ANALISA DIFERENSIAL ALIRAN FLUIDAOLEH : KELOMPOK 3

1. ERNA SETYANINGRUM (2411100015)

2. RINDA NUR HIDAYATI (2411100018)

3. MARIESTA ARIANTI (2411100021)

4. FRADITA AAN WINARMO (2411100025)

5. UMI MUFIDATUL KHASANAH (2411100028)

FLUID ELEMENT KINEMATIK

FLUID ELEMENT KINEMATIK

Suatu bagian terkecil dari fluida yang dapat diasusikan berbentuk kubus yang awalnya berada dalam posisi tertentu akan bergerak menuju posisi lain dalam waktu dt. Karena variasi kecepatan yang sangat kompleks, bagian fluida ini tidak hanya mengalami gerak translasi saja, namun juga mengalami perubahan volume (linier deformation), rotasi dan perubahan bentuk (angular deformation). Gerakan fluida ini dapat diilustrasikan dengan gambar berikut ini :

Kecepatan dan Percepatan Medan

• Kecepatan

Dalam melakukan proses analisis, kecepatan fluida dinotasikan sebagai . Hal ini menunjukan bahwa kecepatan fluida bergantung pada lokasi (ditunjukkan oleh dan bergantung waktu (ditunjukkan oleh

• Percepatan

Kecepatan :Percepatan :

Berdasarkan dua persamaan diatas, didapatkan bahwa :

Dalam Komponen dapat dituliskan sebagai :

Pergerakan Linier dan Deformasi

Komponen kecepatan searah sumbu x :Perubahan panjang yang terjadi : Sehingga perubahan volume : Volumetric dilatation Rate rata-rata perubahan volume per unit volume :

Dari persamaan tersebut volume fluida berubah seiring dengan perubahan posisi fluida itu. Pada fluida incompressible, nilai volumetric dilatation rate-nya sama dengan 0.

Variasi kecepatan pada arah kecapatan menyebabkan linier deformation ( ditunjukan dengan )

Penurunan silang misalnya akan menyebabkan angular deformation.

Angular Motion and Deformation

Variasi kecepatan dapat menyebabkan rotasi dan deformasi angular seperti ditunjukan pada gambar diatas. Perhatikan gambar tersebut dalam waktu OB dan OA akan berputar dengan sudut dan ke posisi baru OB’ dan OA’. Besarnya kecepatan sudut untuk garis OA dan OB masing – masing :

Berikut ini adalah kecepatan sudut rotasi pada suatu sumbu terhadap sumbu yang lain :

Sehingga besarnya kecepatan sudut rotasi adalah :

Berdasarkan hasil tersebut, dapat diketahui bahwa :

Vortisiti didefinisikan sebagai vektor yang besarnya 2 kali vektor rotasi (kecepatan sudut) –>

Ketika nilai maka fluida tersebut dalam keadaan irrotational (tidak berotasi)

Deformasi angular : Dari persamaan di atas dapat ditentukan rata-rata deformasi angular, yang dapat dituliskan sebagai :

Sehingga diperoleh :

Besarnya deformasi angular ini berhubungan dengan perubahan bentuk pada element fluida

6.2 CONSERVASI MASSA

Konservasi massa massa suatu sistem konstan selama sistem tersebut bergerak dalam suatu aliran.

Persamaan Kontinuitas, :

Pada persamaan tersebut, integral pertama menunjukan laju perubahan massa dalam suatu volume control, sedangkan integral kedua menunjukan laju massa yang melalui suatu control permukaan.

Bentuk Differensial dari Persamaan kontinuitas

Besarnya aliran massa total pada sumbu x

Besarnya aliran massa total pada sumbu y

Besarnya aliran massa total pada sumbu z

Sehingga besarnya aliran massa total

Berdasarkan teori konservasi massa, didapatkan bahwa :

Persamaan diatas juga sering disebut sebagai persamaan kontinuitas. Untuk aliran steady compresible maka:

Pada persamaan tersebut dianggap bahwa massa jenis berubah bukan sebagai fungsi waktu, namun sebagai fungsi posisi.Untuk aliran incompressible (baik steady atau unsteady) persamaan kontinuitasnya menjadi :

atau

atau

Koordinat Polar Silinder

Banyak digunakan jika batas sistemnya berbentuk silinder. Vektor kecepatan : = kecepatan radial

