Post on 05-Mar-2018
i
ANALISIS POLA DATA SEBAGAI ALTERNATIF
DALAM PENENTUAN ORDE INTERVENSI MULTI INPUT
oleh
DEWI ANUGERAHENI SAHARI
M0106035
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2010
ii
TUGAS AKHIR
ANALISIS POLA DATA SEBAGAI ALTERNATIF
DALAM PENENTUAN ORDE INTERVENSI MULTI INPUT
yang disusun oleh
DEWI ANUGERAHENI SAHARI
NIM. M0106035
dibimbing oleh
Pembimbing I
Pembimbing II
Winita Sulandari, M. Si
NIP. 19780814 200501 2 002
Drs. Siswanto, M. Si
NIP. 19670813 199203 1 002
telah dipertahankan di depan Dewan Penguji
pada hari Senin, 8 Maret 2010
dan dinyatakan telah memenuhi syarat
Anggota Tim Penguji Tanda Tangan
1. Dra. Sri Sulistijowati H, M. Si
NIP. 19690116 199402 2 001
1. .....................
2. Drs. Sugiyanto, M. Si
NIP. 19611224 199203 1 003
2. .....................
3. Drs. Muslich, M. Si
NIP. 19521118 197903 1 001
3. .....................
Disahkan oleh
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Dekan Ketua Jurusan Matematika
Prof. Drs. Sutarno, M.Sc, Ph. D
NIP. 19600809 198612 1 001
Drs. Sutrima, M. Si
NIP. 19661007 199302 1 001
iv
PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk Ibu, Bapak dan keluargaku tercinta, terimakasih atas kasih sayang, doa, nasehat dan pengorbanan yang
kalian berikan, serta untuk teman-temanku, terimakasih atas semuanya
v
ABSTRAK
Dewi Anugeraheni Sahari, 2010. ANALISIS POLA DATA SEBAGAI
ALTERNATIF DALAM PENENTUAN ORDE INTERVENSI MULTI INPUT.
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.
Model intervensi adalah suatu model runtun waktu yang digunakan untuk
menyelidiki dampak pada data yang berasal dari faktor-faktor eksternal, sehingga
dapat digunakan untuk mengestimasi variabel-variabel yang diamati. Dalam
menyusun model intervensi, ketepatan mengidentifikasi orde intervensi sangat
diperlukan. Proses identifikasi dapat dibantu dengan melakukan pengamatan
langsung pada data asli yang menunjukkan pola efek yang disebabkan oleh
kejadian yang diketahui dan sebagai tambahannya adalah melakukan
pemeriksaan terhadap residu model sebelum intervensi. Terdapat beberapa
penelitian yang mengkaji lebih lanjut tentang penentuan orde intervensi melalui
residu model. Pada penelitian ini akan dilakukan analisis terhadap pola data untuk
menentukan orde intervensi yang diharapkan lebih mudah dan efisien. Untuk
menentukan orde intervensi melalui pola data, harus diketahui karakteristik orde
terhadap pola data. Karakteristik tersebut diperoleh dari beberapa pola respon
hasil simulasi beberapa orde intervensi. Selanjutnya, orde intervensi dapat
ditentukan dengan menyesuaikan pola data dengan karakteristik yang diperoleh.
Hasil dari penelitian ini diterapkan pada data IHK Surakarta periode
Januari 2000 November 2009 dan IHK Nasional periode Januari 1995 Juli
1998. Dalam penerapan ini, orde intervensi diidentifikasi dengan dua metode,
yaitu menggunakan pola residu dan pola data. Hasilnya menunjukkan bahwa
identifikasi orde intervensi menggunakan pola data lebih mudah dan efisien.
Keyword: Runtun waktu, intervensi, model intervensi multi input, orde
intervensi, pola data, pola residu, pola respon.
vi
ABSTRACT
Dewi Anugeraheni Sahari, 2010. DATA PATTERN ANALYSIS AS AN
ALTERNATIVE TO DETERMINE THE INTERVENTION ORDER IN
MULTIPLE INTERVENTION INPUTS MODEL. Mathematic and Natural
Sciences Faculty, Sebelas Maret University.
Intervention model is a model in time series which is used to explore the
impact on the series from external factors which gives an estimate to the observed
variables. In developing intervention models, the accuracy of identifying the order
of the interventions is needed. The identification may be aided by direct
inspection of the data to suggest the form of effect due to the known event, and
supplementary evidence may sometimes be available from examination of the
reseals from a model fitted before the intervention term is introduced. There was
some research that studied more about the determination of the intervention order
through the residual model. This research will analyze the data pattern to
determine the orders of the intervention. To determine intervention orders through
data pattern, it must be known about the characteristics of intervention order. To
get the characteristics, some of response pattern with some intervention orders
will be simulated. Furthermore, the intervention orders can be determined by
adjusting the data pattern with the characteristics pattern to be obtained.
The result of this study is applied to CPI (Consumer Price Index) data of
Surakarta in January 2000 November 2009 and the national CPI in January
1995 July 1998. In this application, the intervention orders are identified by two
methods, through the residual pattern and data pattern. The results showed that the
identification of the order of interventions through data pattern is easier and more
efficient.
Keyword: Time series, intervention, multiple intervention inputs model,
intervention order, data pattern, residual pattern, response pattern.
.
vii
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Allah SWT yang senantiasa memberikan rahmat dan
hidayahNya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Selain itu, penulis
juga mengucapkan terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam
penyusunan skripsi ini, khususnya kepada
1. Drs. Sutrima, M. Si, selaku ketua Jurusan Matematika.
2. Winita Sulandari, M. Si dan Drs. Siswanto, M. Si selaku pembimbing, atas
kesediaan dan kesabaran yang diberikan dalam membimbing penulis
3. Seluruh dosen Jurusan Matematika yang telah memberikan berbagai ilmu
pengetahuan khususnya dalam bidang matematika teori dan penerapan bagi
penulis yang sangat bermanfaat dalam penulisan skripsi ini.
4. Orang tua, atas doa dan motivasi yang diberikan selama proses penyusunan
skripsi ini
5. Teman-teman angkatan 2006, atas kerjasama dan motivasi yang diberikan
saat penulis menghadapi kendala dalam penyusunan skripsi ini
6. Semua pihak yang membantu dalam penulisan skripsi ini yang tidak dapat
penulis sebutkan satu per satu
Semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi pembaca.
Surakarta, Februari 2010
Penulis
viii
DAFTAR ISI
JUDUL ....................................................................................................... i
PENGESAHAN .......................................................................................... ii
MOTO ........................................................................................................ iii
PERSEMBAHAN ....................................................................................... iv
ABSTRAK ................................................................................................. v
ABSTRACT ............................................................................................... vi
KATA PENGANTAR ................................................................................ vii
DAFTAR ISI .............................................................................................. viii
DAFTAR NOTASI .................................................................................... x
DAFTAR TABEL ...................................................................................... xi
DAFTAR GAMBAR .................................................................................. xii
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah ........................................................................ 1
1.2 Perumusan Masalah .............................................................................. 2
1.3 Batasan Masalah ................................................................................... 3
1.4 Tujuan Penulisan ................................................................................... 3
1.5 Manfaat Penelitian ................................................................................ 3
BAB II LANDASAN TEORI
2.1 Tinjauan Pustaka ................................................................................... 4
2.1.1 Runtun Waktu dan Proses Stokastik ....................................... 4
2.1.2 Stasioneritas ........................................................................... 4
2.1.3 Fungsi Autokovariansi dan Autokorelasi ................................ 5
2.1.4 Fungsi Autokorelasi Parsial .................................................... 5
2.1.5 Metode ARIMA Box Jenkins ................................................. 6
2.1.5.1 Identifikasi Model ....................................................... 7
2.1.5.2 Estimasi Parameter ...................................................... 7
2.1.5.3 Verifikasi Model ......................................................... 9
2.1.5.4 Peramalan ................................................................... 10
ix
2.1.6 Indeks Harga Konsumen (IHK) .............................................. 10
2.2 Kerangka Pemikiran .............................................................................. 12
BAB III METODOLOGI ......................................................................... 14
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN.................................................... 15
4.1 Model Intervensi Multi Input ............................................................... 15
6.1.1 Nilai Respon pada Model Intervensi ......................................... 16
6.1.2 Variabel Intervensi .................................................................. 16
6.1.2.1 Fungsi Pulse ............................................................... 16
6.1.2.2 Fungsi Step ................................................................. 18
6.1.2.3 Fungsi Ramp ............................................................... 20
6.1.3 Keterkaitan Antar-Variabel Intervensi ...................................... 21
6.1.4 Identifikasi Orde Intervensi Melalui Residu .............................. 22
6.1.5 Model Noise ............................................................................. 22
6.1.6 Estimasi Parameter Model Intervensi ........................................ 23
6.1.7 Uji Signifikansi Parameter ........................................................ 24
6.1.8 Uji Diagnostik .......................................................................... 24
4.2 Prosedur Pemodelan Intervensi Multi Input ........................................... 25
4.3 Analisis Pola Data untuk Menentukan Orde Intervensi Multi Input ....... 25
4.4 Contoh Kasus ........................................................................................ 33
4.4.1 Model Intervensi pada Data IHK Kota Surakarta ........................ 33
4.4.2 Model Intervensi pada Data IHK Nasional .................................. 42
BAB V PENUTUP .................................................................................... 46
5.1 Kesimpulan ........................................................................................... 46
5.2 Saran ..................................................................................................... 46
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................ 48
LAMPIRAN
x
DAFTAR NOTASI
: determinan
: sigma
: proses stokastik pada waktu ke t
: indeks berupa waktu
: ruang sampel
: mean proses
: fungsi autokorelasi
: fungsi autokorelasi parsial pada lag k
: autokovariansi pada lag k
: operator Backsift
( ) : ekspektasi dari variabel random
: parameter Moving Average (MA)
: parameter Autoregressive
: residu model ARIMA pada waktu ke t
: standar deviasi deret
: variansi deret
: tingkat signifikansi pada waktu ke t
: variabel intervensi pada waktu ke t
: eror model intervensi pada waktu ke t
: parameter model intervensi ke-j yang ditentukan orde
: parameter model intervensi ke-j yang ditentukan orde r
xi
DAFTAR TABEL
4.1. Karakteristik gerak respon dengan beberapa nilai orde intervensi
dengan penundaan efek b satuan waktu ....................................................... 30
4.2. Pengaruh setiap parameter dalam variabel input terhadap pola respon ......... 32
4.4. Model data IHK kota Surakarta untuk setiap intervensi ............................... 36
4.6. Model intervensi dengan orde yang diperoleh melalui pola data asli dan
melalui pola residu ...................................................................................... 44
xii
DAFTAR GAMBAR
4.1. Pola respon yang dihasilkan fungsi pulse (b, 0, 0)...................................... 17
........................................................................................................................
