Post on 05-Mar-2018
1 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017
BARISAN DAN DERET
1. SIMAK UI Matematika Dasar 911, 2009
Pada suatu hari dilakukan pengamatan terhadap virus-virus tertentu yang berkembang dengan
membelah diri menjadi dua. Pada awal pengamatan terdapat 2 virus. Pembelahan terjadi setiap
24 jam. Jika setiap 3 hari, seperempat dari virus dibunuh, maka banyak nya virus setelah 1
minggu pertama adalah ....
A. 24 B. 36 C. 48 D. 64 E. 72
Solusi: [E]
2. SIMAK UI Matematika Dasar 921, 2009
Jika bilangan ganjil dikelompokkan seperti berikut:
1 , 3,5 , 7,9,11 , 13,15,17,19 ,... , maka suku tengah dari kelompok ke-17 adalah....
A. 9 B.81 C. 136 D.145 E. 289
Solusi: [E]
Banyak bilangan pada kelompok ke-17 adalah 17. Jadi, suku tengahnya = 1
17 1 92
Banyak bilangan tiap kelompok merupakan barisan aritmetika dengan beda 1: 1, 2, 3, 4, ...
Jumlah n suku pertama deret aritmetika: 2 12
n
nS a n b
Banyak bilangan sampai kelompok ke-16 adalah 16
162 1 16 1 1 8 2 15 136
2S
Letak suku tengah pada kelompok ke-17 adalah suku ke-(136 + 9) = 145 yang nilainya adalah
1nu a n b
145 1 145 1 2 289u
3. SIMAK UI Matematika Dasar 931, 2009
Jumlah n suku pertama suat deret geometri adalah 2 1n
nS . Persamaan kuadrat yang akar-
akarnya suku ke-4 dan rasio deret tersebut adalah...
Pengamatan Jumlah Virus
Pada hari ke-1 2
Pada hari ke-2 2 2 4
Pada hari ke-3 4 2 8
Pada hari ke-4 1
16 16 124
(seperempat virus dibunuh)
Pada hari ke-5 12 2 24
Pada hari ke-6 24 2 48
Pada hari ke-7 1
96 96 724
(seperempat virus dibunuh)
2 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017
A. 2 10 16 0x x C.
2 10 16 0x x E. 2 6 16 0x x
B. 2 10 16 0x x D.
2 6 16 0x x
Solusi: [B]
2 1n
nS
1 2 1 1u
2
2 1 2 2 1 3S u u
2 3 1 2u
2
1
22
1
ur
u
3 3
4 1 2 8u ar
Persamaan kuadratnya adalah
8 2 0x x
2 10 16 0x x
4. SIMAK UI Matematika Dasar 931, 2009
Banyaknya bilangan bulat positif di antara 200 dan 2000 yang merupakan kelipatan 6 atau 7
tetapi tidak keduanya adalah ...
A. 469 B. 471 C. 513 D. 514 E. 557
Solusi: [D]
Bilangan bulat positif di antara 200 dan 2000 yang merupakan kelipatan 6: 204, 210, ..., 1998.
1nu a n b
1998 204 1 6n
300n
Bilangan bulat positif di antara 200 dan 2000 yang merupakan kelipatan 7: 203, 210, ..., 1995.
1nu a n b
1995 203 1 7n
257n
Bilangan bulat positif di antara 200 dan 2000 yang merupakan kelipatan 6 dan 7 atau 42: 210,
252, ..., 1974.
1nu a n b
1974 210 1 42n
43n
Jadi, banyaknya bilangan bulat positif di antara 200 dan 2000 yang merupakan kelipatan 6 atau 7
tetapi tidak keduanya adalah 300 + 257 – 43 = 514.
5. SIMAK UI Matematika Dasar 931, 2009
Jika diketahui barisan 1, 1 2 , 1 2 3 , 1 2 3 4 , 1 2 3 4 5 ,... , maka suku ke-
100 dari barisan di atas adalah ....
A. 5550 B. 5500 C. 5055 D. 5050 E. 5005
Solusi: [D]
Barisan 1, 1 2 , 1 2 3 , 1 2 3 4 , 1 2 3 4 5 ,...
3 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017
Barisan: 1001,3,6,10,15,...,u , sehingga
100
1001 2 3 ... 100 1 100 5050
2u
6. SIMAK UI Matematika Dasar 941, 2009
Diberikan barisan bilangan berikut: 2 2 2log log2 log44 ,4 ,4 ,...x x x
Jika hasil kali 3 suku pertama dari barisan tersebut adalah 1, maka suku
kelima dari barisan tersebut adalah ...
A. 256 B. 128 C. 64 D. 32 E. 16
Solusi: [D]
2 2 2log log2 log44 ,4 ,4 ,...x x x 2 2 22 2 2
log log2 log42 , 2 , 2 ,...x x x2 2 2, 4 ,16 ,...x x x
Hasil kali 3 suku pertama dari barisan tersebut adalah 1. 2 2 24 16 1x x x
664 1x
6 1
64x
2 1
8x
2
5
1256 256 32
8u x
7. SIMAK UI Matematika Dasar 941, 2009
Seekor semut merayap pada suatu koordinat Cartesius dimulai dari titik asal 0,0 , kemudian
naik 2 unit terus bergerak 1 unit ke kanan, turun 1
2 unit,
1
4 unit ke kiri,
1
8 unit ke atas, ...
sampai berhenti pada suatu koordinat tertentu. Koordinat tersebut adalah ....
A. 8 4
,5 5
B. 4 8
,5 5
C. 4,8 D. 8, 4 E. tidak dapat ditentukan
Solusi: [B]
Rumus jumlah deret geometri tak hingga 1
aS
r
Pergerakan semut yang searah sumbu X:
1 1 1 41 ...
14 16 51
4
Pergerakan semut yang searah sumbu Y:
1 1 2 82 ...
12 8 51
4
Koordinat tersebut adalah 4 8
,5 5
.
8. SIMAK UI Matematika Dasar 951, 2009
Misalkan diberikan 1 2 3 4 5, , , ,u u u u u adalah lima suku pertama deret geometri. Jika
1 2 3 4 5log log log log log 5log3u u u u u , maka 3 ....u
2 1
1
2
1
4
X
Y
O
4 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 E. 1
3
Solusi: [C]
1 2 3 4 5log log log log log 5log3u u u u u
5
1 2 3 4 5log log3u u u u u
5
1 2 3 4 5 3u u u u u
5 10 53a r 2 3ar
3 3u
9. SIMAK UI Matematika Dasar 951, 2009
Jumlah dari tiga bilangan yang membentuk deret aritmatika adalah 27. Jika bilangan terbesar
ditambah 12 maka ketiga bilangan tersebut membentuk deret geometri. Bilangan terkecil dari
ketiga bilangan tersebut adalah ....
A. 9 B. 3 C. 6 D. 9 E. 15
Solusi: [B]
Misalnya ketiga bilangan yang membentuk deret aritmetika adalah a b a a b .
Jumlahnya: 27a b a a b
3 27a
9a
Deret geometri: 9 9 9 12b b
9 21
9 9
b
b
281 189 12b b 2 12 108 0b b
18 6 0b b
18 6b b
Bilangan terkecil adalah 9 – 6 = 3.
10. SIMAK UI Matematika Dasar 961, 2009
Jika suku pertama deret geometri tak hingga adalah a dan jumlahnya 10, maka ....
A. 0 10a C. 0 20a E. 0a atau 20a
B. 0 18a D. 0 20a
Solusi: [C]
Rasio deret geometri tak hingga adalah 1r .
1
aS
r
101
a
r
10 10r a
10 10r a
10
10
ar
5 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017
101
10
a
101 1
10
a
10 10 10a
20 0a
20 0a
11. SIMAK UI Matematika Dasar 961, 2009
Jika , ,k l dan m membentuk barisan geometri, maka log ,k log ,l dan log m adalah ....
A. Barisan geometri dengan rasio log logl k
B. Barisan aritmatika dengan beda log logl k
C. Barisan geometri dengan rasio l
k
D. Barisan aritmatika dengan beda l
k
E. Bukan barisan aritmatika maupun geometri
Solusi: [B]
Barisan geometri , ,k l m berarti 2, ,k a l ar m ar , sehingga
log ,k log ,l log m = 2log , log , loga ar ar
Beda 2log log log log logar a ar ar r
Jadi, log ,k log ,l dan log m adalah barisan aritmatika dengan beda log logl k .
