1
Soal dan Pembahasan Bab Lingkaran dan Garis Singgung Lingkaran
1. Diketahui lingkaran O dan tali busur AB.P pada keliling lingkaran. Dari P ditarik garis PQ
tegak lurus AB.PR dan PS adalah garis – garis yang tegak lurus terhadap garis singgung
pada A dan garis singgung pada B.
Buktikan bahwa PQ = !
Jawab :
PRAQ dan PQBS adalah segiempat tali busur. Segiempat PRAQ adalah segiempat tali busur
sebab PRQ = < PAQ. Segiempat PQBS adalah segiempat tali busur sebab <PQS = <PBS.
Perhatikan PRQ = PQS
<PAQ = <PBS
< PRQ = < PQS
Jadi PRQ PQS
=
PQ2 = PR x PS PQ =
AQ
O
R
P
B
S
2
2. ABCD segiempat tali busur.AC┴BD dan berpotongan di P. dari P ditarik garis – garis
PX,PY,PZ dan PW yang berturut – turut tegak lurus pada AB,BC,CD dan AD. Buktikan
X,Y,Z dan W kolinear.
Jawab :
AXPW, BYPX,CZPY dan DWPZ adalah segiempat – segiempat tali busur.
<WAP = <WXP
<PXY = <PBY
<YZP = <YCP
<PZW = <PDW
∆ APD siku – siku <PAD + < PDA = 900
∆ BPC siku – siku < PBC + <PCB = 900
Maka : < WXY + <WYX = <WXP + <PXY + <YZP + <PZW
= <WAP + <PBY + <YCP + <PDW
= WAP + <PDW + <PBY + <YCP
= <PAD + <PDA + <PBC + <PCB
= 900 + 900
= 180o
3. Diketahui B dan C adalah titik – titik ujung setengah lingkaran O. A pertengahan busur BC
dan M pada AC. Dari A dan C ditarik garis – garis tegak lurus BM.
Buktikan BP =PQ + QC.
AX
BYA
C
ZW
D
AR
Q
M
3
Jawab :
Perpanjangan AM dan MR sehingga ABCQ adalah segiempat talibusur.
< AQC = 1800 - <B
= 1800 – 450 = 1350
< AQR = 3600 – 1350 – 900 = 1350
Perhatikan ∆ AQC dan ∆AQR kongruen AR = AC
Sedangkan AC = AB
Jadi AR = AC = AB
Perhatikan ∆ ABR sama kaki AP BR BP = PR
BP = PQ + QR
BP = PQ + QC
4. ABCD persegi panjang dan lingkaran luarnya berpusat di O. P terletak pada tepi lingkaran.
X,Y,Z dan W adalah proyeksi P ke garis AB,BC,CD dan AD. Buktikan bahwa salah satu
titik dari X,Y,Z dan W merupakan titik tinggi dari segitiga yang dibentuk oleh ketiga titik
lainnya.
Jawab :
WPZD persegi panjang <W1 = < D1
PYBX persegi panjang <Y1 = <B1
<Y1 + <W1 = <B1 + <D1
B O C
P
A
W
D
P
NX
Z
Y
B
C
4
= AP + PC
= AC
= x 1800 = 900
Perhatikan WYN
< WNY = 1800 – (<W1 + <Y1)
= 1800 – 900 = 900
Jadi WYZ
YN garis tinggi
ZP garis tinggi
5. ABC lancip T didalam ABC sehingga < ATB = <BTC = <CTA. Proyeksi T ke garis
BC, CA, dan AB berturut – turut adalah titik M, N, dan P. lingkaran luar MNP
memotong BC,CA dan AB berturut – turut di M’, N’, dan P’. buktikan M’N’P’ sama
sisi.
