CONSTRUCCIÓN DE VARIOGRAMAS Y ANÁLISIS GEOESTADÍSTICO

DE 5000 DATOS GENERADOS ALEATORIAMENTE

GEOESTADÍSTICA I

Jorman Barrera Vergara

Universidad Nacional de Ingeniería

Facultad de Ingeniería Geológica, Minera y Metalúrgica

GEOESTADÍSTICA I

ÍNDICEObjetivos…………………………………………………………………………………….…..….……3

Introducción……………………………………………………………………………….….….……4

Marco teórico………………………………………………………………………….…..…..……...5

Cálculo de Histograma……………………………………………………………………..……..7

Cálculo de Variogramas……………………………………………………………………..……..10

Análisis y Evaluación de Resultados…………………………………………….….….……

13

Conclusiones…………………………………………………………………………………….……14

Fuentes……………………………………………………….……………………………………..…..15

Anexos…………………………………………………………………………………………..………16

GEOESTADÍSTICA I

OBJETIVOS

Elaborar un histograma y variogramas para 5000 datos

generados aleatoriamente.

Analizar el comportamiento de dichos gráficos para cada caso

analizado.

Interpretar los resultados de las gráficas para comprender

las diferencias entre los parámetros estadísticos y la

utilidad de la geoestadística.

GEOESTADÍSTICA I

INTRODUCCIÓN

La estadística y la geología son unas de las ciencias afinesa la Geoestadítica, pero eso no quiere decir que esta última seala fusión de las dos. Es por ello que nos vemos en la necesidadde entender correctamente los fundamentos, definiciones yalcances de la geoestadística.

El problema de modelar un macizo rocoso acompaña siempre ala actividad minera, por ello la necesidad de un mejor modeladopara lograr una operación minera eficiente. Entonces, ¿cuál delas herramientas matemáticas existentes puede ofrecernos lasolución?

En cuanto a los fenómenos naturales, la imposibilidad deexplicar el porqué del valor de una ley en un determinado puntode muestra está fuera de nuestro alcance, de ahí que trabajamoscon variables “aleatorias” (cada caso tiene la misma probabilidad

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de ocurrir) y que las leyes tienen cierto grado deinterdependencia.

Además, la geoestadística es el tratado de variablesregionalizadas. No debemos pasar por alto los puntosfundamentales que destacan: la consolidación de la geoestadísticacon los trabajos de G. Matheron en 1965, el establecimiento de laescuela de Fontainebleau y finalmente el desarrollo de laGeoestadística asociada con la informática.

En lo que continúa de este informe, haremos mención aaspectos teóricos empleados en la elaboración del mismo.Crearemos datos aleatorios desordenados, hallaremos datosestadísticos y esbozaremos un variograma. Luego, ordenaremos losdatos aleatorios de manera decreciente y haremos los mismoscálculos que con los datos desordenados. Todo ello para compararlos resultados obtenidos y así hacernos una idea de cómo secomporta la curva del variograma en función de la dispersión delos datos.

MARCO TEÓRICO VARIOGRAMA

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Es una función vectorial que permite medir las discrepancias de unapropiedad en una región del espacio. Siendo un herramienta de uso enel análisis de reservas minerales en una región definida.

Una vez que se ha obtenido el variograma experimental y se haestudiado su comportamiento, el paso siguiente es encontrar algúnmodelo paramétrico que ajuste adecuadamente los datos muestrales, estoes realizado por medio de variogramas teóricos. A continuación semuestras los diferentes modelos de variogramas teóricos.

Como se puede observar cada modelo puede tener una forma diferente quese ajustara a un comportamiento determinado del variogramaexperimental. Cada modelo tiene una meseta que es el máximo valor delvariograma, al alcanzarse la meseta se dice que se está en el rangoque es el máximo valor de h al cual se puede decir que los puntosdiscretizados están correlacionados, por lo tanto, un valor del rangomuy pequeño conlleva a altas heterogeneidades. En muchos casos, paraun h igual a cero, el variograma no da cero lo cual es un error ya quese estaría realizando un estudio continuo de la propiedad de interés,esto es llamado efecto pepita y es provocado por errores en la toma delos datos en la mayoría de los casos. A continuación se muestra unejemplo del ajuste del variograma experimental con un variogramateórico Gaussiano.

