Post on 10-Nov-2015
description
PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIERSyaiful Anam, S.Si, MTKBI Pemodelan & KomputasiMAM 4233 Metode Numerik
PENDAHULUANDalam matematika terapan sering ditemui f(x)=0, cari nilai x yang memenuhi persamaan tersebut. Untuk mencari nilai x yang memenuhi persamaan tersebut bisa diselesaikan dengan beberapa cara tergantung dari bentuk f(x).www.matematika.brawijaya.ac.id
Persamaan f(x) dapat berbentuk :Persamaan Aljabar, misal : persamaan Polinom.Persamaan fungsi Transenden, misal : Trigonometri, Logaritma, Eksponensial.Persamaan Campuran.www.matematika.brawijaya.ac.idAda beberapa persamaan yang bisa diselesaikan secara analitis, tetapi ada juga yang tidak bisa diselesaikan secara analitis, sehingga harus diselesaikan secara numerik.
Contoh 2.1www.matematika.brawijaya.ac.id
Diketahui persamaan kecepatan benda jatuh
. Jika m=68.1 kg agar mempunyai kecepatan 40 m/s setelah jatuh bebas untuk t=10 s (g=9.8 m/s2). Tentukan koefisien hambatan c pada selang berapa?.
_1298121075.unknown
Penyelesaianwww.matematika.brawijaya.ac.idKoefisien hambatan c berada pada selang [14,16].
Penyelesaian ini dilakukan sebagai berikut :Metode grafik :Metode Grafik Tunggal.Metode Grafik GandaTabulasiDengan teorema nilai antara.f(x) kontinu pada [a,b] f(a) < f(b) atau f(a) >f(b) maka ada c elemen [a,b] sehingga f(c)=L dengan L antara f(a) dan f(b).www.matematika.brawijaya.ac.id
Jika diberikan persamaan f(x)=0 pada [a,b] banyak akar :Tidak ada akarAkar TunggalBeberapaTak berhingga.www.matematika.brawijaya.ac.id
Metode Grafik Grafik tunggalAkar= Perpotongan dengan sumbu xGrafik GandaAkar Perpotongan f1(x) dan f2(x) www.matematika.brawijaya.ac.id
Dengan menggunakan software mathematica berdasarkan metode grafik tunggal bisa dilihat akar berada pada lokasi mana.www.matematika.brawijaya.ac.idBerdasarkan grafik diatas akar persamaan berada pada interval [-1,-0,5] karena titik potong sumbu x pada selang tersebut ada titik potong terhadap sumbu x.
www.matematika.brawijaya.ac.id
Akar suatu persamaanwww.matematika.brawijaya.ac.id
PenyelesaianRumus ABC
Solusi ? Metode Numerikwww.matematika.brawijaya.ac.id??
Metode pencarian akar suatu fungsiPencarian akar suatu fungsi dilakukan dengan cara melakukan iterasi. Secara umum metode pencarian akar dikelompokkan menjadi dua yaitu:Metode tertutup (metode pengurung/bracketing methode)Metode ini pencarian akar dilakukan dalam interval tertutup , yang didalamnya diharapkan terdapat akar, tergantung pada . Pada umumnya iterasi selalu konvergen, karena itu metode tertutup kadang-kadang dinamakan juga metode konvergen. Yang termasuk metode tertutup adalah metode biseksi ( metode bagi dua) dan metode regula falsi ( metode titik palsu).
www.matematika.brawijaya.ac.id
Metode terbuka. Berbeda dengan metode tertutup, metode terbuka tidak memerlukan interval tertutup , yang diperlukan tebakan awal akar, lalu dengan prosedur iterasi diharapkan dapat kita temukan akar hampiran. Setiap kali iterasi, hampiran akar yang lama dipakai untuk menghitung hampiran akar yang baru. Mungkin saja hampiran akar yang baru mendekati akar sejati (konvergen) atau mungkin juga menjauhinya (divergen). Karena itu, metode terbuka tidak selalu berhasil menemukan akar, kadang-kadang konvergen, kadang-kadang divergen. Yang termasuk metode terbuka adalah metode iterasi titik tetap, metode Newton-Raphson dan metode Sekan.
