Post on 10-Mar-2019
TEORI HIMPUNAN
A. Himpunan dan subhimpunan
1. Pengertian himpunan
Himpunan adalah konsep dasar dari semua cabang matematika. Teori
himpunan bukansaja dipakai sebagai dasar matmatika tetapi sering digunakan
dalam cabang-cabang matematika lainnya, seperti aljabar, teori bilangan, teori
kemungkinan dan lain-lain. Gerorg Cantor (1920) dianggap sebagai bapak teori
himpunan.
Teori himpunan membantu kita dalam membandingkan himpunan-
himpunan untuk melihat keterhubungan, menyelesaikan persamaan, menggambar
grafik, peluang, geometri akan terasa mudah dengan memahami konsep himpunan
Himpunan secara sederhana adalah sekumpulan objek (real maupun
abstrak) yang mempunyai syarat tertentu dan jelas.Himpunan yang jelas artinya
himpunan yang anggotanya dapat ditetapkan secara jelas. Objek yang dimaksud
dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya. Objek
ini selanjutnya dinamakan anggota atau elemen dari himpunan itu. Syarat tertentu
dan jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan ini sangat penting karena
untuk membedakan mana yang menjadi anggota himpunan dan mana yang bukan
merupakan anggota himpunan. Inilah yang kemudian dinamakan himpunan yang
terdefinisi dengan baik (well-defined set).
2. Notasi
Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar A, B, C, H, K dan
sebagainya. Untuk menyatakan suatu himpunan digunakan simbol “{….}”.
Sementara itu untuk melambangkan anggota himpunan biasanya menggunakan
huruf kecil a, b, c, x, y dan sebagainya. Perlu diperhatikan bahwa penulisan
anggota dalam suatu himpunan hanya sekali saja Jadi tidak boleh kita menuliskan
himpunan sebagai {1,a,b,8,b}. Demikian pula kita tidak boleh menyatakan
himpunan sebagai {bunga, kambing, sapi, kerbau,tumbuhan}. Untuk menyatakan
anggota suatu himpunan digunakan lambang “∈” (baca:anggota) sedangkan untuk
menyatakan bukan anggota suatu himpunan digunakan lambang “∉” (baca:
bukan anggota).
3. Menyatakan dan menuliskan himpunan
Menyatakan keanggotaan suatu himpunan dapat dinyatakan dengan 2
cara yaitu:
3.1 Tabulasi
Maksudnya adalah cara menyatakan keanggotaan suatu himpunan
dengan mencacah, menuliskan, mendaftar anggota-anggota himpunan
tersebut.
Contoh.3.1.1
A = {a,e,i,o,u}
B = {2,3,5,7,11,13,17,19}
3.2 Deskripsi/pernyataan
Maksudnya adalah cara menyatakan keanggotan suau himpunan dengan
membuat keanggotaan suatu himpunan kedalam suatu pernyataan.
Contoh 3.2.1
- P = {x | x himpunan bilangan asli antara 7 dan 15}(Maksudnya P =
{8,9,10,11,12,13,14})
- Q = { t | t biangan asli} (Maksudnya Q = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…}
- R = { s | s2-1=0, s bilangan real} (Maksudnya R = {-1,1})
- M = { x | x adalah mahasiswa STKIP yang mengambil kuliah Logika
dan Himpunan}
Adakalanya suatu himpunan terdiri dari sejumlah elemen yang dapat
dihitung atau dicacah satu persatu elemnnya secara intuitif himpunan seperti ini
disebut himpunan berhingga. Banyaknya anggota suatu himpunan A yang
berhingga dinyatakan dengan
n (A) atau |A|
n(A) menyatakan jumlah elemen dari A, atau disebut dengan kardinalitas
himpunan A (dilambangkan |A|).
dan sebaliknya jika proses perhitungan tidak berkahir maka himpunannya
disebut himpunan tak berhingga.
Contoh 3.2.2
- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}. n(A) = 4
- Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}. n(B) = 4
- S ={-1,0,1, 2, 3….}.maka Q tidak berhingga.
Himpunan yang anggotanya adalah himpunan – himpunan disebut keluarga
himpunan atau kelas –kelas himpunan yang dilambangkan dengan huruf capital
script A, B, X , R..