4.2. Pola respon yang dihasilkan fungsi pulse (b, 1, 0)...................................... 18
4.3. Pola respon yang dihasilkan fungsi step (b, 0, 0) ....................................... 19
4.4. Pola respon yang dihasilkan fungsi step (b, 1, 0) ....................................... 19
4.5. Pola respon yang dihasilkan fungsi ramp (b, 1, 0)...................................... 20
4.6. Plot yang menyatakan hubungan antara fungsi pulse, step, dan ramp ......... 21
4.7. Plot respon dari setiap variabel input dengan orde yang berbeda ................ 26
4.8. Plot fungsi step, pulse dan ramp dengan berbagai nilai ......................... 29
4.9. Plot data IHK kota Surakarta periode Januari 2000 November 2009
berdasarkan tahun dasar 2007 = 100 ......................................................... 33
4.10. Intervensi 1 pada data IHK kota Surakarta ................................................. 34
4.11. Intervensi 2 pada data IHK kota Surakarta ................................................. 35
4.12. Intervensi 3, 4 dan 5 pada data IHK kota Surakarta ................................... 35
4.13. Intervensi 6 pada data IHK kota Surakarta ................................................ 36
4.16. Plot residu data peramalan pada intervensi 1 sampai data sebelum
intervensi 2 .............................................................................................. 37
4.17. Plot residu data peramalan pada intervensi 2 sampai data sebelum
intervensi 3 .............................................................................................. 38
4.18. Plot residu data peramalan pada intervensi 3 sampai data sebelum
intervensi 4 .............................................................................................. 38
4.19. Plot residu data peramalan pada intervensi 4 sampai data sebelum
intervensi 5 .............................................................................................. 39
4.20. Plot residu data peramalan pada intervensi 5 sampai data sebelum
intervensi 6 .............................................................................................. 40
4.21 Plot residu data peramalan pada intervensi 6 sampai data observasi
terakhir ..................................................................................................... 40
4.24. Plot data IHK nasional (Januari 1995 Juli 1998) .................................... 42
xiii
4.25. Plot data IHK nasional pada saat intervensi ............................................... 43
4.28. Plot residu hasil peramalan data IHK nasional ........................................... 44
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Model intervensi merupakan suatu model time series yang dapat digunakan
untuk memodelkan dan meramalkan data yang mengandung goncangan atau
intervensi baik dari faktor eksternal maupun internal. Analisis intervensi
merupakan pengembangan dari konsep MARIMA (Multivariat Autoregresif
Integrated Moving Average). Model intervensi diterapkan di berbagai bidang.
Salah satunya di bidang ekonomi yang dijelaskan pada artikel berjudul
“Intervention Analysis with Applications of Economic and Environmental
Problems” yang ditulis oleh Box Tiao (1975). Box Tiao mengusulkan suatu
pendekatan untuk mengenali adanya intervensi variabel bebas pada variabel tak
bebas (Makridakis et. al, 1995). Aplikasi lain analisis intervensi yang menarik
ditemukan di bidang hukum, seperti pada jurnal statistik yang berjudul “
Intervention Time Series Analysis of Crime Rates” oleh Sridharan et. al (2003).
Pada jurnal tersebut, mereka menganalisis dampak penghapusan jaminan dan
pembuatan hukuman untuk semua kejahatan sejak 1 Januari 1995 terhadap tingkat
kejahatan di Virginia.
Penerapan analisis intervensi di bidang pariwisata dapat dijumpai pada jurnal
yang berjudul “Forecasting Japanese Tourism Demand in Taiwan using An
Intervention Aanalysis” (Min, 2003). Dalam jurnal tersebut dilakukan peramalan
banyaknya wisatawan dari Jepang yang datang ke Taiwan setelah adanya
peristiwa gempa bumi pada tahun 1999 dan adanya Severe Acute Respiratory
Syndrome pada tahun 2003. Suatu hal yang menarik dalam tulisan ini adalah
adanya variabel intervensi lebih dari satu (multi input). Analisis intervensi yang
melibatkan lebih dari satu variabel input juga dijumpai pada tulisan Nuvitasari et.
al. pada tahun 2008 yang berjudul “Analisis Intervensi Multi Input Fungsi step
dan pulse untuk Peramalan Kunjungan Wisatawan ke Indonesia”. Dalam tulisan
tersebut dikatakan bahwa sampai saat ini, penelitian tentang analisis intervensi
terbatas hanya memasukkan satu jenis goncangan (single input) yaitu fungsi step
2
atau pulse saja. Namun, dari semua contoh aplikasi yang ada, fungsi intervensi
yang dilibatkan dalam analisis hanya terbatas pada fungsi step dan pulse,
sedangkan dalam jurnal yang berjudul “Power Computations for Intervention
Analysis “ dan pada SAS Help and Documentation disebutkan bahwa terdapat tiga
jenis intervensi yang digunakan, yaitu pulse, step, dan ramp.
Ada beberapa cara dalam menentukan orde intervensi. Menurut Box dan
Reinsell (2008), dengan melihat struktur atau pola data asli dan melakukan
pemeriksaan terhadap residu model sebelum intervensi dapat membantu dalam
mengidentifikasi orde intervensi. Pada tulisan Ismail et. al (2009) dan Nuvitasari
et. al (2008) dibahas lebih lanjut tentang penentuan orde intervensi melalui residu
model sebelum intervensi. Akan tetapi, ada kelemahan pada cara tersebut, yaitu
jika terdapat lebih dari satu intervensi dengan waktu yang berdekatan, maka sulit
untuk menentukan salah satu orde intervensi. Cara tersebut kurang efisien jika
diterapkan pada model intervensi multi input, karena banyak tahap yang harus
dilakukan.
Sepengetahuan penulis, belum ada penelitian yang mengkaji lebih lanjut
tentang penentuan orde intervensi melalui pola data asli. Oleh karena itu, dalam
skripsi ini akan dilakukan analisis terhadap pola data asli untuk menentukan orde
intervensi. Metode penentuan orde intervensi dari pola data asli ini diharapkan
lebih efisien daripada penentuan orde intervensi menggunakan residu model
sebelum intervensi.
Hasil yang diperoleh pada penelitian ini akan diterapkan pada data IHK
Surakarta periode Januari 2000 November 2009 dan IHK Nasional periode
Januari 1995 Juli 1998. Dalam penerapan tersebut, penentuan orde intervensi
dilakukan dengan dua metode, yaitu dengan melakukan pemeriksaan terhadap
residu model sebelum intervensi dan menggunakan pola data asli sesuai dengan
hasil penelitian.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah, dapat dirumuskan permasalahan
sebagai berikut.
3
1. Bagaimana prosedur pemodelan data runtun waktu yang dipengaruhi oleh lebih
dari satu kejadian intervensi menggunakan model intervensi multi input.
2. Bagaimana cara mengidentifikasi orde intervensi melalui pola data asli.
3. Bagaimana pemodelan intervensi multi input pada data IHK kota Surakarta dan
IHK Nasional dengan identifikasi orde intervensi melalui residu dan pola data.
1.3 Batasan Masalah
Setiap orde intervensi dalam simulasi dibatasi maksimal 2 karena dalam
penerapan nyata, setiap variabel intervensi yang sering dijumpai adalah variabel
intervensi yang memiliki orde tidak lebih dari 2 dan waktu kejadian intervensi
ditentukan dari pola data.
1.4 Tujuan Penulisan
Berdasarkan perumusan masalah, maka tujuan dari penulisan skripsi ini
adalah sebagai berikut.
1. Menentukan prosedur pemodelan data runtun waktu yang dipengaruhi oleh
lebih dari satu kejadian intervensi dengan menggunakan model intervensi
multi input.
