BEBERAPA DISTRIBUSI PROBABILITAS KONTINYU

(SSTS 2305 / 3 sks)

Dra. Noeryanti, M.Si

1

Pengantar:

Dalam pokok bahasan disini memuat beberapa distribusi

koninyu yang sangat penting di bidang staistika. diantaranya distribusi

normal, distribusi gamma dan eksponensial, distribusi chi-kuadrat dan

distribusi weibull. Distribusi-distribusi ini yang sangat berperan pada

statistik inferensial yaitu dalam pengujian hipotesis, pengujian

panjang umur (life testing) dan sebagianya

Disini setiap distribusi tersebut diatas telah dibuat grafiknya

menggunakan software R. Selain digunakan membuat grafik fungsi,

nilai-ilai yang biasanya dicari di tabel, disini diberikan cara

penggunaan program R dalam menenukan distribusi probabilitasnya.

2

Kompetensi:

Setelah mempelajari materi pokok bahasan disini, mahasiswa

diharapkan:

1. Mampu menggunakan konsep-konsep dasar teori Distribusi

Probabilitas Kontinu secara benar.

2. Mampu melakukan operasi hitungan-hitungan yang berkaitan

dengan distribusi normal, distribusi gamma dan eksponensial,

distribusi chi-kuadrat dan distribusi weibull.

3. Terampil dalam mengerjakan soal-soal tugas dan latihan.

3

Daftar Isi Materi:

• Distribusi Normal

• Luas Daerah dibawah Kurva Normal

• Distribusi Gamma dan Eksponensial

• Distribusi Chi-kuadrat

• Distribusi Weibull

4

6.1 Distribusi Normal

Distribusi probailitas kontinyu yang terpenting di bidang statistik

adalah distribusi Normal. Grafiknya disebut kurva normal, berbentuk

lonceng seperti gambar 6.1. Distribusi ini ditemukan Karl Friedrich

(1777-1855) yang juga disebut distribusi Gauss. Perubah acak X

yang bentuknya seperti lonceng disebut perubah acak normal dengan

persamaan matematik distribusi probabilitas yang bergantung

paramerter

dinyatakan

Pada gambar (6.2) melukiskan dua kurva normal dengan simpangan

baku yang sama tapi rata-rata berbeda, gambar 6.3 melukiskan

beberapa kurva yang mempunyai mean sama tetapi standart deviasi

bebeda. Gambar 6.4 mellukiskan kurva normal dengan mean dan

standart deviasi yang berbeda.

(mean) dan (simpangan baku) n(x; , )

5

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

dn

orm

(x)

Ganbar 6.1 Kurva normal

6

0 2 4 6 8 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

dn

orm

(x, 5

, 1)

Distribusi Normal

1 22 21 2 1

Ganbar 6.2 Kurva normal dengan simpangan baku sama

7

-4 -2 0 2 4

0.0

0.5

1.0

1.5

x

dn

orm

(x, 0

, 0.2

5)

Distribusi Normal

21 10, 0.25

23 30, 0.75

22 20, 0.5

24 40, 1

Ganbar 6.3 Kurva normal dengan rata-rata sama

8

-6 -4 -2 0 2 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

x

dn

orm

(x, 1

, 0.5

)1 11 0 5, .

2 22 1,

Ganbar 6.4 Kurva normal dengan mean dan standart deviasi yang berbeda

9

10

Fungsi padat perubah acak normal X, dengan rata-rata

dan variansi dinyatakan sebagai:

50 5; 50 5n(x; , )

211 22

x( )( )n(x; , ) e ; x

2

3 14159 2 71828dengan , .... dan e , ....

Begitu dan diketahui, maka kurva normal dapat ditentukan.

Misal:

maka ordinat dengan mudah dapat dihitung.

2

Sifat-sifat Kurva Normal

1. Modus (nilai x maksimun) terletak di

2. Simetris terhadap sumbu vertikal melalui

3. Mempunyai titik belok pada

4. Memotong sumbu mendatar secara asimtotis.

5. Luas daerah dibawah kurva dg sumbu mendatar sama dg 1

x

x

11

12 2

2

1

2

xb b

a a

P(a x b) f(x)dx e dx

6.2. Luas daerah di bawah kurva Normal

Luas daerah kurva normal antara x = a dan x = b dinyatakan sbb:

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

dn

orm

(x)

a b

Ganbar 6.5 Luas daerah P(a<x<b)= luas daerah di arsir

12

• Untuk mengatasi kesulitan menghitung integral.

Gunakan tabel distribusi normal standart (Z) yaitu distribusi normal

dengan

 Caranya menggunakan transformasi dengan rumus

Setiap pengamatan perubah acak X dapat ditransformasikan ke

perubah acak Z dengan rata-rata 0 dan variansi 1.

