1

Soal dan Pembahasan Bab Lingkaran dan Garis Singgung Lingkaran

1. Diketahui lingkaran O dan tali busur AB.P pada keliling lingkaran. Dari P ditarik garis PQ

tegak lurus AB.PR dan PS adalah garis – garis yang tegak lurus terhadap garis singgung

pada A dan garis singgung pada B.

Buktikan bahwa PQ = !

Jawab :

PRAQ dan PQBS adalah segiempat tali busur. Segiempat PRAQ adalah segiempat tali busur

sebab PRQ = < PAQ. Segiempat PQBS adalah segiempat tali busur sebab <PQS = <PBS.

Perhatikan PRQ = PQS

<PAQ = <PBS

< PRQ = < PQS

Jadi PRQ PQS

=

PQ2 = PR x PS PQ =

AQ

O

R

P

B

S

2

2. ABCD segiempat tali busur.AC┴BD dan berpotongan di P. dari P ditarik garis – garis

PX,PY,PZ dan PW yang berturut – turut tegak lurus pada AB,BC,CD dan AD. Buktikan

X,Y,Z dan W kolinear.

Jawab :

AXPW, BYPX,CZPY dan DWPZ adalah segiempat – segiempat tali busur.

<WAP = <WXP

<PXY = <PBY

<YZP = <YCP

<PZW = <PDW

∆ APD siku – siku <PAD + < PDA = 900

∆ BPC siku – siku < PBC + <PCB = 900

Maka : < WXY + <WYX = <WXP + <PXY + <YZP + <PZW

= <WAP + <PBY + <YCP + <PDW

= WAP + <PDW + <PBY + <YCP

= <PAD + <PDA + <PBC + <PCB

= 900 + 900

= 180o

3. Diketahui B dan C adalah titik – titik ujung setengah lingkaran O. A pertengahan busur BC

dan M pada AC. Dari A dan C ditarik garis – garis tegak lurus BM.

Buktikan BP =PQ + QC.

AX

BYA

C

ZW

D

AR

Q

M

3

Jawab :

Perpanjangan AM dan MR sehingga ABCQ adalah segiempat talibusur.

< AQC = 1800 - <B

= 1800 – 450 = 1350

< AQR = 3600 – 1350 – 900 = 1350

Perhatikan ∆ AQC dan ∆AQR kongruen AR = AC

Sedangkan AC = AB

Jadi AR = AC = AB

Perhatikan ∆ ABR sama kaki AP BR BP = PR

BP = PQ + QR

BP = PQ + QC

4. ABCD persegi panjang dan lingkaran luarnya berpusat di O. P terletak pada tepi lingkaran.

X,Y,Z dan W adalah proyeksi P ke garis AB,BC,CD dan AD. Buktikan bahwa salah satu

titik dari X,Y,Z dan W merupakan titik tinggi dari segitiga yang dibentuk oleh ketiga titik

lainnya.

Jawab :

WPZD persegi panjang <W1 = < D1

PYBX persegi panjang <Y1 = <B1

<Y1 + <W1 = <B1 + <D1

B O C

P

A

W

D

P

NX

Z

Y

B

C

4

= AP + PC

= AC

= x 1800 = 900

Perhatikan WYN

< WNY = 1800 – (<W1 + <Y1)

= 1800 – 900 = 900

Jadi WYZ

YN garis tinggi

ZP garis tinggi

5. ABC lancip T didalam ABC sehingga < ATB = <BTC = <CTA. Proyeksi T ke garis

BC, CA, dan AB berturut – turut adalah titik M, N, dan P. lingkaran luar MNP

memotong BC,CA dan AB berturut – turut di M’, N’, dan P’. buktikan M’N’P’ sama

sisi.

Jawab :

PN’ NP’ segiempat talibusur <AN’P’ = <APN

APTN segiempat talibusur <APN = <ATN

X adalah titik tinggi

A

CB

NP

M M’

N’P’

5

Maka : <AN’P’ = <APN = <ATN

Dengan cara yang sama <CN’M’ = <CMN = < CTN

< AN’P’ + <CN’M’ = <ATN + <CTN

= <ATC

= 1200

<P’N’M’ = 1800 – 1200 = 600

Dengan cara yang sama < N’M’P’ = 600

< N’P’M’ = 600

Jadi M’N’P’ sama sisi.

6. Diketahui setengah lingkaran berdiameter AB. Titik C terletak pada busur AB dan D

pertengahan busur AAC. E adalah proyeksi titik D ke BC. AE memotong busur AB di F.

perpanjangan BF memotong DE di M. buktikan DM = ME.