2. Mampu mengidentifikasi orde intervensi melalui plot data asli.
3. Memodelkan data IHK kota Surakarta dan IHK Nasional menggunakan
model intervensi multi input.
1.5 Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan metode alternatif yang lebih
mudah dan efisien dalam identifikasi orde intervensi multi input.
4
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Tinjauan Pustaka
Pada penelitian ini diperlukan teori-teori yang relevan sebagai dasar dalam
pembahasan. Berikut ini diberikan beberapa teori, yaitu proses stokastik, fungsi
autokovariansi, fungsi autokorelasi, fungsi autokorelasi parsial, proses white
noise, metode Box Jenkins, dan Indeks Harga Konsumen (IHK) terutama dalam
penyamaan tahun dasar.
2.1.1 Runtun Waktu dan Proses Stokastik
Suatu runtun waktu adalah himpunan observasi berurut dalam waktu. Jika
dari pengalaman yang lalu, keadaan yang akan datang dari suatu runtun waktu
dapat diramalkan secara pasti, maka runtun waktu tersebut disebut deterministik.
Jika pengalaman yang lalu hanya dapat menunjukkan struktur probabilistik
keadaan yang akan datang dari suatu runtun waktu, maka runtun waktu semacam
ini dinamakan stokastik (statistik) (Soejoeti,1987). Suatu proses stokastik adalah
suatu keluarga variabel random yang diberi indeks berupa waktu atau dinyatakan
sebagai , dengan berada dalam ruang sampel dan t berada dalam suatu
himpunan indeks (Wei,1994). Suatu runtun waktu stokastik dapat dipandang
sebagai realisasi (fungsi sampel) dari proses stokastik (Soejoeti,1987). Suatu
proses stokastik biasa dinyatakan dengan atau dan barisan dari
variabel random atau disebut suatu
proses stokastik.
Fungsi distribusi bersama suatu himpunan variabel random
dari suatu proses stokastik didefinisikan sebagai
=
(Wei,1994).
2.1.2 Stasioneritas
Suatu proses stokastik dikatakan stasioner orde ke-n jika
5
(2.1)
untuk k integer. Suatu proses dikatakan strictly stationarity jika berlaku
persamaan (2.1) untuk sejumlah besar . Jika persamaan (2.1) berlaku
untuk , dengan adalah sebarang bilangan bulat, maka persamaan (2.1)
juga akan berlaku untuk karena fungsi distribusi orde ke-m menentukan
semua fungsi distribusi orde yang lebih kecil dari , artinya jika suatu proses
dikatakan stasioner pada orde ke-m, maka proses tersebut juga stasioner pada orde
ke (Wei,1994).
Dalam penelitian ini, stasioneritas diperlukan dalam memodelkan data
sebelum intervensi menggunakan metode ARIMA Box Jenkins. Pada tahap
identifikasi diperlukan fungsi autokorelasi (Autocorelation Function/ ACF) dan
fungsi autokorelasi parsial (Parcial Autocorelation Function/ PACF).
2.1.3 Fungsi Autokovariansi dan Autokorelasi
Kovariansi antara dan adalah
dan korelasi antara dan adalah
kor
untuk semua dengan .
(Wei,1994).
2.1.4 Fungsi Autokorelasi Parsial
Pada runtun waktu yang stasioner , fungsi autokorelasi
parsial dari lag adalah korelasi antara dan setelah menghilangkan efek
dari variabel yang dinotasikan dengan atau dinyatakan
.
Dapat dikatakan bahwa adalah koefisien korelasi dari distribusi bivariat
dan dengan syarat (Cryer, 1986). Jika
adalah himpunan autokorelasi parsial, maka dapat dirumuskan
dengan adalah matriks autokorelasi yaitu
6
dan adalah dengan elemen pada kolom terakhir diganti dengan ,
sehingga diperoleh
=
(Wei, 1994).
2.1.5 Metode ARIMA Box Jenkins
Metode ARIMA Box Jenkins merupakan suatu pendekatan pembentukan
model yang kuat untuk analisis runtun waktu (Makridakis et. al, 1995). Metode ini
terdiri dari tiga tahap, yaitu identifikasi, estimasi dan verifikasi. Model yang
diperoleh digunakan untuk melakukan peramalan beberapa waktu ke depan.
7
2.1.5.1 Identifikasi Model
Proses identifikasi model ARIMA Box Jenkins memerlukan dua tahap
berikut.
1. Menstasionerkan data runtun waktu jika data tersebut belum stasioner. Untuk
mengetahui kestasioneran data dapat dilakukan dengan melakukan
pemeriksaan terhadap plot data atau ACF dari data. Jika plot autokorelasi
turun secara eksponensial, maka data belum stasioner. Untuk menstasionerkan
data yang tidak stasioner terhadap mean dilakukan dengan differencing orde
satu atau dua, sedangkan untuk menstasionerkan data yang tidak stasioner
terhadap variansi sering dilakukan dengan transformasi logaritma (Makridakis
et.al, 1995).
2. Membuat plot ACF dan PACF dari runtun waktu yang telah distasionerkan
masing-masing dengan batas 2SE( ) dan 2SE( ). Dari plot tersebut dapat
ditentukan model sementara. Penentuan tersebut didasarkan pada kriteria
berikut.
a. Jika untuk (plot PACF terputus pada lag ), maka data
runtun waktu memiliki model AR(p) atau ARIMA (p, 0, 0).
b. Jika , adalah korelasi sampel pada lag
untuk dengan (plot ACF terputus pada lag q), maka data runtun
waktu memiliki model MA(q) atau ARIMA(0,0, q).
c. Jika tidak terputus pada lag dan tidak terputus pada lag , maka
data runtun waktu memiliki model ARMA(p,q) atau ARIMA(p, 0, q).
(Soejoeti,1987).
2.1.5.2 Estimasi Parameter
Setelah satu atau beberapa model sementara diperoleh, langkah
selanjutnya adalah mencari estimasi terbaik untuk parameter-parameter dalam
model. Metode yang digunakan adalah metode MLE (Maximum Likelihood
Estimation). Model ARIMA(p,d,q) dinyatakan
(2.2)
8
dengan
operator AR
operator MA
Asumsi dari model adalah berdistribusi normal identik independen dengan
mean nol dan variansi . Fungsi kepadatan bersama dari adalah
(2.3)
Misal
: vektor parameter
: vektor parameter
Dari persamaan (2.2), diperoleh
(2.4)
Persamaan (2.4) dipandang sebagai hubungan berulang antara yang berturutan.
Jika nilai parameter dan diketahui, maka setiap nilai dapat dihitung sebagai
fungsi parameter dan observasi. Dengan mensubstitusikan persamaan (2.4) ke
dalam persamaan (2.3), diperoleh fungsi kepadatan bersama sebagai berikut.
(2.5)
Dari persamaan (2.5) diperoleh fungsi Likelihood untuk parameter model sebagai
(2.6)
Dari persamaan (2.6) dapat dinyatakan bahwa nilai parameter akan diperoleh
dengan meminimumkan . Setelah diperoleh nilai parameter hasil
estimasi, selanjutnya dilakukan uji signifikansi parameter. Uji yang digunakan
adalah uji Sudent-t yang dinyatakan sebagai berikut (Soejoeti,1987). Berikut
adalah uji Sudent-t untuk parameter model ARIMA Box Jenkins.
9
1. Menentukan hipotesis
H0 : (parameter dalam model signifikan tidak berbeda dengan nol)
H1 : (parameter dalam model signifikan berbeda dengan nol)
dengan λ : parameter dalam model ARIMA
2. Menentukan tingkat signifikansi
3. Menghitung nilai dari statistik uji
4. Menentukan daerah kritis : H0 ditolak jika atau ,
dengan adalah banyaknya observasi
5. Mengambil kesimpulan
(Box dan Reinsell, 2008)
2.1.5.3 Verifikasi Model
Setelah dilakukan estimasi parameter pada model ARIMA, tahap
selanjutnya adalah verifikasi, yaitu menguji apakah model yang diestimasi cukup
cocok dengan data. Tahap ini meliputi uji kenormalan dan autokorelasi pada
residu. Uji kenormalan yang digunakan adalah uji Kolmogorov Smirnov,
sedangkan untuk menguji ada tidaknya autokorelasi pada residu digunakan uji
Box Pierce. Berikut adalah beberapa langkah yang dilakukan pada masing-masing
uji.
1. Uji Kolmogorov Smirnov
a. H0 : residu berdistribusi normal
H1 : residu tidak berdistribusi normal
b. Tingkat signifikansi
c. Statistik uji , dengan
fungsi distribusi kumulatif normal standar dari variabel
random
fungsi distribusi empiris dari
d. Daerah kritis : H0 ditolak jika kuantil ke
10
e. Mengambil kesimpulan
(Praptono, 1986)
2. Uji Box Pierce
a. H0 : (tidak ada autokorelasi hingga lag ke-K )
H1 : paling tidak terdapat 1 pasang lag yang berautokorelasi
b. Tingkat signifikansi
c. Statistik uji dengan n adalah banyaknya
observasi
d. Daerah kritis : H0 ditolak jika dengan adalah banyaknya
parameter yang diestimasi
e. Mengambil kesimpulan
(Box dan Reinsell, 2008)
2.1.5.4 Peramalan
Langkah terakhir dalam pembentukan model adalah peramalan. Dalam
tahap ini misal , maka nilai peramalan yang akan datang
adalah
untuk dan untuk ,
dengan adalah observasi yang sebenarnya jika . Untuk
setiap proses stasioner, nilai ramalannya akan mendekati mean proses
(Soejoeti,1987).