Jawab :
PN’ NP’ segiempat talibusur <AN’P’ = <APN
APTN segiempat talibusur <APN = <ATN
X adalah titik tinggi
A
CB
NP
M M’
N’P’
5
Maka : <AN’P’ = <APN = <ATN
Dengan cara yang sama <CN’M’ = <CMN = < CTN
< AN’P’ + <CN’M’ = <ATN + <CTN
= <ATC
= 1200
<P’N’M’ = 1800 – 1200 = 600
Dengan cara yang sama < N’M’P’ = 600
< N’P’M’ = 600
Jadi M’N’P’ sama sisi.
6. Diketahui setengah lingkaran berdiameter AB. Titik C terletak pada busur AB dan D
pertengahan busur AAC. E adalah proyeksi titik D ke BC. AE memotong busur AB di F.
perpanjangan BF memotong DE di M. buktikan DM = ME.
Berdasarkan titik kuasa M terhadap lingkaran MD2 = MF x MB ………. I
Perhatikan BEM siku – siku di E
EF BM EM2 = MF x MB ……….. II
Dari I dan II EM2 = MD2
EM = MD
7. Diketahui lingkaran O. AB adalah diameter dan ABCD segiempat tali busur. AC dan BD
berpotongan di E sedangkan AD dan BC berpotongan di F. EF memotong busur AB.
Buktikan E titik tengan GH jika dan hanya jika G titik tengan FH.
Jawab : F
A
H
CED
B
6
Perhatikan ABF AC BC maka AC BF, BD AF. AC dan BD adalah garis tinggi
HEB R HAF akibatnya =
HE x HF = HA x HB ………………. I
Perhatikan ABG AH x HB = HG2 ………………. II
dari I dan II HE x HF = HG2
Berarti FG = GH G pertengahan FH dan E pertengahan GH.
8. Diketahui titik P di dalam lingkaran. Jika tiga buah tali busur yang melalui P yaitu AB,
CD, dan EF sama panjang, buktikan bahwa P adalah titik pusat lingkaran tersebut.
Jawab :
Berdasarkan kuasa P terhadap lingkaran ab = cd = ef sedangkan a + b = c + d = e + f
berdasarkan pasangan berurut {a,b} = {c,d} = {e,f}
a = c = e P pusat lingkaran
b = d = f P pusat lingkaran
A
B
C D
E
F
ae
dP
bf
c
7
P adalah pusat lingkaran tersebut.
9. Pada lingkaran berikut, AB adalah diameter lingkaran. garis CD dan EF tegak lurus
terhadap garis AB. jika panjang AP, PQ, dan QB berturut – turut adalah 5, 7 dan 9.
berapakah jumlah panjang CP dan EQ?
jawab:
CP dan PD akibatnya :
AP.PB = CP.PD
5.16 =CP2 CP = = 4
EQ = QD akibatnya :
AQ.QB = EQ.QD
12.9 = EQ2 EQ = = 6
jadi, panjang CP + EQ =4 + 6
10. Pada gambar berikut, tiga buah lingkaran X,Y, dan Z bersinggungan di titik O. titik pusat
Y terletak di Z dan titik pusat X terletak di Y. jika jari – jari Z adalah r, maka luas daerah
yang tidak diarsir adalah…
Jawab :
A B
C
D F
E
P Q5 7 9
X Y Z O
8
Karena pusat lingkaran Y terletak di Z maka jari-jari lingkaran Y sama dengan diameter
lingkaran Z. jadi, luas lingkaran Y = (2r)2 π = 4πr2
luas daerah yang diarsir adalah 4πr2 – πr2 = 3πr2.
kemudian, jari-jari lingkaran X adalah diameter lingkaran Y yaitu 2(2r) = 4r.
jadi, luas daerah yang tidak diarsir adalah π (4r)2 - 3πr2 = 16 πr2 - 3πr2 = 13πr2
11. Sebuah lingkaran berjari-jari r. AB dan CD adalah diameter lingkaran tersebut yang saling
tegak lurus dengan CM = 0,2. jika MN // AB dan NG // CD, panjang MG adalah…
Jawab :
Jelas karena MG = ON = jari jari lingkaran = r
12. Sebuah lingkaran berjari jari 4 berada dalam segitiga sama sisi. jika luas daerah di luar
lingkaran dan di dalam segitiga adalah – πy . nilai x + y adalah…
Jawab :
misalkan panjang sisi segitiga sama sisi adalah α satuan panjang.
