I guasti però non solo determinano la cessazione di un
dispositivo ad adempiere la funzione richiesta (guasti totali)
ma anche la variazione della prestazione del dispositivo
rispetto alla funzione richiesta
Si possono verificare anche i guasti intermittenti.
Ci sono diversi STATI che il sistema può occupare nel corso del tempo.
La transizione da uno stato all’altro avviene con una certa probabilità,
nel senso che se un sistema parallelo (a 3 sottosistemi) si trova ad e-
sempio inizialmente nello stato pienamente funzionante (stato 3) ,
può passare allo stato 2 (ne funzionano 2) con una certa probabilità
(quale?) e allo stato 1 con un’altra probabilità e così via. Se i guasti(quale?) e allo stato 1 con un’altra probabilità e così via. Se i guasti
sono intermittenti, c’è la possibilità che dallo stato 2 il sistema torni
allo stato 3 - che dipende dalla natura del guasto.
CATENE DI MARKOV
{ }1
Una catena di Mar-
kov è una successione di
v.a.
definite sullo stesso spazio
n nX
≥
Def :
definite sullo stesso spazio
campione e che godono di
certe proprietà.
stato occupato dal
sistema al passo
nX
n
=
Prove di Bernoulli = esempio di catena in cui le variabili aleatorie
sono indipendenti tra di loro.
1 2 3
1 ( 1), , , con
0 ( 0)
i
i
i
P X pX X X X
P X q
= ==
= =…
0 1
q
pCostruire lo SPAZIO DELLETRAIETTORIE
Nella relazione tra le variabili, saliamo di un gradino, ossia supponiamo
che la variabile aleatoria allo stato n dipenda solo da quella precedente.
−−==
==
=
=+= −
qpXP
pXP
X
nXYY
n
n
n
nnn
1)0(0
)1(1
,2,1con 1 …
…specificando il tipo di relazione di dipendenza al seguente modo
=−=−
−−===
qXP
qpXPX
n
nn
)1(1
1)0(0
i i+1
q
p
i-1
1 p q− −
costruire lo spazio
delle
traiettorie
∑∑==
=−⇒==⇒+=n
i
in
n
i
in XyYyYPXYY1
000
1
0 1)(
La passeggiata aleatoria è un esempio di catena di Markov.
Altro
esempio:
Catene di Markov omogenee Non dipendono da n.
( )La matrice = si chiama ijP p matrice di transizione
0 0.5 0.5 0
0 0.5 0.5 0
0 0 0 1
0.5 0 0.5 0
matrice di transizione
P
=
0
In una catena omogenea, detto
il vettore delle probabilità che il sistema
occupi una posizione al tempo 0 e il vet-
tore delle probabilità che il sistema occupi
una posizione al tempo ,
n
n
p
p
Teorema :
0si ha .n
nP=p p
Il teorema dimostra che la riga comune di W è l’unico vettore ad esserevettore fisso riga.
Il vettore riga w è autovettore sinistro dell’autovalore 1.
La function per trovare gli autovalori è eig(X)
Se vogliamo trovare anche gli autovettori è [V,D]=eig(X)
Dunque abbiamo
>> [v,d]=eig(p)
v =
-0.5774 -0.7071 0.2357
-0.5774 -0.0000 -0.9428
-0.5774 0.7071 0.2357
d =
Cosa si deduce?
d =
1.0000 0 0
0 0.2500 0
0 0 -0.2500
Il problema è che dobbiamo trovare l’autovettore sinistro che
corrisponde all’autovalore 1. Il Matlab restituisce autovettori
destri.
>>q=p’;
>> [v,d]=eig(q)
v =
-0.6667 -0.7071 0.4082
-0.3333 -0.0000 -0.8165
-0.6667 0.7071 0.4082
d =
Ovviamente l’autovettore va normalizzato
perché risulti un vettore di probabilità
>> c=sum(v(:,1))
c =
-1.6667
>> w=v(:,1)/c
w =d =
1.0000 0 0
0 0.2500 0
0 0 -0.2500
w =
0.4000
0.2000
0.4000
CONSEGUENZA
Significato: per n Significato: per n
crescente la proba-
bilità di andare da
uno stato all’altro
diventa costante
e indipendente
dallo stato iniziale
(interessa solo
la colonna e non la
riga).