2.1.6 Indeks Harga Konsumen (IHK)
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data IHK kota Surakarta
periode Januari 2000 November 2009 dan IHK nasional periode Januari
11
1995 Juli 1998. Pada periode tersebut, pola data menunjukkan adanya
goncangan, sehingga dapat dimodelkan menggunakan model intervensi.
Angka indeks yang memperhitungkan semua barang yang dibeli oleh
konsumen pada setiap harganya disebut IHK. Angka ini digunakan sebagai dasar
dalam perhitungan besarnya laju kenaikan harga-harga secara umum dalam
periode tertentu (Wijayanta dan Aristanti, 2007).
Menurut Syamsuddin (2005), rumus menghitung indeks harga adalah
(2.7)
dengan
: IHK pada tahun (yang dihitung)
: Jumlah harga-harga pada tahun
: Jumlah harga-harga pada tahun dasar
Data IHK yang digunakan pada penelitian ini dihitung berdasarkan tahun dasar
yang berbeda-beda. Oleh karena itu, harus dilakukan penyamaan tahun dasar. Dari
persamaan (2.7), rumus penyamaan tahun dasar dapat diturunkan sebagai berikut.
Misal diketahui nilai IHK pada tahun n yang dihitung menggunakan 2 tahun
dasar, a dan b, maka
(2.8)
(2.9)
dengan
: IHK pada tahun yang dihitung menggunakan tahun dasar a
: IHK pada tahun yang dihitung menggunakan tahun dasar b
: Jumlah harga-harga pada tahun
: Jumlah harga-harga pada tahun dasar a
: Jumlah harga-harga pada tahun dasar b
dari persamaan (2.9) dan (2.10) diperoleh
12
2.10
Jika suatu nilai IHK pada tahun m yang dihitung menggunakan tahun dasar a dan
nilai tersebut akan diubah menjadi bertahun dasar b, maka
. (2.11)
Dengan mensubstitusikan persamaan (2.11) ke persamaan (2.12), diperoleh
Sebaliknya jika suatu nilai IHK pada tahun m yang dihitung menggunakan tahun
dasar b dan nilai tersebut akan diubah menjadi bertahun dasar a, maka
Dengan demikian, dapat diperoleh langkah-langkah penyamaan tahun dasar data
IHK dapat dituliskan sebagai berikut.
1. Mengambil 1 data yang dihitung menggunakan 2 tahun dasar, misalnya tahun
dasar a dan b, kemudian menghitung nilai
, misal disebut dan nilai ,
disebut .
2. Jika semua data yang bertahun dasar a ingin diubah menjadi data bertahun
dasar b, maka semua data dikalikan dengan .
3. Jika semua data yang bertahun dasar b ingin diubah menjadi data bertahun
dasar a, maka semua data dikalikan dengan .
2.2 Kerangka Pemikiran
ARIMA merupakan model runtun waktu linear nonstasioner. Namun,
model ARIMA tidak cukup merepresentasikan pola data runtun waktu yang
mengandung satu atau lebih intervensi. Oleh karena itu, dalam memodelkan data
yang demikian digunakan model intervensi (single input maupun multi input).
13
Secara garis besar model intervensi terbagi menjadi dua bagian, yaitu
model respon dan model dasar (model awal tanpa pengaruh intervensi yang
merupakan model ARIMA). Pembentukan model respon dipengaruhi oleh orde
intervensi. Pada penelitian sebelumnya, orde intervensi diidentifikasi melalui pola
residu model sebelum intervensi. Hasil identifikasi orde yang berbeda pada setiap
variabel input menghasilkan pola respon yang berbeda pula. Pola respon
ekuivalen dengan pola data yang dipengaruhi intervensi. Dalam skripsi ini akan
dilakukan pengamatan mengenai pengaruh orde intervensi terhadap pola respon,
melalui simulasi beberapa orde intervensi dalam setiap variabel input Variabel
input yang digunakan adalah fungsi pulse, step, dan ramp. Dari pengamatan dapat
diperoleh karakteristik orde intervensi terhadap pola respon. Jika karakteristik ini
dituliskan secara sistematik, maka hal ini dapat dijadikan dasar penentuan orde
intervensi melalui plot data asli. Penentuan orde intervensi dengan metode ini
diharapkan lebih efisien daripada melalui pemeriksaan residu.
Data IHK Surakarta periode Januari 2000 - November 2009 dan IHK
Nasional periode Januari 1995 - Juli 1998 akan dijadikan sebagai contoh kasus
dalam skripsi ini. Model intervensi akan diterapkan pada data tersebut dengan
menggunakan dua metode dalam orde intervensinya, yaitu melalui plot data asli
dan residu.
14
BAB III
METODOLOGI
Pada penelitian ini, metode yang digunakan adalah studi literatur, simulasi,
dan diterapkan pada contoh kasus dengan mengacu pada buku-buku analisis
runtun waktu dan karya ilmiah tentang analisis intervensi yang meliputi hasil-hasil
penelitian dan jurnal. Dengan metode tersebut, penulis dapat melakukan
pendalaman materi tentang analisis intervensi multi input, terutama dalam
menentukan orde intervensi melalui plot data asli.
Berikut adalah langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini.
1. Kaji ulang model intervensi multi input menurut Wei (1994).
2. Analisis pola data untuk menentukan orde intervensi multi input.
a. Membuat plot respon dari setiap variabel input dengan beberapa
kombinasi nilai orde intervensi dan mengamati gerak respon, sehingga
dapat ditentukan perbedaannya. Simulasi dilakukan dengan bantuan
software Minitab 15.
b. Membuat kesimpulan tentang ciri-ciri gerak respon dengan beberapa nilai
orde intervensi, kemudian menjadikan ini sebagai dasar dalam menentukan
orde intervensi melalui plot data asli.
3. Menerapkan model intervensi multi input pada kasus data IHK Surakarta
periode Januari 2000 November 2009 dan IHK Nasional periode Januari
1995 Juli 1998 dengan identifikasi orde intervensi menggunakan pola residu
dan hasil yang diperoleh pada langkah 2. Penerapan pada contoh kasus ini
dilakukan dengan bantuan software SAS 9.1.
15
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam skripsi ini akan dikaji lebih lanjut tentang model intervensi multi
input dan penentuan orde intervensi melalui analisis pola data asli.
5.1 Model Intervensi Multi Input
Dalam model intervensi, goncangan atau intervensi disebut deret input
yang bernilai diskrit, sedangkan data time series yang akan dimodelkan disebut
sebagai deret output. Dengan model intervensi, dapat diketahui seberapa besar dan
lama efek dari kejadian intervensi. Proses mengestimasi efek dari intervensi
disebut analisis intervensi (intervention analysis or interrupted time series
analysis) (SAS Help and Documantation). Model intervensi pertama kali
dikemukakan oleh Box dan Tiao (1975) yang meneliti efek pemberlakuan
undang-undang desain mesin terhadap tingkat polusi oxidant di daerah Los
Angeles (Makridakis et. al, 1995).
Model intervensi multi input mempunyai dua bagian, yaitu model respon
dan model dasar. Model respon menunjukkan besarnya pengaruh intervensi,
sedangkan model dasar merupakan model data tanpa pengaruh intervensi.
Menurut Wei (1994), bentuk umum dari model intervensi multi input
adalah
(4.1)
dengan,
: variabel respon pada waktu t (deret output)
: variabel intervensi ke j pada waktu t (deret input)
: eror, yaitu model ARIMA tanpa efek intervensi
: orde pada model intervensi ke-j
dan didefinisikan sebagai berikut ,
16
4.1.1 Nilai Respon pada Model Intervensi
Model respon dari variabel intervensi dirumuskan sebagai
(4.2)
dengan
: besarnya respon (pengaruh) intervensi pada waktu t
: orde pada model intervensi
dan suatu bentuk polinomial dari parameter-parameter model
intervensi yang termuat pada respon, didefinisikan sebagai
Dengan substitusi persamaan (4.2) ke (4.1), bentuk umum model intervensi multi
input menjadi
dengan menyatakan besarnya respon (pengaruh) intervensi ke-j pada waktu
ke-t.
4.1.2 Variabel Intervensi
Terdapat tiga variabel intervensi yaitu fungsi pulse, step dan ramp (Mcleod
dan Vingilis, 2005). Penulisan variabel intervensi atau disebut juga variabel input
biasanya diikuti dengan ordenya (b, r, s).
4.1.2.1 Fungsi Pulse
Secara matematis bentuk intervensi fungsi pulse pada waktu T dinotasikan
sebagai
(4.3)
17
Fungsi ini dapat digunakan untuk merepresentasikan pengaruh intervensi yang
sifatnya temporer atau transien dan menghilang setelah waktu T (Box dan
Reinsell, 2008).