12. SIMAK UI Matematika IPA 914, 2009
Misalkan 1x dan 2x bilangan bulat yang merupakan akar-akar persamaan kuadrat
2 2 4 3 4 0x k x k . Jika 1 2, ,x k x merupakan tiga suku pertama dari suatu deret
geometri, maka rumus suku ke- n deret tersebut adalah ...
A. 1 1n
B. 1 1n
C. 1n
D. 2 1n
E. 1
Solusi: [C]
Akar-akar persamaan 2 2 4 3 4 0x k x k adalah 1x dan 2x yang merupakan bilangan
bulat.
1 2 2 4x x k
1 2 3 4x x k
Deret geometri: 1 2, ,x k x
2
1
xk
x k
2
1 2k x x
2 3 4k k 2 3 4 0k k
4 1 0k k
4atau 1k k
6 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017
Persamaan kuadrat menjadi:
Jika 4k , maka 2 12 16 0x x dengan akar-akarnya bukan bilangan bulat
Jika 1k , maka 2 2 1 0x x dengan akar-akarnya
1 2 1x x
1n
nu ar
1 1
1 1 11
n
n n
nu
13. SIMAK UI Matematika IPA 914, 2009
Suatu barisan geometri mempunyai 3 suku pertama 2, , . Jika dan adalah akar-akar
dari persamaan kuadrat 22 6 0x kx , maka suku keempat dari barisan dan nilai k masing-
masing adalah ...
A. 27 dan 8 C. 24 dan 8 E. 24 dan 4
B. 27 dan 8 D. 24 dan 4
Solusi: [A]
dan adalah akar-akar dari persamaan kuadrat 22 6 0x kx , sehingga
2
k
3
Barisan geometri:2, , .
2
1
1 3
3
Barisan geometri menjadi: 1,3,9 , dengan rasio 3r
3 3
4 1 3 27u ar
1 32
k
8k
14. SIMAK UI Matematika Dasar 203, 2010
1x dan 2x adalah bilangan bulat yang merupakan akar-akar persamaan kuadrat
2 2 4 3 4 0x p x p , dimana p adalah suatu konstanta. Jika 1 2, ,x p x merupakan tiga
suku pertama dari suatu deret geometri, maka suku ke-12 dari deret geometri tersebut adalah ...
A. 1 B. 1 C. 6 2 5 D. 6 2 5 E. 4
Solusi: [A]
1x dan 2x adalah bilangan bulat yang merupakan akar-akar persamaan kuadrat
2 2 4 3 4 0x p x p , sehingga
1 2 2 4x x p
1 2 3 4x x p
Deret geometri: 1 2, ,x p x
7 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017
Rasio 2
1
xpr
x p
2
1 2p x x
2 3 4p p
2 3 4 0p p
4 1 0p p
4atau 1p p
Persamaan kuadrat menjadi:
Jika 4p , maka 2 12 16 0x x , dengan akar-akarnya bukan bilangan bulat
Jika 1p , maka 2 2 1 0x x dengan akar-akarnya
1 2 1x x , dengan akar-akarnya
bilangan bulat. 1n
nu ar
12 1 11
12 1 1 1 1u
15. SIMAK UI Matematika Dasar 203, 2010
Untuk 02
x
, nilai 32sin sin 2 cos sin 2 cos .... ....x x x x x
A. sin x B. cos x C. 2sin x D. 2sec x E. 2csc x
Solusi: [E]
Rasio 2sin 2 cos 2sin cos cos
cos2sin 2sin
x x x x xr x
x x
Jumlah suku-suku pada deret geometri konvergen, dengan 1r adalah 1
aS
r
, sehingga
2 2
2sin 2sin 22csc
1 cos sin sin
x xS x
x x x
16. SIMAK UI Matematika Dasar 207, 2010
Jika jumlah 100 suku pertama suatu deret geometri adalah , dan jumlah 200 suku pertamanya
adalah 3 , maka jumlah 700 suku pertamanya adalah ...
A. 8 B. 10 C.15 D. 63 E. 127
Solusi: [E]
Jumlah n suku pertama deret geometri adalah 1
1
n
n
a rS
r
100
100
1
1
a rS
r
.... (1)
200
200
13
1
a rS
r
.... (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
200 1001 13
1 1
a r a r
r r
200 1001 3 1r r
8 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017
200 1001 3 1r r
100 100 1001 1 3 1r r r
100 1 3r 100 2r .... (3)
Dari persamaan (1) diperoleh 1001 1
a
r r
.... (4)
Selanjutnya, dengan menggunakan persamaan (3) dan (4) diperoleh
700
700
1
1
a rS
r
700 7
100
1 2 1127
1 2 1
r
r
17. SIMAK UI Matematika Dasar 207, 2010
Diketahui sebuah barisan mempunyai urutan suku sebagai berikut:
120, 60, 40, 30, ... Suku berikutnya adalah ....
A. 24 B. 25 C. 30 D. 35 E. 36
Solusi: [A]
Perhatikan pola bilangannya!
Jadi, suku berikutnya adalah 24.
18. SIMAK UI Matematika Dasar 208, 2010
Diketahui sebuah barisan 2, 3, 4, 6, 6, 6, 10, 9, 8, 14, 12, 10, ... Jumlah 3n suku pertama, untuk
1,2,3,4,n ... , dari barisan di atas adalah ....
A. 3 9 92
n
nS n C. 3
39 9
2n
nS n E. 3 3 3
2n
nS n
B. 3 9 92
n
nS n D. 3 9 9
6n
nS n
Solusi 1: [B]
Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah 2 12
n
nS a n b
Perhatikan pola bilangannya!
Barisan 2, 3, 4, 6, 6, 6, 10, 9, 8, 14, 12, 10, ... dapat dibagi menjadi 3 kelompok:
Kelompok 1: 2, 6, 10, 14, ...
2 2 1 4 42 2
n
n nS n n
Kelompok 2: 3, 6, 9, 12, ...
2 3 1 3 3 32 2
n
n nS n n
Kelompok 3: 4, 6, 8, 10, ...
2 4 1 2 2 62 2
n
n nS n n
Jumlah dari ketiga kelompok tersebut adalah
3 4 3 3 2 6 9 92 2
n
n nS n n n n
Solusi 2: []
Perhatikan pola bilangannya!
120, 60, 40, 30, ,24 ...
1
2
2
3
3
4
4
5
9 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017
3 2 9 1 9 9 92 2
n
n nS n n
19. SIMAK UI Matematika Dasar 208, 2010
Pernyataan berikut yang BENAR berkaitan dengan deret
2 3
1 1 11 ...
2 3 2 3 2 3
adalah ....
(1) Deret tersebut merupakan deret geometri dengan rasio 2 3
(2) Deret tersebut merupakan deret turun
(3) Suku ke-5 nilainya sama dengan 97 56 3
(4) Jumlah semua sukunya sama dengan 3
2
Solusi: [B]
(1) Rasio 2
1
1
1 2 32 32 3
1 2 3 2 3
ur
u
Deret tersebut merupakan deret geometri dengan rasio 2 3 . (Benar)
(2) Karena r > 0, maka deret tersebut merupakan deret naik.
(3) 4 2
4
5 1 2 3 7 4 3 97 56 3u ar
Suku ke-5 nilainya sama dengan 97 56 3 (Benar)
(4) Karena r > 1, maka deret ini adalah divergen, sehingga deret ini tidak mempunyai jumlah.
Pernyataan yang benar adalah (1) dan (3)
20. SIMAK UI Matematika Dasar 209, 2010
Suatu koloni bakteri membelah diri menjadi dua setiap 6 jam dan pada setiap 12 jam seperempat
bagian dari koloni tidak bertahan hidup. Jika pada awal pengamatan terdapat x bakteri, maka
setelah 36 jam, jumlah bakteri dalam koloni tersebut adalah ....
