Bab 0Pendahuluan

MA1101 Matematika 1A

Semester I Tahun 2018/2019

FMIPA (K-03)

Dosen: Dr. Rinovia Simanjuntak

0.1 Bilangan Real

Bilangan Real

Desimal Berulang dan Tak Berulang

Setiap bilangan rasional dapat dituliskan dalam desimal.

Bilangan tak rasional juga dapat diekspresikan dalam desimal.

Setiap bilangan rasional dapat dituliskan dalam desimal berulang.

Jika x adalah bilangan rasional maka x adalah bilangan desimal berulang.

Jika x adalah bilangan desimal berulang maka x adalah bilangan rasional.

Contoh.

Tunjukkan bahwa x = 0.136136136… merepresentasikan suatu bilangan rasional.

Bagaimana dengan x = 0.199999…

Kepadatan

Bilangan rasional dan tak rasional bersifat padat sepanjang garis bilanganreal.

Bilangan rasional sebarang dapat diaproksimasi sedekat yang kita inginkanoleh suatu bilangan rasional.

Contoh.Carilah bilangan rasional di antara 3,14159 dan π. Ingat bahwa π=3,141592…

Logika

• Hasil penting dalam matematika disebut teorema.

• Banyak teorema yang dinyatakan dalam bentuk “Jika P maka Q” (P→Q).

• P dinamakan hipotesis dan Q konklusi dari teorema.

• Konvers dari P→Q adalah Q→P.

• Negasi dari pernyataan P adalah ~P.

• Kontrapositif dari P→Q adalah ~Q→~P.

Contoh.

Tuliskan konvers dan kontrapositif dari pernyataan berikut:

1. Jika hari ini hujan, maka saya akan tinggal di rumah.

2. Jika 𝑥 < 𝑦 maka 𝑥2 < 𝑦2.

INGAT bahwa: P→Q tidak sama dengan PQYang manakah yang benar?

Jika 𝑥 = 1 maka 𝑥2 = 1

atau

Jika 𝑥2 = 1 maka 𝑥 = 1

Urutan

Himpunan bilangan real tak nol terbagi menjadi dua himpunan yang saling lepas: himpunan bilangan real positif dan himpunan bilanganreal negatif.

Fakta ini mendefinisikan urutan “<“.

𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑦 − 𝑥 positif

𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑦 − 𝑥 positif atau nol

Kuantifikasi

Banyak pernyataan matematika yang melibatkan variabel x dan kebenaran dari pernyataan tersebut ditentukan oleh nilai x.

Misalkan 𝑃(𝑥) menyatakan suatu pernyataan yang nilai kebenarannyaditentukan oleh x.

“𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑥, 𝑃(𝑥)” atau “𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑡𝑖𝑎𝑝 𝑥, 𝑃(𝑥)” bermaknabahwa pernyataan 𝑃(𝑥) benar untuk setiap nilai x.

Pada saat ada paling tidak satu nilai x sehingga 𝑃(𝑥) benar, “𝐴𝑑𝑎 𝑥 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑃(𝑥)".

Contoh

Manakah di antara pernyataan berikut yang benar?

1. 𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑡𝑖𝑎𝑝 𝑥, 𝑥2 > 0.

2. 𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑥, 𝑥 < 0 → 𝑥2 > 0.

3. 𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑡𝑖𝑎𝑝 𝑥, 𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑢𝑎𝑡𝑢 𝑦 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑦 > 𝑥.

4. 𝑇𝑒𝑟𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝑠𝑢𝑎𝑡𝑢 𝑦 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑡𝑖𝑎𝑝 𝑥, 𝑦 > 𝑥.

0.2 Pertaksamaan dan Nilai Mutlak

Persamaan dan Pertaksamaan

Menyelesaikan persamaan adalah satu masalah tradisional dalammatematika.

Dalam Kalkulus, menyelesaikan pertaksamaan juga merupakan masalahyang penting. Menyelesaikan suatu pertaksamaan adalah mencarihimpunan semua bilangan real yang mengakibatkan pertaksamaanbernilai benar.

Solusi dari suatu persamaan biasanya memuat satu atau beberapabilangan, tapi himpunan solusi dari suatu pertaksamaan biasanyamerupakan selang atau gabungan dari selang.

Selang

Menyelesaikan Pertaksamaan

Dalam menyelesaikan pertaksamaan, perlu dilakukan transformasipertaksamaan tersebut sampai diperoleh bentuk yang sudah jelas solusinya.