Terdapat beberapa kemungkinan respon dalam intervensi pulse. Beberapa
keadaan yang sering dihadapi yaitu
1. Dampak dari suatu intervensi terjadi b periode setelah waktu terjadinya
intervensi yang berpengaruh terhadap respon secara langsung (tidak
bertahap), pengaruhnya sebesar
(4.4)
(Wei, 1994). Fungsi ini dituliskan sebagai fungsi pulse (b, 0, 0). Pola respon
pada persamaan (4.4) disajikan pada Gambar 4.1.
t
Vt
Pola respon fungsi pulse (b, 0, 0)
Gambar 4.1. Pola respon yang dihasilkan fungsi pulse (b, 0, 0)
2. Dampak dari suatu intervensi terjadi b periode setelah waktu terjadinya
intervensi yang berpengaruh terhadap respon secara bertahap, efeknya sebesar
(4.5)
di mana . Untuk , persamaan (4.5) menjadi (4.4). Pada
sebagian besar kasus dijumpai dan intervensi berpengaruh
terhadap respon secara bertahap. (Wei, 1994). Fungsi ini dituliskan sebagai
fungsi pulse (b, 1, 0). Pola respon pada persamaan (4.5) disajikan pada
Gambar 4.2.
18
t
Vt
Pola respon fungsi pulse (b, 1, 0)
Gambar 4.2. Pola respon yang dihasilkan fungsi pulse (b, 1, 0)
4.1.2.2 Fungsi Step
Secara matematis bentuk intervensi fungsi step pada waktu ke T
dinotasikan sebagai
(4.6)
Fungsi ini dapat menunjukkan efek intervensi yang permanen setelah waktu T .
Dari persamaan (4.3) dan (4.6) dapat dilihat bahwa fungsi pulse dapat diturunkan
dari fungsi step, yaitu
Terdapat beberapa kemungkinan respon dalam intervensi step. Beberapa
keadaan yang sering dihadapi dituliskan sebagai berikut.
1. Dampak dari suatu intervensi terjadi b periode setelah waktu terjadinya
intervensi yang berpengaruh terhadap respon secara langsung (tidak bertahap),
pengaruhnya sebesar
(4.7)
(Wei, 1990). Fungsi ini dituliskan sebagai fungsi step (b, 0, 0). Pola respon
pada persamaan (4.7) oleh fungsi ini disajikan pada Gambar 4.3.
19
t
Vt
Pola respon fngsi step (b, 0, 0)
Gambar 4.3. Pola respon yang dihasilkan fungsi step (b, 0, 0)
2. Dampak dari suatu intervensi terjadi b periode setelah waktu terjadinya
intervensi yang berpengaruh terhadap respon secara bertahap, efeknya sebesar
(4.8)
di mana . Untuk , persamaan (4.8) menjadi (4.7). Untuk
, dampak dari intervensi akan naik secara linear tanpa loncatan. Pada
sebagian besar kasus dijumpai dan intervensi berpengaruh
terhadap respon secara bertahap (Wei, 1994). Fungsi ini dituliskan sebagai
fungsi step (b, 1, 0). Pola respon pada persamaan (4.8) disajikan pada Gambar
4.4.
t
Vt
Pola respon fungsi step (b, 1, 0)
Gambar 4.4. Pola respon yang dihasilkan fungsi step (b, 1, 0)
20
4.1.2.3 Fungsi Ramp
Fungsi intervensi ramp adalah suatu fungsi intervensi kontinu yang naik
secara linear setelah waktu terjadinya intervensi (SAS Help and Documantation).
Fungsi ramp dinotasikan sebagai
(4.9)
Dari persamaan (4.1) dan (4.9) dapat dilihat bahwa ramp dapat diturunkan
dari fungsi step, yaitu
atau
Dampak dari suatu intervensi terjadi b periode setelah waktu terjadinya intervensi
yang berpengaruh terhadap respon secara secara linear setelah waktu terjadinya
intervensi, pengaruhnya sebesar
(4.10)
Fungsi ini dituliskan sebagai fungsi ramp (b, 0, 0). Pola respon pada persamaan
(4.10) oleh fungsi ini disajikan pada Gambar 4.5.
t
Vt
Pola respon fungsi ramp (b, 0, 0)
Gambar 4.5. Pola respon yang dihasilkan fungsi ramp (b, 1, 0)
21
4.1.3 Keterkaitan Antar-Variabel Intervensi
Jika pola respon yang dihasilkan setiap variabel input berorde
dengan nilai berbeda-beda digambarkan dalam satu sumbu koordinat, maka
dapat diamati gerak respon dari nilai yang kecil (mendekati 0) sampai nilai
yang besar (mendekati 1). Keadaan ini diilustrasikan pada Gambar 4.6. Dari
pengamatan tersebut, dapat disimpulkan bahwa untuk orde ,
1. fungsi pulse akan menjadi fungsi step jika nilai
2. fungsi step akan menjadi fungsi ramp jika nilai
T+_
Y-D
ata
151050-5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
Variable
delta=0.6
delta=0.8
delta=1
delta=0.9
delta=0.95
delta=0.98
delta =0.2
delta=0.4
Fungsi Pulse (0,1,0) dengan berbagai nilai Delta menuju Fungsi Step
(a)
T+_
Y-D
ata
151050-5
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Variable
delta_0.6
delta_0.8
delta_0.9
delta_1
delta_0.2
delta_0.4
Fungsi Step dengan berbagai nilai Delta menuju Fungsi Ramp
(b)
Gambar 4.6. Plot yang menyatakan hubungan antara fungsi pulse, step, dan ramp
22
4.1.4 Identifikasi Orde Intervensi Melalui Residu
Dalam mengidentifikasi orde intervensi (b, r, dan s) dapat dilakukan
dengan melihat pola residu dari hasil peramalan data setelah intervensi
menggunakan model sebelum intevensi. Misalkan residual dinotasikan sebagai ,
maka
Nilai ditentukan dengan melihat kapan efek intervensi mulai terjadi (nilai
residual keluar dari batas ), nilai menunjukkan kapan gerak bobot respon
mulai mengalami penurunan (nilai residual keluar dari batas ), dan
menunjukkan pola dari residual. (Nuvitasari et. al, 2008 ). Namun, penentuan orde
dengan prinsip ini memiliki kelemahan sebagai berikut.
1. Orde r akan sulit ditentukan ketika data mengandung lebih dari satu intervensi
yang waktunya berdekatan.
2. Dalam model intervensi, pengaruh intervensi mulai muncul tepat ketika data
mengalami lonjakan. Lonjakan ini jelas terlihat pada pola data asli, sehingga
orde b dapat ditentukan secara langsung melalui pola data asli, tanpa harus
melihat pola residu dari hasil peramalan data setelah intervensi menggunakan
model sebelum intevensi.
4.1.5 Model Noise
Dalam model intervensi, model noise merupakan model ARIMA dari
deret respon yang bebas dari intervensi, yaitu deret respon sebelum terjadi
intervensi. Model noise dapat dinyatakan
dengan
: parameter Moving Average (MA)
: parameter Autoregresif (AR)
: sesatan, yaitu variabel random independen berdistribusi normal dengan
mean nol dan variansi
23
4.1.6 Estimasi Parameter Model Intervensi
Estimasi parameter untuk model intervensi multi input dapat
menggunakan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE). Model umum
intervensi multi input pada persamaan 4.1 dapat dinyatakan sebagai
Dengan asumsi bahwa , maka dapat dituliskan fungsi kepadatan
bersama dari sebagai
(4.11)
Dari persamaan (4.11) diperoleh fungsi Likelihood untuk parameter model
intervensi multi input, yaitu
Misal dan , dengan
, persamaan (4.1) menjadi
(4.12)
Misal dan , persamaan (4.12) menjadi
(4.13)
Sehingga diperoleh nilai
Dari persamaan (4.13) dapat dinyatakan bahwa nilai parameter akan diperoleh
dengan meminimumkan .
Sebagai contoh sederhana, jika dimisalkan model intervensi adalah
,
maka diperoleh (4.14)
Nilai minimum dari diperoleh pada saat turunan pertama dari persamaan
(4.14) disamadengankan nol.
24
4.1.7 Uji Signifikansi Parameter
Dalam model intervensi multi input, setelah dilakukan estimasi parameter
intervensi, akan diuji apakah terdapat pengaruh kejadian intervensi terhadap data
yang bersangkutan. Uji yang digunakan adalah uji Student-t yang langkah-langkah
meliputi
1. H0 : (parameter dalam model signifikan tidak berbeda dengan nol)
H1 : (parameter dalam model signifikan berbeda dengan nol)
dengan : parameter ke-i pada intervensi ke-j dalam model intervensi
multi input
2. tingkat signifikansi
3. statistik uji
4. daerah kritis : H0 ditolak jika atau , dengan n
adalah banyaknya data sampai intervensi ke-j
(Box dan Reinsell, 2008).
.
4.1.8 Uji Diagnostik
Dalam analisis intervensi multi input, uji diagnostik yang harus dilakukan
adalah uji kenormalan dan autokorelasi pada residu. Uji kenormalan yang
digunakan adalah uji Kolmogorov Smirnov, sedangkan untuk menguji ada
tidaknya autokorelasi pada residu digunakan uji Box Pierce.