A. 6x B. 24x C. 27x D. 48x E. 64x
Solusi: []
Jadi, jumlah bakteri dalam koloni setelah 36 jam adalah 1
36 36 274
x x x
2, 3, 4 6, 6, 6 10, 9, 8
9 18 27
Pengamatan Jumlah Virus
Pada jam ke-1 x
Paka 6 jam ke-2 2 2x x
Paka 6 jam ke-3 2 2 4x x
Paka 6 jam ke-4 1
4 4 2 64
x x x
(seperempat virus mati)
Paka 6 jam ke-5 6 2 12x x
Pada 6 jam ke-6 1
12 12 2 184
x x x
(seperempat virus mati)
Pada 6 jam ke-7 18 2 36x x
10 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017
21. SIMAK UI Matematika Dasar 209, 2010
Jika cos ,sin ,x x dan 3
2 membentuk barisan geometri, maka suku ke-5 dari barisan tersebut
adalah ....
A. 1
318
B. 1
2 C.
13
3 D. 3 E.
9
2
Solusi: [E]
Barisan geometri: 3
cos ,sin ,2
x x
3sin 2
cos sin
xr
x x
2 3sin cos
2x x
2 31 cos cos
2x x
22 2cos 3cosx x 22cos 3cos 2 0x x
2cos 1 cos 2 0x x
1cos cos 2(ditolak)
2x x
3
2 3sin 60
r
Barisan geometri: 1 1 3
, 3,2 2 2
4
4
5
1 93
2 2u ar
22. SIMAK UI Matematika Dasar 209, 2010
Diketahui sebuah barisan mempunyai urutan sebagai berikut: 32,14,16,12,8,10,... suku ke-21
barisan tersebut adalah....
A. 6 B. 2 C. 1
32 D.
1
2 E. 2
Solusi: []
Barisan 32,14,16,12,8,10,... terdiri dari barisan 32,16,8,...dan 14,12,10,...
Suku ke-21 dari barisan 32,14,16,12,8,10,... letak sama dengan suku ke-11 dari barisan
32,16,8,...
1n
nu ar
10
21 11 5
1 1 132
2 2 32u u
23. SIMAK UI Matematika IPA 503, 2010
Jumlah p suku pertama dari suatu barisan aritmetika ialah q dan jumlah q suku pertama ialah
p . Maka jumlah p q suku pertama dari barisan tersebut adalah....
11 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017
A. p q B.
2
p q C. 1p q D. p q E. 1p q
Solusi: [D]
Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah 2 12
n
nS a n b
Jumlah p suku pertama dari suatu barisan aritmetika ialah q .
2 12
p
pS a p b q
2
2 1q
a p bp
.... (1)
Jumlah q suku pertama dari suatu barisan aritmetika ialah p .
2 12
q
qS a q b p
2
2 1p
a q bq
.... (2)
Persamaan (1) – Persamaan (2) menghasilkan
2 2
1 1q p
p b q bp q
2 2q ppb b bq b
p q
2 22 2q ppb bq
pq
2 22 p qb
pq p q
2 p q
pq
.... (3)
Substitusikan persamaan (3) ke persamaan (1) diperoleh
2 2
2 1p q p
a qpq q
1p q p
a qpq q
2 2pq q p q p
pq
2
p q p q pq
pq
.... (4)
Jumlah p q suku pertama dari barisan tersebut adalah
2 12
p q
p qS a p q b
.... (5)
Substitusikan persamaan (3) dan (4) ke persamaan (5) diperoleh
2
22 1
2p q
p q p q pq p qp qS p q
pq pq
2 2
2 2 2 2 2
2p q
p q p q pq p q p qp qS
pq pq
2
2p q
p q pqS p q
pq
12 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017
24. SIMAK UI Matematika IPA 503, 2010
Tiga bilangan , ,dana b c yang masing-masing di antara 2 dan 18 memenuhi hal-hal berikut.
(i) Jumlah 3 bilangan tersebut = 25;
(ii) 2, ,a b adalah suku-suku suatu bilangan aritmetika;
(iii) , ,18b c adalah suku-suku barisan geometri;
maka 3 2a b c adalah....
A. 40 B. 41 C. 42 D. 43 E. 48
Solusi: [D]
25a b c .... (1)
Barisan aritmetika: 2, ,a b , sehingga
Beda 2a b a
2 2a b .... (2)
Barisan geometri: , ,18b c , sehingga
Rasio 18c
b c
2 18c b .... (3)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:
2 25 2b c b
50 2 2 2b c b
3 2 48b c .... (4)
Dari persamaan (3) dan (4) diperoleh 2
3 2 4818
cc
2 12 288c c 2 12 288 0c c
24 12 0c c
24(ditolak)atau 12(diterima)c c
Substitusikan 12c ke persamaan (3) diperoleh 212 18b
8b
Substitusikan 8b dan 12c ke persamaan (1) diperoleh
8 12 25a
5a
3 2 3 5 2 8 12 43a b c
25. SIMAK UI Matematika IPA 506, 2010
Nilai dari 1
cos cos ...cos cos2 4 2 2n n
adalah....
(1) 1 sin
2sin
2
n
n
(2)
1 sin
2sin
2
n
(3)
1 tan cos
2sin
2
n
n
(4)
1 cos 2
2 cosn
Solusi: [B]
13 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017
1cos cos ...cos cos
2 4 2 2n np
12 sin cos cos ...cos 2cos sin
2 2 4 2 2 2n n n np
2
1 12 sin cos sin ... 2cos sin
4 2 2 2 2n np
...
2 sin sin2
n
np
1 sin
2sin
2
n
n
p
1
1 sincos cos ...cos cos
2 4 2 2 2sin
2
n n n
n
Selanjutnya,
1
1 sincos cos ...cos cos
2 4 2 2 2sin
2
n n n
n
1 tan cos
2sin
2
n
n
Pernyataan yang benar adalah (1) dan (3).
26. SIMAK UI Matematika IPA 509, 2010
Diketahui 2 buah deret A dan B sampai suku ke- n adalah sebagai berikut:
:1 3 5 ... 2 1 ,
:1 4 7 ... 3 2 .
A n
B n
Di bawah ini yang benar untuk deret B A adalah...
(1) 12 66s (2) 13 91s (3) 14 91s (4) 15 120s
Solusi: [B]
2: 1 3 5 ... 2 1 1 2 12
n
nA S n n n
23: 1 4 7 ... 3 2 1 3 2
2 2 2n
n nB S n n n
2 2 23 1
2 2 2
nB A n n n n
(1) 2
12
112 12 66
2S
(2) 2
13
113 13 78
2S
(3) 2
14
114 14 91
2S
(4) 2
15
115 15 105
2S
Pernyataan yang benar adalah (1) dan (3).
14 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017
27. SIMAK UI Matematika Dasar 211, 2011
1 3 5 7 9 11 13 15 17 ... 193 195 197 ...
A. 3399 B. 3366 C. 3333 D. 3267 E. 3266
Solusi: [D]
1 3 5 7 9 11 13 15 17 ... 193 195 197 3 9 15 ... 195
Ini adalah deret aritmetika dengan a = 3, b = 6, 1 197 1
333 2
n
, dan 33 195nu u
33
333 195 3267
2S
28. SIMAK UI Matematika Dasar 213, 2011
Jika diketahui 4 suku pertama dari barisan aritmetika adalah , , ,2x y w y , maka nilai ....y
x
A. 1
4 B.
1
3 C.
1
2 D. 2 E. 3
Solusi: [D]
Beda 2y x w y y w k
y x k .... (1)
w y k ....(2)
2y w k ....(3)
Jumlah persamaan (2) dan persamaan (3) menghasilkan
2y k
Substitusikan 2y k ke persamaan (1) diperoleh
2k x k
x k
22
y k
x k
29. SIMAK UI Matematika Dasar 214, 2011
3 7 5 12 8 15log , log , loga b a b a b adalah tiga suku pertama dari barisan aritmatika. Jika
diketahui suku ke-12 dari barisan tersebut adalah log nb , maka n adalah...
