Post on 03-Feb-2018
Barisan dan Deret
Definisi
Barisan bilangan didefinisikan sebagai fungsi dengan daerah asal merupakan bilangan asli.
Notasi: f: N R
n f(n ) = an
Fungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Real {an} dengan an adalah suku ke-n.
Bentuk penulisan dari barisan : 1. bentuk eksplisit suku ke-n
2. ditulis barisannya sejumlah berhingga suku awalnya.
3. bentuk rekursi
n
nn
a
aaa
1,1 11
2
an = n
1
...,4
1,
3
1,
2
1,1
Definisi: {an} dikatakan konvergen menuju L dan
ditulis sebagai
3
Sebaliknya, barisan yang tidak konvergen ke suatu bilangan L yang berhingga dinamakan divergen.
Jika untuk setiap bilangan positif , ada bilangan positif N sehingga untuk
Lann
lim
LaNn n
Akan kita jumpai banyak persoalan konvergensi barisan. Kita akan menggunakan fakta berikut.
4
Fakta ini memudahkan karena kita dapat memakai kaidah L’ Hopital untuk soal peubah kontinu.
Lxfx
)(limJika Lnfn
)(lim, maka
Sifat dari limit barisan, jika {an} konvergen ke L dan {bn} konvergen ke M, maka
5
1. MLblimalimbalim nn
nn
nnn
2. M.Lblim.alimb.alim nn
nn
nnn
3.
M
L
blim
alim
b
alim
nn
nn
n
n
n
, untuk M 0
{an} dikatakan
a. Monoton naik bila an+1 an
b. Monoton turun bila an+1 an
Tentukan konvergensi dari barisan dengan rumus suku ke n di bawah ini:
lim lim2 1
nn n
na
n
6
2 1n
na
n
1.
maka {an } konvergen menuju ½.
Jawab:
1lim ,
2n
na
Karena
(1) 1lim .
1 22
n
n
nn
lim ( ) lim2 1x x
xf x
x
7
artinya barisan an konvergen menuju ½.
Atau:
Ambil ( )2 1
xf x
x
Dengan dalil L’Hopital, 1 1
lim ( ) lim2 2n x
f x
1 1lim ( ) lim
2 2n
n nf x a
Karena
8
2
2
4 11.
2 3n
na
n n
23 2
2.1
n
na
n
3.1
n
na
n
4.4
n
n na
ln( )
5. n
na
n
1 2 3 49. , , , ...
2 3 4 5
Tentukan konvergensi dari barisan di bawah ini:
6.3
n
na
n n
27. na n n
2
2
58.
3n
na
n
1 1 110. 1, , , , ...
4 9 16
Bentuk deret tak hingga dinotasikan dengan notasi sigma, sebagai berikut:
9
dengan an adalah suku ke-n.
1 2 3
1
... ...n n
n
a a a a a
10
Misalkan Sn menyatakan jumlah parsial ke-n suku deret
, maka
0i
ia
{Sn}, dinamakan barisan jumlah parsial dari
0i
ia
Dari jumlah parsial ini di dapat bahwa Sn – Sn-1 = an.
S1 = a1
S2 = a1 + a2
.
.
. Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + …+ an =
n
0i
ia
11
Deret tak hingga 0
n
n
a
dikatakan konvergen
dan mempunyai jumlah S jika barisan jumlah parsialnya {Sn} konvergen ke S.
Sebaliknya apabila {Sn} divergen maka deret dikatakan divergen.
Bentuk umum deret geometri adalah
12
dengan a 0.
Jumlah parsial deret ini adalah
Sn =
n
1i
1iar = a +ar +a r2 + ... + a r
n-1
Sehingga
nn ararararrS ...32
n
n araSr )1(
r
araS
n
n
1
1 2 3
1
...i
i
ar a ar ar ar
13
Jadi, deret Geometri konvergen, jika
1;
1;1
1limlim
r
rr
a
r
araS
n
nn
n
1r
dengan jumlah .1
aS
r
Karena lim ; 11
nn
aS r
r
maka nS Konvergen.
