Post on 19-Apr-2018
SISTIM
PERSAMAAN LINIER
Agustina Pradjaningsih, M.Si.
Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
agustina.fmipa@unej.ac.id
DEFINISI : Persamaan Linier
Persamaan Linier dalam n
peubah dinyatakan
dalam bentuk
dimana
nxxx ,, 21
bxaxaxa nn 2211
Rbaaa n ,,, 21
Pemecahan persamaan linier diatas
adalah urutan dari n bil.
sehingga persamaan tersebut dipenuhi
bila
nsss ,,, 21
nn sxsxsx ,,, 2211
Himpunan semua pemecahan
persamaan tersebut dinamakan
himpunan penyelesaiannya. (HP)
Definisi : Sistim Persamaan Linear
Sistim Persamaan Linier adalah sebuah
himpunan berhingga dari m persamaan
linier (i) dengan n peubah (j) :
n
j
ijij
mnmnmm
nn
nn
bxa
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
1
2211
22222121
11212111
atau
konstanta ,,, peubah, ,, 2121 inn baaaxxx dengan
Sistim Persamaan Linier dari m
persamaan linier dengan n peubah,
dapat dinyatakan dalam bentuk matriks
BAX
mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
2
1
2
1
21
22221
11211
B;X;A
dengan
Matriks lengkap atau augmented
matriks dari Sistim Persamaan Linier
BAX
mmnmm
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
2
1
21
22221
11211
AB
adalah
Terlihat jika transformasi elementer
dilakukan pada (AB) maka sistem persamaan
linier yang timbul akan ekuivalen dengan
sistem persamaan linier yang diberikan.
Dalam sistem AX=B, jika matriks AB dibawa
ke bentuk kanonik/matriks eselon baris
tereduksi CK maka sistem persamaan
CX=KAX=B. Ini berarti penyelesaian
persamaan CX=K juga merupakan penyelesaian
persamaan AX=B dan sebaliknya
Selesaikan sistim persamaan linier
berikut
CONTOH
4242
3 34
1 2 3
2 2
zyx
zyx
zyx
zyx
Matriks lengkap dari sistim tersebut
4
3
1
2
242
134
213
121
AB
Akan dibawa ke bentuk kanonik
E21(-3), E31(-4), E41(-2)
)1(),1(),(13236
1
3EEE
4
3
1
2
242
134
213
121
0
5
5
2
000
5110
550
121
0
6
1
0
000
600
110
101
)2(),11(),(12325
1
2 EEE
Dapat dilihat
1
0
1
z
y
x
0
1
0
1
000
100
010
001
Vektor penyelesaiannya
1
0
1
X
Matriks kanonik/matriks
eselon baris tereduksi
Sebuah sistim persamaan linier ada 3
kemungkinan pemecahannya : (1) Tepat
satu pemecahan; (2) Takterhingga
pemecahan; (3) Tidak punya pemecahan
Sebuah sistim persamaan linier yang
mempunyai pemecahan (=konsisten)
sedang sistim persamaan linier yang tidak
mempunyai pemecahan dikatakan
(=takkonsisten).
SIFAT-SIFAT
Sistem AX=B terdiri atas mpersamaan linier dalam n bilangantak diketahui mempunyaipenyelesaian konsisten jika danhanya jika r(A)=r(AB)
Sistem AX=B inkonsisten jika danhanya jika r(A)r(AB)
Jika sistem AX=B konsisten dengan
r(A)<n maka (n-r) bilangan tak diketahui
dapat dipilih sedemikian hingga matriks
koefisien r bilangan tak diketahui yang
tersisa mempunyai rank r.
Jika (n-r) bilangan tak diketahui sudah
dipilih (sebarang) maka r bilangan tak
diketahui yang lain tertentu dengan
tunggal.