A. 40 B. 56 C. 76 D. 112 E. 143
Solusi: [D]
Beda 5 12 3 7 8 15 5 12log log log logd a b a b a b a b
Beda
5 12 8 15
3 7 5 12log log
a b a bd
a b a b
Beda 2 5 3 3log logd a b a b
2 5 3 3a b a b 2a b
12 11u a d
3 7 2 5log log 11lognb a b a b 11
3 7 2 5log a b a b 25 62log a b
25 62nb a b
15 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017
25
2 62 112nb b b b
112n
30. SIMAK UI Matematika IPA 511, 2011
Pada suatu barisan geometri dengan 1,r diketahui dua kali jumlah empat suku pertama adalah
tiga kali jumlah dua suku genap pertama. Jika di antara suku-suku tersebut disisipkan empat
bilangan, dengan cara: antara suku kedua dan ketiga disisipkan satu bilangan, dan antara suku
ketiga dan keempat disisipkan tiga bilangan, maka akan terbentuk barisan aritmetika dengan beda
r . Jumlah bilangan yang disisipkan adalah....
A. 14 B. 24 C. 28 D. 32 E. 42
Solusi: [E]
1 2 3 4 2 42 3u u u u u u
2 3 32 3a ar ar ar ar ar
2 3 32 2 2 2 3 3r r r r r 3 22 2 0r r r
2 2 2 0r r r
2 1 2 0r r
2r Barisan aritmetika: 1 2 3 4u u p u q r s u , dengan beda r
Beda 2 1r u u
r ar a
2 2a a
2a
Barisan aritmetika menjadi: 1 2 3 4 2 4 6 8 10 12 14 16u u p u q r s u
6 10 12 14 42p q r s
jumlah bilangan yang disisipkan adalah 42.
31. SIMAK UI Matematika IPA 511, 2011
Misalkan f x adalah suatu polinomial derajat tiga yang akar-akarnya membentuk barisan
aritmetika dengan nilai suku ketiga adalah tiga kali nilai suku pertama; dan jumlah akar-akarnya
sama dengan 12. Maka sisa dari pembagian 6f x oleh 2 1x adalah ....
A. 7 6x B. 6x C. 6 7x D. 6x E. 1x
Solusi: [A]
Misalnya polinomial berderajat tiga 3 2f x ax bx cx d , dengan akar-akarnya
1 2 3, ,danx x x .
Akar-akar polinomial f x membentuk barisan aritmetika: 1 2 3, ,x x x
Beda 2 1 3 2b x x x x , sehingga diperoleh
2 1 32x x x .... (1)
Nilai suku ketiga adalah tiga kali nilai suku pertama, sehingga
3 13x x .... (2)
Jumlah akar-akarnya sama dengan 12, sehingga
1 2 3 12x x x .... (3)
16 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017
Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1), sehingga diperoleh
2 1 12 3x x x
2 12 4x x
2 12x x .... (4)
Substitusikan persamaan (2) dan (4) ke persamaan (3) sehingga diperoleh
1 1 12 3 12x x x
16 12x
1 2x
2 12 2 2 4x x
3 13 3 2 6x x
Polinomial tersebut menjadi 2 4 6f x x x x .
6 6 2 6 4 6 6f x x x x 3 24 2 6 8x x x x x x
Untuk menentukan sisa pembagian 6f x oleh 2 1x , substitusikan
2 1x ke polynomial
6f x , sehingga diperoleh sisa pembagian 6f x oleh 2 1x adalah
2 26 8 1 6 1 8 7 6x x x x x x x .
Kita dapat menentukan sisa pembagian 6f x oleh 2 1x , sebagai berikut.
32. SIMAK UI Matematika IPA 512, 2011
Misalkan f x adalah suatu polinominal derajat tiga, yang akar-akarnya membentuk barisan
aritmetika dengan nilai suku ketiga adalah tiga kali nilai suku pertama; dan jumlah akar-akarnya
sama dengan 12. Maka jumlah akar-akar dari 1f x adalah ....
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 E. 12
Solusi: [B]
Misalnya polinomial berderajat tiga 3 2f x ax bx cx d , dengan akar-akarnya
1 2 3, ,danx x x .
Akar-akar polinomial f x membentuk barisan aritmetika: 1 2 3, ,x x x
Beda 2 1 3 2b x x x x , sehingga diperoleh
2 1 32x x x .... (1)
Nilai suku ketiga adalah tiga kali nilai suku pertama, sehingga
3 13x x .... (2)
Jumlah akar-akarnya sama dengan 12, sehingga
1 2 3 12x x x .... (3)
2 3 2
3
2
2
6
1 6 8
6 7
6 6
7 6
x
x x x x
x x
x x
x
x
17 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017
Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1), sehingga diperoleh
2 1 12 3x x x
2 12 4x x
2 12x x .... (4)
Substitusikan persamaan (2) dan (4) ke persamaan (3) sehingga diperoleh
1 1 12 3 12x x x
16 12x
1 2x
2 12 2 2 4x x
3 13 3 2 6x x
Polinomial tersebut menjadi 2 4 6f x x x x .
1 1 2 1 4 1 6f x x x x 1 3 5x x x
Jumlah akar-akar 1f x adalah 1 + 3 + 5 = 9.
33. SIMAK UI Matematika IPA 513, 2011
Pada suatu barisan geometri dengan rasio, 1r diketahui jumlah empat suku pertama adalah
tiga kali jumlah dua suku genap pertama. Jika di antara suku-suku tersebut disisipkan empat
bilangan, dengan cara: antara sku kedua dan ketiga disisipkan satu bilangan, dan antara suku
ketiga dan keempat disisipkan tiga bilangan, maka akan terbentuk barisan aritmatika dengan beda
.r Maka jumlah empat suku pertama dari barisan geometri semula adalah ...
A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 E. 50
Solusi: [C]
1 2 3 4 2 42 3u u u u u u
2 3 32 3a ar ar ar ar ar 2 3 32 2 2 2 3 3r r r r r
3 22 2 0r r r
2 2 2 0r r r
2 1 2 0r r
2r Barisan aritmetika: 1 2 3 4u u p u q r s u , dengan beda r
Beda 2 1r u u
r ar a
2 2a a
2a
Barisan geometri semula: 2, 4, 8, 16
Jadi, jumlah empat suku pertama dari barisan geometri semula adalah 2 + 4 + 8 + 16 = 30.
34. SIMAK UI Matematika IPA 513, 2011
Diberikan dua buah barisan aritmatika ( )nA dan ( ).nB Diketahui jumlah 100 suku pertama dari
( )nA dengan beda bernilai satu adalah 5850. Suku pertama kedua barisan adalah sama dan suku
terakhir barisan ( )nB sama dengan suku kedua terakhir barisan ( ).nA Jika beda barisan ( )nB
adalah 2, maka jumlah barisan ( )nB adalah ...
A. 2385 B. 2470 C. 2725 D. 2900 E. 2925
18 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017
Solusi: [D]
Jumlah 100 suku pertama dari ( )nA dengan beda bernilai satu adalah 5850:
100( ) 5850AS dan
1Ab
Suku pertama kedua barisan adalah sama: 1( ) 1( )A Bu u a
Suku terakhir barisan ( )nB sama dengan suku kedua terakhir barisan ( )nA : ( ) 99( )n B Au u
Beda barisan ( )nB adalah 2: 2Bb
2 12
n
nS a n b
100( )
1002 100 1 1 5850
2AS a
50 2 99 5850a
2 99 117a
2 18a
9a
( ) 99( ) 99 9 98 1 107n B Au u a b
( ) 1n B Bu a n b
107 9 1 2n
98 1 2n
49 1n
50n
50( )
502 9 50 1 2 25 18 98 2900
2BS
35. SIMAK UI Matematika IPA 512, 2011
Misalkan ( )f x adalah suatu polinominal derajat tiga yang akar-akarnya membentuk barisan
aritmatika dengan nilai suku ketiga adalah tiga kali nilai suku pertama; dan jumlah akar-akarnya
adalah 12. Maka akar-akar dari ( 1)f x adalah ....
(1) 1 dan 3 (2) 1 dan 5 (3) 3 dan 5 (4) 2 dan 4
Solusi: [A]
Misalnya polinomial berderajat tiga 3 2f x ax bx cx d , dengan akar-akarnya
1 2 3, ,danx x x .
Akar-akar polinomial f x membentuk barisan aritmetika: 1 2 3, ,x x x
Beda 2 1 3 2b x x x x , sehingga diperoleh
2 1 32x x x .... (1)
Nilai suku ketiga adalah tiga kali nilai suku pertama, sehingga
3 13x x .... (2)
Jumlah akar-akarnya sama dengan 12, sehingga
1 2 3 12x x x .... (3)
Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1), sehingga diperoleh
19 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017
2 1 12 3x x x
2 12 4x x
2 12x x .... (4)
Substitusikan persamaan (2) dan (4) ke persamaan (3) sehingga diperoleh
1 1 12 3 12x x x
16 12x
1 2x
2 12 2 2 4x x
3 13 3 2 6x x
Polinomial tersebut menjadi 2 4 6f x x x x .