14
...32
1
16
1
8
1
4
1
2
11.
Kalau kita perhatikan, deret ini adalah deret geometri
dengan rasio ½ ( r<1).
Sehingga deret ini konvergen dengan jumlah
12/11
2/1
S
Jawab:
15
2.2.
Jawab: Kalau kita perhatikan
Dan
Jadi karena barisan jumlah parsialnya konvergen ke 1, maka deret di atas juga konvergen.
Dari sini kita peroleh bahwa jumlah parsial ke-n-nya
Sn =
1n
1
n
1...
4
1
3
1
3
1
2
1
2
11 =
1n
11
nn
Slim
=n
lim
1n
11 = 1
(Deret Kolaps) 1
1
( 1)n n n
1 1
1n n
16
3.3.
Jawab: Dari sini kita dapatkan
Sehingga akan kita dapatkan limit untuk Sn untuk n menuju tak hingga adalah tak hingga juga. Jadi deret harmonik di atas adalah deret divergen.
1i i
1
Sn = 1 + n
1...
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
Sn = 1 + n
1...
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1 + n
1...
8
1
8
1
8
1
8
1
4
1
4
1
2
1
= 1 + n
1...
2
1
2
1
2
1
2
1
(Deret Harmonik)
17
0n
na konvergen maka lim 0.nn
a
Ekivalen dengan
lim 0,nn
a
maka deret divergen.
Contoh: Buktikan bahwa
1n2
2
4n3n3
ndivergen.
Bukti 2
2lim
3 3 4n
n
n n
2
2
2
(1)lim
3 43
n
n
nn n
1
3
Karena divergen.
1n2
2
4n3n3
n
Jika
lim 0,nn
a
lim nn
a
maka
Dalam banyak kasus bahwa
18
lim 0nn
a
, tetapi dari sini
kita sangat sulit menentukan apakah deret tersebut konvergen atau divergen.
Sebagai contoh deret harmonik,
1
1 1 1 1 1 1 1 1 11 . . .
2 3 4 5 6 7 8n n n
Jelas bahwa lim 0nn
a
, tetapi deret harmonik adalah
deret yang divergen.
Oleh karena itu perlu dilakukan uji-uji untuk deret positif.
1. Uji Integral
19
Misalkan fungsi f kontinu monoton turun dan f(x) > 0 pada selang [1,).
a. Jika integral tak wajar
b. Jika integral tak wajar
1( )f x dx
konvergen,
1
n
n
a
konvergen.
divergen,
divergen.
1)( dxxf
1
n
n
a
maka
maka
Nnnfan ),(Andaikan
1. Selidiki kekonvergenan dari
20
2
1
n
n
ne
Jawab. Kita ambil 2
( ) xf x xe , sehingga 2
1
xxe dx
2
1lim
bx
bxe dx
2 2
1
1lim ( )
2
bx
be d x
2
1
1lim
2
bx
be
2
1 1 1lim
2 bb ee
1
2e
Jadi karena 2
1
xxe dx
konvergen, maka 2
1
n
n
ne
juga konvergen.
2. Selidiki kekonvergenan dari
21
Jawab. Kita ambil , sehingga
Jadi karena divergen, maka
juga divergen.
2
1
lnn n n
xxxf
ln
1)(
b
b xx
dx
xx
dx
22 lnlim
ln
2 ln
)(lnlim
x
xd
b
2lnlnlnlnlimlnlnlim bxbb
2 ln xx
dx
2
1
lnn n n
22
2n2 nlnn
1
1n 1n2
1
1n2 1n4
1
1n 2
3
n34
1
2.
4.
5.
3.
1.