Operasi berikut dapat dilakukan pada kedua sisi pertaksamaan tanpamengubah himpunan solusinya.

1. Menjumlahkan bilangan yang sama pada kedua sisi pertaksamaan.

2. Mengalikan kedua sisi pertaksamaan dengan bilangan positif yang sama.

3. Mengalikan kedua sisi pertaksamaan dengan bilangan negatif yang samaberakibat pada perubahan arah ketaksamaan.

Contoh

1. Selesaikan −5 ≤ 2𝑥 + 6 < 4.

2. Selesaikan 3𝑥2 − 𝑥 − 2 > 0.

3. Selesaikan𝑥−1

𝑥+2≥ 0

4. Selesaikan 2.9 <1

𝑥< 3.1

5. Selesaikan3

𝑥+5< 2

Harga Mutlak

Harga mutlak dari bilangan real x, dinotasikan sebagai |x|, didefinisikansebagai

Harga mutlak dapat dipandang sebagai jarak.

|x| adalah jarak antara x dengan titik asal.

|x-a| adalah jarak antara x dan a.

Sifat Harga Mutlak

Pertaksamaan yang Melibatkan Harga Mutlak

Contoh.1. Selesaikan 𝑥 − 4 < 2.2. Selesaikan 3𝑥 − 5 ≥ 1.

Kuadrat dan Akar

Jelas bahwa

Apakah operasi kuadrat mengawetkan urutan?

Contoh.Selesaikan 3𝑥 + 1 < 2 𝑥 − 6 .

Estimasi dan Pembatasan Kesalahan (Error)

Berapakah luas persegi yang sisinya 𝑥?

Dalam dunia nyata, persegi yang bentuk dan ukurannya sempurna amatjarang ditemukan.

Jika kita ingin luas persegi dekat ke 4, maka sisi persegi haru dibuat dekat ke2.

Seberapa dekat kita menginginkan luas persegi ke 4? Bagaimanamendeskripsikannya?

𝑥2 − 4 < 휀

Jika kita ingin luas persegi berada di antara 3.9 dan 4.1, seberapa dekatkahsisi persegi tersebut ke 2?

𝑥 − 2 < ?→ 𝑥2 − 4 < 0.1

Contoh

Carilah sehingga

1. 𝑥 − 2 < 𝛿 → 2𝑥 − 4 < 0.1

2. 𝑥 − 2 < 𝛿 → 𝑥 + 4 < 0.1

3. 𝑥 − 2 < 𝛿 → 𝑥2 − 4 < 0.1

0.3 Sistem Koordinat

Koordinat Kartesius

• sumbu koordinat: sumbu-y dan sumbu-x

• titik asal

• kuadran

koordinat (a,b): koordinat-x dan koordinat-y

Rumus Jarak

Dengan menggunakan Teorema Phytagoras

dapat diperoleh Rumus Jarak antara dua titik P dan Q.

Contoh.

Tenukan jarak antara 𝑃 2, 3 dan 𝑄 𝜋, 𝜋 .

Persamaan Lingkaran

Lingkaran adalah himpunan titik yang berjarak tertentu (jari-jari) dari suatu titiktetap (pusat).

Lingkaran dengan jari-jari r dan pusat (h,k) memiliki persamaan:

Formula ini disebut persamaan standar dari lingkaran.

Contoh.

Tunjukkan bahwa persamaan 𝑥2 − 2𝑥 + 𝑦2 + 6𝑦 = −6 merepresentasikan suatulingkaran, dan tentukan pusat serta jari-jarinya.

Formula Titik Tengah

Contoh.

Carilah persamaan lingkaran yang memiliki ruas garis dari (1,3) ke(7,11) sebagai diameter.

Garis

Untuk suatu garis yang melalui𝐴 𝑥1, 𝑦1 dan 𝐵 𝑥2, 𝑦2 , dengan 𝑥1≠ 𝑥2, didefinisikan gradienm

Apakah gradien bergantung pada pemilihan A dan B?

Gradien Garis

Gradien mengukur kemiringan suatu garis.

Persamaan Garis

Garis yang melalui titik 𝑥1, 𝑦1 dengangradien m

Garis yang memotong sumbu-y di 0, 𝑏dengan gradien m

Persamaan Garis Vertikal

Bentuk 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

disebut persamaan umum dari garis yang meliputi formula untuksemua garis, termasuk garis vertikal.