www.matematika.brawijaya.ac.id
Metode Tertutupwww.matematika.brawijaya.ac.id
Metode Tertutupwww.matematika.brawijaya.ac.id
Metode Bagi Duawww.matematika.brawijaya.ac.id
Teorema 2.3. (Bisection Theorem) www.matematika.brawijaya.ac.id
Asumsikan fC[a,b] dan ada sebuah bilangan r C[a,b] sedemikian sehingga
. Jika f(a) dan f(b) berbeda tanda, dan
merepresentasikan barisan titik tengah yang digenerat oleh proses bisection (bagi dua) maka
untuk n=0,1,2,
Dan selanjutnya barisan
konvergen ke akar r=r, yaitu,
_1298121081.unknown
_1329633580.unknown
_1329633582.unknown
_1329633583.unknown
_1329633581.unknown
_1298121082.unknown
_1298121079.unknown
_1298121080.unknown
_1298121078.unknown
Langkah-langkah dalam mecari akar dengan menggunakan metode bagi dua:www.matematika.brawijaya.ac.id
1) Pilih a dan b bawah dan puncak taksiran untuk akar, sehingga perubahan fungsi mencakup seluruh interval. Hal ini dapat diperiksa dengan memastikan f(a) f(b) 0, akar berada pada bagian interval atas, maka a=c dan kembali kelangkah 2
c.)Jika f(a) f(c) =0, akar setara p, hentikan komputasi
_1298121083.unknown
_1329633469.unknown
www.matematika.brawijaya.ac.id
Kreteria penghentian dan taksiran galatwww.matematika.brawijaya.ac.id
Kriteria berhentinya iterasiwww.matematika.brawijaya.ac.id
Contoh www.matematika.brawijaya.ac.id
Hasilwww.matematika.brawijaya.ac.id
www.matematika.brawijaya.ac.id
www.matematika.brawijaya.ac.id
www.matematika.brawijaya.ac.id
Langkah-langkah dalam mecari akar dengan menggunakan metode posisi palsu:www.matematika.brawijaya.ac.id
1) Pilih a dan b bawah dan puncak taksiran untuk akar, sehingga perubahan fungsi mencakup seluruh interval. Hal ini dapat diperiksa dengan memastikan f(a) f(b) 0, akar berada pada bagian interval atas, maka a=c dan kembali kelangkah 2
c.)Jika f(a) f(c) =0, akar setara c, hentikan komputasi
Kreteria penghentian dan taksiran galat
_1329634506.unknown
_1329634518.unknown
_1298121085.unknown
Kreteria penghentian dan taksiran galatwww.matematika.brawijaya.ac.id
Contohwww.matematika.brawijaya.ac.id
Metode TerbukaPada metode ini tidak diperlukan selang yang mengapit akar yang akan didekati. Yang diperlukan hanya sebuah tebakan atau dua buah tebakan awal, yang tidak harus mengapit akar fungsi tersebutYang termasuk kedalam metode terbuka ini adalah:Metode iterasi titik tetapMetode Newton- RaphsonMetode Sekan
www.matematika.brawijaya.ac.id
Iterasi Untuk Menyelesaikan x=g(x)Sebuah prinsip dasar dalam ilmu komputer adalah iterasi . Iterasi adalah proses pengulangan sampai suatu jawaban diperoleh. Teknik iterasi digunakan untuk menemukan akar-akar persamaan, solusi sistem persamaan linier dan non linier dan solusi persamaan differensial. www.matematika.brawijaya.ac.id
Misal P0 adalah nilai awal. Maka barisan {Pk} diperoleh dengan menggunnakan aturan iterasi Pk+1=g(Pk). Barisan tersebut mempunyai polaP0 (starting value)P1=g(P0) P2=g(P1) ..... Pk+1=(g(Pk) www.matematika.brawijaya.ac.id
Definisi 2.1.Sebuah fixed point (Titik Tetap) dari fungsi g(x) adalah bilangan real P sedemikian sehingga P=g(P)www.matematika.brawijaya.ac.id
i=1;p(i)=0.5;n=input('n =');for (i=1:n); p(i+1)=exp(-p(i));end;p
www.matematika.brawijaya.ac.id
Definisi 2.2Iterasi Pn+1=g(Pn) untuk n=0,1,.. disebut iterasi titik tetap.www.matematika.brawijaya.ac.id
Teorema 2.1www.matematika.brawijaya.ac.id
Asumsikan g adalah fungsi kontinyu dan
adalah sebuah barisan yang digenerate oleh iterasi titik tetap. Jika
maka P adalah adalah titik tetap dari g(x).
_1298121076.unknown
_1298121077.unknown
Contoh www.matematika.brawijaya.ac.id
Terdapat beberapa kemungkinan prosedur iterasi yang dapat dibentuk, yaitu:
www.matematika.brawijaya.ac.id
www.matematika.brawijaya.ac.id
Kemungkinan ke 2www.matematika.brawijaya.ac.id
www.matematika.brawijaya.ac.id
Kemungkinan ke 3www.matematika.brawijaya.ac.id
www.matematika.brawijaya.ac.id
Kreteria Konvergensi: Teorema 2.2 www.matematika.brawijaya.ac.id
Asumsikan g(C[a,b] . Jika range dari pemetaan y=g(x) memenuhi a(y(b untuk semua a
Metode Newton RaphsonDiantara semua metode pencarian akar, metode Newton Raphson yang paling terkenal dan paling banyak digunakan dalam terapan sain dan rekayasa. Metode ini paling disukai karena konvergensinya paling cepat diantara metode-metode yang lain. Ada dua cara pendekatan dalam mencari rumus metode Newton Raphson, yaitu:Secara geometriDengan menggunakan deret Taylor
www.matematika.brawijaya.ac.id
Secara Geometriwww.matematika.brawijaya.ac.id
www.matematika.brawijaya.ac.id
Dengan menggunakan deret Taylorwww.matematika.brawijaya.ac.id
Kreteria Berhentiwww.matematika.brawijaya.ac.id
x0=input(' x0:');eps=input('epsilon :');x1=x0-(exp(x0)-5*x0^2)/(exp(x0)-10*x0);galat=abs(x1-x0);i=0;fprintf('i x(i) x(i+1) galat \n');fprintf('%d %4.5f %4.5f %4.5f \n',i,x0,x1,galat);x0=x1;while (galat>eps) i=i+1; x1=x0-(exp(x0)-5*x0^2)/(exp(x0)-10*x0); galat=abs(x1-x0); fprintf('%d %4.5f %4.5f %4.5f \n',i,x0,x1,galat); x0=x1; end;
www.matematika.brawijaya.ac.id
Contohwww.matematika.brawijaya.ac.id
www.matematika.brawijaya.ac.id
Metode SecantKekurangan metode Newton-Raphson adalah diperlukannya turunan pertama (diferensial) dari f (x) dalam hitungan, mungkin sulit untuk mencari turunan dari persamaan yang diselesaikan, maka bentuk diferensial didekati dengan nilai perkiraan berdasarkan diferensial beda hingga.
www.matematika.brawijaya.ac.id
www.matematika.brawijaya.ac.id
www.matematika.brawijaya.ac.id
Contohwww.matematika.brawijaya.ac.id
www.matematika.brawijaya.ac.id
www.matematika.brawijaya.ac.id
*