Selidiki kekonvergenan deret berikut:
3n2
2n
1
2. Uji Deret p
1
1
npn
23
Deret-p atau deret hiperharmonik berbentuk .1
1
npn
dengan menggunakan uji integral, kita dapatkan
dx
x pt 1
1lim
p
t p
t
1
1lim
1
10;
1;1
1
p
pp
Jika p<0
Jika
.1
lim pn n
Maka deret divergen
,0p
Sehingga
konvergen jika p>1 dan divergen jika 1p
1;1
lnlim
1;11
1lim 1
pt
x
pt
xp
t
p
t
Apakah deret berikut konvergen atau divergen?
24
1.
1001,1
1
n n
Berdasarkan uji deret-p, deret
1001,1
1
n n konvergen
karena p=1,001 > 1
2.
Berdasarkan uji deret-p, deret divergen
karena p= ½ < 1
1 21
1
n n
1 21
1
n n
3. Uji banding biasa
(Uji banding dengan deret lain)
25
Andaikan
`1n
na
`1n
nbdan deret positif,
1. Jika konvergen, maka
1`
n
n
a
1`
, dann n n
n
a b b
1`
, dann n n
n
a b b
1`
n
n
a
konvergen
2. Jika divergen, maka divergen
Selidiki Kekonvergenan deret berikut:
26
32 5
.1n n
n
Jawab:
Bandingkan dengan 52
n
nan
Perhatikan bahwa .1
5 22 nn
n
n
n
Karena
1nn
1
32 5n n
n
deret divergen (deret harmonik), maka
divergen.
nbn
1
27
Jawab:
Bandingkan dengan
konvergen.
12 53
1.2
n n
21
1
3 5n n
2 2 2
1 1 1 1.
3 5 3 3n n n
53
12 n 2
1
n
21
1
n n
Perhatikan bahwa
Karena konvergen dengan uji-p (p=2)
maka
Selidiki kekonvergenan deret berikut
28
1nn 12
1
3n2
2n
1
1n 1n2
1
2.
4.
5.
3.
1. 2 1n
n
n
33
1
5n n
33 4n
n
n
6.
4. Uji Banding limit
29
Andaikan dan deret positif dan lim n
nn
aL
b
1. Jika 0 < L < maka 1`
n
n
a
1`
n
n
b
dan sama-sama
konvergen atau divergen
2. Jika L = 0 dan 1`
n
n
b
`1n
na
konvergen maka
konvergen.
1`
n
n
a
1`
n
n
b
Selidiki kekonvergenan dari deret berikut :
30
123 75
32
n nn
n1.
Kita gunakan Uji Banding Limit. Kalau kita perhatikan
sehingga
deret tersebut, suku umumnya mirip dengan bn=
lim n
nn
aL
b
1n23 7n5n
3n2 konvergen.
Jadi karena L=2 dan
Jawab:
12
1
n n
21
n
2
23
175
32
lim
n
nnn
n
3 2
3 2
2 3lim 2
5 7n
n n
n n
konvergen (uji deret p, p=2),
Selidiki kekonvergenan dari deret berikut :
31
2.
Kita gunakan Uji Banding Limit. Kalau kita perhatikan
sehingga
deret tersebut, suku umumnya mirip dengan bn=
lim n
nn
aL
b
divergen.
Jadi karena L=1 dan
Jawab:
divergen (deret harmonik),
12 4
1
n n
1n2 4n
1
n1
n1
4n1
lim2
n
2
2lim 1
4n
n
n
= =
1
1
n n
maka
Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:
32
12 32n nn
n
13 4
13
n n
n
1 1
1
n nn
12
32
n n
n
12
ln
n n
n
2.
4.
5.
3.
1.
5. Uji Hasil Bagi
33
1
n
n
a
1lim n
nn
a
a
Diketahui merupakan suatu deret dengan
1
n
n
a
1. Jika < 1 maka deret konvergen
suku-suku yang positif, dan
1
n
n
a
divergen 2. Jika > 1 maka deret
= 1 maka uji ini tidak memberikan kesimpulan
3. Jika
Selidiki kekonvergenan deret berikut:
34
1.