Los variogramas son realizados en varias direcciones para definiradecuadamente el comportamiento de la propiedad estudiada en toda laextensión del yacimiento, en caso de que se este estudiando en unplano horizontal. Dependiendo de los resultados se utilizará un métodogeoestadístico u otro.

LA FUNCIÓN VARIOGRAMA:

Los variogramas se calculan mediante la fórmula general

2γ (h)=∑i=1

nh

[Z(xi)−Z(xi+h)]2

nh

Donde:

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Z: variable estudiada

Z(xi): valor de dicha variable en el punto xi

Z(xi+h): valor de la variable en el punto (xi+h)

h: paso entre las muestras (distancias iterativas)

nh: número de parejas

2γ(h): valor de la función variograma para un valor h

Gráficamente un variograma tiene la apariencia mostrada enla figura inferior. Dentro de la distancia “a” (alcance), elfenómeno es totalmente estructurado, es decir depende o estácontrolado por la función γ(h). Fuera de “a” el fenómeno esALEATORIO, o sea independiente de la función variograma. C0 es elllamado efecto de pepita, que nos da cuenta de cambios bruscos delos valores a pequeña escala; lo cual generalmente sucede cuandose sobrepasa una subestructura por debajo de la escala detrabajo.

PARÁMETROS ESTADÍSTICOS

Se calcularan parámetros estadísticos que nos ayudaran en elanálisis tales como:

Media (X): el cual es el promedio de todos los datos en lamuestra, se calcula mediante:

X=∑i=1

n Xi

n

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Varianza (σ2): describe la variabilidad de la distribución,se calcula mediante:

σ2=∑ (X−X)2

n

Desviación Estándar (σ): describe el grado de dispersión dela distribución, se calcula mediante:

σ=√∑ (X−X)2

n =√σ2

Coeficiente de Variabilidad (CV): el cual se calculamediante.

CV=σX

CÁLCULO DEL HISTOGRAMAPara calcular el histograma, primero debemos generar cinco mil(5000) datos aleatorios. Consideraremos un yacimiento siendo elmetal de interés el oro, cuyas leyes variarán entre 0 y 1.Generamos número aleatorios mediante herramientas contenidas enel programa Excel.

1. PARA DATOS DESORDENADOS:

0.17378754

0.60016832

0.39268076

0.1718978

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0.72982457

0.36751999

0.13810852

0.48803412

0.57105802

0.95766855

0.96246622

0.49293361

0.29728804

.

.

.

0.37177364

0.80439514

0.80877262

0.20716074

0.49592686

0.95243903

0.58066897

0.47656392

0.02308559

0.832679

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23

Siendo los datos mostrados algunas leyes de oro, generados aleatoriamente.

Determinamos la Media, Varianza, y coeficiente de variación de los datos aleatorios. Siendo estos:

Media0.495937

432

Varianza0.082370

019

CV0.578705

611Desviacion Estandar

0.287001775

Procedemos a calcular la tabla de frecuencias:

     TABLA DE

FRECUENCIAS    

CLASE Límite InferiorLímiteSuperior

Marca deClase

Frecuencia

Frecuencia AbsolutaAcumulada

1 0.000299478 0.08 0.038749106 405 4052 0.077198733 0.15 0.115648361 373 7783 0.154097989 0.23 0.192547617 381 11594 0.230997245 0.31 0.269446873 403 15625 0.307896501 0.38 0.346346128 377 19396 0.384795756 0.46 0.423245384 373 23127 0.461695012 0.54 0.50014464 390 27028 0.538594268 0.62 0.577043896 388 30909 0.615493523 0.69 0.653943151 401 349110 0.692392779 0.77 0.730842407 382 387311 0.769292035 0.85 0.807741663 400 427312 0.846191291 0.92 0.884640919 355 4628

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13 0.923090546 1.00 0.961540174 372 5000

Según los datos obtenidos en la tabla de frecuencias, graficamos el histograma:

330340350360370380390400410

405

373381

403

377 373

390 388

401

382

400

355

372

HISTOGRAMA

CLASE

FREC

UENC

IA

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CÁLCULO DEL VARIOGRAMA1 PARA DATOS DESORDENADOS:

Para calcular la función variograma de los datosgenerados utilizamos macros de Excel. Obtenemos otramatriz columna con los valores desde h =1 hasta h =4999.

h ɣ(h)

. .

. .

. .