Jika X mendapat nilai padananya diberikan oleh . Jadi jika X

bernilai dan maka perubah acak Z akan bernilai

dan kemudian dinyatakan sebagai:

20 1dan xz

xz

1x x 2x x 11

xz

22

xz

2

12 2 212 2

1 22 21 1

2

1 2

1

1 1

2 2

0 1

xx zz

x zz

z

P(x x x ) e dx e dx

n(z, , ) dx P(z z z )

13

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

dn

orm

(x, 1

, 0

.75

)

Ganbar 6.6 P(x1<x<x2) untuk kurva normal yang berbeda

X1 x2

Definisi (6.1)

Distribusi perubah acak normal dengan rata-rata nol dan variansi 1

disebut distribusi normal baku

14

-4 -3 -2 -1 0 1 2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

dn

orm

(x, -

1, 0

.5)

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

zd

no

rm(x

, 0, 1

)

Ganbar 6.7 Distribusi normal asli dan yang telah ditransformasikan

x1 x2 z1 z2

1 2 1 2P(x x x ) P(z x z )

1 2P(x x x ) 1 2P(z z z )

Contoh 6.1

50 10

Diketahui suatu distribusi normal dengan dan

Carilah probabilitas bahawa X mendapat ilai antara 45 dan 62

15

Jawab:

Dicari nilai z yang berpadaan dengan adalah

dan

Jadi:

1 245 62x dan x 45 50

1 100 5z . 62 50

2 101 2z .

45 62 0 5 1 2P( x ) P( , z . )

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 20 40 60 80 100

0.0

00

.01

0.0

20

.03

0.0

4

45 62P( x ) 0 5 1 2P( , z . )

Ganbar 6.7 Luas daerah contoh 6.1

16

Gunakan tabel distribusi normal standart, diperoleh:

45 62 0 5 1 2

1 2 0 5

0 8849 0 3085

0 5764

P( x ) P( , z , )

P(z , ) P(z , )

, ,

,

Dengan R

> pnorm(-0.5)

[1] 0.3085375

> pnorm(1.2)

[1] 0.8849303Tabel 6.1. Luas daerah di bawah kurva normal

z 0.00 ……… 0.04 …….. 0.09

::

-0.5 0.3085

0

::

1.2 0.8849

::

Distribusi gamma dan eksponensial memaikan peran yang sangat

penting di bidang teori antrian dan teori keandalan (reliabilitas).

Distribusi Eksponensial merupakan keadaan khusus dari distribusi

gamma. Distribusi gamma mendapat namanya dari fungsi gamma yang

sudah dikenal luas.

6.3 Distribusi Gamma dan Eksponensial

Definisi (6.2):

17

Fungsi gamma didefinisikan sebagai:

Untuk

Jadi

11

0

0x( ) x e dx ; untuk

00

1 1 1x x( ) e dx e

(1) 1

18

Jika di integralkan per bagian (parsial) dengan

Diperoleh

Maka

Jadi diperoleh

1 xx dan dv e dx

1 21

x x

u x du ( )x dx

v e dv e dx

1

0 0 0

1 2

00

2

0

1

1

1 1

x

x x

x

( )

( ) x e dx u dv uv v du

x e e ( )x dx

( ) e x dx ; untuk

1 1( ) ( ) ( )

19

( )

( 2) ( 2)

( 3) ( 3)

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

( 1)( 2) ( 2) ( 1)( 2) ( 2)

( 1)( 2)( 3) ( 3)

Dengan formula (rumus) berulang diperoleh

:

: dan seterusnya

Jika dengan bilangan n bulat positif, makan

1 2 3 1 1 1 1

1 2 3 1 1

1

(n) (n )(n )(n )......... . ( ) ;karena ( )

(n) (n )(n )(n )......... (n )!

atau

(n) (n )!

20

• Sifat penting fungsi Gamma adalah 12( )

Bukti:

Dari definisi

Untuk

Menggunakan substitusi:

Diperoleh:

Dengan merubah sistem koordinatnya ke polar koordinat dengan

persamaan diatas menjadi:

11

0

0x( ) x e dx ; untuk 1

1 1 22 2

0

x( ) x e dx

2 2112

0 0

2 2 2 2212

0 0 0 0

2 2

2 2 4

u u

u v [u v ]

( ) u e udu e du

( ) e du e dv e dudv

2 2x u dx udu

( , )

u cos dan v sin

21

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 222

212

0 0

0 0

0 0

21 102 2

00 0

4

4

4

4 2 2

[ cos sin ]

[cos sin ]

( ) e d d

e d d

e d d

( ) e d d

21 12 2

( ) atau ( ) Jadi

22

Definisi (6.3):