25
4.2 Prosedur Pemodelan Intervensi Multi Input
Berdasarkan beberapa referensi yang digunakan dalam skripsi ini,
prosedur pemodelan intervensi multi input dapat dituliskan secara ringkas, yaitu
1. memodelkan deret menggunakan prosedur Box Jenkins
2. identifikasi orde setiap intervensi
3. estimasi parameter model intervensi multi input
4. uji signifikansi parameter
5. uji diagnostik yang meliputi uji kenormalan dan autokorelasi residu
4.3 Analisis Pola Data untuk Menentukan Orde Intervensi Multi Input
Pola respon pada model intervensi identik dengan pola data saat
dipengaruhi intervensi. Hal ini menjadi dasar dalam identifikasi orde intervensi
melalui pola data. Kombinasi nilai orde r dan s yang berbeda pada setiap variabel
input menghasilkan pola respon yang berbeda. Pola respon dengan kombinasi
nilai r dan s yang berbeda-beda pada setiap variabel input dapat dilihat pada
Gambar 4.7. Jika dilakukan pengamatan pada Gambar 4.7, maka dapat diperoleh
beberapa karakteristik pola respon dengan beberapa nilai orde intervensi.
Karakteristik yang diperoleh dari hasil pengamatan ini dituliskan pada Tabel 4.1.
Dari Tabel 4.1 dapat disimpulkan bahwa keberadaan parameter menunjukkan
adanya gerak respon secara exponensial, baik mengalami kenaikan maupun
penurunan.
Khusus untuk fungsi ramp, tidak dijumpai adanya pola gelombang sinus,
walapun nilai . Dari hasil pengamatan terhadap plot respon dari ketiga
variabel intervensi dengan berbagai orde, dapat dituliskan secara umum tentang
pengaruh dari setiap parameter terhadap pola respon. Hal ini disajikan dalam
Tabel 4.2. Pengaruh parameter terhadap pola respon dapat dilihat pada Gambar
4.8.
30
abel 4.1. Karakteristik gerak respon dengan beberapa nilai orde intervensi dengan
penundaan efek b satuan waktu
Karakteristik gerak respon fungsi
Pulse Step Ramp
0,0
Data mengalami lonjakan 1
kali sebesar pada waktu
, kemudian pola data
langsung kembali seperti
semula (tanpa ada proses
penurunan bobot respon
secara eksponensial)
Data mengalami
lonjakan sebesar
pada waktu ,
kemudian data stabil
pada pada nilai tersebut,
tetapi masih
membentuk pola seperti
semula
Data mengalami
lonjakan sebesar
pada waktu
diikuti
proses kenaikan
bobot respon
(arah naik atau
turun) secara
linear
1,0
Data mengalami lonjakan 1
kali mulai waktu
kemudian mengalami
proses penurunan bobot
respon secara eksponensial
mulai waktu hingga
pola data kembali seperti
semula
Data mengalami
lonjakan sebesar
pada waktu
diikuti proses kenaikan
bobot respon (arah naik
atau turun) secara
eksponensial mulai
waktu , kemudian
data stabil pada pada
nilai tertentu dengan
pola seperti data semula
Data mengalami
lonjakan sebesar
pada waktu
diikuti
proses kenaikan
bobot respon
(arah naik atau
turun) secara
eksponensial
1,1
Data mengalami lonjakan
sebanyak kali sebesar
dan ,,kemudian
mengalami proses
penurunan bobot respon
secara eksponensial mulai
waktu hingga
pola data kembali seperti
semula
Data mengalami
lonjakan sebanyak
kali sebesar dan
,
kemudian mengalami
proses kenaikan bobot
respon (arah naik atau
turun) secara
eksponensial mulai
waktu ,
kemudian data stabil
Data mengalami
lonjakan
sebanyak kali
sebesar ,
kemudian
mengalami proses
kenaikan bobot
respon (arah naik
atau turun) secara
eksponensial
mulai waktu
31
pada pada nilai tertentu
dengan pola seperti data
semula
2,0
Data mengalami lonjakan 1
kali sebesar mulai
waktu , kemudian
mengalami proses
kenaikan bobot respon
dengan pola gelombang
sinus dilanjutkan dengan
pola eksponensial mulai
waktu hingga pola
data kembali seperti
semula
Data mengalami
lonjakan 1 kali sebesar
mulai waktu
, kemudian mengalami
proses kenaikan bobot
respon (arah naik atau
turun) dengan pola
gelombang sinus
dilanjutkan dengan pola
eksponensial mulai
waktu , kemudian
data stabil pada pada
nilai tertentu dengan
pola seperti data semula
Data mengalami
lonjakan sebesar
pada waktu
diikuti
proses kenaikan
bobot respon
(arah naik atau
turun) secara
eksponensial
2,1
Data mengalami lonjakan 2
kali sebesar dan
mulai waktu
, kemudian
mengalami proses
kenaikan bobot respon
dengan pola gelombang
sinus dilanjutkan dengan
pola eksponensial mulai
waktu hingga pola
data kembali seperti
semula
Data mengalami
lonjakan 2 kali sebesar
dan
mulai waktu
, kemudian
mengalami proses
kenaikan bobot respon
(arah naik atau turun)
dengan pola gelombang
sinus dilanjutkan
dengan pola
eksponensial mulai
waktu ,
kemudian data stabil
pada pada nilai tertentu
dengan pola seperti data
semula
Data mengalami
lonjakan
sebanyak kali
sebesar dan
, kemudian
mengalami proses
kenaikan bobot
respon (arah naik
atau turun) secara
eksponensial
mulai waktu
32
Tabel 4.2. Pengaruh setiap parameter dalam variabel input terhadap pola respon
Variabel
input
Pulse
Besarnya
menentukan
besarnya
lonjakan pada
awal mulai
adanya efek,
banyaknya
parameter
menentukan
banyaknya
lonjakan
Besarnya
menentukan
besar dan lama
tidaknya efek
dari variabel
input (semakin
besar akan
semakin besar
efek dan
semakin lama
mengalami
pola
exponensial,
sehingga
semakin lama
data menjadi
stabil kembali)
Keberadaan
menunjukkan
adanya pola
gelombang
sinus dalam
proses
exponensial
yang
semakin
lama
besarnya
amplitudo
gelombang
semakin
kecil
mendekati
nol
Terlihat sangat
jelas (semakin
besar nilai
semakin
besar amplitudo
gelombang,
sehingga
semakin lama
menghilangnya)
Step Terlihat tidak
terlalu jelas,
nilai
tidak terlalu
berpengaruh
dalam proses
exponensial
Ramp yang paling
berpengruh
adalah yaitu
menunjukkan
besarnya
lonjakan yang
pertama kali
pada respon,
sedangkan
untuk
yang lain
hampir tidak
berpengaruh
pada pola
respon
Sama seperti
pada fungsi
step dan pulse,
tetapi data
tidak pernah
stabil (kembali
pada pola data
awal)
Hampir tidak
terlihat (hampir
tidak
berpengaruh
pada pola data)
33
4.4 Contoh Kasus
4.4.1 Model Intervensi pada Data IHK Kota Surakarta
Contoh kasus yang digunakan adalah data IHK kota Surakarta periode
Januari 2000 November 2009 berdasarkan tahun dasar 2007 100. Data terdapat
pada Tabel 4.3 dalam lampiran. Plot data disajikan pada Gambar 4.9.
Gambar 4.9. Plot data IHK kota Surakarta periode Januari 2000 November
2009 berdasarkan tahun dasar 2007 = 10
Berdasarkan plot data pada Gambar 4.9, terlihat ada intervensi November
2002, Januari 2004, Mei 2005, Oktober 2005, Januari 2006, dan Juni 2008.
Intervensi pada November 2002, Januari 2004, Oktober 2005, Januari 2006, Juni
2008 dapat digolongkan dalam itervensi step karena polanya menunjukkan adanya
efek intervensi yang permanen setelah waktu intervensi. Intervensi pada Mei 2005
dapat digolongkan dalam itervensi pulse karena polanya menunjukkan adanya
efek intervensi yang temporer.
Nilai
50
60
70
80
90
100
110
120
Plot data IHK kota Surakarta
Intervensi 1
Intervensi 2
Intervensi 3, 4, dan 5
Intervensi 6
waktu
Sumber: Badan Pusat Statistik
34
Model deret , yaitu model data sebelum intervensi 1 adalah ARI (1,1),
tercantum pada Tabel 4.4. Selanjutnya dilakukan identifikasi orde intervensi pada
data. Pada kasus ini, identifikasi orde intervensi akan dilakukan dengan
menggunakan dua cara, yaitu melalui plot data asli dan melalui residu. Dalam
identifikasi ini, orde untuk semua intervensi.
Orde setiap intervensi dapat diidentifikasi menggunakan plot data asli
yang disajikan lebih jelas pada Gambar 4.10 – 4.13. Pada Gambar 4.10 dan 4.11
terlihat data mengalami lonjakan sebanyak satu kali masing-masing pada waktu
intervensi 1 dan intervensi 2. Selain itu data terlihat tidak menunjukkan adanya
proses eksponensial. Hal ini menunjukkan bahwa orde dan , sehingga
diperoleh jenis intervensi 1 dan 2 adalah step (0, 0, 0).
.