1 1 2 1 4 1 6f x x x x 1 3 5x x x
Akar-akarnya adalah 1, 3, atau 5.
Pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (3).
36. SIMAK UI Matematika IPA 512, 2011
Diketahui suatu deret bilangan ganjil yakni
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 ... (berganti tanda setiap 3 suku). Jumlah dari
300 suku pertama dari deret bilangan tersebut adalah ....
A. 960 B. 360 C. 300 D. 450 E. 900
Solusi: [E]
Deret bilanga ganjil: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 ...
Deret bilangan ganjil ini dapat ditulis sebagai: 9 27 45 63 81 99 ... yang dapat
dikelompokkan menjadi deret bilangan ganjil: 9 45 81 ... dan 27 63 99 ... , dengan
banyak suku masing-masing 300 1
503 2
.
Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah 2 12
n
nS a n b
300
50 502 9 50 1 36 2 27 50 1 36
2 2S 44550 45450 900
37. SIMAK UI Matematika IPA 221, 2012
Diketahui sebuah barisan 3 3 9 15
, , , ,...2 4 8 16
. Jumlah sepuluh suku pertama dari barisan tersebut
adalah ....
A.
101 210
3
C.
102 110
3
E. 10
B.
102 110
3
D.
102 1
3
Solusi: [A]
Barisan 3 3 9 15
, , , ,...2 4 8 16
bukan barisan aritmetika atau barisan geometri.
Pada barisan ini kita lakukan rekayasa sebagai berikut.
20 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017
1 1 1 11 , 1 , 1 , 1 ,...
2 4 8 16
Barisan ini dapat dikelompokkan menjadi 1 1 1 ... dan 1 1 1 1
...2 4 8 16
10
10
1 11
2 210 1
11
2
S
102 110
3
101 210
3
38. SIMAK UI Matematika IPA 221, 2012
Jika diketahui
22 3 1
2 1, , 13
y yy y y
adalah tiga suku barisan aritmetika, maka nilai
suku kedua yang memenuhi adalah ...
(1) 1 (2) 2 (3) 1 (4) 2
Solusi: [B]
Beda:
2 223 1 3 1
2 1 13 3
y y y yy y y
2
22 6 21 2 1
3
y yy y y
22 6 2 3 31
3
y y yy
22 3 1 3 1y y y
22 3 1 3 3y y y
22 2y
2 1y
1y
22 3 1 3 3y y y
22 6 4 0y y
2 3 2 0y y
1 2 0y y
1atau 2y y
Jika 1y , maka
22 1 3 1 13 11
3 3
y y
Jika 1y , maka
2 23 1 1 3 1 11
3 3
y y
Jika 2y , maka
22 2 3 2 13 11
3 3
y y
Pernyataan yang benar adalah (1) dan (3).
39. SIMAK UI Matematika IPA 521, 2012
Misalkan 1x dan 2x adalah akar-akar persamaan kuadrat 2 22 1 3 4 0x k k x k dan
kedua akar itu bilangan bulat dengan k konstan. Jika 1 2, ,x k x merupakan 3 suku pertama
barisan geometri, maka jumlah n suku pertama dari barisan tersebut adalah ....
21 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017
A. 1 1
12 2
n C.
1 11
2 2
n E.
1 11
2 2
n
B. 1 1
12 2
n D. 1
n
Solusi: [A]
Karena 1x dan
2x adalah akar-akar persamaan kuadrat 2 22 1 3 4 0x k k x k ,
maka 2
1 2 2 1x x k k dan 1 2 3 4x x k .
Barisan geometri: 1 2, ,x k x
Rasio 2
1
xkr
x k
2
1 2k x x
2 3 4k k 2 3 4 0k k
1 4 0k k
1atau 4k k
Jika 1k , maka persamaan kuadrat menjadi 2 2 1 1 3 4 0x x atau
2 2 1 0x x , dengan akar-akarnya kembar 1x .
Jika 4k , maka persamaan kuadrat menjadi 2 32 4 1 12 4 0x x atau
2 27 16 0x x , dengan akar-akarnya tidak bulat.
Barisan geometri menjadi: 1, 1,1
Jumlah n suku pertama dari barisan geometri adalah 1
1
n
n
a rS
r
1 1 1
1 1
n
nS
1 1
12 2
n
40. SIMAK UI Matematika Dasar 331, 2013
Jika diketahui bahwa 1 2 3 4 2012
... ,2013 2013 2013 2013 2013
x nilai x yang memenuhi
adalah ....
A. 1007
2013 B.
1006
2013 C.
1
2013 D.
1006
2013 E.
1007
2013
Solusi: [B]
1 2 3 4 2012...
2013 2013 2013 2013 2013x
11 2 3 4 ... 2012
2013
2012
2
1 10061 1 1 1 ... 1
2013 2013
41. SIMAK UI Matematika Dasar 331, 2013
Diketahui bahwa 1 2 3, , , ,x a a a y dan 1 2 3 4 5, , , , , ,x b b b b b y dengan x y adalah dua buah barisan
aritmetika, maka 3 2
5 3
....a a
b b
22 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017
A. 2
3 B.
5
7 C.
3
4 D.
5
6 E.
4
3
Solusi 1: []
Dari barisan aritmetika 1 2 3, , , ,x a a a y diperoleh
Beda 1 1 2 1 3 2 3d a x a a a a y a
1 1 2 1 3 2 34d a x a a a a y a
14d y x
14
y xd
Dari barisan aritmetika 1 2 3 4 5, , , , , ,x b b b b b y diperoleh
Beda 2 1 2 1 3 2 4 3 5 4 5d b x b b b b b b b b y b
2 1 2 1 3 2 4 3 5 4 56d b x b b b b b b b b y b
26d y x
26
y xd
3 2 1 1
5 3 2 2
2
4 2
a a x d x d
b b x d x d
1
2
34
2 42
6
y xd
y xd
Solusi 2: []
Kita menggunkan konsep sisipan pada barisan aritmetika '1
bb
k
, dengan 'b beda baru, b
beda lama, dan k banyak suku yang disisipkan.
Dari barisan aritmetika 1 2 3, , , ,x a a a y , dengan b y x dan banyak suku 1 3 1 4k ,
sehingga diperoleh
'4
y xb
Dari barisan aritmetika 1 2 3 4 5, , , , , ,x b b b b b y 1 2 3, , , ,x a a a y , dengan b y x dan banyak suku
1 5 1 6k , sehingga diperoleh
"6
y xb
3 2
5 3
2 ' '
4 " 2 "
a a x b x b
b b x b x b
' 34
2 " 42
6
y xb
y xb
42. SIMAK UI Matematika Dasar 331, 2013
Diketahui bahwa n adalah bilangan asli. Misalkan ( )S n menyatakan jumlah setiap digit dari n
(sebagai contoh: 1234n , (1234) 1 2 3 4 10S ), maka nilai ( )S S n yang memenuhi
persamaan ( ) 2013n S n S S n adalah ....
(1) 2 (2) 5 (3) 8 (4) 20
Solusi: [A]
23 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017
( ) 2013n S n S S n
Jika 99 10n , maka max
99 9 9 18S n S
Jika 1999 1000n , maka max
1999 1 9 9 9 28S n S
( ) 18 28n S n S S n n
2013 46n
1967n
Tes nilai n yang memenuhi hubungan ( ) 2013n S n S S n
Nilai n yang memenuhi adalah 1979, 1985, 1991, dan 2003.
Jadi, pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (3)
43. Solusi: []SIMAK UI Matematika Dasar 333, 2013
Diketahui bilangan , ,a b c membentuk barisan geometri. Bilangan , , 2a b c membentuk barisan
aritmetika dan bilangan , 2, 10a b c membentuk barisan geometri. Jumlah semua nilai yang
mungkin untuk b adalah ....
