MKB3383 - Teknik Pengolahan Citra Pengolahan Citra di Kawasan Frekuensi
(Transformasi Fourier)
Muhammad Zidny Naf’an, M.Kom.
Gasal 2015/2016
Outline
• Pengolahan Citra di Kawasan Spasial VS Kawasan Frekeunsi
• Fourier Transform 1D
• Fourier Transform 2D
• Filtering pada Kawasan Frekuensi
Outline
• Pengolahan Citra di Kawasan Spasial VS Kawasan Frekuensi
• Fourier Transform 1D
• Fourier Transform 2D
• Filtering pada Kawasan Frekuensi
Pengolahan Citra di Kawasan Spasial VS Kawasan Frekeunsi
Image Input
Frequency Distribution
Processing
Inverse Transformation
Image Output
Pengolahan Citra di Kawasan Frekuensi
• Diperlukan pasangan transformasi dan transformasi balik (invers)
• Contoh transformasi:
Transformasi Fourier
• Ditemukan oleh Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), ahli fisika dari Prancis
• Digunakan untuk memetakan citra dari kawasan spasial ke dalam kawasan frekuensi
• Melihat karakteristik spektrum citra
• Ide dasar: semua fungsi yang bersifat periodis, betapapun kompleks fungsi tersebut, dapat dinyatakan sebagai penjumlahan sinusoid. Kuncinya terletak pada komposisi amplitude dan fase sinus setiap frekuensi.
Outline
• Pengolahan Citra di Kawasan Spasial VS Kawasan Frekuensi
• Fourier Transform 1D
• Fourier Transform 2D
• Filtering pada Kawasan Frekuensi
Fourier Transform 1D Discrete Fourier Transform 1D
• Terdapat fungsi f(x) yang memiliki N data (f(0), f(1), f(2), f(3), f(4), …, f(N-1))
• Jika dikenakan DFT, maka didapatkan:
F(u) = (F(0), F(1), F(2), F(3), F(4), .., F(N-1))
Fourier Transform 1D
Proses perubahan fungsi dari ranah ranah spasial ke ranah frekuensi dilakukan melalui Transformasi Fourier. Sedangkan
perubahan fungsi dari ranah frekuensi ke ranah spasial dilakukan melalui Transformasi Fourier Balikan (invers).
Rumus Invers-DFT 1 Dimensi
Rumus FT – 1 Dimensi
dxuxjxf
NuF ]2exp[)(
1)(
Rumus DFT 1 Dimensi (DFT = Discrete Fourier Transform)
1
0]/2exp[)(
1)(
N
xNuxjxf
NuF
Rumus FT Kontinyu 1 Dimensi
duuxjuFxf ]2exp[)()(
Rumus Invers-FT Kontinyu 1 Dimensi
1
0]/2exp[)()(
N
xNuxjuFxf
j = −1
13
Transformasi Fourier 1-D
• Nilai u disebut dengan domain frekuensi.
• Masing-masing dari M buah dari F(u) disebut komponen frekuensi dari transformasi.
• Transformasi Fourier seringkali dianalogikan dengan prisma kaca. Prisma kaca adalah suatu alat yang dapat memisahkan cahaya menjadi berbagai komponen warna. Masing-masing komponen warna memiliki panjang gelombang yang berbeda.
Euler Formula’s pada DFT 1D
𝑒𝑖𝜃 = cos 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑒−𝑖𝜃 = cos 𝜃 − 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜃
uxjuxuxj 2sin2cos]2exp[
1
0
1
0
))]/2sin()/2)(cos((1
]/2exp[)(1
)(
N
x
N
x
NuxjNuxxfN
NuxjxfN
uF
Karena:
Maka:
1
0))]/2sin()/2)(cos((
1 N
xNuxjNuxxf
N
Contoh Penghitungan DFT 1 dimensi (Gonzalez hlm 90-92)
jjFF
jjjj
jj
xjxxfF
ffff
NxjNxxfN
F
ffffcontoh
NuxjNuxxfN
NuxjxfN
uF
x
N
x
N
x
N
x
25.05.0]2[4
1)3(25.0]1[
4
1)2(
25.05.0)2(4
1)4432(
4
1
)0(4)01(4)0(3)01(2[4
1
))]4/2sin()4/2)(cos((4
1)1(
25.3)]3()2()1()0([4
1
))]/02sin()/02)(cos((1
)0(
4)3(,4)2(,3)1(,2)0(:
))]/2sin()/2)(cos((1
]/2exp[)(1
)(
3
0
1
0
1
0
1
0
Contoh Penghitungan DFT 1 dimensi (Gonzalez hlm 90-92)
Hasil FT 1D pada slide sebelumnya terdiri dari bilangan real dan imajiner. Maka dapat digambarkan pada tabel berikut:
Real
2
3
4
4
f(x)
Real Imajiner
3.25
-0.5 0.25
-0.25
-0.5 -0.25
F(u)
DFT
18
Transformasi Fourier 1-D
• |F(u)| = [R2(u) + I2(u)]1/2 disebut magnitude atau spektrum dari transformasi Fourier dan :
disebut sudut fase atau spektrum fase dari transformasi.