Contoh 3.2.3
- R = { {a, b, c}, {a, c} }, adalah kelurga himpunan
- C = {a, {a}, {{a}} }, bukan kelurga himpunan karena a ∈ C, tetapi a bukan
himpunan
4. Beberapa Jenis Himpunan
4.1 Himpunan Kosong/empthy set/voids set
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota
atau himpunan bagian dari setiap himpunan yang mana pun. Dilambangkan
“ ” atau { }
Contoh:4.1.1
- Himpunan bilangan bulat yang ganjil
- {x | x2<0, x bilangan real}
- Himpunan orang yang tingginya 100 meter
- E = { x | x < x }, maka n(E) = 0
- P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0
- A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0
* himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {∅}
himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {∅ , {∅}}
{∅} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu
himpunan kosong.
Teorema 1: Himpunan kosong (∅ ) merupakan himpunan bagian
dari semua himpunan.
Bukti:
Kalimat “x∈A →x ∈ B” pada pengertian himpunan bagian
(lihat definisi himpunan bagian), selalu bernilai benar jika diambil A =
∅dan untuk sebarang himpunan B. Hal ini disebabkan syarat cukupnya
selalu tidak terpenuhi. Sama saja dengan kita mengatakan “jika bulan
bisa ngomong, maka dia tak akan bohong”. Kalimat ini selalu bernilai
benar karena syarat cukupnya yaitu “bulan bisa ngomong” selalu tidak
terpenuhi. Lebih lanjut mengenai hal ini akan dibicarakan dalam
pembahasan mengenai LOGIKA.
Sebagai latihan, cobak tunjukkan manakah himpunan-himpunan
berikut yang sama: ∅ , {0}, dan {∅} !.
4.2 Himpunan Semesta
Himpunan yang menjadi objek pembicaraan atau dengan kata lain
himpunan yang mempunyai elemen didalam semesta pembicaraan disebut
himpunan semesta (Universal Set)
Dilambangkan dengan U atau S
Donotasikan dengan U = {x |x ∈ U}
Contoh
4.2.1 U ={1,2,3…}
4.2.2 B={ x |x adalah Penduduk tetap Kabupaten Lombok Timur}
4.3 Himpunan kuasa
Koleksi himpunan dari semua himpunan bagian dari A disebut himpunan
kuasa (Power set) dari A dan dilambangkan dengan 2A atau P(A)
Contoh
4.3.1 Tentukan himpunan kuasa dari A={1,2,3} dan tuliskan angggotanya
P(A) = 23 =2 X 2 X 2= 8
P(A) = {, {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
5. Kesamaan dua himpunan
Definisi 1
A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan
sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.
A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B himpunan bagian dari A.
Jika tidak demikian, maka A ≠ B.
Dinotasikan dengan : A = B ↔ A ∪ B dan B ∪ A
Contoh 5.1
(i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B
(ii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B
(iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka B ∪ A
Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:
(a) A = A, B = B, dan C = C
(b) jika A = B, maka B = A
(c) jika A = B dan B = C, maka A = C
6. Subhimpunan/Subset
Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika
setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dengan kata lain jika x ∈ A maka
x ∈ B
Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
Notasi: A⊂B
Diagram Venn:
Contoh 6.1
(i) { 1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) {1, 2, 3} {1, 2, 3}
(iii) NZRC
(iv) Jika A = { (x, y) | x + y< 4, x, y 0 } dan
B = { (x, y) | 2x + y< 4, x 0 dan y 0 }, maka BA.
TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai
berikut:
(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, AA).
(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( A).
(c) Jika AB dan BC, maka AC
A dan AA, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya
(improper subset) dari himpunan A.
Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan adalah improper subset dari A.
AB berbeda dengan AB
(i) AB : A adalah himpunan bagian dari B tetapi AB.
A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.
Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3}
(ii) AB : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan
bagian (subset) dari B yang memungkinkanA = B.
7. Himpunan terpisah
Jika himpunan – himpunan A dan B tidak mempunyai elemen – elemen
yang dimiliki bersama, artinya jika tidak ado elemen A yang terdapat dalam B dan
tidak ado elemen B yang terdapat dalam A, maka kita katakan A dan B terpisah.
Contoh 7.1
Misalkan A adalah bilangan – bilangan positif dan B bilangan Negatif
Misalkan E ={x,y,z} dann F ={r,s,t}. Maka E dan F terpisah
8. Diagram Venn-Euler
Suatu cara yang sederhana dan instruktif untuk menggambarkan hubungan
antara himpunan – himpunan adalah dengan menggunakan diagram venn-Euler
atau diagram venn. Disini dinyatakan sebuah himpunan dengan suatu daerah
bidang, biasanya dibatasi oleh sebuah lingkaran.
Contoh 8.1. Andaikan A B dan katakana A ≠ B, maka A dan B dapat
dinyatakan dalam diagram Venn
U
B
A
Contoh 8.2 Andaikan A dan B tidak dapat diperbandingkan. Jika A dan B
terpisah, maka A dan B dapat dinyatakan oleh diagram sebelah kanan
dan jika A dan B dapat diperbandingkan tidak terpisah dinyatakan
oleh diagram sebelah kiri.