R (dalam) =
4 = / α 4. .α = α = 8
A B
D
C
O G
MN
9
13. Dua buah lingkaran sepusat berjari – jari R1 dan R (R1 > R). ABCD adalah segiempat tali
busur pada lingkaran kecil. Perpanjang rusuk AB, BC, CD, DA memotong lingkaran besar
di C1,D1, A1 dan B1. Buktikan ≥
Kuasa titik A1, B1,C 1,D 1 terhadap lingkaran kecil
X (x + d) = y(y + a) = z(z + b) =w(w + c) = R12 – R2
Luas AB1C1 = (a + y) x sin A1
= (a + y) x sin ( 1800 – A2)
= (a + y)x sin A2
Luas ABCD = (ad + bc) sin A2
=
Dengan cara yang sama
=
Misalkan
AB = a A1D = w
BC = b B1A = x
CD = c C1B = y
DA = d D1C = z
10
=
=
= 1 + +
= 1 + + + +
= 1 + (R12 – R2)[ + + + ]
= 1 +
Menurut AM – GM
2 (ad +bc) (ab +cd)
≤ (a+c)(b+d)
≤ (a+b+c+d)2
8R2
Kedua ruas dibagi 2
4R2
≥1 +
≥
11
≥
≥
14. Lingkaran O mempunyai diameter 10 cm dan segitiga ABC adalah segitiga sama sisi.
Berapa pendekatan luas daerah yang terdekat?
Jawab :
2 (Luas juring – Luas segitiga sama sisi)
= 2( 52 - )
= 25( - )
= 4,5…
15. Diberikan dua buah lingkaran yang saling bertumpukan seperti pada gambar di bawah.
Luas daerah yang diarsir adalah …
A
C
B
O
1
12
Jawab :
Luas daerah yang diarsir = 4 (luas tembereng)
= 4( .12. - )
= ( - )
=
16. Di dalam lingkaran berjari-jari 4, terdapat dua buh lingkaran lain berjari-jari 2 yang tidak
saling berpotongan dan pusatnya terletak pada diameter lingkaran besar. Di atas kedua
lingkaran, terdapat pula sebuah lingkaran seperti pada gambar di bawah. Berapakah jari-
jari lingkaran kecil?
jawab:
Perhatikan segitiga ABC di atas.
Karena segitiga ABC tersebut merupakan segitiga siku-siku di C maka berlaku:
(2 + x)2 = 22 + (4 - x)2
4 + 4x + x2 = 4+16 - 8x + x2
A C
Br r
r
2
2
2
2
13
12x = 16
x = =
17. Gambar kedua busur berikut merupakan seperempat lingkaran. Jika jari-jari setiap
ligkaran 4. Berapakah luas daerah tersebut?
Jawab :
Luas daerah tersebut adalah luas tembereng + luas seperempat lingkaran
= (luas segiempat – luas seperempat lingkaran) + luas seperempat lingkaran
= luas segiempat
= 4 x 4
= 16
]
18. Dua buah lingkaran dengan pusat di O1 dan O2 dengan jari-jari masing-masing 30 dan 10.
Kemudian dibentuk garis lurus yang menyinggung kedua lingkaran tersebut. Hitunglah
luas daerah yang dibentuk kedua lingkaran dan garis lurus!
Jawab :
30O1
10O2
3040
O210
14
Pada ilustrasi di atas, dapat dilihat bahwa terbentuk segitiga siku-siku. dari sini dapat
diperoleh jarak titik singgung kedua lingkaran tersebut yaitu :
=
=
=20
Dari sini diperoleh perbandingan panjang sisi segitiga sebagai berikut:
Jadi, luas daerah yang dimaksud adalah:
= luas trapesium - luas juring1 - luas juring 2
= (30+10) 20 -
= 400
= 400
19. Ketiga lingkaran di bawah ini mempunyai ukuran yang sama dengan pusat O1, O2, dan
O3. Titik potong atas A, B, dan C membentuk garis lurus. Hitunglah perbandingan sudut
CO3W dengan sudut CO1W!