>> [v,d]=eig(p')
v =
-0.3162 -0.7071 0.7071 -0.6325
-0.3162 0.7071 -0.7071 0.3162
-0.6325 -0.0000 0.0000 -0.3162
-0.6325 0.0000 0.0000 0.6325
>> c=sum(v(:,1))
c =
-1.8974
>> w=v(:,1)/c
Per la matrice di transizione di cui all’
esempio precedente
-0.6325 0.0000 0.0000 0.6325
d =
1.0000 0 0 0
0 -0.0000 0 0
0 0 0.0000 0
0 0 0 -0.5000
>> w=v(:,1)/c
w =
0.1667
0.1667
0.3333
0.3333
CATENE ASSORBENTI
Qual è la probabilità che il processo raggiunga uno stato assorbente?
Quanto tempo impiega il sistema ad essere assorbito?
In media, in quanti passi viene assorbito?
Danneggiamento non riparabile: una volta che il
componente si è guastato non vi è alcuna possi-
bilità che si auto-ripari senza l’intervento di una
forza esterna.
( ) # medio di passaggi per lo stato
transiente essendo il sistema partito dal-
lo stato transiente
ij
j
i
N
s
s
=
1 2 3 0 4
−−
−
=− 5.015.0
05.01
QI
ESEMPIO:
=
10000
01000
5.0005.00
005.005.0
05.005.00
P
1 2 3 0 4
−
−−=−
15.00
5.015.0QI
>> mat^(-1)
ans =
1.5000 1.0000 0.5000
1.0000 2.0000 1.0000
0.5000 1.0000 1.5000
1 2 3 1.5 1 0.5 1 3
1 2 1 1 4
0.5 1 1.5 1 3
t Nc
= = =
��
1.5 1 0.5
1 2 1
0.5 1 1.5
N
= >> mat^(-1)*[1;1;1]
Data la matrice , il generico elemento rappresenta la probabilità
che, essendo partito da uno stato transiente , il sistema venga assorbito nello stato .
ij
i j
B NR B
s s
=Teorema :
==⇒
=
4/34/1
2/12/1
4/14/3
5.00
00
05.0
NRBR
Esercizio: Marco ha 3 euro ed è rinchiuso in carcere. La cauzione è di 5 euro.Decide di giocare con il poliziotto di turno. Il gioco funziona al seguente modo:ad ogni giocata scommette 1 euro. Lo vince con probabilità 0.4 e lo perde conprobabilità 0.6. Quale è la probabilità che Marco riesca ad uscire?
Catene di Markov a tempo continuo
( )( )Le transizioni sono nella forma | ( ) ( )ijP X t s j X s i P t+ = = =
( ) ( ) 0, per 0,
( ) ( ) 1, per 0,
ij
ij
j
a P t t
b P t t
≥ >
= >∑( ) sono differenziabiliijP t
0
( ) ( ) sono f.continue;
( ) lim ( )
ij
ij ijt
c P t
d P t δ→
=
ij
Facciamo solo un esempio di modello in cui questo tipo di
catene di Markov risulta utile per la trattazione
Si consideri una valvola oleodinamica che abbia tasso di guasto costante e tasso
di riparazione costanti nel tempo.
Stato 0 – prodotto
funzionante
Stato 1 – prodotto
guasto
λ
µ
( )
( )0 probabilità che il componente funzioni al tempo
probabilità che il componente sia guasto al tempo
P t t
P t t( )1 probabilità che il componente sia guasto al tempo
tasso di guasto, tasso di riparazione
P t t
λ µ
( ) ( )( ) ( )( )0 0 11P t t P t t P t tλ µ+ ∆ = − ∆ + ∆
( ) ( ) ( )0 0 1'P t P t P tλ µ= − +
Qual è la matrice di transizione?
( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 01P t t P t t P t tµ λ+ ∆ = − ∆ + ∆
( ) ( ) ( )1 0 1'P t P t P tλ µ= −
Si tratta di un sistema di equazioni differenziali a coefficienti costanti
0 0
1 1
'( ) ( )
'( ) ( )
P t P t
P t P t
λ µ
λ µ
− =
− 1 1'( ) ( )P t P tλ µ−
Risolvere il precedente sistema di equazioni lineari.
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