7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
1/52
TransformasiLaplace &
PersamaanDierensialSistem PengendalianAdi Kurniawan, ST, MT
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
2/52
MODEL MATEMATKA
!ancangan dari sistem "endali mem#utu$"an rumus
model matemati"a dari sistem%
Mengapa $arus dengan model matemati"a Agar "ita dapat merancang dan menganalisis sistem
"endali%Misaln'a()agaimana $u#ungan antara input dan output%)agaimana mempredi"si*menggam#ar"an perila"u
dinami" dari sistem "endali terse#ut%
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
3/52
KOMPO+E+ DSA+ SSTEM KE+DAL
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
4/52
Dua metoda untu" mengem#ang"an modelmatemati"a dari sistem "endali(
% -ungsi Pinda$ .Transfer -unction/ dalam domainfre"uensi .mengguna"an Transformasi Laplace/%
0% Persamaan1persamaan !uang Keadaan .State SpaceE2uations/ dalam domain wa"tu%
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
5/52
TRANSFORMASI LAPLACE
Time Domain
Circuit
Time Domain
Circuit
s-Domain
Circuit
L 1L
x(t) y(t)
X(s) Y(s)s j Complex Frequency2 Types of s-Domain Circuits
Wit an! Witout "nitial Con!itions
= + =
#aplaceTransform
"n$erse
#aplace
Transform
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
6/52
3A!A)EL KOMPLEKS
3aria#el "omple"s( s 4 5 6dengan ( adala$ "omponen n'ata
6adala$ "omponen ma'a
)idangs
o
6
6
1
s1
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
7/52
Overview
Persamaan Dierensial 'ang diperole$ daripemodelan matemati" suatu sistemmewa"ili proses dinami" dari sistemterse#ut dimana responsen'a a"an
#ergantung pada masu"ann'a Solusi dari persamaan dierensial terdiri
dari solusi steady state.didapat 6i"a semua"ondisi awal nol/ dan solusi transien
.mewa"ili pengaru$ dari "ondisi awal/%Transformasi Laplace merupa"an sala$satu tools 'ang diguna"an untu"men'elesai"an persamaan dierensial%
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
8/52
Transformasi Laplace meng"on7ersi"anpersamaan dierensial dalam domain waktu (t)"edalam persamaan al6a#ar dalam domainfrekuensi kompleks (s) 'ang dide8nisi"an
Memung"in"an memanipulasi persamaan al6a#ardengan aturan seder$ana untu" meng$asil"ansolusi dalam domain s%
Solusi dalam domain t dapat diperole$ dengan
mela"u"an operasi inversetransformasi Laplace
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
9/52
Prosedur Pen'elesaian PD
% Transformasi persamaandierensial "e dalamdomain s dengantransformasi Laplace%
0% Manipulasi persamaan
al6a#ar 'ang tela$ditransformasi"an untu"mendapat"an 7aria#eloutputn'a%
:% La"u"an e"spansi peca$anparsial ter$adap persamaan
al6a#ar pada lang"a$ 0%;% La"u"an in7ers transformasi
Laplace dengan ta#eltransformasi Laplace untu"mendapat"an solusi dalamdomain t%
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
10/52
Dr%1ng%
Mo$amad= s 4 7aria#el "omple"s
( ) ( ){ }sFLtf 1=
( ) ( ){ } ( )
==%
dtetftfLsF st
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
11/52
n7erse Transformasi Laplace
ntegral in7erse Transformasi Laplace (
Per$itungan integral Persamaan di atasmemerlu"an integral "ontur 'angrelatif rumit%
?mumn'a pen'elesaian in7erseTransformasi Laplace mengguna"ane"spansi peca$an parsial "emudiandiselesai"an dengan ta#el%
+
=
j
j
stdsesFj
tf )(2
1)(
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
12/52
Contoh Transformasi
Laplace
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
13/52
@onto$
Transformasi Laplace dari fungsi step(
f.t/ 4 = untu" t > = 4 A untu" t =
f(t)
t
&
Bawa#(
sA
seAdtAe/Ct.fD
st
st =
==
%
%L
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
14/52
;
f(t)
t
Unit Impulse Function
'atematical representation of
sort urst of input (litnin*
ammer lo+* etc,)
=
%
st!te)t(f)s(F)-t(f.#
1!te)t()-t(.#%
st ==
)t(
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
15/52
Transformasi Laplace dari fungsi e"sponensial#eri"ut(
f.t/ 4 = untu" t > = 4 Ae1at untu" t =
Bawa#(
e-at
t
&
+ ==
%%dteAdteAeCAeD t/as.statatL
/as.