Gambar 4.10. Intervensi 1 pada data IHK kota Surakarta
F13
64.5
65.0
65.5
66.0
66.5
67.0
67.5
68.0
68.5
69.0
Plot Intervensi 1 pada data IHK kota Surakarta
s =0
waktu
nilai
35
Gambar 4.11. Intervensi 2 pada data IHK kota Surakarta
Pada Gambar 4.12 terlihat data mengalami lonjakan sebanyak satu kali
pada waktu intervensi 3, 4, dan 5. Selain itu data terlihat tidak menunjukkan
adanya proses eksponensial. Hal ini menunjukkan bahwa orde dan ,
sehingga diperoleh jenis intervensi 3, 4, dan 5 masing-masing adalah step (0, 0,
0), step (0, 0, 0), dan pulse (0, 0, 0). Pada Gambar 4.13 terlihat data mengalami
lonjakan sebanyak tiga kali pada waktu intervensi 6. Selain itu data terlihat tidak
menunjukkan adanya proses eksponensial. Hal ini menunjukkan bahwa orde
dan , sehingga diperoleh jenis intervensi 6 adalah step (0, 0, 2).
Gambar 4.12. Intervensi 3, 4 dan 5 pada data IHK kota Surakarta
F13
72
74
76
78
80
82
84
86
88
90
92
Plot Intervensi 3, 4 dan 5 pada data IHK kota Surakarta
s = 0
s = 0
s = 0
waktu
nilai
F13
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
Plot Intervensi 2 pada data IHK kota Surakarta
s =0
waktu
nilai
36
Gambar 4.13. Intervensi 6 pada data IHK kota Surakarta
Metode lain yang digunakan untuk mengidentifikasi orde intervensi adalah
menggunakan plot residu. Untuk mendapatkan nilai residu yang digunakan untuk
mengidentifikasi orde intervensi, dilakukan pemodelan pada data asli dengan
batas waktu berbeda (sesuai kejadian intervensi). Model tersebut disajikan pada
Tabel 4.4 dengan estimasi parameter pada Output 4.1 4.6 dalam lampiran. Dari
Output tersebut dihasilkan nilai parameter yang signifikan ( .
Tabel 4.4. Model data IHK kota Surakarta untuk setiap intervensi
Batas waktu
Model Batas Residu
p-value
uji
Kenormalan
Sebelum intervensi
1
1.1796 1.7694 >0.15
Sebelum
intervensi 2
1.0771 1.6156 0.079
Sebelum intervensi
3
1.0030 1.5045 0.085
Sebelum intervensi
4
0.9871 1.4806 0.076
Sebelum
intervensi
0.9691 1.4537 >0.15
F13
87.5
90.0
92.5
95.0
97.5
100.0
102.5
105.0
107.5
110.0
Intervensi 6 pada data IHK kota Surakarta
Terdapat 3 lonjakan pada
awal intervensi, maka
s = 2
waktu
nilai
37
5
Sebelum intervensi
6
0.9667 1.4500 >0.15
Setiap residu model pada Tabel 4.4 memenuhi asumsi kenormalan dan
tidak berautokorelasi. Uji kenormalan yang digunakan adalah uji Kolmogorof
Smirnov dengan tingkat signifikansi 0.05. Plot probabilitas normal disajikan pada
Gambar 4.14 (a-f) dalam lampiran, sedangkan plot autokorelasi disajikan pada
Gambar 4.15 (a-f) dalam lampiran. Model tersebut digunakan untuk meramalkan
data selanjutnya sampai sebelum terjadinya intervensi yang berikutnya. Dari
peramalan yang diperoleh, dicari nilai residunya. Nilai residu ini yang akan
digunakan untuk mengidentifikasi orde setiap intervensi sesuai dengan ketentuan.
Model sebelum intervensi 1 digunakan untuk meramalkan data pada
intervensi 1 sampai data sebelum intervensi 2. Plot residu dari hasil peramalan
tersebut disajikan pada Gambar 4.16.
Waktu intervensi 1 +_
Data
131211109876543210
2
1
0
-1
-2
-3
-4
Variable
-2sigma
-3sigma
data
2sigma
3sigma
0
Plot Residu 1
Gambar 4.16. Plot residu data peramalan pada intervensi 1 sampai data sebelum
intervensi 2
38
Dari Gambar 4.16 terlihat bahwa data pertama mempunyai nilai yang melebihi
batas dan terbentuk suatu pola sejak data pertama, maka diperoleh nilai orde
dan Jadi, dapat disimpulkan bahwa intervensi 1 adalah step (0, 0, 0).
Model sebelum intervensi 2 digunakan untuk meramalkan data pada
intervensi 2 sampai data sebelum intervensi 3. Plot residu dari hasil peramalan
tersebut disajikan pada Gambar 4.17.
Waktu intervensi 2 +_
Da
ta
14121086420
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
Variable
-2sigma
-3sigma
data
2sigma
3sigma
0
Residu 2
Gambar 4.17. Plot residu data peramalan pada intervensi 2 sampai data sebelum
intervensi 3
Dari Gambar 4.17 terlihat bahwa data pertama mempunyai nilai yang melebihi
batas dan terbentuk suatu pola sejak data pertama, maka diperoleh nilai orde
dan Jadi, dapat disimpulkan bahwa intervensi 2 adalah step (0, 0, 0).
Model sebelum intervensi 3 digunakan untuk meramalkan data pada
intervensi 3 sampai data sebelum intervensi 4. Plot residu dari hasil peramalan
tersebut disajikan pada Gambar 4.18. Dari Gambar 4.18 terlihat bahwa data
pertama mempunyai nilai yang melebihi batas , maka diperoleh nilai orde
. Data residu pada bagian ini jumlahnya terlalu sedikit dikarenakan selang
waktu antara intervensi 3 dan 4 yang sangat pendek. Hal ini mengakibatkan orde r
pada intervensi 3 sulit untuk diidentifikasi, sehingga orde r ditentukan melalui
plot data asli, diperoleh . Jadi, intervensi 3 merupakan fungsi pulse (0, 0, 0).
39
Waktu Intervensi 3 +_
Da
ta
43210
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
Variable
-2_sigma
-3_sigma
data
2_sigma
3_sigma
0
Plot Residu 3
Gambar 4.18. Plot residu data peramalan pada intervensi 3 sampai data sebelum
intervensi 4
Model sebelum intervensi 4 digunakan untuk meramalkan data pada
intervensi 4 sampai data sebelum intervensi 5. Plot residu dari hasil peramalan
tersebut disajikan pada Gambar 4.19.
Waktu intervensi 4+_
Da
ta
210
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
Variable
-2sigma
-3sigma
data
2sigma
3sigma
0
Plot Residu 4
Gambar 4.19. Plot residu data peramalan pada intervensi 4 sampai data sebelum
intervensi 5
Dari Gambar 4.19 terlihat bahwa data pertama mempunyai nilai yang melebihi
batas , maka diperoleh nilai orde . Jumlahnya data residu terlihat sangat
sedikit dikarenakan selang waktu antara intervensi 4 dan 5 yang sangat pendek.
Hal ini mengakibatkan orde r pada intervensi 4 sulit untuk diidentifikasi,
sehingga orde r ditentukan melalui plot data asli, diperoleh . Jadi dapat
disimpulkan bahwa intervensi 4 adalah step (0, 0, 0).
40
Model sebelum intervensi 5 digunakan untuk meramalkan data pada
intervensi 5 sampai data sebelum intervensi 6. Plot residu dari hasil peramalan
tersebut disajikan pada Gambar 4.20.
Waktu intervensi 5+_
Da
ta
2724211815129630
12.5
10.0
7.5
5.0
2.5
0.0
Variable
-2sigma
-3sigma
Data
2sigma
3sigma
0
Plot Residu 5
Gambar 4.20. Plot residu data peramalan pada intervensi 5 sampai data sebelum
intervensi 6
Dari Gambar 4.20 terlihat bahwa data pertama mempunyai nilai yang melebihi
batas dan terbentuk suatu pola sejak data pertama, maka diperoleh nilai orde
dan Jadi, dapat disimpulkan bahwa intervensi 2 adalah step (0, 0, 0).
Model sebelum intervensi 6 digunakan untuk meramalkan data pada
intervensi 6 sampai data observasi terakhir. Plot residu dari hasil peramalan
tersebut disajikan pada Gambar 4.21.
Waktu intervensi 6 +_
Da
ta
1614121086420
12.5
10.0
7.5
5.0
2.5
0.0
Variable
-2sigma
-3sigma
Data
2sigma
3sigma
0
Plot Residu 6
Gambar 4.21. Plot residu data peramalan pada intervensi 6 sampai data observasi
terakhir
41
Dari Gambar 4.21 terlihat bahwa data pertama mempunyai nilai yang melebihi
batas , maka . Nilai ini berbeda dengan hasil identifikasi melalui plot data
asli ( ). Namun, setelah dilakukan uji signifikansi parameter model, nilai
memberikan nilai parameter yang tidal signifikan. Oleh karena itu, nilai s
yang digunakan adalah nilai yang diidentifikasi melaui plot data asli. Dari
Gambar 4.21 terlihat pula adanya suatu pola sejak data pertama, maka .
Jadi, dapat disimpulkan bahwa intervensi 2 adalah step (0, 0, 2).
Dari orde intervensi yang telah diidentifikasi, diperoleh model intervensi
akhir, yaitu
(4.15)
Estimasi parameter model intervensi 4.15 dapat dilihat pada Output 4.7 dalam
lampiran, dengan nilai parameter model yang signifikan ( . . Residu
model ini memenuhi asumsi kenormalan dan autokorelasi. Uji kenormalan yang
digunakan adalah uji Kolmogorof Smirnov dengan tingkat signifikansi 0.05. Plot
probabilitas normal dan hasil uji disajikan pada Gambar 4.22 dalam lampiran,
sedangkan plot autokorelasi disajikan pada Gambar 4.23 dalam lampiran.