1 !
3
n
n
n
Misalkan suku ke-n adalah an = !
3
n
n
, maka suku ke n+1
adalah an+1= !1
3 1
n
n
sehingga
Karena maka
1 !
3
n
n
nkonvergen
Jawab:
13
lim
nn
0 !13
!3lim
1
n
nn
n
n
!3
!13
lim
1
n
nn
n
n
1lim n
nn
a
a
0 1,
35
2.
12
3
n
n
n
Misalkan suku ke-n adalah an = 2
3
n
n
, maka suku ke n+1
adalah an+1=
2
1
1
3
n
n
sehingga
Karena , maka
12
3
n
n
ndivergen
Jawab:
3
2
2
3lim
1n
n
n
1 2
2
3lim
3 1
n
nn
n
n
1
2
2
31
lim3
n
nn
n
n
1lim n
nn
a
a
3 1,
Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:
36
14
!
n n
n
1 !
5
n n
n
1 !2n
n
n
n
1 !
4
n
n
n
n
1
3
!2n n
n
2.
4.
5.
3.
1. 1
5
1
n
n n
1 !n
n
n
6.
7.
6. Uji Akar
lim nn
na a
37
Diketahui merupakan suatu deret dengan
1. Jika a < 1 maka deret konvergen
divergen
= 1 maka uji ini tidak memberikan kesimpulan
suku-suku yang positif, misalkan
2. Jika a > 1 maka deret
3. Jika a
1
n
n
a
1
n
n
a
1
n
n
a
Selidiki kekonvergenan deret
38
1.
1 1
22
n
n
n
n
Jawab:
Misalkan suku ke-n adalah an =
n
n
n
1
22, maka
Karena a = 2 (> 1), maka
1 1
22
n
n
n
ndivergen
1/
2 2 2 2lim lim lim 2
1 1
nn
nn
n n n
n na a
n n
39
2.
1 12
2
n
n
n
n
Jawab:
Misalkan suku ke-n adalah an =
n
n
n
12
2, maka
Karena a = ½ (< 1), maka
1 1
22
n
n
n
nkonvergen
1/
2 2 1lim lim lim
2 1 2 1 2
nn
nn
n n n
n na a
n n
Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:
40
1 ln
1
n
n
n
1 12
23
n
n
n
n
1 23n
n
n
n
1
1
2
1
n
n
n
2. 4.
3. 1.
41
Kesimpulan
Untuk menguji kekonvergenan deret na perhatikan ;na
1. Jika
2. Jika an memuat bentuk
nnn
aa 0lim divergen.
nn nrn ,,! , gunakan uji hasil bagi.
3. Jika an hanya memuat bentuk pangkat n yang konstan,
gunakan uji banding limit.
4. Usaha terakhir, cobakan uji banding biasa, uji akar,
atau uji integral.
42
32 5
1.1
n n
12 5
.2n n
n
Periksa kekonvergenan dari deret berikut :
32
2
1.4
n n
1 !
5.3
n
n
n
12
2
2
3.5
nn
nn
e
ee
2
ln.6
n n
n
1 !.7
n
n
n
n
21
3 cos8.
n
n
n
21
9.5n
n n
n
3
1
10.!n
n
n
Latihan
Deret Ganti Tanda
Deret ini mempunyai bentuk sebagai berikut
43
1
1 2 3 4
1
1 ...n
n
n
a a a a a
dengan an > 0, untuk semua n.
Contoh penting adalah deret harmonik berganti tanda, yaitu
1
1
1 1 1 11 1 ...
2 3 4
n
n n
44
2. lim 0nn
a
Contoh
Tentukan kekonvergenan deret ganti tanda berikut
...4
1
3
1
2
11 1.