A. 14
9 B.
20
9 C.
32
9 D.
40
9 E.
80
9
n S n ( )S S n n S n ( )S S n
1967 1 + 9 + 6 + 7 = 23 2 + 3 = 5 1990 1 + 9 + 9 + 0 = 19 1 + 9 = 10
1968 1 + 9 + 6 + 8 = 24 2 + 4 = 6 1991 1 + 9 + 9 + 1 = 20 2 + 0 = 2
1969 1 + 9 + 6 + 9 = 25 2 + 5 = 7 1992 1 + 9 + 9 + 2 = 21 2 + 1 = 3
1970 1 + 9 + 7 + 0 = 17 1 + 7 = 8 1993 1 + 9 + 9 + 3 = 22 2 + 2 = 4
1971 1 + 9 + 7+ 1 = 18 1 + 8 = 9 1994 1 + 9 + 9 + 4 = 23 2 + 3 = 5
1972 1 + 9 + 7 + 2 = 19 1 + 9 = 10 1995 1 + 9 + 9 + 5 = 24 2 + 4 = 6
1973 1 + 9 + 7 + 3 = 20 2 + 0 = 2 1996 1 + 9 + 9 + 6 = 25 2 + 5 = 7
1974 1 + 9 + 7 + 4 = 21 2 + 1 = 3 1997 1 + 9 + 9 + 7 = 26 2 + 6 = 8
1975 1 + 9 + 7 + 5 = 22 2 + 2 = 4 1998 1 + 9 + 9 + 8 = 27 2 + 7 = 9
1976 1 + 9 + 7 + 6 = 23 2 + 3 = 5 1999 1 + 9 + 9 + 9 = 28 2 + 8 = 10
1977 1 + 9 + 7 + 7 = 24 2 + 4 = 6 2000 2 + 0 + 0 + 0 = 2 2
1978 1 + 9 + 7 + 8 = 25 2 + 5 = 7 2001 2 + 0 + 0 + 1 = 3 3
1979 1 + 9 + 7 + 9 = 26 2 + 6 = 8 2002 2 + 0 + 0 + 2 = 4 4
1980 1 + 9 + 8 + 0 = 18 1 + 8 = 9 2003 2 + 0 + 0 + 3 = 5 5
1981 1 + 9 + 8 + 1 = 19 1 + 9 = 10 2004 2 + 0 + 0 + 4 = 6 6
1982 1 + 9 + 8 + 2 = 20 2 + 0 = 2 2005 2 + 0 + 0 + 5 = 7 7
1983 1 + 9 + 8 + 3 = 21 2 + 1 = 3 2006 2 + 0 + 0 + 6 = 8 8
1984 1 + 9 + 8 + 4 = 22 2 + 2 = 4 2007 2 + 0 + 0 + 7 = 9 9
1985 1 + 9 + 8 + 5 = 23 2 + 3 = 5 2008 2 + 0 + 0 + 8 = 10 1 + 0 = 1
1986 1 + 9 + 8 + 6 = 24 2 + 4 = 6 2009 2 + 0 + 0 + 9 = 11 1 + 1 = 2
1987 1 + 9 + 8 + 7 = 25 2 + 5 = 7 2010 2 + 0 + 1 + 0 = 3 3
1988 1 + 9 + 8 + 8 = 26 2 + 6 = 8 2011 2 + 0 + 1 + 1 = 4 4
1989 1 + 9 + 8 + 9 = 27 2 + 7 = 9 2012 2 + 0 + 1 + 2 = 5 5
24 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017
Solusi: [C]
Barisan geometri: , ,a b c , sehingga
Rasio: b c
a b
2b ac .... (1)
Barisan aritmetika: , , 2a b c , sehingga
Beda: 2b a c b
2 2a c b .... (2)
Barisan geometri: , 2, 10a b c , sehingga
Rasio: 2 10
2
b c
a b
2
2 10b ac a .... (3)
Dari persamaan dan (1) dan (3) diperoleh
2 22 10b b a
2 24 4 10b b b a
4 4 10b a
2 2
5
ba
.... (4)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh 2
2 2b
a ba
2 22 2 0a b a b .... (5)
Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh
2
22 2 2 22 2 0
5 5
b bb b
2 2 22 2 5 2 2 25 0b b b
29 32 16 0b b
1 2
32
9b b
44. Solusi: []SIMAK UI Matematika Dasar 334, 2013
Jika diketahui bahwa 1 2
10 10 10 ... 403 3
, nilai x yang memenuhi adalah ....
A. 1150 B. 1125 C. 690 D. 45 E. 25
Solusi 1: [E]
1 210 10 10 ... 40
3 3
130 31 32 ... 120
3
130 31 32 ... 120
3
120 30 :2
11 1 1 ... 120
3
1 1
45 120 75 253 3
Solusi 1: [E]
1 210 10 10 ... 40
3 3
911
1
11 29 25
3
n
n
n
45. SIMAK UI Matematika IPA 131, 2013
Diketahui jumlah 50 suku pertama dari deret aritmetika adalah 200 dan jumlah 50 suku
berikutnya adalah 2700. Suku pertama dari barisan tersebut adalah ....
A. 1221 B. 21,5 C. 20,5 D. 3 E. 3,5
Solusi: [C]
25 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017
2
n n
nS a u
Jumlah 50 suku pertama dari deret aritmetika adalah 200
50 50
50
2S a u
200 25 49a a b
2 49 8a b .... (1)
Jumlah 50 suku berikutnya adalah 2700
50 51 100
50
2S u u
2700 25 50 99a b a b
2 149 108a b .... (2)
Persamaan (2) – Persamaan (1) menghasilkan:
100 100b
1b
2 49 1 8a
2 41a
20,5a
46. SIMAK UI Matematika IPA 133, 2013
Barisan bilangan 2 4 3 12 5 81 1log , log , log
4 2n m n m n m merupakan tiga suku pertama dari
barisan aritmetika. Jika suku ke-2013 adalah log an , maka nilai a adalah ....
A. 493 B. 503 C. 505 D. 2012 E. 2027
Solusi: [A]
Beda 3 12 2 4 5 8 3 121 1 1log log log log
4 2 4b n m n m n m n m
3 12 2 4 5 8 3 12log 4log 2log logn m n m n m n m
4 2
3 12 2 4 5 8 3 12log logn m n m n m n m
11 4 13 4log logn m n m
11 4 13 4log logn m n m
11 4 13 4n m n m
8 24m n
3m n
2013 log au n
2012 log aa b n
2 4 5 8 3 121 1log 2012 log log log
2 4
an m n m n m n
2 12 5 24 3 36log 1006log 503log log an n n n n n n
10 19 1006 39 503log log log log an n n n
10 19 1006 39 503log log an n
10 19 1006 39 503 493a
26 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017
47. SIMAK UI Matematika IPA 132, 2013
Diberikan deret bilangan sebagai berikut.
1540 3080 6160 12320 24640 ... Jika r adalah rasio dari deret tersebut, berapakah suku yang
diperlukan sehingga jumlahnya sama dengan 2 2556nr ?
(1) 2 (2) 3 (3) 9 (4) 10
Solusi: [-]
Deret bilangan: 1540 3080 6160 12320 24640 ... mempunyai suku pertama 1540a dan rasio
30802
1540r
Jumlah n suku pertama dari deret geometri adalah 1
1
n
n
a rS
r
1540 2 1
2 1
n
nS
1540 1 2
3
n
Jumlahnya sama dengan 2 2556nr
2
1540 1 22556
3
n
nr
21540 1 2
2 25563
n
n
1540 1 24 2556
3
n
n
Silahkan sumbstitusikan nilai n = 2, 3, 9, dan 10. Sejauh ini tidak ada nilai n yang memenuhi.
48. SIMAK UI Matematika IPA 133, 2013
Diketahui 2 2 2 2 2010a b c d dan 2010a b c d . Jika a, b, c, d adalah empat suku
pertama dari suatu barisan aritmetika, maka ....a
A. 1008 B. 898 C. 788 D. 604 E. 504
Solusi: [E]
Suku pertama = a dan beda = D 2 2 2 2 2010a b c d
2010a b a b c d c d
2 3 2 3 2010a a D a a D a D a D a D a D
2 2 5 2010a D D a D D
4 6 2010D a D .... (1)
2010a b c d 4 6 2010a D .... (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
2010 2010D
1D
4 6 1 2010a
4 2016a
2016
5044
a
27 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017
49. SIMAK UI Matematika Dasar Kode 1, 2014
Diketahui untuk 1n , berlaku 1 1 1
...2 3 4
n n n nS , maka 2 3 4 ... ....S S S
A. 1 B. 2 C. D. 2 E.
Solusi: [A]
1 1 1...