42
4.4.2 Model Intervensi pada Data IHK Nasional
Intervensi dengan variabel input fungsi ramp dijumpai pada data IHK
nasional pada Januari 1995 Juli 1998 dengan tahun dasar April 1988 Maret
1989 =100. Data terdapat pada Tabel 4.5 dalam lampiran Plot data disajikan pada
Gambar 4.24.
Gambar 4.24. Plot data IHK nasional (Januari 1995 Juli 1998)
Berdasarkan plot data pada Gambar 4.24, terlihat pada Januari 1998 data
mulai tergoncang dengan pola data cenderung naik secara linear tanpa ada proses
exponensial, tetapi mengalami 3 lonjakan. Hal ini diilustrasikan lebih jelas pada
Gambar 4.25. Dapat disimpulkan data mengandung intervensi fungsi ramp dengan
orde (sesuai batasan masalah dengan Desember 1997), dan
. Jika orde intervensi ditentukan dari plot residual, maka data sebelum
intervensi (Januari 1995-November 1997) atau harus terlabih dahulu
dimodelkan menggunakan model ARIMA Box Jenkins. Dari Output 4.8 pada
lampiran, model yang diperoleh adalah
.
F1
160
180
200
220
240
260
280
300
320
Plot data IHK nasional (Januari 1995 Juli 1998)
Intervensi
waktu
nilai
Sumber: Badan Pusat Statistik
43
Residu model ini memenuhi asumsi kenormalan dan autokorelasi. Uji kenormalan
yang digunakan adalah uji Kolmogorof Smirnov dengan tingkat signifikansi 0.05.
Plot probabilitas normal dan hasil uji disajikan pada Gambar 4.26 dalam lampiran,
sedangkan plot autokorelasi disajikan pada Gambar 4.27 dalam lampiran.
Selanjutnya, dilakukan peramalan mulai Desember 1997 sampai Juni 1988. Plot
residu data peramalan disajikan pada Gambar 4.28.
Gambar 4.25. Plot data IHK nasional pada saat intervensi
Orde ditentukan dengan melihat nilai dan plot data residu data peramalan
dengan batas , sedangkan orde (sesuai
dengan batasan masalah). Dari Gambar 4.28 terlihat bahwa nilai residu sudah
keluar dari batas pada 1 periode setelah intervensi, sehingga ,
sedangkan nilai karena pada 2 periode setelah waktu intervensi, residu
terlihat mulai membentuk suatu pola tren linear. Identifikasi orde intervensi
melalui plot residu ini memberikan hasil berbeda dengan identifikasi orde
intervensi melalui plot data asli. Model intervensi dengan orde yang diperoleh dari
kedua metode disajikan pada Tabel 4.6
F1
180
200
220
240
260
280
300
320
Plot data IHK nasional pada saat intervensi
waktu
nilai
Ada 3 lonjakan
pada awal
intervensi, maka
44
Waktu intervensi +_
Data
6543210
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Variable
-2sigma
-3sigma
Data
2sigma
3sigma
0
Plot Residu
Gambar 4.28. Plot residu hasil peramalan data IHK nasional
Tabel 4.6. Model intervensi dengan orde yang diperoleh melalui pola data asli dan
melalui pola residu
penentuan
orde
intervensi
Orde
intervensi
(b, r, s)
Parameter Signifikansi
parameter
Melalui
plot data
asli
(0, 0, 2)
< 0.0001
< 0.0001
< 0.0001
< 0.0001
< 0.0001
Melalui
residu (0, 2, 1)
0.8941
0.8655
< 0.0001
0.3532
0.0215
< 0.0001
Dari Tabel 4.6 dapat diketahui bahwa model intervensi yang diperoleh
dengan orde ditentukan dari plot data asli menghasilkan parameter yang
signifikan, sedangkan model intervensi dengan orde yang ditentukan dari residu
menghasilkan parameter tidak signifikan.. Estimasi parameter untuk kedua model
ini masing-masing disajikan pada Output 4.9 dan 4.10 dalam lampiran. Oleh
karena itu, model yang dapat digunakan adalah model intervensi fungsi ramp (0,
0, 2), yaitu
45
(4.16)
Residu model pada persamaan (4.16) memenuhi asumsi kenormalan dan
autokorelasi. Plot probabilitas normal dan hasil uji disajikan pada Gambar 4.29
dalam lampiran, sedangkan plot autokorelasi disajikan pada Gambar 4.30 dalam
lampiran.
46
BAB V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Dari pembahasan pada skripsi ini diperoleh kesimpulan bahwa terdapat
beberapa langkah dalam membuat model intervensi multi input. Langkah-langkah
tersebut meliputi pemodelan data sebelum intervensi pertama menggunakan
model ARIMA Box Jenkins, identifikasi orde intervensi, estimasi parameter, dan
uji diagnostik model.
Pada tahap identifikasi orde intervensi, terdapat dua metode yang dapat
digunakan. Metode pertama adalah metode identifikasi orde intervensi melalui
pola residu model sebelum intervensi, sedangkan metode kedua melalui pola data
asli. Metode pertama memiliki kelemahan, yaitu ada salah satu orde intervensi
yang sulit diidentifikasi jika selang waktu antara dua intervensi sangat dekat.
Metode kedua memberikan solusi pada masalah tersebut. Pada metode ini,
identifikasi dilakukan melalui pola data asli secara langsung dengan cara
menyesuaikan pola data dengan karakteristik orde intervensi.
Kedua metode diterapkan pada data IHK kota Surakarta dan IHK nasional.
Metode pertama menghasilkan model dengan parameter yang tidak signifikan,
sedangkan metode kedua menghasilkan model dengan parameter yang signifikan
dan lebih mudah dilakukan. Hasil pada penerapan ini menunjukkan bahwa metode
kedua lebih mudah dan efisien daripada metode pertama. Namun, metode kedua
menuntut kejelian dari peneliti dalam mengamati pola data.
5.2 Saran
Dalam skripsi ini, penulis melakukan pemeriksaan karakteristik orde
intervensi terhadap pola data asli. Berbagai karakteristik yang diperoleh dapat
digunakan dalam menentukan orde intervensi melalui pola data asli. Bagi
pembaca yang tertarik untuk menerapkan model intervensi pada suatu data,
terutama model intervensi multi input, sebaiknya identifikasi orde intervensi
48
DAFTAR PUSTAKA
Anonymous. (2005), SAS Help and documentation. Index: Intervention Models and
Interrupted Time Series.
Badan Pusat Statistik. (1995-2009), Indeks Harga Konsumen dan Inflasi kota Surakarta.
Surakarta: Badan Pusat Statistik.
Cryer, J. D.(1986), Time Series Analysis.London: PWS Publishers.
Box, G E. P., Gwilym M. J., Gregory C. R. (2008), Time Series Analysis and Control Foecasting. Canada: Wiley and sons.
Ismail, Suhartono, A. Yahaya, R. Efendi. (2009), Intervention Model for Analyzing the Impact of Terrorism to Tourism Industry. Journal of Mathematics and statistics 5 (4):
322-329. ISSN 1549-3644.
Makridakis, S., Steven C. W., Victor E. M. (1995), Metode dan Aplikasi Peramalan,
Jakarta: Erlangga.
McLeod, A. I dan E. R. Vingilis. (2005), Power Computation for Intervention Analysis.
American Statistical Association and the American Society for Quality Technometrics,
Vol. 47, No. 2 DOI 10.1198/004017005000000094.
Min, J. C.(2007), Forecasting Japanese Tourism Demand in Taiwan using an
Intervention Analysis. International Journal of Culture, Tourism and Hospitality
Research Vol. 2 No. 3, 2008 pp. 197-216 q Emerald Group Publishing Limited
1750-6182 DOI 10.1108/17506180810891582.
Nuvitasari, E., Suhartono, Sasmito H. W. (2008), Analisis Intervensi Multi Input fungsi
step dan pulse untuk Peramalan Kunjungan Wisatawan ke Indonesia, Financial Statistics
Directorate, Information Technology, and Tourism, the Central Statistics Agency Jl. dr. Sutomo No. 6-8 Jakarta 10710. http://oc.its.ac.id/detilmateri.php?idp=746.
Praptono.(1986), Statistik Non Parametrik. Jakarta: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Jakarta.
Santoso, P. B dan Muliawan H.(2007), Statistika Deskriptif dalam Bidang Ekonomi
dan Niaga. Jakarta: Erlangga.
Soejoeti, Z. (1987), Analisis Runtun Waktu, Jakarta: Karunia.
Sridharan, S., Suncica V., Siem J. K. (2003), Intervention Time Series Analysis of Crime
Rates, Timbergen Institute Discussion Paper, TI 2003-040/4.
Syamsuddin. (2005), Dasar Matematika Bisnis dan Manajemen SMK, Bandung:
Grasindo.
49
Wei, W. W. S. (1994), Time Series Analysis, Canada: Allan M. Wylde.
Wijayanta, B. dan Aristanti W.(2007), Ekonomi & Akuntansi: Mengasah
Kemampuan Ekonomi, Bandung: Citra Praya.