)(
)(tan)( 1
uR
uIu
Soal Latihan DFT 1D
Misalkan terdapat fungsi f(x) = (2,4,1,5) Bagaimanakah bentuk Transformasi Fourier-nya?
1
0))]/2sin()/2)(cos((
1)(
N
xNuxjNuxxf
NuF
Outline
• Pengolahan Citra di Kawasan Spasial VS Kawasan Frekuensi
• Fourier Transform 1D
• Fourier Transform 2D
• Filtering pada Kawasan Frekuensi
21
Transformasi Fourier 2-D
• Fungsi citra input biasanya dikalikan dulu dengan (-1)x+y sebelum dilakukan perhitungan transformasi Fourier, karena titik pusat dari transformasi Fourier perlu digeser.
Persamaan di atas menetapkan bahwa titik pusat Transformasi Fourier dari fungsi f(x,y)(-1)x+y [yaitu F(0,0)] berada pada lokasi u=M/2 dan v=N/2.
)2/,2/()1)(,( NvMuFyxf yx
23
Rumus DFT – 2 dimensi
kolom)(jumlah citralebar N
baris)(jumlah citra tinggiM
)))(2sin())(2)(cos(,(),(:
)))(2sin())(2)(cos(,(1
),(:
1
0
1
0
1
0
1
0
M
v
N
u
M
y
N
x
M
vy
N
uxj
M
vy
N
uxuvFxyfInversFT
M
vy
N
uxj
M
vy
N
uxxyf
MNvuFFT
Dalam hal ini, citra berukuran MxN (M baris dan N kolom). Komponen v bernilai dari 0 sampai dengan M-1 dan u bernilai dari 0 sampai dengan N-1. Dalam hal ini, u dan v menyatakan frekuensi, sedangkan nilai F(u, v) dinamakan koefisien Fourier atau spektrum frekuensi diskret.
24
Fast Fourier Transform (FFT)
• Merupakan algoritma penghitungan yang mengurangi kompleksitas FT biasa dari N2 menjadi N log N saja
• Pada implementasinya, FFT merupakan cara yang umum digunakan untuk menghitung FT diskret
• InversFT juga dapat dihitung dengan kompleksitas N log2N (IFFT) – Di Matlab : fft(x) atau fft2(X) untuk FT dan ifft(x) atau
ifft2(X) untuk invers FT
Visualisasi DFT
Spektrum FT
|𝐹 𝑢, 𝑣 | = 𝑅2 𝑣, 𝑢 + 𝐼2(𝑣, 𝑢) Dengan R(u,v) menyatakan bagian riil dan I(v,u) menyatakan imajiner
Sudut Fase Transformasi
Dengan R(u,v) menyatakan bagian riil dan I(v,u) menyatakan imajiner
),(
),(tan),( 1
vuR
vuIvu
Power Spectrum FT
Dengan R(u,v) menyatakan bagian riil dan I(v,u) menyatakan imajiner
),(),(
),(),(
22
2
vuIvuR
vuFvuP
27
Comparison : Low Frequency
Low Frequency
Small variation between image’s
component, major frequency is
low.
Shown by the Fourier Transform
Result
Original Images
Showing a silhoutte of spaceship
(Girty Lue).
Transform View
28
Comparison : High Frequency
High Frequency
High variation between
image’s component, major
frequency is High.
Shown by the Fourier
Transform Result
Original Images
Showing image of Freedom and
Justice with METEOR unit also the
Eternal Spaceship from Gundam
SEED.