2 3 4n n n n
S
2 3 4 2 2 2 3 3 3 4 4 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1... ... ... ... ...
2 3 4 2 3 4 2 3 4S S S
2 3 4 2 3 4 2 3 3 2 3 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1... ... ... ... ...
2 2 2 3 3 3 4 4 4S S S
Jumlah suku-suku dari deret geometri tak hingga konvergen dengan 1r adalah 1
aS
r
.
Selanjutnya,
22 2
2 3 4
11 1
32 4... ...1 1 1
1 1 12 3 4
S S S
2 3 4
1 1 1... ...
2 6 12S S S
Ingat konsep:
1 1 1
1 1n n n n
Sehingga
2 3 4
1 1 1 1 1... 1 ... 1
2 2 3 3 4S S S
50. SIMAK UI Matematika Dasar Kode 1, 2014
Dikethaui deret aritmetika terdiri dari n suku. Suku awal deret tersebut merupakan jumlah n suku
pertama bilangan genap dan bedanya n, maka jumlah deret aritmetika tersebut adalah ....
A. 3n B. 3
3
n C.
3 23
2 2
n n D.
3 23
2 2
n n E. 2n
Solusi: [C]
22 22
na n n n
b n
2 12
n
nS a n b 22 1
2
nn n n n
2 22 22
nn n n n
3 23
2 2
n n
51. SIMAK UI Matematika Dasar Kode 2, 2014
Didefinisikan sebuah barisan sebagai berikut. 2014
1 2S dan untuk 1n
2
1
log , jika 0
0, lainnya
n nn
S SS
Nilai terkecil n sedemikian sehingga 1nS adalah ....
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 E. 2
Solusi: [A]
28 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017
52. SIMAK UI Matematika IPA Kode 1, 2014
Diketahui suatu barisan aritmetika na memiliki suku awal 0a dan 10 152 5a a . Nilai n yang
memenuhi agar jumlah n suku pertama dari barisan tersebut maksimum adalah ....
A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 E. 20
Solusi: []
10 152 5a a
2 9 5 14a b a b
3 52 0a b
52
3
ba
.... (1)
Jumlah n suku pertama barisan aritmetika adalah 2 12
n
nS a n b .... (2)
Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh
2104 107
2 3 2 6n
n bS b nb b n bn
1070
6
nSbn b
dn
107 517 18
6 6n
Jadi, nilai n yang memenuhi adalah 18.
53. SIMAK UI Matematika IPA Kode 1, 2014
Misalkan x, y, dan z memenuhi system persamaan.
2 2
2 2 5
2 4
x y z x y z xz
x z
Jika x, y, z adalah suku-suku berurutan pada suatu deret aritmetika, maka nilai ....y
(1) 12 8
4
(2)
12 6
4
(3)
12 8
4
(4)
3 6
2
Solusi: [B]
2 2 5x y z x y z xz .... (1)
2 22 4x z .... (2)
Beda b y x z y , sehingga 2y x z .... (3)
Dari persamaan (1) dan (3) diperoleh
2 2 5x z y x z y xz
2 2 2 2 5y y y y xz
4 2 5y y xz
24 2 5y xz ....(4)
Dari persamaan (3) diperoleh
2 2
2y x z
2 2 24 2y x z xz .... (5)
Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh
2 2 2 2 5x z xz xz
2 2 5x z .... (6)
29 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017
Penjumlahan persamaan (2) dan persamaan (6) menghasilkan
23 9x
2 3x .... (7)
Substitusikan persamaan (7) ke persamaan (6) diperoleh
23 5z
2 2z ....(8)
Substitusikan persamaan (7) dan (8) ke (3) diperoleh
2 3 2y
12 8
4y
12 8 12 8
4 4y y
Pernyataan yang benar adalah (1) dan (3).
54. SIMAK UI Matematika IPA Kode 2, 2014
A dan B berdiri saling berhadapan dengan jarak 100 m. Seekor kucing berdiri di samping A dan
mulai berlari menuju B dengan kecepatan 2m/s. Pada saat yang sama, A berjalan menuju B
dengan kecepatan 1 m/s dan berhenti ketika kucing tiba di B. Kucing lalu berbalik arah dan
berlari menuju A dengan kecepatan yang sama. B tidak bergerak dari posisi awal. Kemudian,
kucing dan A kembali menuju B dengan kecepatannya masing-masing. Jika proses ini berlanjut
terus menerus, jarak yang ditempuh oleh kucing adalah ... m.
A. 500 B. 400 C. 300 D. 350 E. 200
Solusi: [C]
Visualisasi dari soal:
25 25100 50 50 25 25 ...
2 2S
25100 2 50 25 ...
2
50
100 2 100 2 100 100 200 3001
12
Jadi, jarak yang ditempuh oleh kucing adalah 300 m
55. SIMAK UI Matematika Dasar Kode 1, 2015
Misalkan tiga suku dari barisan aritmetika adalah 3 7log a b , 5 12log a b , 8 15loga b dan suku ke-12
adalah log m na b . Nilai 2m n adalah ....
A. 40 B. 56 C. 76 D. 112 E. 143
Solusi: [C]
Beda 5 12 3 7 8 15 5 12log log log logd a b a b a b a b
A
K
B
100
A1
K1
50
50
K2
A2
K3
Peristiwa 1
Peristiwa 2
K4
25
25
Demikian seterusnya
100
50
30 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017
Beda
5 12 8 15
3 7 5 12log log
a b a bd
a b a b
Beda 2 5 3 3log logd a b a b
3 7 2 5log log 11logm na b a b a b 11
3 7 2 5log a b a b 25 62log a b
25dan 62m n
2 2 25 62 112m n
56. SIMAK UI Matematika Dasar Kode 1, 2015
Diketahui nu dan nv adalah barisan aritmetika dengan 0n . Jumlah n suku pertama dari
masing-masing barisan ini adalah ( )uS n dan ( )vS n . Jika ( ) 2 8
( ) 5 9
v
u
S n n
S n n
dan 2
7
3v , maka
4 ....u
A. 22
3 B.
17
3 C. 4 D.
11
3 E. 3
Solusi: [A]
( ) 2 8
( ) 5 9
v
u
S n n
S n n
Jika 1n , maka 2 8 10 5
5 9 14 7
v
u
a
a
5
7v ua a .... (1)
2
7
3v vv a b
7
3v vb a .... (2)
Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh
7 5
3 7v ub a .... (3)
Jumlan suku pertama suku-suku barisan aritmetika adalah 2 12
n
nS a n b
( ) 2 8
( ) 5 9
v
u
S n n
S n n
2 12 82
5 92 1
2
v v
u u
na n b
n
n na n b
2 1 2 8
2 1 5 9
v v
u u
a n b n
a n b n
.... (4)
Jika 2n , maka persamaan (4) menjadi
2 2 1 2 2 8
2 2 1 5 2 9
v v
u u
a b
a b
2 12
2 19
v v
u u
a b
a b
....(5)
Jika 3n , maka persamaan (4) menjadi
2 3 1 2 3 8
2 3 1 5 3 9
v v
u u
a b
a b
31 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017
2 2 14
2 2 24
v v
u u
a b
a b
7
12
v v
u u
a b
a b
.... (6)
Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (6) diperoleh
7
73
12
v v
u u
a a
a b
7
73
12u ua b
4u ua b
4u ub a .... (7)
Substitusikan persamaan (1), (3), dan (7) ke persamaan (5) sehingga diperoleh
2 12
2 19
v v
u u
a b
a b
5 7 52
127 3 7
2 4 19
u u
u u
a a
a a
30 49 15 12
42 84 21 19
u u
u u
a a
a a
15 49 12
21 84 19
u
u
a
a
285 931 252 1008u ua a
33 77ua
77 7
33 3ua ....(8)
Substitusikan persamaan (8) ke persamaan (7) diperoleh
7 54 4
3 3u ub a
4
7 5 223 3
3 3 3u uu a b
57. SIMAK UI Matematika IPA Kode 1, 2015
Jika bilangan 3 7log a b , 5 12log a b , dan 8 15log a b merupakan tiga suku pertama dari barisan
aritmetika, dan suku ke-12 nya adalah log nb , maka nilai n adalah ....