= kecepatan tangensial= kecepatan aksial

Bentuk differensial persamaan kontinuitas :

Untuk aliran steady, compressible

Untuk aliran incompressible

Fungsi Stream

Pada bahasan ini dilakukan analisa terhadap bidang x dan y saja ( dua dimensi). Persamaan kontinuitasnya adalah Kemudian didefinisikan fungsi

dan Sehingga persamaan kontinuitasnya menjadi :

Garis yang memiliki nilai ψ konstan disebut sebagai stremlines. Streamline merupakan garis yang menunjukan tangen dari kecepatan pada masing-masing titik. Untuk nilai ψ yang konstan maka diperoleh :

Besarnya rata-rata aliran volume diantara dua streamlines :

Untuk Koordinat Silinder, persamaan kontinuitas untuk incrompressible, datar, dan aliran dua dimensi adalah

dengan

Konsep fungsi Stream ini dapat dikembangkan untuk melakukan analisa terhadap aliran asimetris seperti aliran pada pipa atau benda yang berputar dan aliran aliran kompresible dua dimensi.

CONSERVATION OF LINEAR MOMENTUM

Momentum ()

Hukum Kedua Newton

=

HOME

DESCRIPTION OF FORCES ACTING ON THE DIFFERENTIAL ELEMENT

Ada dua jenis gaya yang bekerja pada partikel – partikel fluida

1. Both Surface Forces2. Body Forces

Gaya yang bekerja pada luas daerah kecil terletak disembarang permukaan, dapat dinyatakan sebagai

Gaya Normal

Gaya Geser

HOME

Resultan gaya permukaan

Both Surface Forces berkombinasi dengan Body Forces menghasilkan resultan

INVISCID FLOW

Euler’s Equations of Motion

The Bernoulli Equation

Irrational Flow

The Bernoulli Equation for Irrational Flow

The Velocity Potensial

INVISCID FLOW

Medan aliran dimana tegangan geser diabaikan dapat dikatakan sebagai INVISCID (nonviskos) atau tanpa gesekan.

=

EULER’S EQUATIONS OF MOTION

Persamaan diatas biasanya disebut persamaan Euler. Dalam notasi vektor, persamaan Euler dapat dinyatakan sebagai

HOME

THE BERNOULLI EQUATION

Untuk Fluida inviscid, persamaan bernoulli dapat dituliskan sebagai berikut :

n

HOME

IRRATIONAL FLOW

HOME

THE BENOULLI EQUATION FOR IRRATIONAL FLOW

Ketika nilai maka fluida tersebut dalam keadaan irrotational (tidak berotasi)

Untuk aliran tidak berotasi, aliran incompressible, persamaan bernoulli dapat dituliskan :

HOME

THE VELOCITY POTENSIAL

Untuk sebuah aliran irrational, gradien – gradien kecepatan dihubungkan melalui persamaan – persamaan, sehingga komponen kecepatan dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi skalar sebagai

HOME

ALIRAN POTENSIAL DASAR

ALIRAN UNIFORM

Untuk aliran uniform yang paralel dengan sumbu x, dengan kecepatan v∞ = konstan, fungsi arus dan hubungan potensial kecepatan adalah :

Yang bila diintegrasi menghasilkan

SUMBER GARIS ATAU SUMUR

Sebuah sumber garis, di dalam dua dimensi, adalah aliran yang keluar secara radial dari sumber. Kebalikannya, atau aliran sumur mempunyai aliran yang arahnya ke dalam. Kecepatan radial yang dihubungkan dengan sebuah sumber :

VORTEKS GARIS

Aliran vorteks adalah aliran melingkar di sekeliling sebuah titik pusat, seperti sebuah pusaran air. Terdapat dua jenis vorteks, yaitu :1. Vorteks bebas2. Vorteks paksaFungsi arus dan potensial kecepatan dapat ditulis :

DOUBLET

Doublet adalah sepasang source dan sink (sink adalah source dengan M negatif) yang diletakkan dengan jarak sangat dekat.Persamaan yang dihasilkan untuk Ψ dan φ dalam koordinat polar adalah :