A
/as.
eA
t/as.
+=
+
=+
%
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
16/52
Transformasi Laplace dari fungsi sinusoida #eri"ut(f.t/ 4 = untu" t > = 4 A sint untu" t =
Bawa#(
e6t4 cos t 5 6 sin te16wt4 cos t 1 6 sin t
= % dtetsinACtsinAD st
L
=%
2dte/ee.
6A/Ct.fD stt6t6L
/ee.6
tsin t6t6 =2
1
22
1
2
1
2 +
=+
=s
A
6s6
A
6s6
A
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
17/52
Ta#el TransformasiLaplace
Ta#el seleng"apn'a dapat dili$at di Oogata $al% 00
{ }
-at
f(t) # f(t) F(s)
1, (t) 1
a2, e
s / a
0, a,u(t)
=
2 2
2 2
a
s
s, cos at
s a
a
, sin at s a
+
+
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
18/52
S-AT L+E!TAS)-t(f.#)s(F 11 =)-t(f.#)s(F 22 =
tstanConsc*c 21 =
)s(F,c)s(F,c
)-t(f.#,c)-t(f.#,c
)-t(f,c)t(f,c.#
2211
2211
2211
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
19/52
S-AT T!A+SLAS
3i4a F(s)5#.f(t)
Conto
)as(F)-t(fe.#at
=
)as(F!te)t(f!te)t(fe.)t(fe.# t)as(
%
st
%
atat
s
s)-t2(Cos.#
2
s2s
1s
)1s(
1s)-t2(Cose.#
22
t
=
=
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
20/52
0=
67eruaan s4ala +a4tu
Conto
)a
s
(Fa
1
)-t,a(f.# =
)
a
s(F
a
1
a
!ue)u(f!te)t,a(f)t,a(f.# a
su
%
st
%
=
1s1)-t(8in.# 2
9s
0
10
s
1
0
1)t0(8in.#
2
2
=
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
21/52
TEO!EMA D-E!E+SASTransformasi Laplace dari turunan fungsi f.t/ di#eri"an
se#agai
ntegrasi #agian demi #agian mem#eri"an
Transformasi Laplace sangat #erguna "arenamengu#a$ persamaan diferensial men6adi persamaanal6a#ar seder$ana%
=
%
)()(dte
dt
tdf
dt
tdf stL
[ ] +=
%% )()(
)(dtetfsetf
dt
tdf ststL
{ }/t.fs/=.fdt
/t.df LL +=
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
22/52
00
Turunan Pertama [Derivative first order]
. :( )- . - . ( )- , ( ) (% )dfL f t L L f t s F s fdt
= = =
%% %
. :( )- :( ) ( ) ( )st st stL f t e f t dt e f t se f t dt
= =
. :( )- , ( ) (% )L f t s F s f=
( ) (%)sF s f=
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
23/52
0:
Turunan orde tinggi (Derivatives of higher order)
. :( )- . - . :( )- , ( ) (%)df
L f t L L f t s F s fdt= = = 2. ;( )- , ( ) , (%) :(%)L f t s F s s f f=
)1n()1(2n1nn
)n(
)%(f,,,,,)%(fs)%(fs)s(Fs)-t(f.#
=
)1i(n
1i
inn)n(
)%(f,s)s(Fs-)t(f.#
=
=
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
24/52
S-AT1S-AT T!A+S-O!MAS LAPLA@E
at
Time Function #aplace Function&f(t)
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
25/52
n7erse Transformasi Laplace
ntegral in7erse Transformasi Laplace (
Per$itungan integral Persamaan di atasmemerlu"an integral "ontur 'angrelatif rumit%
?mumn'a pen'elesaian in7erseTransformasi Laplace mengguna"ane"spansi peca$an parsial "emudiandiselesai"an dengan ta#el%
0
+
=
j
j
stdsesFj
tf )(2
1)(
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
26/52
n7erse TransformasiLaplace Fasil a"$ir solusi dalam domain S #iasan'a
meng$asil"an #entu"
dimana dera6at s pada ).s/ le#i$ "ecil dari A.s/%?ntu" mela"u"an in7erse Transformasi Laplace "edomain .t/, #entu" terse#ut $arus diu#a$ dengane"spansi peca$an parsial, conto$n'a(
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
27/52
Tran
sformasiLaplace)al
i"
.n7ers/
0G
?)e#erapa )entu" Peca$an Parsial
Bergantung kepada bentuknya , maka terdapat beberapa kasus
yang berbeda :
Kasus 1 :- Faktor orde-1 tidak berulang.
