Post on 09-Aug-2015
description
13/02/2013
1
Keep running
2/13/2013 Fisika II 1
BAB I : VEKTOR
a
b
R
Perpindahan dari a ke b dinyatakan oleh vektor R
Sebuah besaran vektor dapat dinyatakan oleh huruf di cetak tebal (misal A) atau diberi tanda panah diatas huruf (misal ). Dalam handout ini sebuah besaran vektor dinyatakan oleh huruf yang dicetak tebal.
Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan.
Keep running
2/13/2013 Fisika II 2
PENJUMLAHAN VEKTOR
Penjumlahan vektor R yang menyatakan perpindahan a ke b dan vektor S yang menyatakan perpindahan b ke c menghasilkan vektor T yang menyatakan perpindahan a ke c. Cara menjumlahkan dua buah vektor dengan mempertemukan ujung vektor pertama, vektor R, dengan pangkal vektor kedua, vektor S. Maka resultan vektornya, vektor T, adalah menghubungkan pangkal vektor pertama dan ujung vektor kedua.
b
c a
R S
T
T = R + S
Keep running
2/13/2013 Fisika II 3
BESAR VEKTOR RESULTAN
Jika besar vektor R dinyatakan oleh R dan besar vektor S dinyatakan oleh S, maka besar vektor T sama dengan :
Sudut θ menyatakan sudut yang dibentuk antara vektor R dan vektor S
R S
T
T = R + S
θ
(1.1)
13/02/2013
2
Keep running
2/13/2013 Fisika II 4
PENGURANGAN VEKTOR
Untuk pengurangan vektor, misal A – B dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari A + (-B). Vektor -B atau negatif dari vektor B adalah sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor B tetapi arahnya berlawanan.
A B
-B
D D = A – B
Keep running
2/13/2013 Fisika II 5
CONTOH
Sebuah mobil bergerak ke Utara sejauh 20 km, kemudian bergerak ke Barat sejauh 40 km dan bergerak ke Selatan sejauh 10 km. Tentukan jarak perpindahan mobil itu !
40 km
S
10 km
20 km
U
B
Keep running
2/13/2013 Fisika II 6
CONTOH
Jawab : 40 km
10 km
20 km
10 km
40 km
A
B
C
Jika perpindahan pertama dinyatakan vektor A, perpindahan kedua dinyatakan vektor B, dan perpindahan ketiga dinyatakan vektor C, maka perpindahan total dinyatakan vektor D.
Dari gambar di atas dapat diketahui panjang vektor D adalah :
13/02/2013
3
Keep running
2/13/2013 Fisika II 7
VEKTOR SATUAN
Vektor satuan didefenisikan sebagai :
Vektor satuan r tidak mempunyai dimensi dan besarnya adalah satu satuan. Dari persamaan di atas, sebuah besaran vektor dapat dinyatakan sebagai besar vektor tersebut dikali vektor satuan. Vektor satuan r menyatakan arah dari vektor R. Terdapat vektor satuan standar dalam koordinat Kartesian di mana arah-arah dari masing-masing sumbu dinyatakan dalam vektor satuan. •Vektor satuan i menyatakan arah sumbu X positif •Vektor satuan j menyatakan arah sumbu Y positif •Vektor satuan k menyatakan arah sumbu Z positif
(1.2)
Keep running
2/13/2013 Fisika II 8
PENULISAN VEKTOR SECARA ANALITIS
Vektor R dinyatakan oleh : R = Rxi + Ryj + Rzk
Besar vektor R adalah :
R
Ry
Rz
Rx
Vektor dalam 2 Dimensi
Vektor satuan standar tersebut setiap vektor dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dari vektor komponen masing-masing sumbu koordinat.
Keep running
2/13/2013 Fisika II 9
CONTOH
Sebuah vektor perpindahan dari titik (2,2) ke titik (-2,5). Tentukan : a. Vektor perpindahan dinyatakan secara analitis b. Sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu X c. Panjang vektor
Jawab :
(2,2)
(-2,5)
x
y
Vektor perpindahan : R = (xujung – xpangkal)i + (yujung – ypangkal)j R = (-2 – 2)i + (5 – 2)j = -4i + 3j
pangkal
ujung
Rx
Ry
a.
13/02/2013
4
Keep running
2/13/2013 Fisika II 10
CONTOH
(2,2)
(-2,5)
x
y
pangkal
ujung
Rx
Ry
b.