Selesaikan sistim persamaan linier
berikut (3 persamaan linier dalam 4
bilangan tak diketahui)
CONTOH
105252
42 3
6432
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
E21(-1) dan E31(-2)
E23(-2), E13(8)
10
4
6
5-2-52
2-131
4-3-21
AB
Matriks lengkap dari sistim tersebut
2
2
6
3410
2410
4-3-21
0
2
10
1000
2410
8-11-01
E32(-1), E12(-2)
Matriks kanonik/matriks
eselon baris tereduksi
0
2
10
1000
0410
011-01
r(A)=r(AB)=3 → sistem persamaan
linier diatas mempunyai penyelesaian
[(4-3=1) bilangan tak diketahui
menjadi parameter]
3131
3232
4
11101011
4224
0
xxxx
xxxx
x
Terlihat
Misal x3 = maka
1110dan 4212
xx
Jadi vektor penyelesaian adalah
R,
0
42
1110
X
Sistem Persamaan Linear HOMOGEN
n
j
jij
nmnmm
nn
nn
xa
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
1
2211
2222121
1212111
0atau
0
0
0
Penulisan dalam bentuk matriks
0
0
0
2
1
21
22221
11211
nmnmm
n
n
x
x
x
aaa
aaa
aaa
Matriks lengkap Sistem tersebut adalah
0
0
0
AO
21
22221
11211
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
r(A)=r(AO), ini menunjukkan SPL Homogen
pasti mempunyai penyelesaian nol/trivial
000X
Jika r(A)=n → trivial
Jika r(A)<n → trivial dan non trivial
Selesaikan sistim persamaan linier
homogen berikut (2 persamaan dalam 3
bilangan tak diketahui)
CONTOH
02
032
321
321
xxx
xxx
(1) Penyelesaian trivial
000X321 xxx
Matriks lengkap
0
0
211
321
0
0
130
321
0
0
10
01
31
37
E21(-1)
E2(1/3), E12(2)
r(A)=r(AO)=2<3
Karena r(A)=r(AO)=2<3, maka sistemtersebut juga mempunyai penyelesaiannon trivial.
Dari bentuk kanonik terlihat
331
2331
2
337
1337
1
0
0
xxxx
xxxx
Misal x3 = maka
37
131
2dan xx
Jadi vektor penyelesaian adalah
R,X 31
37
Sistem Persamaan Linear NON HOMOGEN
n
j
ijij
mnmnmm
nn
nn
bxa
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
1
2211
22222121
11212111
atau
Penulisan dalam bentuk matriks
mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
2
1
2
1
21
22221
11211
Matriks lengkap Sistem tersebut adalah
mmnmm
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
2
1
21
22221
11211
AB
Sistem persamaan linier non homogen
mempunyai penyelesaian/konsisten jika
r(A)=r(AB).
Jika sistem persamaan linier non
homogen konsisten maka penyelesaian
bisa tunggal bisa tak berhingga
banyak.
Khusus untuk m=n, penyelesaian
1. Tunggal jika det(A)0
2. Banyak jika det(A)=0
Selesaikan sistim persamaan linier
non homogen berikut
CONTOH
10473
132
82
321
321
321
xxx
xxx
xxx
E21(1) dan E31(-3)
Matriks lengkap dari sistim tersebut
E2(-1),E32(10), E12(-1)
10
1
8
473
321
211
AB
14
9
8
2100
510
211
104
9
17
5200
510
701)7(),5(),(
1323521
3 EEE
Matriks kanonik/matriks
eselon baris tereduksi
2
1
3
100
010
001
213X321 xxx
Jadi penyelesaiannya adalah
SPL non homogen diatas mempunyai tepat
satu penyelesaian tunggal.
r(A)=r(AB)=3 →konsisten.
Selesaikan sistim persamaan linier
non homogen berikut
CONTOH
333
142
12
wx
wzyx
wzyx
E21(1) dan E31(-3)
Matriks lengkap dari sistim tersebut
E32(-3), E12(1)
3
1
1
3003
1421
1211
AB
0
0
1
0630
0210
1211
0
0
1
0000
0210
1001Matriks kanonik
r(A)=r(AB)=2 →konsisten.
wxwxzyzy 11dan 202
SPL menjadi 2 persamaan 4 variabel, jadi 2
variabel menjadi parameter
Jadi vektor penyelesaian adalah
R,,2
1
X
Misal w = dan z = maka 1 & 2 xy
Banyak
tak hingga
penyelesaian
Selesaikan sistim persamaan linier
non homogen berikut
CONTOH
123
12
232
yx
yx
yx
Matriks kanonik
r(A)=2(AB)=3
inkonsisten.