Garis Paralel

Dua garis yang tidak memiliki titik yang samadisebut saling paralel.

Contoh.

Tentukan persamaan garis yang melalui (6,8) dan parallel garis 3𝑥 − 5𝑦 = 11.

Garis Tegak Lurus

Dua garis yang bukan merupakan garisvertikal saling tegak lurus jika dan hanya jikahasil kali gradien masing-masing garisadalah -1.

Contoh.

Carilah persamaan garis yang melalui titikpotong 3𝑥 + 4𝑦 = 8 dan 6𝑥 + 10𝑦 = 7; yang tegak lurus terhadap garis pertama.

0.4 Grafik Persamaan

Prosedur Menggambar Grafik Persamaan

Langkah 1. Tentukan koordinat beberapa titik yang memenuhipersamaan.

Langkah 2. Gambarkan titik-titik tersebut pada bidang.

Langkah 3. Hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva yang mulus.

Contoh.

Gambarkan grafik persamaan 𝑦 = 𝑥2 − 3.

Kesimetrian Grafik

Suatu grafik dikatakan simetri terhadap sumbu-y, jika setiapkali (x,y) ada pada grafik, (-x,y) juga ada di grafik.

Suatu grafik dikatakan simetri terhadap sumbu-x, jikasetiap kali (x,y) ada pada grafik, (x,-y) juga ada di grafik.

Suatu grafik dikatakan simetri terhadap titik asal, jikasetiap kali (x,y) ada pada grafik, (-x,-y) juga ada di grafik.

Uji Kesimetrian

Contoh.

Periksalah kesimetrian dari grafik berikut.

1. 𝑥2 − 𝑦2 = 4

2. 𝑦 =1

𝑥2+1

3. 𝑥 + 𝑦 = 1

Titik Potong

Titik potong adalah titik di mana grafik suatu persamaan memotongsumbu koordinat.

Contoh.

Tentukan semua titik potong dari grafik of 𝑦2 − 𝑥 + 𝑦 − 6 = 0.

Perpotongan Grafik

Tentukan titik potong antara garis 𝑦 = −2𝑥 + 2 dengan parabola 𝑦 =2𝑥2 − 4𝑥 − 2.

0.5 Fungsi dan Grafik

Fungsi

Fungsi f adalah aturan yang mengaitkan setiap obyek x dalam suatuhimpunan yang disebut domain, ke tepat satu nilai f(x) dalamhimpunan kedua. Himpunan semua nilai yang diperoleh dari fungsidisebut range dari fungsi.

Notasi Fungsi

Alfabet, seperti f, g, atau F, digunakan untuk menamai fungsi.

f(x), dibaca f dari x atau f pada x, adalah nilai yang dikaitkan ke x oleh f .

Contoh.

Untuk 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥, tentukan

a. 𝑓 4

b. 𝑓 4 + ℎ

c. 𝑓 4 + ℎ − 𝑓 4

d.𝑓 4+ℎ −𝑓 4

ℎ

Domain dan Range

Untuk menyatakn fungsi secara lengkap, kita perlu menyatakan domain dari fungsi tersebut.

Aturan pengaitan beserta dengan domain akan menentukan range dari fungsi tersebut.

Contoh.

𝐹 𝑥 = 𝑥2 + 1 dengan domain −1,0,1,2,3 .

Ketika domain suatu fungsi tidak diberikan, diasumsikan bahwa domain adalah himpunan bilangreal terbesar yang mengakibatkan fungsi terdefinisi dengan baik. Ini disebut domain alami.

Contoh.

Tentukan domain alami dari

1. 𝑓 𝑥 =1

𝑥−3

2. 𝑔 𝑡 = 9 − 𝑡2

Grafik Fungsi

Grafik dari fungsi f adalah grafik dari persamaan 𝑦 = 𝑓 𝑥 .

Contoh.

Sketsa grafik dari

1. 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2

2. 𝑔 𝑥 =2

𝑥−1

Fungsi Genap dan Ganjil

Jika 𝑓 −𝑥 = 𝑓(𝑥) untuk setiap x, maka grafik fungsi akan simetri terhadapsumbu-y. Fungsi yang demikian dinamakan fungsi genap.