O130 20
40 20
300
600
12
AB C
15
Jawab :
Misalkan sudut BCO3 adalah x (dalam derajat) dan sudut CO3W adalah y (dalam
derajat).
Karena BCO3 segitiga sama kaki maka sudut yang dibentuk oleh CBO3 juga sama
dengan x.
Akibatnya sudut BCO3 = - 2x.
Dari sini diperoleh sudut BO301 = 1800-(1802-2x)-y=2x-y.
Perhatikan kembali bahwa segitiga 02BO3 merupaka segitiga sama kaki sehingga
sudut BO203 = sudut BO301 = 2x-y.
20. Pada lingkaran yang ditunjukkan berikut, taki busur AB dan CD berpotongan di titik P
dan saling tegak lurus. Jika AP = 4, PB = 6 dan PC = 2, berapakah luas lingkaran?
jawab:
01 02 03W
A
G
P
D
B
A
G
P
D
B
12
16
Dengan garis pertolongan di atas, diperoleh segitiga dalam lingkaran dengan panjang AD
dan DB berturut-turut adalah :
AD=
DB=
Dari sini diperoleh:
Rluar=
=
=
Jadi, luas lingkaran adalah
21. Tiga buah lingkaran, masing-masing dengan jari-jari 10 cm saling bersinggungan dengan
yang lain sehingga pusat dari tiga lingkaran tersebut semuanya berada pada satu garis
yang lain. Lingkaran-lingkaran tersebut merupakan lingkaran dalam dari persegi panjang,
sedangkan persegi panjang tersebut berada pada lingkaran besar seperti pada gambar.
Berapakah luas dari lingkaran besar?
4 6
2
17
jawab:
Karena jari-jari lingkaran kecil 10 cm, maka persegi panjang tersebut mempunyai
panjang 60 cm dan lebar 20 cm sehingga jari-jari lingkaran dapat dicari denggan
menggunakan rumus phytagoras :
r2 = 302-102
= 900-100
= 800
Jadi, luas lingkaran besarnya adalah
22. Lingkaran dengan pusat A berjari-jari 3 cm dan lingkaran dengan pusat B berjari-jari 1
cm seperti terlihat pada gambar. Jarak dari O ke D adalah…
Jawab :
R = 3 cm, r=1 cm
AB = 3 cm + 1 cm = 4 cm
AI = R – r = 3 – 1 = 2 cm
BI =
10
30
D
OC
AB
D
C
AB’
J
H
SI 3
3
18
=
= =
Jadi, EF = BI =
Pandang segitiga AIB sebangun dengan segitiga AEC, diperoleh :
OC =
= cm
Berdasarkan sifat tali busur laying-layang, diperoleh :
dan
Pandang segitiga AEC,
tan
tan
Segitiga siku-siku ACE dilukiskan seperti gambar di atas .
Hal ini berarti . Berdasarkan perbandingan segitiga siku-siku diperoleh :
Karena OC
maka OD
Jadi, jarak dari O ke D adalah cm.
23. Pada gambar disamping terdapat sebuah seperempat lingkaran besar, di dalamnya ada
dua buah setengah lingkaran sedang dan kecil. Jika panjang jari-jari seperempat lingkaran
12 cm, hitunglah jari-jari setengah lingkaran terkecil.
O E .F
A
E
21
C
O C
D
a
2a
19
jawab:
Misalkan jari-jari setengah lingkaran terkecil .
Dengan membuat seketsa segitiga seperti disamping, diperoleh hubungan sisi menurut
teorema Pythagoras sebagai berikut :
Jadi, panjang jari-jari lingkaran terkecil = 4 cm.
24. Pada gambar di samping, luas arsiran daerah bagian A, sedangkan luas arsiran
daerah bagian B. Hitunglah perbandingan luas daerah A terhadap luas daerah B.