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0.08484128

0.08200113

0.08164486

0.08441029

0.08247536

0.08283257

0.0821282

0.08287347

0.08440217

0.08200444

0.08219503

1234567891011

49904991499249934994499549964997499849995000

0.7095331

0.37177364

0.80439514

0.80877262

0.20716074

0.49592686

0.95243903

0.58066897

0.47656392

0.02308559

0.83267923

Graficamos el variograma:

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

VARIOGRAMA CON DATOS DESORDENADOS

h

ɣ(h)

2 PARA DATOS ORDENADOS Ordenamos los datos de

manera creciente:

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0.000299480.000595250.000647420.001592180.00160920.00165280.001748650.001971810.001995390.00219771

0.997693590.997878180.997958350.998340320.998473340.998576820.998769690.998971920.999018880.999971560.9999898

.

Para calcular la función variograma de losdatos generados utilizamos macros de Excel.Obtenemos otra matriz columna con losvalores desde h =1 hasta h = 4999.

h ɣ(h)

GRAFICAMOS EL VARIOGRAMA

3.9823*10−8

1.1855*10−07

2.373*10−07

3.9639*10−07

5.9574*10−07

8.3517*10−07

1.1138*10−06

1.4325*10−06

1.7908*10−06

2.189*10−06

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12345678910

0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

VARIOGRAMA CON DATOS ORDENADOS

h

ɣ(h)

ANÁLISIS DE RESULTADOS

Para el primer caso de datos desordenados podemos ver uncomportamiento errático en la curva del variograma asemejándose aun serrucho.

Pero en el segundo caso de los datos ordenadoscrecientemente vemos un comportamiento totalmente distinto, elmodelo se asemeja mucho a una parábola. En el cual el efectopepita tiende a cero, identificando la valides e importancia dela geoestadística al analizar variables regionalizadas cuyointerés es su orden y comportamiento espacial.

Además se observa que los parámetros estadísticos soniguales para ambos casos. Con esto confirmamos la teoría queafirma que la Geoestadística y la estadística no tienen larelación de parte-todo.

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CONCLUSIONES

El Variograma es una herramienta que nos ayuda analizar cómoestán distribuidas las variables y determinar sucomportamiento espacial, en lo cual la estadística se limitaen solo analizar el conjunto más no el orden.

El histograma es una herramienta estadística de gran ayuda ala hora de analizar variables, ya que allí se puede observarel tipo de distribución al cual pertenecen nuestras variables.

El valor de la media para datos aleatorios comprendidos entre0 y 1 tiende al valor de 0.5, esto debido a que es una

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propiedad que deben cumplir los números aleatorios,comprobándose con la llamada “prueba de medias” en donde sedeterminan los límites de aceptación mediante la tabla de“distribución normal estándar”

Otra de las propiedades que deben cumplir los númerosaleatorios es que su varianza debe aproximarse al número 1/12,lo cual se verifica con la “prueba de varianza”.

Para el primer caso (datos desordenados), vemos que los puntos

se acercan a una recta horizontal, por tanto podemos decir que

el efecto pepita es constante y no empieza en cero.

En el segundo caso (datos ordenados), vemos que los puntos

forman una parábola, la cual tiende a iniciar en el origen;

por tanto, el efecto pepita es casi nulo.

Para ambos casos, los parámetros estadísticos son los mismos.

FUENTES

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Ph. D Marín Suárez. APUNTES EN CLASE

Samuel Canchaya M. “EL MÉTODO GEOESTADÍSTICO: UNA

PRESENTACIÓN COMPARATIVA CON LOS MÉTODOS TRADICIONALES DE

ESTIMACIÓN DE RESERVAS”.

http://es.scribd.com/doc/146955531/Cap-2-Numeros-

Pseudoaleatorios

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ANEXOSPara realizar el variograma de los datos aleatorios se realizó mediante Macros y Excel; a continuación se mostrará el código utilizado en Visual Basic.

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El código es el siguiente:

Dim x As Integer

Dim b As Double

Dim h As Integer

Dim s As Double

Sub vardatos()

b = 0

For h = 1 To 4999

For x = 1 To 5000 - h

b = b + (Hoja5.Cells(x, 1) - Hoja5.Cells(x + h, 1)) ^ 2

Next

s = b / (2 * (5000 - h))

Hoja5.Cells(h, 4) = s

b = 0

Next

End Sub

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