Besar vektor R = c. satuan
Sudut yang dibentuk :
Keep running
2/13/2013 Fisika II 11
PENJUMLAHAN VEKTOR CARA ANALITIS
Jika diketahui sebuah vektor A = xAi + yAj dan vektor B = xBi + yBj, maka penjumlahan vektor A + B = (xA + xB)i + (yA + yB)j. Atau secara umum jika menjumlahkan n buah vektor berlaku :
R = (x0 + …+xi + …+xn)i + (y0 + …+yi + …+yn)j
xA xB
yA
yB
A
B
xA + xB
A
B
yA + yB
(1.3)
Keep running
2/13/2013 Fisika II 12
CONTOH
Diketahui dua buah vektor. A = 3i + 2j B = 2i 4j Tentukan : a. A + B dan A + B b. A B dan A B Jawab : a. A + B = 3i + 2j + 2i 4j
= 5i 2j
A + B =
b. A B = 3i + 2j (2i 4j) = i + 6j
A B =
A B
-B A B
13/02/2013
5
Keep running
2/13/2013 Fisika II 13
SOAL
1. Nyatakan sebuah vektor yang mempunyai besar 4 satuan dan arahnya 60o dari sumbu X positif secara analitis dan tentukan vektor satuannya!
2. Sebuah benda bergerak dari titik (1,2)m ke titik (5,0)m. Tentukan : a. Vektor perpindahan benda tersebut b. Jarak perpindahan c. Arah dari vektor perpindahan benda tersebut dinyatakan oleh
vektor satuannya 3. Diketahui A = 3i + 4j. Tentukan konstanta skalar c sehingga
berlaku cA = 10 satuan !
4. Diketahui A = 2i + 4j, B = -7i, dan C = 8j. Tentukan : a. A + B - C b. A + B + C
Keep running
2/13/2013 Fisika II 14
SOLUSI
R = Rxi + Ryj Diketahui : Rx = R cos = 4 cos 60o = 2 satuan Ry = R sin = 4 sin 60o = 2 satuan Dengan demikian R = 2i + 2 j satuan Vektor satuan : r = cos 60o + sin 60o = ½ i + ½ j
60o
X
Y
R
1.
Keep running
2/13/2013 Fisika II 15
SOLUSI
X
Y
R
1 5
2
a. R = (x2 – x1) i + (y2 – y1) j. Titik awal (x1,y1) = (1,2) dan titik akhir (x2,y2) = (5,0).
Dengan demikian vektor R = 4 i – 2 j. b. R =
c.
2.
13/02/2013
6
Keep running
2/13/2013 Fisika II 16
SOLUSI
4. a. A + B – C = 2i + 4j - 7i - 8j = -5i - 4j
b. A + B + C = 2i + 4j - 7i + 8j = -5i + 12j
-5i + 12j = = 13 satuan
3. Besar vektor A = = 5 satuan
Dengan demikian nilai c = 2 satuan
Keep running
2/13/2013 Fisika II 17
PERKALIAN SKALAR
Perkalian skalar atau juga sering disebut perkalian titik dari dua buah vektor menghasilkan besaran skalar di mana berlaku :
A . B = AB cos (1.4)
Jika diketahui A = ax i + ay j + az k dan B = bx i + by j + bz k, maka :
A . B = axbx + ayby + azbz (1.5)
Sebagai hasil perkalian skalar adalah usaha, tenaga potensial, fluks magnet, dan lain-lain.
A
B
Keep running
2/13/2013 Fisika II 18
PERKALIAN SKALAR
Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah : i . i = j . j = k . k = 1 i . j = j . k = k . i = 0
Perhatikan animasi di samping ini !
13/02/2013
7
Keep running
2/13/2013 Fisika II 19
CONTOH
Diketahui dua buah vektor, A = 3i + 4j dan B = 4i 2j. Tentukan sudut antara vektor A dan B ! Jawab :
A
B
Untuk menentukan sudut antara vektor A dan B dapat menggunakan persamaan (1.4).
A . B = (3i + 4j) . (4i 2j) = 3.4 + 4.(-2) = 4 Besar vektor A = Besar vektor B =
Dengan demikian = 79,7o
AB
Keep running
2/13/2013 Fisika II 20
PERKALIAN VEKTOR
Perkalian vektor atau perkalian silang dari dua buah vektor menghasilkan besaran vektor lain di mana berlaku : A B = C (1.6) Besar vektor C adalah : C = AB sin (1.7) Arah vektor C selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh vektor A dan vektor B. Untuk menentukan arah vektor C dapat diperhatikan gambar di bawah ini. Diketahui bahwa hasil A B tidak sama dengan B A. Walaupun besar vektor hasil perkalian silang itu sama, tetapi arahnya saling berlawanan.