U U
B
A B A
B. OPERASI-OPERASI HIMPUNAN
Dalam bagian ini kita akan membahas operasi-operasi pada himpunan meliputi
perpaduan/gabungan (union), perpotongan/irisan (intersection) dan sesilisih
(difference) himpunan dan komplemen. Hasil operasi himpunan ini akan
menghasilkan suatu himpunan baru untuk pasangan himpunan-himpunan A dan B.
Pada dasarnya operasi himpunan berlaku sama dengan operasi-operasi yang terdapat
pada ilmu berhitung.
1. Perpaduan/Gabungan (union)
Diberikan himpunan A dan B. perpaduan himpunan A dan B ditulis
dengan AB adalah suatu himpunan yang anggotanya berada di A atau berada
di B.
dan di definisikan secara singkat
AB = { x | xA atau xB }
Dengan menggunakan diagram venn AB dinyatakan oleh daerah yang diarsir
Dalam beberapa buku, perpaduan A dan B dinyatakan oleh A + B dan disebut
penjumlahan himpunan – teoritik A dan B atau penjumlahan A dan B. Dari definisi
perpaduan dua himpunan A dan B diperoleh beberapa sifat yang berkaitan dengan
perpaduan dua himpunan, missal A dan B dua himpunan yang tidak kosong berlaku:
1) AB = BA
2) A (AB) dan B (AB)
Contoh: 1.2
1. P = {a, b, c} dan K ={c,d,e,f,g,h}, maka
P K = {a,b,c,d,e,f,g,h}
K P = {a,b,c,d,e,f,g,h}, dapat kita lihat juga bahwa
P K = K P ,serta
P (PK) dan P (PK)
2. Buktikan bahwa jika (AB) maka A (AB)
Bukti:
Mislakan xA , karena AB maka x adalah anggota dari A atau B. dari
definisi perpaduan dua himpunan berarti x (AB). dari definisi
subhimpunan jika x A maka x (AB), yang berarti A (AB)
Teorema 2
Misalkan A subhimpunan dari B. maka perpaduan A dan B adalah B,
yaitu
Jika A B maka (AB) = B (coba dibuktikan)
2. Perpotongan/Irisan (intersection)
Diberikan himpunan A dan B. Perpotongan himpunan A dan B ditulis
dengan AB adalah suatu himpunan yang anggotanya berada di A dan juga
berada di B.
Didefinisikan secara singkat AB = { x | x A dan x B }
Contoh: 2.1
A = {a,b,c,1,2} dan B = {c,d,e,f}. Maka AB = {c}
P = {a,b,c,1,2} dan Q = {d,e,f}. Maka AB =
Dengan menggunakan diagram Venn AB dinyatakan dengan daerah yang
diarsir
Dari definisi perpotongan dua himpunan A dan B dimana AB = diperoleh
pernyataan:
2.1 AB = BA
2.2 (AB) A dan (AB) B
2.3 Jika A dan B dua himpunan yang terpisah maka AB =
Bukti: Pernyataan 2.3 AB adalah subhimpunan dari A dan B atau (AB) B
Misal x sembarang elemen (AB) yaitu x (AB). Menurut definisi
perpotongan berarti x termasuk dalam A maupun B atau A dan x B. Telah
diperlihatkan bahwa jika x (AB) maka x B, berarti (AB) B
Teorema 3
Misalkan A subhimpunan dari B. Maka perpotongan A dan B adalah A, yaitu
Jika A B maka (AB) =A (coba dibuktikan)
3. Selisih (difference)
Selisih dua himpunan A dan B adalah himpunan elemen-elemen yang termasuk
A tetapi tidak termasuk B, selisih Himpunan A dan B
Donotasikan : A – B = { x x A dan x B } = A
Contoh 3.1
B
(i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5,
7, 9 } dan B – A =
Contoh 3.2
Misal U ={a,b,c,d,e}. A={a,c,e}. B={c,d,e}. C={a}, dan D={e}
Maka nilai dari
a. U-A ={b,d}, U-B ={a,b}, U-C={b,c,d,e}, U-D={a,b,c,d}
b. A-B ={a}= C
c. (AB)-C={a,c,d,e}-{a} = {c,d,e}=B
d. (AB)-D ={c,e}-{e} ={c}
Dari definisi selisih dua himpunan A dan B diperoleh beberapa sifat yang
berkaitan dengan selisih dua himpunan, missal A dan B dua himpunan yang
tidak kosong berlaku
1). (A-B) A
2). Himpunan-himpunan (A-B) , (AB), (B-A) saling terpisah, artinya
perpotongan setiap dua buah himpunan di atas adalah himpunan nol.