Jawab :
Daerah A dan B beririsan berupa daerah yang tidak diarsir.
Luas daerah tidak diarsir luas daerah tidak diarsir B.
6 cmO
12- r
r
A B
20
Jadi perbandingan luas daerah A terhadap luas daerah B adalah
Luas A : Luas B
25. Diketahui segiempat tali busur ABCD. Pusat lingkaran luarnya adalah O dan diameternya
25. Ditarik garis OP AD dan OQ CD. Tentukan panjang sisi AB, BC, CD, DA, OP, dan
OQ dalam bentuk bilangan asli!
Jawab :
Perhatikan segitiga OPD
Perhatikan segitiga OQD
Beberapa kemungkinan
OP = 12 dan AD = 7
atau OP = 7 dan AD = 12
OQ = 12 dan CD = 7
atau OQ = 10 dan CD = 15
karena AD CD, maka AD = 7 dan CD = 12 atau AD = 12 dan CD = 7
maka OQ = 10 dan OP = 12
Perhatikan segitiga ADC
Perhatikan segitiga ABC
misalkan : AB = p dan BC = q
A B
OP
QC
D
α β
21
dengan mempergunakan rumus persamaan kuadrat:
harus bentuk kuadrat maka atau 24
dan , maka q = 20 atau 24
Jadi panjang sisi ABCD adalah 5, 15, 20, 24
26. Misalkan a dan b menyatakan luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah. Kelima
lingkaran kecil berjari-jari r. Titik-titik pusat lingkaran kecil yang menyinggung lingkaran
besar merupakan titik-titik sudut persegi. Jika cm2, maka
jawab:
Misalkan r adalah jari-jari lingkaran kecil-kecil. Dari yang diketahui,
Di lain pihak, jari-jari lingkaran besar adalah
Luas daerah b yang diarsir adalah:
27. Pada gambar di samping, titik O adalah pusat lingkaran yang berjari-jari r. Jika panjang
ruas garis ED juga sama dengan r, buktikan bahwa !
O A
B
CE
D
r
rr
22
Jawab :
Gunakan garis bantuan OD yang panjangnya r (jari-jari lingkaran).
Dari sini diperoleh dua buah segitiga samakaki yaitu segitiga EDO dan segitiga BOD
samakaki.
Misalkan . Karena segitiga EDO samakaki, maka .
Akibatnya .
Jadi,
Terbukti tiga kali .
28. Diketahui sebuah lingkaran berdiameter AB. Titik C, D, dan E terletak pada busur AB
dan sepihak terhadap AB. Titik F terletak pada bagian busur AB lainnya,
dan . M adalah titik potong BD dan CE. Buktikan
.
jawab:
segitiga BOF sama sisi
garis bagi
maka trapesium MOBE sama kaki.
Jadi,
A B
C
D
EM
O
23
29. Luas daerah yang diasir setengah dari luas yang tidak diasir. panjang AB dibagi panjang
AC adalah…..
jawab:
luas yang diasir = luas daerah yang tidak diasir
π r2 = ( π (R2 - r2))
2 π2 = R2 - r2
3 r2 = R2 - r2
=
=
=
30. Dari gambar berikut ini diketahui bahwa jari – jari lingkaran yang kecil adalah 3 cm dan
jari – jari lingkaran yang besar adalah 5 cm. panjang CD adalah….. cm
jawab
A
BC
ABCD
F
=
=
5 CD + 15 = 3 CD + 33
2 CD = 18
24
ABCD
E
25
DAFTAR PUSTAKA
Kurniawan. 2007. Siap Juara Olimpiade Matematika SMP. Jakarta: Erlangga.
Binatari Nikenasih. 2009. Super Jenius Olimpiade Matematika SMP. Jakarta : Pustaka
Widyatama.
Sukino. 2009. Maestro Olimpiade Matematika SMP. Jakarta : Erlangga.
Dharmawi Hendra dkk. 2007. Jago Olimpiade Matematika. Tangerang : i-Publishing.
Top Related