III. ALJABAR BOOLEAN DAN GERBANGIII. ALJABAR BOOLEAN DAN GERBANG LOGIKA LOGIKA

A. PENDAHULUAN ALJABAR BOOLEAN

Ekspresi Boolean

Adalah pernyataan logika dalam bentuk

aljabar Boolean.

B. FUNGSI BOOLEANB. FUNGSI BOOLEAN

Tabel 3-1 Rumus –2 pada aljabar Boolean

No AND OR KETERANGAN

12345678

9

(A.B).C = A.(B.C) A .B = B .A

(A+B).(A+C)=A+(B.C)A.O = OA.A = AA.A= OA = AA.O= O

A .1 = AA.(A + B ) = A

(A+B)+C=A+(B+C)A+B=B+A

(A.B)+(A.C)=A(B+C)A+1= 1A+A=AA+ A=1A = A

A + O = AA + 1 = 1

A + (A.B) = A

Hk.AsosiatifHk.KomutatifHk.DistributifHk.IdentitasHk.IdempotenHk.Inversi/NegasiHk.Negasi GandaHk.Hubungan DgnSuatu KonstantaHk.Absorbsi

CONTOHCONTOH

1. X + X’ .Y = (X + X’).(X +Y) = X+Y

2. X .(X’+Y) = X.X’ + X.Y = X.Y

3. X.Y+ X’.Z+Y.Z = X.Y + X’.Z + Y.Z.(X+X)’

= X.Y + X’.Z + X.Y.Z + X’.Y.Z

= X.Y.(1+Z) + X’.Z.(1+Y)

= X.Y + X’.Z

C.C. KANONIKAL DAN BENTUK STANDARDKANONIKAL DAN BENTUK STANDARD

Adalah menyatakan suatu persamaan dalam

hubungan operasi AND atau OR antar

variabel secara lengkap pada setiap suku.

Dan antar suku dihubungkan dengan

operasi OR atau AND.

XX YY ZZMintermMinterm MaxtermMaxterm

TermTerm DesignationDesignation TermTerm DesignationDesignation

0000

00

00

11

11

11

11

0000

11

11

00

00

11

11

0011

00

11

00

11

00

11

x’y’z’x’y’z’x’y’zx’y’z

x’yz’x’yz’

x’yzx’yz

xy’z’xy’z’

xy’zxy’z

xyz’xyz’

xyzxyz

mm00

mm11

mm22

mm33

mm44

mm55

mm66

mm77

x+y+zx+y+zx+y+z’x+y+z’

x+y’+zx+y’+z

x+y’+z’x+y’+z’

x’+y+zx’+y+z

x’+y+z’x’+y+z’

x’+y’+zx’+y’+z

x’+y’+z’x’+y’+z’

MM00

MM11

MM22

MM33

MM44

MM55

MM66

MM77

Tabel 2. Bentuk Minterm dan Maxterm Tabel 2. Bentuk Minterm dan Maxterm

untuk 3 variabel bineruntuk 3 variabel biner

M I N T E R MM I N T E R M

Adalah suku dalam persamaan yang memiliki hubungan operasi AND antar variabel secara lengkap. Dan antar suku dihubungkan dengan

ORContoh.

Tunjukkan fungsi Boolean F = A + B’C dalam minterm

Jawab.Fungsi mempunyai 3 variabel A,B dan Csuku pertama A = A(B+B’) (C+C’)

= ABC+ABC’+AB’C+AB’C’suku kedua BC = B’C (A+A’)

= AB’C + A’B’CJadi penulisan Minterm untuk F = A + B’Cadalah F = ABC+ABC’+AB’C+AB’C’+A’B’C

= m7 + m6 + m5 + m4 + m1

Atau dapat ditulis dengan notasi Atau dapat ditulis dengan notasi F (ABC) = F (ABC) = ΣΣ (1,4,5,6,7) (1,4,5,6,7)

Lanjutan ……

Dan tabel kebenaran adalah sebagai berikut. Dan tabel kebenaran adalah sebagai berikut.

AA BB CC FF

00

00

00

00

11

11

11

11

00

00

11

11

00

00

11

11

00

11

00

11

00

11

00

11

00

11

00

00

11

11

11

11

M A X T E R MM A X T E R M

Adalah suku dalam persamaan yang memiliki hubungan operasi OR antar variabel secara lengkap. Dan antar suku di hubungkan dengan operasi AND.

