi (4)

Catatan :Susunan komposisi fungsi tidak komutatif

(g o f)(x) ≠ (f o g)(x)

Contoh

Untuk f(x) = x/ (x-1) dan g(x) = √1+x2 cari :

a. (f + g)(2)

b. (f o g)(√8)

Penyelesaian :

a. (2/ 2-1) + (√1+22) = (2/1) + (√1+4)

= 2 + √5

Contoh (2)

Untuk f(x) = x/ (x-1) dan g(x) = √1+x2 …

b. g(√8) = √1 + (√8)2

= √1+8

= √9

= 3

f(g(x)) = 3/ 3-1

= 3/2

C. Fungsi Trigonometri

Gambar segitiga Sin θ = hdp / mrg

Cos θ = dkt / mrg

Tan θ = hdp / dkt

θ

dekatan

miring

hadapan

C. Fungsi Trigonometri

Sifat-sifat dasar Sinus dan Kosinus

sin2t + cos2t = 1

T Sin t Cos t

0 0 1

π/6 ½ √3/2

π/4 √2/2 √2/2

π/3 √3/2 ½

π/2 1 0

2 π/3 √3/2 -½

3 π/4 √2/2 -√2/2

5 π/6 ½ -√3/2

π 0 -1

Grafik sinus dan kosinus

Sin t dan cos t keduanya berkisar dari -1 sampai 1.

Kedua grafik berulang dengan sendirinya pada selang yg berdampingan sepanjang 2π.

Grafik y = sin t simetri thd titik asal dan y = cos t thd sumbu y.

Grafik y = sin t sama spt y = cos t, tetapi digeser π/2 satuan ke kanan.

Fungsi trigonometri yg lainnya

Tan t = sin t / cos t Cot t = cos t / sin t Sec t = 1 / cos t Csc t = 1 / sin t

C. Fungsi Trigonometri (2)

Kesamaan Ganjil Genap

sin (-x) = - sin x

cos (-x) = cos x

tan (-x) = - tan x

Kesamaan ko fungsi

xx

xx

xx

cot2

tan

sin2

cos

cos2

sin

C. Fungsi Trigonometri (3)

Kesamaan Phytagoras

sin2x + cos2x = 1

1 + tan2x = sec2x

1 + cot2x = csc2x

Kesamaan Penambahan

sin (x+y) = sin x cos y + cos x sin y

cos (x+y) = cos x cos y – sin x sin y

yx

yxyx

tantan1

tantan)tan(

C. Fungsi Trigonometri (4)

Kesamaan sudut ganda

sin 2x = 2 sin x cos x

cos 2x = cos2x – sin2x

= 2 cos2x – 1

= 1 – 2 sin2x

Kesamaan setengah sudut

2

2cos1cos

2

2cos1sin

2

2

xx

xx

C. Fungsi Trigonometri (5) Kesamaan Jumlah

Kesamaan Hasil kali

2cos

2cos2coscos

2cos

2sin2sinsin

yxyxyx

yxyxyx

)sin()sin(2

1cossin

)cos()cos(2

1coscos

)cos()cos(2

1sinsin

yxyxyx

yxyxyx

yxyxyx

Hubungan dgn Trigonometri sudut

Sudut diukur dalam derajat atau dalam radian 180o = π rad ≈ 3,1415927 rad Hubungan antara panjar busur s dari

potongan busur sebuah lingkaran radius r dengan sudut pusat tradian

S = r . T Sin θ = sin t Cos θ = cos t

Contoh soal

Buktikan bahwa tangen adalah fungsi ganjil!

Peny. :

tan (-t) = sin (-t)/ cos (-t)

= - sin t / cos t

= - tan t

Contoh (2)

Cari jarak yang ditempuh oleh sebuah sepeda dengan roda yang mempunyai radius 30 cm bila roda itu berputar sampai 100 putaran!

peny :

100 putaran = 100.(2π) radian

s = (30)(100)(2π)

= 6000π ≈ 18849,6 cm

Daftar Pustaka

Kalkulus dan Geometri Analitis, Edwin J. Purcell, Penerbit Erlangga, 1995