Selisih A dan B kadang-kadang dinyatakan oleh A/B.
Teorema 4
Missal A subhimpunan dari B. Maka perpaduan A dan(B-A) adalah B
Jika A B maka A (B-A)= B (coba dibuktikan)
4. Komplemen
Diberikan suatu himpunan A. Komplemen dari A ditulis dengan “ Ac “
atau A’ atau A adalah himpunan yang anggotanya berada dalam himpunan
semesta tetapi bukan berada di A.
Jadi A’ = { x | x U, x A } atau A’ = {x|x A}
Dengan menggunakan diagram Venn A’ dinyatakan dengan daerah yang
diarsir
Dari definisi komplemen suatu himpunan A diperoleh bebrapa sifat yang
berkaitan dengan komplemen suatu himpunan, missal A suatu himpunan maka
berlaku
1) A A’ = U
2) A A’=
3) A’ U = U dan A’ U= A
4) U’= dan ’ = U
5) (A)’= A
6) A-B =A B’ (coba dibuktikan)
Teorema 5
Misalkan A subhimpunan dari B. Maka B’ adalah subhimpunan dari A’, yaitu
Jika A B maka B’ A’
Teorema 6: De Morgan (A B)’ = (A’ B’)
Bukti:
Untuk (A B)’ (A’ B’)
Misalkan x (A B)’; maka x tidak termasuk A B. Dengan demikian x A
dan x B, yang berarti x A’ dan x B’, dan menurut definisi perpotongan, x
termasuk A’ B’ . jadi sudah diperlihatkan bahwa jika x (A B)’ maka x
(A’ B’) yang berarti (A B)’ (A’ B’)
Untuk (A’ B’)(A B)’
Sekarang misalkan y A’ B’ : maka y termasuk A’ dan B’. Jadi y A dan y
B dan oleh karena itu y (A B), yang berarti y (A B)’. Kita telah
memperlihatkan bahwa jika y (A’ B’) maka y (A B)’, yang
berarti (A’ B’)(A B)’
5. Operasi-operasi Keanggotaan Suatu Himpunan
Dari definisi himpunan dan anggota suatu himpunan maupun operasi –
operasi terhadap himpunan, diperoleh beberapa hubungan antara anggota suatu
himpunan dan operasi yang dilakukan terhadap himpunan tersebut , diperoleh
beberapa pernyataan-pernyataan yaitu:
1) Apabila dua buah himpunan A dan B adalah himpunan - himpunan yang
tidak kosong dan tidak saling lepas atau A B≠, maka berlaku:
n (A B) = n (A) + n (B) – n (A B)
dan
n (A B C) = n (A) + n (B) + n (C) – n (A B) – n (A C) – n (B
C) + n (A B C)
2) Apabila dua himpunan A dan B adalah himpunan – himpunan yang tidak
kosong dan saling lepas atau A B=
n (A B) = n (A) + n(B) dan
n (A B C) = n (A) + n (B) + n (C)
1. n (A B) ≠ n (A) + n(B)
2. n (A B) = n (A) + n (B) – n (A B)
3. A C =
4. n (A C) = n (A) + n (C)
C. ALJABAR HIMPUNAN
1. Hukum-hukum Aljabar Himpunan
Salah satu cabang matematika menyelidiki teori himpunan dengan
mempelajari teorema-teorema yang dihasilkan dari hukum-hukum aljabar
himpunan, yakni teorema-teorema yang buktinya hanya memerlukan hukum-
hukum aljabar himpunan tanpa menggunakan hukum lain. Tabel dibawah ini
menghimpun beberapa hukum-hukum himpunan yang kebanyakan di antaranya
telah dikenal dan dibuktikan pada bahasan sebelumnya (bag. B).
1. Hukum identitas:
- A = A
- AU = A
2. Hukum null/dominasi:
- A =
- AU = U
3. Hukum Komplemen:
- A A’ = U
- A A’ =
4. Hukum idempoten:
- AA = A
- AA = A
5. Hukum involusi:
- (A’)’= A
6. Hukum penyerapan
(absorpsi):
- A (AB) = A
- A (AB) = A
7. Hukum Komutatif:
- AB = BA
- AB = BA
8. Hukum asosiatif:
- A (BC) = (AB)
C
- A (BC) = (AB)
C
9. Hukum distributif:
- A (BC) = (AB) (AC)
- A (BC) = (AB) (AC)
10. Hukum De Morgan:
- (A B)’ = A’ B’
- (A’ B’) = A’ B’
11. Hukum 0/1
- ’= U
- U’ =
2. Prinsip Dualitas
(Prinsip Dualitas pada Himpunan).Misalkan S adalah suatu kesamaan
(identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti , , dan
komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti , ,
U, U , sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan
S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.