A. 82 B. 108 C. 112 D. 146 E. 152
Solusi: [C]
Beda 5 12 3 7 8 15 5 12log log log logd a b a b a b a b
Beda
5 12 8 15
3 7 5 12log log
a b a bd
a b a b
Beda 2 5 3 3log logd a b a b
2 5 3 3a b a b
32 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017
2a b
12 11u a d
3 7 2 5log log 11lognb a b a b 11
3 7 2 5log a b a b 25 62log a b
25 62nb a b
25
2 62 112nb b b b
112n
58. SIMAK UI Matematika Dasar Kode 1, 2016
na didefinisikan sebagai 1 3n na a n , 1 4, 1a n . Jika 9484na , maka ....n
A. 65 B. 80 C. 96 D. 100 E. 120
Solusi: [C]
59. SIMAK UI Matematika IPA Kode 1, 2016
Nilai c yang memenuhi persamaan 2 1
1 ...1
c x c xx
adalah....
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 E. 1
Solusi: [E]
Jumlah suku-suku deret geometri konvergen dengan 1r adalah 1
aS
r
2 1
1 ...1
c x c xx
1r
1c x
1 1c x 1 1c x c
1 1c x c
1 1
1 1c x x
1 1x c x
1 1x c x 0c
60. SIMAK UI Matematika Dasar 566, 2016
Diketahui bahwa banyak suku pada barisan aritmetika adalah genap. Jumlah suku dengan urutan
ganjil dan suku dengan urutan genap masing-masing adalah 36 dan 48. Jika suku terakhir lebih
besar 1
222
dibandingkan suku pertama, maka banyak suku barisan tersebut adalah ....
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 E. 20
Solusi: [C]
Barisan aritmetika: 1 2 3 2, , ,..., nu u u u
1 3 5 ... 36nu u u u
2 4 6 1... 48nu u u u
1 2 3 ... 36 48 84nu u u u
1 842
n
nu u
33 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017
1 168nn u u
1
122
2nu u
1 1
122 168
2n u u
14 45 336n u
14 45 12 28 14 24 16 21n u
Nilai 116dan 6n u
61. SIMAK UI Matematika Dasar 571, 2016
Jika 2 3
... 5a a a
b b b , maka
2 3
... ....a a a
a b a b a b
erupakan tiga suku pertama dari
barisan aritmetika, dan suku ke-12 nya adalah log nb , maka nilai n adalah ....
A. 3
4 B.
4
5 C.
5
6 D.
6
7 E.
7
8
Solusi: [C]
Jumlah suku-suku deret geometri konvergen dengan 1r adalah 1
aS
r
2 3... 5
a a a
b b b
2 3
1 1 1... 5a
b b b
51
1
a
b
b
51
a
b
15
ab
2 3
5...
1 1 61
5
a
a a a a aa baa b a ba b a b a
a b
62. SIMAK UI Matematika Dasar 573, 2016
Jika 1 2k kx x , untuk 1,2,3,..., 1k n dan 1 1x , maka nilai
1 3 1
2 4
...
...
n
n
x x x
x x x
untuk n genap
adalah ....
A. 12 B. 12n C. 22n D. 2 E. 22
Solusi: [A]
1x
2 12 2 1 2x x
3 22 2 2 4x x
4 32 2 4 8x x
5 42 2 8 16x x
34 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017
6 52 2 16 32x x
...
1 3 1 1
2 4
... 1 4 16 ... 1 4 16 ... 12
... 2 8 32 ... 2 1 4 16 ... 2
n
n
x x x
x x x
63. SIMAK UI Matematika Dasar Kode 4, 2016
Jika 1,2 2,7 1,...,72x x x merupakan barisan aritmetika, maka suku tengahnya adalah ....
A. 30 B. 32 C. 34 D. 36 E. 38
Solusi: [D]
Beda 2 2 1 7 1 2 2b x x x x 3 5 1x x
4 4x 1x
3 1 3 4b x
1nu a n b
72 0 1 4n
19n Suku tengah 19 1 10
2
9 0 9 4 36tu u u a b
64. SIMAK UI Matematika IPA 341, 2016
Sebuah deret geometri tak hingga memiliki jumlash 2016. Sebuah deret geometri baru dihasilkan
dengan cara menguadratkan setiap suku dari deret geometri awal, di mana deret geometri baru
memiliki jumlah tak hingga sama dengan 10 kali jumlah tak hingga deret geometri awal. Jika
rasio deret geometri awal adalah
, maka ....
A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 E. 24
Solusi: [C]
Jumlah suku-suku deret geometri konvergen dengan 1r adalah 1
aS
r
Deret geometri awal: 2 3 ...a ar ar ar
awal 2016S
awal 20161
aS
r
2016 1a r .... (1)
Deret geometri baru: 2 2 2 2 4 2 6 ...a a r a r a r
baru wal10 20160aS S 2
220160
1
a
r
222016 120160
1 1
r
r r
2016 110
1
r
r
2016 2016 10 10r r 2006 2026r
35 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017
2006
2026r
2026 2006 20
65. SIMAK UI Matematika IPA 366, 2016
Jika suatu deret dinyatakan oleh bilangan 0,2581818181... , maka jumlah 1n suku pertama
adalah ....
A. 0,001 25 99 1 0,001n C. 0,01 25 99 1 0,01n E. 0,1 25 99 1 0,0001n
B. 0,1 25 99 1 0,001n D. 0,1 25 99 1 0,001n
Solusi: [-]
0,2581818181...nS
100 25,81818181...nS
100 25 0,81818181...nS
25 0,81818181...
100 100nS
81 81...
25 100 10000
100 100nS
81 11
100 10025 1
1100 1001
100
n
25 81 11
100 9900 100
n
1 81 81 125
100 99 99 100
n
1
1
1 81 81 125
100 99 99 100
n
nS
1 81 81 125
100 99 9900 100
n
66. SIMAK UI Matematika IPA 373, 2016
Banyaknya nilai x yang memenuhi persamaan 2 1
1 2 1 2 1 ...5
x xx
adalah ....
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 E. Tidak ada
Solusi: [E]
Jumlah suku-suku deret geometri konvergen dengan 1r adalah 1
aS
r
2 1
1 2 1 2 1 ...5
x xx
1r
2 1 1x
1 2 1 1x 0 2 2x
0 1x .... (1)
1 1
1 2 1 5x x
1 1
2 5x x
5 2x x
36 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat, 2017
5
3x
Dari (1) dan (2) tidak ada nilai x yang memenuhi.
67. SIMAK UI Matematika IPA Kode 1, 2016
Misalkan , ,a b c berturut-turut adalah tiga bilangan asli yang membentuk barisan geometri dengan
a
b bilangan bulat. Jika rata-rata , ,a b c adalah 1b , maka
2
4 1 ....a b
ab a
A. 2 B. 1 C. 0 D. 1 E. 2
Solusi: [D]
Barisan geometri: , ,a b c berturut-turut adalah tiga bilangan asli
Rata-rata , ,a b c adalah 1b , sehingga
13
a b cb
3 3a b c b 2 3 3a ar ar ar
22 3a ar ar
2
1 3a r
Karena a bilangan asli, maka kemungkinannya adalah
1a dan 2
1 3r , di sini r tidak bulat
3a dan 2
1 1r , sehingga 2r
Barisan geometri tersebut adalah 3, 6, 12. 2 2
3 6 14 1 4 3 1 4 2 3 1 1
6 3 4
a ba
b a
68. SIMAK UI, 2017
Nilai x yang memenuhi 3 5
1 , 1 , 1 ... 1x x x adalah ....
A. 1 5 3
2
B.
1 5
2
C.
1 5 3
2
D.
1 3 5
2
E.
1 5
2
Solusi: [B]
Jumlah suku-suku deret geometri konvergen dengan 1r adalah 1
aS
r
2
11
1 1
x
x
2
1 1 1x x 21 2 1 1x x x
2 1 0x x
21 1 4 1 1 1 5
2 1 2x
1 5
2x
Semoga bermanfaat...