2. ...!4
1
!3
1
!2
11
Deret ganti tanda, dikatakan konvergen jika:
nn aa 1.1 (an monoton turun)
45
Dari soal ini, kita punya
1;na
n
1
11 1
. 1 11
1
n
n
a nnaa n n
n
Artinya
1.lim lim 0n
n nb a
n
Karena kedua syarat terpenuhi maka deret ganti tanda tersebut konvergen.
1. Jawab :
1
11
nan
1n na a
an monoton turun.
1
1
11
n
n n
dengan:
2. Jawab (uji ganti tanda)
46
Dari soal diatas kita punya
1;
!na
n
1
1
1 !na
n
a.
11
!11
!1
1
n
n
n
a
a
n
n
b. 0!
1limlim
na
nn
n
Karena a dan b terpenuhi maka deret ganti tanda tersebut konvergen.
1n na a
1
1
11
!
n
n n
dengan:
Selidiki kekonvergenan dari deret ganti tanda berikut:
47
1
1
13
21
n
n
n
1 3
1n
n
n n
12
31
n
n
nn
n
1
1
!1
n
nn
n
n
1 )1(
11
n
n
nn
2.
4.
5.
3.
1.
Suatu deret dikatakan konvergen mutlak bila harga
48
1
n
n
U
Atau dengan kata lain
dikatakan konvergen mutlak jika 1
n
n
U
konvergen.
1
n
n
U
divergen,
1
n
n
U
konvergen.
Dan dikatakan konvergen bersyarat jika
tetapi
mutlak deret tersebut konvergen.
49
1
||n
nU
Langkah pengujian
(konvergen mutlak/bersyarat/divergen):
Uji
Konvergen deret konvergen mutlak
Divergen
nU
Konvergen deret konvergen
bersyarat
Divergen deret divergen (dgn DGT)
(uji deret positif)
Uji
1n
nU
Selidiki deret berikut konvergen bersyarat, konvergen mutlak atau divergen
50
1.
1
1
!
21
n
nn
n
Jawab:
1
1
21 !
lim lim2
!
n
n
nn nn
na
an
2 .2 !lim
2 1 !
n
nn
n
n
1
2lim
nn
Dari soal diatas kita punya 1 21
!
nn
nUn
Menurut uji hasilbagi ,
Misal
0
2
| |!
n
nUn
2
!
n
nan
Gunakan UHB
1n
nU konvergen, maka
1
1
!
21
n
nn
nkonvergen mutlak.
Uji
1 1 !
2||
n n
n
nn
U
51
2.
1
1 11
n
n
n
Jawab:
1
1 11
n
n
n
Selanjutnya, uji DGT,
1
1 11
n
n
nn
U
1 1
1
n n
nn
U
Maka konvergen bersyarat.
Deret ini divergen dengan uji deret-p (p=1/2)
(i) nn aa 1
(ii) 01
limlim n
an
nn
DGT konvergen,
(tunjukkan)
Karena
1n
nU divergen, tetapi
1n
nU konvergen
52
1 51
nn
n n
12
)4(
n
n
n
1 23
)1(
n
n
n
1 1
11
n
n
nn
1
1
ln
)1(
n
n
nn
1
1
1
)1(
n
n
nn
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Selidiki apakah deret tersebut konvergen mutlak, konvergen bersyarat atau divergen:
Deret pangkat secara umum ada dua bentuk
1. Deret pangkat dalam x didefinisikan
53
2. Deret pangkat dalam (x – b) didefinisikan
2 3
0 1 2 3
0
...n
n
n
a x a a x a x a x
2 3
0 1 2 3
0
( ) ( ) ( ) ( ) ...n
n
n
a x b a a x b a x b a x b
Yang akan ditentukan adalah selang (himpunan) kekonvergenan, yaitu himpunan semua bilangan real x sehingga
deret kuasa konvergen.