B
B
A
A
C = A B
C’ = B A
C = -C’
Keep running
2/13/2013 Fisika II 21
PERKALIAN VEKTOR
Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah : i i = j j = k k = 0 i j = k ; j k = i; k i = j j i = -k ; k j = -i; i k = -j
Perhatikan animasi di samping ini !
13/02/2013
8
Keep running
2/13/2013 Fisika II 22
PERKALIAN VEKTOR
Untuk menentukan arah dari hasil perkalian silang dari dua buah vektor dapat menggunakan aturan tangan kanan. Jika urutan perkalian dari dua vektor (misal A B), maka empat jari menyatakan arah putaran sudut terkecil dari vektor A ke vektor B. Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor tersebut.
Untuk memahami aturan ini perhatikan animasi di bawah ini :
Keep running
2/13/2013 Fisika II 23
CONTOH
Diketahui dua buah vektor. A = 3i + 4j B = 4i 2j + k Tentukan : a. A B b. Buktikan A B = -B A Jawab :
A B = (3i + 4j) (4i 2j + k) = 3.4(ii) + 3.(-2)(ij) + 3.1(ik) + 4.4(ji) + 4.(-2)(jj) + 4.1(jk) = 12.0 – 6k + 3(-j) + 16(-k) – 8.0 + 4i = 4i – 3j – 22k
a.
B A = (4i 2j + k) (3i + 4j) = 4.3(ii) + 4.4(ij) +(-2).3(ji) + (-2).4(jj) + 1.3(ki) + 1.3(kj) = 12.0 + 16k – 6(-k) – 8.0 + 3j + 4(-i) = -4i + 3j + 22k = - A B
terbukti
b.
Keep running
2/13/2013 Fisika II 24
SOAL
1. Tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor A = i + 2 j – k dan vektor B = 3 i – 4 k !
2. Tentukan panjang proyeksi dari vektor A = 4 i + 2 j – k terhadap arah vektor B = i + 3 j – 4 k !
3. Diberikan tiga buah vektor : A = 1 i + 2 j – k B = 4 i + 2 j + 3 k C = 2 j – 3 k Tentukan : a. A . (B C) b. A . (B + C) c. A (B + C) 4. Buktikan vektor R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k adalah
tegak lurus !
13/02/2013
9
Keep running
2/13/2013 Fisika II 25
SOLUSI
Menurut persamaan (1.5) A . B = 1.3 + 2.0 + (-1).(-4) = 7. Besar vektor A :
1.
Nilai sudut antara A dan B ditentukan oleh : Dengan demikian = 55,1o
Besar vektor B :
2. A
B AB
Panjang AB menyatakan panjang proyeksi A terhadap B yang besarnya :
Keep running
2/13/2013 Fisika II 26
SOLUSI
B C = (4i + 2j + 3k) (2j – 3k) = 8(i j) – 12(i k) – 6(j k) + 6(k j) = 8k + 12j 12i A . (B C) = (i + 2j – k).(-12i + 12j + 8k) = -12 + 24 – 8 = 4
3. a.
B + C = 4i + 4j. Nilai A . (B + C) = (i + 2j – k).(4i + 4j) = 12 b. A (B + C) = (i + 2j – k) (4i + 4j) = i – 4j – 4k c.
Dua buah vektor tegak lurus jika membentuk sudut 90o. Menurut persamaan (1.4) dan (1.5) diperoleh : R . S = RS cos 90o = RS . 0 = 0 R . S = RxSx + RySy + RzSz
Jika diketahui R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k, maka : R . S = 3.2 + 2.1 + (-4).2 = 0
4.
Keep running
2/13/2013 Fisika II 27
BESARAN FISIS
Setiap keadaan fisis dari materi selalu dinyatakan sebagai fungsi matematis dari besaran lain yang mempengaruhinya. S = f(x1, x2, . . . , xn) (1.8) S menyatakan besaran yang diukur, sedangkan xi menyatakan variabel yang menentukan besaran S. Sebagai contoh gaya interaksi antar dua partikel bermuatan F ditentukan oleh besar muatan pertama q1, besar muatan kedua q2, jarak antar partikel r12, dan medium di mana kedua partikel tersebut berada. Namun untuk menggambarkan sebuah besaran yang merupakan fungsi dari beberapa variabel cukup sulit. Pada pembahasan materi di sini, ditinjau besaran yang hanya bergantung pada satu variabel saja.