Kasus 2 :- Faktor orde-1 berulang.
Kasus 3 :- Faktor orde-2
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
28/52
Tran
sformasiLaplace)al
i"
.n7ers/
0H
% -a"tor Orde1 Tida")erulang
( )( )
( )n n
n
B sA s p
s pA s= +
=
( )( )
( )
B sX s
A s=
( )1 2 0
01 2
1 2 0
( )
( ) ( )( ),,,,( )
,,,,,
n
n
n
B s
X s s p s p s p s p
A AA A
s p s p s p s p
= + + + +
= + + ++ + + +
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
29/52
Tran
sformasiLaplace)al
i"
.n7ers/
0I
?@onto$ ( Orde1 Tida" )erulang./
@1A
1)(
2
1 =
+++=ss
ssXL
)()0())(0(
1)( 21
++
+=
+++=
s
A
s
A
ss
ssX
1
0))(0(
1)0(1 =
=++
++=
sss
ssA
2))(0(
1)(2 ==++
++=sss
ssA
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
30/52
Tran
sformasiLaplace)al
i"
.n7ers/
:=
?@onto$ ( Orde1 Tida" )erulang.0/
)(
2
)0(
1)(
++
+=
sssX
{ } )(2)()( 01 tueesXtx tt +== L
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
31/52
Tran
sformasiLaplace)ali"
.n7er
s/
:
?@onto$ 0 ( Orde1 Tida" )erulang./
)()1(
))(1(
2
2)(
021
20
++
++=
++
=++
=
s
A
s
A
s
Asss
s
sss
ssX
21
%))(1(21 ==++ = ssss
ssA
@
2)(
20
1 =++
=sss
ssXL
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
32/52
Tran
sformasiLaplace)ali"
.n7er
s/
:0
?@onto$ 0 ( Orde1 Tida" )erulang.0/
21
))(1(2)(0 =
=++
+=
ssssssA
)(
,%
)1(
1,%)(
+
+
+
+=sss
sX
{ })()( 1 sXtx = L )(2
1
2
1 tuee tt
+=
11))(1(
2)1(2 ==++
+=ssss
ssA
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
33/52
Tran
sformasiLaplace)ali"
.n7er
s/
::
0% -a"tor orde1 #erulang
( )
( ) ( ) ( )
01 2
2 0
( ) ( )( )
( )
,,,,,
n
n
n
B s B sX s
A s s p
A AA A
s p s p s p s p
= =+
= + + +
+ + + +
( )( )
( )
n
n
B sA s p
s pA s= +
=
1 ( )( )
( )B ( )
1*2*,,,* 1
n kn
k n k
d B sA s p
s pn k ds A s
k n
= + =
=
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
34/52
Tran
sformasiLaplace)ali"
.n7er
s/
:;
?@onto$ : ( Orde1)erulang ./
?