1
54
Misalkan
00 n
n
n
n
n Uxa
gunakan uji hasil bagi mutlak, n
n
n U
U 1lim
1
1
1. Jika
2. Jika
3. Jika
maka deret konvergen mutlak.
maka deret divergen.
tidak dapat diambil kesimpulan
Tentukan selang kekonvergenan deret
55
0 2)1(nn
n
n
x
0!)1(
n
n
n
x
0
!)1(
n
nxn
1.
2.
3.
0
1
2
)1(.4
nn
nx
56
Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak.
1
1lim :
2 ( 2) ( 1)2
n n
n nn
x x
n n
2
x( 1)
lim2 ( 2)n
x n
n
1 1
2 1
11 2
n
nn n nn
n
n
n U
U 1lim
0
1.( 1)2
n
nn
x
n
2212
xx
* Untuk x=2,
57
Untuk x = –2
Sehingga selang kekonvergenannya adalah [-2,2)
deret ini adalah deret ganti tanda (DGT)
11 1
1
21
2
n
n
nn
n
nn
(i) an monoton turun
(ii) 01
1limlim
na
nn
n
1lim lim . 1
1
n
n nn
aL n
b n
Karena L=1, dan 1
nbn
Divergen (deret harmonik)
maka 1
1
1n n
divergen
DGT konvergen
Gunakan Uji Banding Limit, 1
nbn
58
Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak.
1
lim :2 ! 1 !
n n
n
x x
n n
0
lim
2n
x
n
Jadi selang kekonvergenannya adalah (-,)
0
2.( 1)!
n
n
x
n
n
n
n U
U 1lim
59
Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak.
Jadi deret tersebut konvergen hanya untuk x = 0.
12 !lim
1 !
n
nn
n x
n x
lim 2n
n x
0, 0
, 0
jika x
jika x
0
3. ( 1)! n
n
n x
n
n
n U
U 1lim
0
1
2
)1(.4
nn
nx
60
n
n
n U
U 1lim
11
2
)1(
2.
2
)1(lim
n
n
n
n
n x
x
2
)1(lim
x
n 2
1
x
* Deret konvergen jika
1321212
1
xx
x
* Uji x=-3
0
1
0
11
0
1
2.)1(2
2)1(
2
)2(
n
n
nn
nn
nn
n
Ini DGT, 02lim
nn
a jadi DGT divergen.
* Untuk x = 1 .22
)2(
00
1
nn
n
n
Deret ini divergen dengan uji
kedivergenan suku ke-n. Jadi HK = (-3,1).
1,
yaitu,
Jawab(4)
61
Himpunan kekonvergenan deret pangkat
0n
nn xa
selang yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut:
1. satu titik x = 0 2. selang (-c, c), mungkin ditambah salah satu atau
keduanya titik ujungnya. 3. seluruh himpunan bilangan real
berbentuk
62
Himpunan kekonvergenan deret pangkat 0
( )n
n
n
a x b
berbentuk selang yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut :
1. satu titik x = b 2. selang (b-c, c+b), mungkin ditambah salah satu atau
keduanya titik ujungnya. 3. seluruh himpunan bilangan real
Tentukan selang kekonvergenan deret pangkat berikut:
63
02
1
)1(
n
n
n
x
...!3
2
!2
22.2
32
xx
x
1.
1
( 2)4. ( 1)
.3
nn
nn
x
n
1
1
25. ( 1)
.3
n nn
nn
x
n
02
2
)1(.3
n
n
n
x
Dalam pasal sebelumnya untuk
64
,11 x
x
aax
n
n
1
1
Pertanyaan yang muncul mengenai sifat-sifat deret kuasa di
1n
naxatas (misal S(x)= )
didiferensialkan dan jika S(x) diintegralkan.
misalkan bagaimana jika S(x)
65
0
)(n
n
n xaxS
0
)(')(n
n
nx xaDxSi
1
1
n
n
n xna
x
dttSii0
)()(
0
0n
xn
n dtta
0
1
1n
nn xn
a
= D[a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x
3+ . . .]