Matriks lengkap dari sistim tersebut
1
1
2
23
12
32
AB
4
3
1
0
40
1
213
23
87
43
81
00
10
01
3((\),2(),(31212
1
1 EEE
)(),(),( 23
12213
3241
2EEE
Penyelesaian SPL
1• ATURAN CRAMER
2• MENGHITUNG A-1 ; X=A-1B.
3
• ELIMINASI GAUSS DENGAN SUBTITUSI BALIK
4• ELIMINASI GAUSS-JORDAN
1. Aturan Cramer
Jika AX = B sistem persamaan linier yang
terdiri dari n persamaan linier dalam n
peubah dan │A│≠0, maka
Aj matriks yang diperoleh dengan
menggantikan entri dalam kolom ke-j dari
A dengan entri dalam matriks kolom B.
)det(
)det(,,
)det(
)det(,
)det(
)det( 22
11
A
Ax
A
Ax
A
Ax n
n
CONTOH
0563
1 342
92
zyx
zyx
zyx
Diberikan sistim persamaan linier sbb
110182424920
63
42
11
5-63
3-42
211
A
151620120180
60
41
19
5-60
3-41
219
A x
3
2
1
;3A
A ;2
A
A ;1
A
A
z
y
x
zyxzyx
30610810830
63
42
11
063
142
911
A z
290060815
03
12
91
5-03
3-12
291
A y
Jika A matriks nxn yang
invertible, maka untuk setiap
matriks B yang berukuran nx1,
sistem persamaan linier AX=B
mempunyai tepat satu pemecahan,
yakni X=A-1B
2. Menghitung A-1; X=A-1B.
CONTOH
0563
1 342
92
zyx
zyx
zyx
Diberikan sistim persamaan linier sbb
0
1
9
B;
z
y
x
X;
5-63
3-42
211
A
Dihitung A-1
1031130
0110
001211
21
27
100563
010342
001211
)3(dan )2( 3121 EE
)(21
2E
1031130
012720
001221
1000
0110
0201
23
21
21
27
21
211
)1(dan )3( 1232 EE
)2(3 E
)(dan )(2
11132
723 EE
230100
0110
0201
21
27
21
211
230100
7111010
11172001
2-30
7-111-
1117-2
A 1
3
2
1
0
1
9
2-30
7-111-
1117-2
BAX 1
3
2
1
z
y
x
3. Eliminasi Gauss dgn Subtitusi Balik
Metode ini didasarkan pada
pereduksian augmented
matrix menjadi matriks
berbentuk eselon baris.
augmented matrix dari sistim tersebut
0563
1342
9211
CONTOH
0563
1 342
92
zyx
zyx
zyx
Diberikan sistim persamaan linier sbb
271130
10
9211
217
27
0563
1342
9211
E21(-2) dan E31(-3)
)(21
2E
271130
17720
9211
3100
10
9211
217
27
E32(-3)
)2(3 E
Matriks eselon baris
23
21
217
27
00
10
9211
3
92
217
27
z
zy
zyx
Sistim persamaan linier menjadi
diperoleh
1
2
3
x
y
z
3. Eliminasi Gauss Jordan
Metode ini didasarkan pada
pereduksian augmented
matrix menjadi matriks
berbentuk eselon baris ter-
reduksi
0563
1 342
92
zyx
zyx
zyx
Diberikan sistim persamaan linier sbb
augmented matrix dari sistim tersebut
0563
1342
9211
CONTOH
271130
10
9211
217
27
0563
1342
9211
E21(-2) dan E31(-3)
)(21
2E
271130
17720
9211
3100
10
9211
217
27
E32(-3)
)2(3 E
23
21
217
27
00
10
9211
3100
2010
9211
)(27
23E
3100
2010
1001
)1(12 E
)2(13 E
Matriks eselon baris
tereduksi
3
2
1
z
y
x
3100
2010
7201