13/02/2013
10
Keep running
2/13/2013 Fisika II 28
BESARAN FISIS
Tinjau sebuah fungsi y = f(x) di bawah ini di mana nilai y hanya ditentukan oleh satu variabel, yaitu x.
Dari grafik di samping diketahui y1 = f(x1), y2 = f(x2), y3 = f(x3), dan y4 = y1.
Setiap besaran fisis yang bergantung pada satu variabel dapat digambarkan dalam bentuk grafik seperti di atas.
y
x x1 x2 x3 x4
y1 y2
y3
Keep running
2/13/2013 Fisika II 29
BESARAN FISIS
Di bawah ini contoh besaran fisika, yaitu posisi x sebagai fungsi waktu. Posisi sebuah partikel dalam arah x sebagai fungsi waktu.
t (detik) x (meter)
0 9
1 4
2 1
3 0
4 1
5 4
6 9 7 16
8 25
9 36
x(t) = (t – 3)2
Keep running
2/13/2013 Fisika II 30
BESARAN FISIS
Medan listrik sebagai fungsi jarak. Diketahui besar q = 1 nC.
r (m) E (N/C)
1 9
2 2,25
3 1
4 0,5625
5 0,36
6 0,25
7 0.1837
8 0,1406
9 0,1111
10 0,09
13/02/2013
11
Keep running
2/13/2013 Fisika II 31
CONTOH
1. Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta pegas dan x adalah jarak. Gambarkan grafik F sebagai fungsi jarak x !
x
F
Keep running
2/13/2013 Fisika II 32
Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi : Q(t) = q(1 – e-At) dengan q dan A adalah konstanta. Gambarkan grafik Q terhadap t !
2.
CONTOH
t
Q = q(1 – e-At)
Q
q
Keep running
2/13/2013 Fisika II 33
DIFERENSIAL
Diferensial atau turunan pertama kali dibahas untuk menentukan garis singgung dari suatu kurva. Masalah ini sudah dibahas sejak jaman Archimedes sekitar abad ke 3 SM.
Dalam fisika, turunan pertama kali digunakan untuk menentukan besar kecepatan sesaat pada t tertentu dari persamaan posisi terhadap waktu.
f(x)
x c c+h
f(c+h)
f(c)
Lihat gambar di samping. Gradien dari garis singgung pada titik P dapat ditentukan oleh persamaan :
P
(1.9)
13/02/2013
12
Keep running
2/13/2013 Fisika II 34
DIFERENSIAL
Jika x = c dan x’ = c + h, maka persamaan (1.9) menjadi :
(1.10)
Penulisan turunan dari suatu fungsi y = f(x) terhadap x dinyatakan oleh :
f’(x) Dxy
Berlaku untuk turunan : 1. Dx(cf(x)) = c Dxf(x) c : konstanta (1.11a) 2. Dx(f(x) + g(x)) = Dxf(x) + Dxg(x) (1.11b) 3. Dx(f(x)g(x)) = (Dxf(x))g(x) + f(x)(Dxg(x)) (1.11c) 4. Dx(f(g(x))) = Dg(x)f(g(x)).Dxg(x) (1.11d) 5. Dx(xn) = nXn-1 (1.11e)
Keep running
2/13/2013 Fisika II 35
DIFERENSIAL
Dalam fisika, suatu besaran A yang dinyatakan sebagai perbandingan besaran B terhadap besaran C selalu dinyatakan dalam bentuk :
Hal ini berlaku karena pada umumnya besaran B merupakan fungsi dari besaran C. Sebagai contoh :
Keep running
2/13/2013 Fisika II 36
CONTOH
Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi : Q(t) = q(1 – e-At) dengan q dan A adalah konstanta. Tentukan : a. Fungsi arus sebagai waktu b. Besar arus saat t = 0 c. Gambarkan grafik I(t)
Jawab : Besar arus I : a.
Pada saat t = 0 harga I adalah :
I = qAe-A.0 = qA
b.
qA I(t)
t
c.
13/02/2013
13
Keep running
2/13/2013 Fisika II 37
INTEGRAL
Integral digunakan untuk menentukan luas daerah di antara kurva fungsi f(x) dan sumbu x.
x0
x
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
Sebagai contoh diketahui y = f(x) = (x – 3)2 + 5 dan luas yang ditentukan pada batas dari x = 1 sampai dengan x = 8.