Contoh.Contoh.

Tunjukkan fungsi Boolean F = XY + XTunjukkan fungsi Boolean F = XY + X’’Z dalam Z dalam

Maxterm.Maxterm.

Jawab.Jawab.

Fungsi mempunyai 3 variabel X,Y dan Z Fungsi mempunyai 3 variabel X,Y dan Z dengan menggunakan Hk.Distributifdengan menggunakan Hk.Distributif

F = XY + XF = XY + X’’Z = (XY + XZ = (XY + X’’) (XY + Z)) (XY + Z)

= (X + X= (X + X’’) (Y + X) (Y + X’’) (X + Y) (X + Z)) (X + Y) (X + Z)

= (X= (X’’ + Y) (X + Z) (Y + Z) + Y) (X + Z) (Y + Z)

Lanjutan …….Lanjutan …….

Untuk suku 1Untuk suku 1

(X(X’’+ Y) = X+ Y) = X’’+ Y + ZZ+ Y + ZZ’’ = (X = (X’’ + Y + Z) (X + Y + Z) (X’’ + Y + + Y + ZZ’’))

(X + Z) = X + Z + YY(X + Z) = X + Z + YY’’ = (X + Z + Y) (X + Y = (X + Z + Y) (X + Y’’ + + Z)Z)

(Y + Z) = Y + Z + XX(Y + Z) = Y + Z + XX’’ = (X + Y + Z) (X = (X + Y + Z) (X’’ + Y + Z) + Y + Z)

Jadi dapat ditulisJadi dapat ditulis

F (XYZ) = (X+Y+Z) (X+YF (XYZ) = (X+Y+Z) (X+Y’’+Z) (X+Z) (X’’+Y+Z) +Y+Z) (X(X’’+Y+Z+Y+Z’’))

= M= M00.M.M22.M.M44.M.M55

Atau ditulis dengan notasiAtau ditulis dengan notasi

F (XYZ) = F (XYZ) = ππ (0,2,4,5) (0,2,4,5)

Lanjutan ……

Dan tabel kebenaran adalah sebagai berikut.Dan tabel kebenaran adalah sebagai berikut.

Soal latihanSoal latihan..

Ekspresikan fungsi Boolean tsb dalam bentuk Minterm Ekspresikan fungsi Boolean tsb dalam bentuk Minterm

dan Maxterm.dan Maxterm.

F (ABCD) = BF (ABCD) = B’’D + AD + A’’D + BDD + BD

AA BB CC FF

00

00

00

00

11

11

11

11

00

00

11

11

00

00

11

11

00

11

00

11

00

11

00

11

00

11

00

11

00

00

11

11

IV. ALJABAR BOOLEAN DAN GERBANG IV. ALJABAR BOOLEAN DAN GERBANG LOGIKA LOGIKA

A.A. GERBANG LOGIKAGERBANG LOGIKA

Tabel 4-1. Gerbang Logika DasarTabel 4-1. Gerbang Logika Dasar

Fig. 2-5 Hal 59 M. Mano Fig. 2-5 Hal 59 M. Mano

B. RANGKAIAN DENGAN GERBANG LOGIKAB. RANGKAIAN DENGAN GERBANG LOGIKA

Fungsi Boolean di despresikan dalam Fungsi Boolean di despresikan dalam

bentuk rangkaian dengan Gerbang Logika bentuk rangkaian dengan Gerbang Logika

CONTOH.CONTOH.

Buatlah rangkaian dengan Gerbang Logika Buatlah rangkaian dengan Gerbang Logika

untuk aljabar Boolean sbb.untuk aljabar Boolean sbb.

X . ( XX . ( X’’ + Y ) + Y ) Jawab.Jawab.

XX X.( X X.( X’’+Y)+Y)

YY

C. IMPLEMENTASI DEMORGAN DALAM C. IMPLEMENTASI DEMORGAN DALAM RANGKAIAN LOGIKA RANGKAIAN LOGIKA

Hukum De Morgan

(A + B)’ = A’ . B’ A + B = (A’ . B’)’

(A . B)’ = A’ + B’ A . B = (A’ + B’)’

Beberapa Contoh latihan penyederhanaan

fungsi dengan aljabar Boolean.

1. Buktikan X + X . Y = X + Y

2. Buktikan (X+Y).(X’+Z).(Y+Z) = X+Y).(X+Z)