22)1(
2
12
2)( +
+=++
+= s
s
ss
ssX
221
2)1()1()1(
2)(
++
+=
+
+=
s
A
s
A
s
ssX
11)1(
2)1(2
22 ==+
++=ss
ssA
@12
2)(
2
1 =
+++=
ss
ssXL
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
35/52
Tran
sformasiLaplace)ali"
.n7er
s/
:
?@onto$ : ( Orde1)erulang .0/
2)1(
1
)1(
1)(
++
+=
sssX
{ } )()()( 1 tuteesXtx tt +==L
11)1(
2)1(
B1
12
21 ==+
++=
ss
ss
ds
dA
$ d
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
36/52
Tran
sformasiLaplace)ali"
.n7er
s/
:J
?@onto$ ; ( Orde1)erulang ./
@90
A)(
20
1 =
=
sss
ssXL
221
2 )1()1()()1)((A)(
++++=+ = sA
sA
sB
ssssX
1)1)((
A)(
2 ==+
=sss
ssB
21)1)((
A)1(
22
2 ==+
+=sss
ssA
$ d
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
37/52
Tran
sformasiLaplace)ali"
.n7er
s/
:G
?@onto$ ; ( Orde1)erulang .0/
11)(
)A()(A)(A
1)1)((
A)1(
B1
1
2
22
1
== ==
=+
+=
ssss
ss
dsd
sss
ss
ds
dA
2
)1(
2
)1(
1
)(
1)(
+
++
=
sss
sX
{ })()( 1 sXtx = L )(2 tuteee ttt +=
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
38/52
Tran
sformasiLaplace)ali"
.n7er
s/
:H
:% -a"tor Orde10
Bi"a A.s/ memili"i fa"tor
( )( )
( )
B sX s
A s=
)(2
qpss ++
2 2
1 1
1 1
2 2
1 1
( )( )
( ),,,,,( )
,,,
( ) ( )
n n
n n
n n
B sX s
s p s q s p s q
A s BA s B
s p s q s p s q
=+ + + +
++= + +
+ + + +
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
39/52
Tran
sformasiLaplace)ali"
.n7er
s/
:I
?@onto$ ( Orde10 ./
?
@
)(
20
1 =
++++=
sss
ssXL
11))(1(
)1(
2 =
=++
++=
sss
ssC
)1()())(1(
)(
22 +
+
+
+=
++
+=
s
C
s
BAs
ss
ssX
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
40/52
Tran
sformasiLaplace)ali"
.n7er
s/
;=
?@onto$ ( Orde10 .0/
A54=A41A5)4)40
( ) ( ) ( )22 2
2 2
2
1 1( )
( ) ( 1) ( )( 1)
( ) ( )( 1)
As B s sAs BX s
s s s s
As A B s B ss s
+ + + ++= + =
+ + + +
+ + + + += + +
( ) ( )
)1)((
)1)((
)(1
)(
2
2
2
++
+=
++
+++++
=
ss
s
ss
BsBAsA
sX
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
41/52
Transformasi Laplace )ali" .n7ers/ ;
?@onto$ ( Orde10 .:/
)1(
1
)2(
2
)2(
)(2222 +
++
++
=sss
ssX
{ } )(2sin2cos)()( 1 tuettsXtx t ++== L
)1(
1
)(
2)(
2 ++
++=
ss
ssX
{ } { }2
%2
%%2
%2%
)(sinD)(cos
+=
+=
stut
s
stut LL
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
42/52
TransformasiLaplace)ali"
.n7er
s/
;0
?@onto$ J ( Orde10 ./
?
@)(
2)(
2
21 =
+++=
sss
sssXL
1%)(
2
2
2=
=+++=
ssss
sssC
s
C
ss
BAs
sss
ss
sX ++
+
=+
++
= )()(2
)( 22
2
sss
BAssX
1
)()(
2 ++
+=
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
43/52
TransformasiLaplace)ali"
.n7er
s/
;:
?@onto$ J ( Orde10 .0/
;
sss
s
sss
ssX
1
1)2(
12
1)2(
)2(
1
)(
1%)(
22
2
++
++
=
+++
=
121 ==+ AA
1% == BB
{ } )(1sin12cos)()( 221 tutetesXtx tt
++== L
)(
)()1()(
2
2
++++
=sss
sBsAsX
L i$
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
44/52
Lati$an
@arila$ transformasi Laplace #ali" dari
&0 22 1
( )0
sX s
s s s
+=
+
2
0 2
21( )
2 A
s sX s
s s s
=
+
Ek i P h P i l
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
45/52
Dr%1ng% Mo$amad
7/24/2019 Transformasi Laplace & Persamaan Differensial
46/52
D
r%1ng%
Mo$amad
Top Related