Jika 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥) untuk semua x, maka grafik fungsi akan simetriterhadap titik asal. Fungsi yang demikian dinamakan fungsi ganjil.

Contoh.

Apakah fungsi berikut genap, ganjil, atau tidak keduanya?

1. 𝑓 𝑥 =𝑥3+3𝑥

𝑥4−3𝑥2+4

2. 𝑔 𝑥 =2

𝑥−1

Dua Fungsi Khusus

Fungsi harga mutlak

Fungsi bilangan bulat terbesar

0.6 Operasi pada Fungsi

Jumlah, Selisih, Hasil Kali, Hasil Bagi, dan PangkatMisalkan f dan g adalah fungsi dengan

Contoh

Let 𝐹 𝑥 =4𝑥 + 1 and 𝐺 𝑥 = 9 − 𝑥2.

Tentukan formula untuk 𝐹 + 𝐺, 𝐹 − 𝐺, 𝐹 ∙ 𝐺,𝐹

𝐺, dan 𝐹5 serta berikan

domain alaminya.

Komposisi Fungsi

Jika f bekerja pada x untuk menghasilkanf(x) dan g bekerja pada f(x) untukmenghasilkan g(f(x)), dikatakan bahwa gdikomposisi dengan f. Fungsi yang dihasilkan, dinamakankomposisi g dengan f, dinotasikan oleh 𝑔°𝑓.

Contoh.

Misalkan 𝑓 𝑥 =𝑥−3

2dan 𝑔 𝑥 = 𝑥.

Tentukan 𝑔°𝑓 dan 𝑓°𝑔.

Domain dari Fungsi Komposisi

Jelas, 𝑔°𝑓 ≠ 𝑓°𝑔 (komposisi dari dua fungsi tidak komutatif).

Domain dari 𝑔°𝑓 adalah himpunan semua x yang memenuhi:1. x ada di domain f.2. f(x) ada di domain g.

Example.

Misalkan 𝑓 𝑥 =6𝑥

𝑥2−9dan 𝑔 𝑥 = 3𝑥.

Tentukan 𝑓°𝑔 𝑥 dan domainnya.

Translasi

Apakah hubungan dari grafik fungsi berikut?

Translations (2)

Contoh.

Sketsalah grafik 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 2 − 4 dengan menggunakan translasi.

Katalog Fungsi

• fungsi konstan

• fungsi identitas

• fungsi polinom

• fungsi linear

• fungsi kuadrat

• fungsi rasional

0.7 Fungsi Trigonometri

Sinus dan Cosinus

Sifat Fungsi 𝑆𝑖𝑛 dan 𝐶𝑜𝑠

Domain adalah −∞,∞ .

Range adalah [−1,1].

Sifat Fungsi 𝑆𝑖𝑛 dan 𝐶𝑜𝑠 (2)

Grafik Fungsi 𝑆𝑖𝑛 dan 𝐶𝑜𝑠

Contoh.

Sketsalah grafik dari fungsi

1. 𝑦 = cos 2𝑡

2. 𝑦 = sin 2𝜋𝑡

Perioda Fungsi Trigonometri

Fungsi 𝑓 dikatakan periodik terdapat bilangan positif 𝑝 sehingga 𝑓 𝑥 + 𝑝 = 𝑓 𝑥 untuksetiap 𝑥 di domain 𝑓.

Bilangan positif terkecil 𝑝 yang demikian disebut perioda 𝑓.

Fungsi sin periodik karena sin 𝑥 + 2𝜋 = sin 𝑥.

Atau karena .

Contoh.

Berapakah perioda fungsi berikut.

1. cos(2𝑡)

2. sin(𝑎𝑡)

3. sin(2𝜋𝑡)

Amplitudo Fungsi Trigonometri

Jika suatu fungsi periodik f memiliki maksimum dan minimum, amplitudo A didefinisikan sebagai setengah jarak vertikal antara titiktertinggi dan titik terendah pada grafik fungsi tersebut.

Contoh.

Tentukan amplitudo dari fungsi periodik berikut.

1. sin2𝜋𝑡

12

2. 3 cos(2𝑡)

Fungsi Trigonometri yang Lain

Contoh.

Tunjukkan bahwa tan adalah fungsi ganjil.

Identitas Trigonometri

Identitas Trigonometri (2)