Transform View
Outline
• Pengolahan Citra di Kawasan Spasial VS Kawasan Frekuensi
• Fourier Transform 1D
• Fourier Transform 2D
• Filtering pada Kawasan Frekuensi
Filtering pada Domain Frekuensi
• Langkah-langkah filtering pada domain frekuensi adalah:
1. Kalikan citra input dengan (-1)x+y untuk memusatkan transformasi.
2. Hitung F(u,v), DFT dari citra pada langkah (1).
3. Kalikan F(u,v) dengan fungsi filter H(u,v).
4. Hitung inverse DFT dari citra pada langkah (3).
5. Gunakan bagian real dari citra pada langkah (4)
6. Kalikan hasil (5) dengan (-1)x+y.
32
Filter Penghalusan
• Model filtering pada domain frekuensi adalah :
G(u,v) = H(u,v) F(u,v)
dengan F(u,v) adalah transformasi Fourier dari citra yang akan dihaluskan.
• Tujuannya adalah memilih fungsi filter H(u,v) yang menghasilkan G(u,v) dengan menurunkan komponen frekuensi tinggi dari F(u,v).
33
Contoh Filtering pada Domain Frekuensi
• Filter yang didefinisikan sebagai berikut:
disebut filter notch karena filter tersebut adalah fungsi konstan dengan sebuah lubang (notch) di pusatnya.
otherwise
NMvuifvuH
1
)2/,2/(),(0),(
36
Filtering pada Domain Frekuensi
• Filter lowpass adalah filter yang mengubah (menurunkan) komponen frekuensi tinggi, dan melewatkan (passing) komponen frekuensi rendah. Citra yang difilter menggunakan filter lowpass memiliki detail yang kurang tajam dibandingkan citra asal.
• Filter highpass adalah filter yang mengubah (menurunkan) komponen frekuensi rendah, dan melewatkan (passing) kompinen frekuensi tinggi. ” high frequencies. Citra yang difilter menggunakan filter highpass memiliki detail yang lebih tajam dibandingkan citra asal.
41
Original Image
Gaussia
n L
ow
Pass
Enhanced Image
Other Implementation : Low Pass Filter
“Noised” image Smooth image
Flare effect (beam) Reduced Flare effect
42
Original Image G
aussia
n H
igh P
ass
Enhanced Image
Other Implementation : High Pass Filter
Hard to read text Easier to read text
Flare effect (beam) More Flare Effect
Reduced Eye Point
43
Other Implementation : High Pass Filter
Original Image
Hard to read text
Sharp
en
Easier to read text
Enhanced Image
Flare effect (beam)
More Flare Effect
Exposure of Eye Point
44
Other Implementation : High Boost Filtering
Original Image
Unsharp
Mask
Enhanced Image
Unsharp Mask: Generating Sharp Image by substracting blur version of the image itself
Flare effect (beam)
Enhanced Flare Effect
Reduction of Eye Point
45
Other Implementation : Combination Filtering
Original Image
Enhanced Image
Multiplied
High Pass
Low
Pass
Slight Flare Effect
Reduction of Eye Point
Tugas Kelompok
• Ada tiga tipe filter lowpass, yaitu:
1. Filter Ideal fungsi filter yang sangat tajam.
2. Filter Gaussian fungsi filter yang sangat halus.
3. Filter Butterworth transisi di antara dua fungsi ekstrim. Filter Butterworth memiliki parameter yang disebut order filter. Nilai order filter tinggi mendekati filter Ideal. Nilai order filter rendah mendekati filter Gaussian.
Buatlah ringkasan yang berisi penjelasan dan contoh hasil pengolahan citra dengan tiga tipe filter lowpass di atas
Dikumpulkan via email [email protected] dengan judul: [TUGAS LOWPASS] KELOMPOK 1/2/3/4
Paling lambat tgl 5 Maret 2016
Referensi
• Kadir, Abdul dan Adhi Susanto. 2013. Teori Dan Aplikasi Pengolahan Citra. Yogyakarta: Penerbit Andi.
• Slide Pengolahan Citra, Departement Teknik Informatika IT Telkom
• Prof. Aniati Murni A., Pengolahan Citra Digital, Fak. Ilmu Komputer, Universitas Indonesia.
• Rinaldi Munir, Pengolahan Citra Digital • Pengolahan Citra Digital, ITS.
http://share.its.ac.id/pluginfile.php/374/mod_resource/content/1/03_-_Transformasi_Citra.ppt