Perubah acak kontinu X berdistribusi gamma dengan parameter

dan , jika fungsi padatnya berbentuk:

Grafik beberapa distribusi gamma dipelihatkan pada gambar 6.8, untuk

beberapa nilai parameter dan

Distribusi gamma yang khusus dengan disebut distribusi

Eksponensial, dan grafik distribusi gamma dengan dan

beberapa nilai dipelihatkan pada gambar 6.9

110

0

x

x e ; xf(x) ( )

; x yanglain

0 0dengan dan

1

1

0 2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

x

f(x)

Distribusi Gamma

Gmbar 6.8 Distribusi Gamma

1, 1

2, 1

3, 1

23

24

Gmbar 6.9 Distribusi Eksponensial (Distribusi Gamma dengan )1

Definisi (6.4):

25

Perubah acak kontinu X terdistribusi eksponensial dengan

parameter, , jika fungsi padatnya berbentuk:

10

0

0

x

e ; xf(x)

; x yanglain

dengan

Teorema 6.1:

Rata-rata dan variansi distribusi gamma adalah 2 2dan

Akibat (1):

Rata-rata dan variansi distribusi eksponensial adalah

2 2dan

Contoh 6.2

26

Suatu sistem memuat sejenis komponen yang mempunyai daya

tahan pertahun dinyatakan oleh perubah acak T yang berdistribusi

eksponensial dengan parameter waktu rata-rata sampai gagal

Bila sebanyak 5 komponen tersebut dipasangkan dalam sistem yang

berlainan, berapa pobabilitas bahwa paing sedikit 2 masih akan

berfungsi pada akir tahun ke delapan.

Jawab:

Probabilitas bahwa suatu komponen tertentu masih akan berfungsi

setelah 8 tahun adalah:

5

81 5 558

8

0 2

tP(T ) e dt e

,

27

Contoh 6.3

Hubungan saluran telepon tiba i suatu gardu (sentral) memrnuhi

proses poisson dengan rata-rata 5 hubungan yang masuk per menit.

Berapa probabilitasnya bahwa setelah semenit berlalu baru 2

sambungan telepon masuk ke gardu tadi

Jawab:

Proses poisson berlaku denganwaktu sampai kejadian poisson

memenui distribusi gamma dengan parameter

Misalkan X perubah acak yang menyatakan waktu dalam menit yang

berlalu sebelum 2 hubungan masuk,probabilitasnya adalah:

1

01

5 5 1

0

1 25 1 1 5 0 96

xx

x ( )

P(X x) xe dx

P(X ) xe dx [ e ( )] ,

15

2dan

Hal khusus lainya yang sangat penting dari distribusi gamma

adalah dengan mengambil

Hasilnya disebut distribusi chi-kuadrat, dan v disebut derajad bebas

6.4 Distribusi Chi-kuadrat

28

22v dan ;v bilangan bulat positif

Definisi (6.4):

Perubah acak kontinu X terdistribusi chi-kuadrat dengan derajad

bebas v, jika fungsi padatnya berbentuk:

12 2

21

02 2

0

v x

v /x e ; x

f(x) (v / )

; x yanglain

dengan vbilangan bulat positif

Akibat (2):

Rata-rata dan variansi distribusi chi-kuadrat adalah 2 2v dan v

29

0 2 4 6 8 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

Distribusi Chi-square

3df

2df

4df

5df

Gambar 6.10 Distribusi Chi- Kuadrat

Distribusi Weibull ini diperkenalkan oleh ahli fisikawan swedia

Waloddi Weibull pada tahun 1939. Grafik distribusi weibll untuk

dan berbagai nilai parameter dilukiskan pada gambar 6.11

6.5 Distribusi Weibull

30

Definisi (6.5): Perubah acak kontinyu X terdistribusi Weibull dengan parameter

, jika fungsi padatnya berbentuk:

Jika maka distribusi weibull menjadi distribusi eksponensial.

Jika maka kurvanya mirip lonceng dan menyerupai kurva

normal tetapi agak mencong.

1 0

0

0 0

xx e ; xf(x); x yanglain

dengan dan

1

dan

1

1

31

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x

f(x)

Distribusi Weibull

1 1,

1 2,

1 3,

1 5,

Gambar 6.11 Distribusi Weibull

32

Teorema .6.2:

Rata-rata dan variansi distribusi Weibull adalah 1 1

22 2 2 1

1

1 1

/

/

( )

( ) ( )

Seperti distribusi gamma dan eksponensial, distribusi weibull

juga dipakai pada persoalan keandalan dan pengujian panjang umur

seperti waktu sapai rusak (panjang umur) suatu komponen, diukur

dari suatu waktu tertentu sampai rusak.