Keep running
2/13/2013 Fisika II 38
Dari gambar diketahui luas yang dicari dapat didekati dengan :
A(n = 7) = f(1)x + f(2)x + f(3)x + f(4)x + f(5)x + f(6)x + f(7)x
INTEGRAL
Nilai x = 1 ditentukan dengan membagi selang 1 < x < 8 dibagi dengan n = 7. Nilai A(n = 7) = 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 14 + 21 = 70 satuan persegi. Jika nilai n diperbesar, maka luas mendekati luas sebenarnya. Nilai A sebenarnya diperoleh pada nilai n endekati tak hingga.
Keep running
2/13/2013 Fisika II 39
INTEGRAL
Dalam fisika, integral digunakan untuk suatu besaran yang merupakan hasil kali dari besaran-besaran lain dengan syarat masing-masing besaran tersebut tidak saling bebas satu sama lain.
Tinjau suatu besaran R = ST. Jika besaran S fungsi dari T, maka besaran R harus dinyatakan dalam bentuk :
Sebagai contoh :
Usaha = Gaya jarak
Fluks = Medan luas
13/02/2013
14
Keep running
2/13/2013 Fisika II 40
CONTOH
Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta pegas dan x adalah jarak. Tentukan : a. Besar usaha yang dilakukan oleh gaya pegas b. Gambarkan grafik usaha sebagai fungsi waktu
Jawab : Usaha yang dilakukan : a.
W
x
b.
Keep running
2/13/2013 Fisika II 41
SOAL
Sebuah partikel bergerak akibat gaya yang dinyatakan oleh persamaan F(x) = Ax Bx2. Jika diketahui nilai A = 103 N/m dan B = 5.103 N/m2. Tentukan : a. Grafik F terhadap x b. Perubahan Gaya F terhadap jarak c. Usaha yang dilakukan gaya dari x = 3 cm sampai x = 9 cm
1.
Di bawah ini grafik dari potensial listrik terhadap jarak. 2.
x (m) 10
8
4
V (volt) Tentukan : a. Fungsi potensial V sebagai fungsi x b. Jika diketahui medan listrik E adalah
turunan pertama dari potensial listrik V, tentukan fungsi E(x)
c. Gambarkan grafik E terhadap x
Keep running
2/13/2013 Fisika II 42
SOAL
Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan v(t) = 10t – 2t2 m/s bergerak dengan posisi awal di x = 1 m. Tentukan :
a. Gambarkan grafik v(t)
b. Kecepatan saat t = 1 detik dan t = 3 detik
c. Fungsi a(t) sebagai turunan pertama dari v(t)
d. Gambarkan grafik a(t)
e. Fungsi posisi x(t) terhadap waktu
f. Posisi saat kecepatan v = 0
3.
13/02/2013
15
Keep running
2/13/2013 Fisika II 43
SOLUSI
x (cm)
F (N) 1. a.
Perubahan gaya terhadap jarak dinyatakan oleh
= A – 2Bx = 103 – 104x
1. b.
Keep running
2/13/2013 Fisika II 44
SOLUSI
Usaha yang dilakukan :
W = 36.10-4A – 234.10-6B = 2,43 Joule
1. c.
2. a. Dari grafik diketahui V(x) adalah fungsi linier yang menghubungkan titik (0,4) dan titik (10,8). Dengan menggunakan persamaan garis V = ax + b.
Untuk titik (0,4) 0.a + b = 4
Untuk titik (10,8) 10.a + b = 8 10
8
4
V (volt)
x (m)
Dengan metoda eliminasi diperoleh b = 4 dan a = 2,5. Dengan demikian fungsi V(x) = 2,5x + 4
Keep running
2/13/2013 Fisika II 45
SOLUSI
Medan listrik E(x) =
Dengan demikian nilai E(x) konstan.
x (m)
E (V/m)
2,5
2. b.
2. c.
x (m)
v (m/s)
3. a.
= 2,5
13/02/2013
16
Keep running
2/13/2013 Fisika II 46
SOLUSI
Kecepatan saat t = 1 detik adalah v(1) = 10.1 – 2.12 = 6 m/s. Sedangkan kecepatan saat t = 3 detik adalah v(1) = 10.3 – 2.32 = 12 m/s.
3. b.
Percepatan a(t) = = 10 – 4t 3. c.
x (m)
a (m/s2) 3. d.
Keep running
2/13/2013 Fisika II 47
SOLUSI
Fungsi posisi x(t) = 3. e.
Saat v = 10t – 2t2 = 0 terjadi saat t = 0 dan t = 5 detik. Pada saat t = 0 posisi x(0) = 0. Sedangkan pada saat t = 5 detik posisi x di :
Dengan demikian kecepatan v = 0 di posisi x = 0 dan x = 41,67 m
3. f.
x(5) =