1. Hukum identitas:
A = A
Dualnya:
AU = A
2. Hukum null/dominasi:
A =
Dualnya:
AU = U
3. Hukum komplemen:
A A’ = U
Dualnya:
A A’=
4. Hukum idempoten:
AA = A
Dualnya:
AA = A
5. Hukum penyerapan:
A (AB) = A
Dualnya:
A (AB) = A
6. Hukum komutatif:
AB = BA
Dualnya:
AB = BA
7. Hukum asosiatif:
A (BC) = (AB) C
Dualnya:
A (BC) = (AB) C
8. Hukum distributif:
A (BC)=(AB) (AC)
Dualnya:
A (B C) = (AB) (AC)
9. Hukum De Morgan:
(A B)’ = A’ B’
Dualnya:
(A B)’ = A’ B’
10. Hukum 0/1
’ = U
Dualnya:
U’ =
Tabel 2 memperlihatkan prinsip dualitas
3. Himpunan berindeks
Tinjaulah himpunan-himpunan
A1= {1,10}, A2={2,4,6,10} A3={3,6,9}, A4={4,8}
A5={5,6,10}
Dan himpunan
I= {1,2,3,4,5}
Perhatikan bahwa setiap elemen i I terdapat sebuah elemen Ai. dalam
hal ini I dinamakan himpunan indeks (index set), himpunan {A1…………A5)
dinakaman himpunan berindeks (indexed set), dan indeks bawah I dari A i, yakni
setiap i I, dinamakan sebuah indeks.
Sebuah keluarga himpunan berindeks seperti contoh diatas dinyatakan dengan
{Ai) i I
Suatu keluarga himpunan berindeks dapat dipandang sebagai suatu
fungsi yang menghubungkan himpunan I dan himpunan Ai yang dinyatakan
dengan
Definisi 2: sebuah keluarga himpunan yang berindeks {Ai) i I adalah sebuah
fungsi
F:x→ A
Dimana ranah (domain) dari f adalah himpunan indeks I dan jangkauan
dari f adalah keluarga himpunan.
Contoh 3.1 Misalkan I adalah himpunan nama dosen STKIP Hamzanwadi Selong
dan i I, didefinisikan
Wi ={x|x adalah sebuah huruf dalam kata i I}
Jika I adalah kata “ sabili” , maka Wi= {s,a,b,i,l}
Contoh 3.2 Dedefinisikan Dx ={x | x adalah kelipatan n}, dimana n N, maka
D1= {1,2,3,4,5..} D2={2,4,6,8,…}
D3={3,6,9,12…}
Setiap keluarga β dari himpunan dapat diindeks oleh dirinya sendiri,
secara spesifik digambarkan sebagai fungsi identitas
i: β → β
adalah sebuah keluarga himpunan yang berindeks
{Ai} i β
Dimana Ai B dimana i=Ai, dengan kata lain indeks setiap himpunan dalam β
adalah himpunan itu sendiri.
Operasi-operasi gabungan dan irisan telah didefinisikan untuk dua
himpunan. Dengan metode induksi, maka definisi-definisi ini dapat diperluas,
kepada himpunan yang banyaknya berhingga. Misalkan A1, A2, A3…..An adalah
himpunan –himpunan berindeks maka
ni=1 Ai = A1 A2 A3...An
ni=1 Ai = A1 A2 A3…An
Suatu keluarga himpunan yang berindeks { Ai} i I dan misalkan J I, maka
iJAi
Terdiri dari elemen-elemen yang merupakan elemen dari paling sedikit satu A i
dimana i J, secara spesifik
iJAi = { x |x terdapat sebuah i J sehingga x Ai}
Dengan cara analog, suatu keluarga yang berindeks { Ai} i I dan misalkan J I,
maka
ni=1 Ai
Terdiri dari elemen-elemen yang merupakan elemen dari paling sedikit satu A i
dimana i J, s ecara spesifik
iJAi = { x | x Ai, untuk tiap-tiap i J}
Contoh 3.3 Misalkan A1 ={1,10}, A2={2,4,6,10}, A3={3,6,9}, A4={4,8}, A5=
{5,6,10} dan misalkan J={2,3,5}, maka:
a. iJAi = A2 A3 A5
= {2,4,6,10} {3,6,9} {5,6,10}
= {6}