Misal
maka
21
1
x 21
1
1
1
xxDx
1
1
n
n
xn
(i) Perhatikan, ...1 32
0
xxxxn
n
merupakan deret geometri dengan a = 1 ; r = x, maka
1||;1
1
0
xx
xn
n
(ii)
66
2 3
0 0
11 ...
1
x x
dt t t t dtt
...4
1
3
1
2
1)1ln( 432 xxxxx
...4
1
3
1
2
1...
4
1
3
1
2
1)1ln( 432
0
432 xxxxttttx
x
67
2 31 1ln(1 ) ...
2 3x x x x
(iii)
1
1
1ln(1 ) ( 1) ; | | 1n n
n
x x xn
68
(iv)Perhatikan
0 !n
n
n
x
Deret ini konvergen untuk setiap x bilangan real.
Misal ...!3!2
1)(32
xx
xxS
...!3!2
1)('32
xx
xxS
S(x)=S’(x) xexS )(
Jadi
0 !n
nx
n
xe
Contoh
Nyatakan sebagai deret pangkat dalam x
Jawab :
70
xxf
1
1)(
xx
x
xxf
1
1
1)( 2
2
x
xxf
1
1ln)(
21
1)(
xxf
1.
3.
6. 2.
5. f(x)=tan-1(x)
xxf
32
1)(
7.
21
1)(
xxf
4.
Nyatakan f(x) berikut sebagai deret pangkat dalam x: (gunakan rumus operasi deret)
xexf 2)(.8
2)(.9 xexf
...!2
)()(''
!1
)()(')()(
2
bxbfbxbf
bfxf
71
0
)(
!
)()(
n
nn
bxn
bfxf
Deret di atas disebut Deret Taylor dengan pusat x = b.
Bila b = 0, diperoleh Deret Mac Laurin, yaitu
Misalkan f(x) dapat diturunkan hingga n kali pada x = b,
Maka f(x) dapat dinyatakan sebagai deret kuasa dalam (x-b):
2''(0)( ) (0) '(0) ...
2!
ff x f f x x
Perderetkan fungsi berikut dengan deret maclaurin:
1. f(x)= sin x
Jawab:
72
f(x) = sin x
f ’(x) = cos x
f ’’(x) = - sin x f’’(0) = 0
f’(0) = 1
f(0) = 0
f ’’’(x) = - cos x f’’’(0) = -1
f lV (x) = sin x f lV(0) = 0
Sehingga,
...!7!5!3
sin)(753
xxx
xxxf
0
12
!121
n
nn
n
x
2. f(x)= ex
Jawab:
73
f(x) = ex
f ’(x) = ex
f ’’(x) = ex f’’(0) = 1
f’(0) = 1
f(0) = 1
f ’’’(x) = ex f’’’(0) = 1
f lV (x) = ex f lV(0) = 1
Sehingga,
...!4!3!2
1)(432
xxx
xexf x
0 !n
n
n
x
3. Perderetkan f(x)= ex dengan deret taylor dengan pusat di x=1
Jawab:
74
f(x) = ex
f ’(x) = ex
f ’’(x) = ex f’’(1) = e
f’(1) = e
f(1) = e
f ’’’(x) = ex f’’’(1) = e
f lV (x) = ex f lV(1) = e
Sehingga,
...
!3
1
!2
1)1()(
32
x
ex
exeeexf x
0 !
1
n
n
n
xe
1. Perderetkan f(x) berikut dalam deret Maclaurin
75
a. f(x) = cos x
b. f(x) = ln(3+2x)
a. f(x) = ex, a = 2
2. Perderetkan f(x) berikut dalam deret taylor dengan pusat x = a
1
1)(.
xxfd
3,2
1)(.
a
xxfb
3,1
)(. ax
xfc
2. ( )
5c f x
x