Berdasarkan titik kuasa M terhadap lingkaran MD2 = MF x MB ………. I

Perhatikan BEM siku – siku di E

EF BM EM2 = MF x MB ……….. II

Dari I dan II EM2 = MD2

EM = MD

7. Diketahui lingkaran O. AB adalah diameter dan ABCD segiempat tali busur. AC dan BD

berpotongan di E sedangkan AD dan BC berpotongan di F. EF memotong busur AB.

Buktikan E titik tengan GH jika dan hanya jika G titik tengan FH.

Jawab : F

A

H

CED

B

6

Perhatikan ABF AC BC maka AC BF, BD AF. AC dan BD adalah garis tinggi

HEB R HAF akibatnya =

HE x HF = HA x HB ………………. I

Perhatikan ABG AH x HB = HG2 ………………. II

dari I dan II HE x HF = HG2

Berarti FG = GH G pertengahan FH dan E pertengahan GH.

8. Diketahui titik P di dalam lingkaran. Jika tiga buah tali busur yang melalui P yaitu AB,

CD, dan EF sama panjang, buktikan bahwa P adalah titik pusat lingkaran tersebut.

Jawab :

Berdasarkan kuasa P terhadap lingkaran ab = cd = ef sedangkan a + b = c + d = e + f

berdasarkan pasangan berurut {a,b} = {c,d} = {e,f}

a = c = e P pusat lingkaran

b = d = f P pusat lingkaran

A

B

C D

E

F

ae

dP

bf

c

7

P adalah pusat lingkaran tersebut.

9. Pada lingkaran berikut, AB adalah diameter lingkaran. garis CD dan EF tegak lurus

terhadap garis AB. jika panjang AP, PQ, dan QB berturut – turut adalah 5, 7 dan 9.

berapakah jumlah panjang CP dan EQ?

jawab:

CP dan PD akibatnya :

AP.PB = CP.PD

5.16 =CP2 CP = = 4

EQ = QD akibatnya :

AQ.QB = EQ.QD

12.9 = EQ2 EQ = = 6

jadi, panjang CP + EQ =4 + 6

10. Pada gambar berikut, tiga buah lingkaran X,Y, dan Z bersinggungan di titik O. titik pusat

Y terletak di Z dan titik pusat X terletak di Y. jika jari – jari Z adalah r, maka luas daerah

yang tidak diarsir adalah…

Jawab :

A B

C

D F

E

P Q5 7 9

X Y Z O

8

Karena pusat lingkaran Y terletak di Z maka jari-jari lingkaran Y sama dengan diameter

lingkaran Z. jadi, luas lingkaran Y = (2r)2 π = 4πr2

luas daerah yang diarsir adalah 4πr2 – πr2 = 3πr2.

kemudian, jari-jari lingkaran X adalah diameter lingkaran Y yaitu 2(2r) = 4r.

jadi, luas daerah yang tidak diarsir adalah π (4r)2 - 3πr2 = 16 πr2 - 3πr2 = 13πr2

11. Sebuah lingkaran berjari-jari r. AB dan CD adalah diameter lingkaran tersebut yang saling

tegak lurus dengan CM = 0,2. jika MN // AB dan NG // CD, panjang MG adalah…

Jawab :

Jelas karena MG = ON = jari jari lingkaran = r

12. Sebuah lingkaran berjari jari 4 berada dalam segitiga sama sisi. jika luas daerah di luar

lingkaran dan di dalam segitiga adalah – πy . nilai x + y adalah…

Jawab :

misalkan panjang sisi segitiga sama sisi adalah α satuan panjang.

R (dalam) =

4 = / α 4. .α = α = 8

A B

D

C

O G

MN

9

13. Dua buah lingkaran sepusat berjari – jari R1 dan R (R1 > R). ABCD adalah segiempat tali

busur pada lingkaran kecil. Perpanjang rusuk AB, BC, CD, DA memotong lingkaran besar

di C1,D1, A1 dan B1. Buktikan ≥

Kuasa titik A1, B1,C 1,D 1 terhadap lingkaran kecil

X (x + d) = y(y + a) = z(z + b) =w(w + c) = R12 – R2

Luas AB1C1 = (a + y) x sin A1

= (a + y) x sin ( 1800 – A2)

= (a + y)x sin A2

Luas ABCD = (ad + bc) sin A2

=

Dengan cara yang sama

=

Misalkan

AB = a A1D = w

BC = b B1A = x

CD = c C1B = y

DA = d D1C = z

10

=

=

= 1 + +

= 1 + + + +

= 1 + (R12 – R2)[ + + + ]

= 1 +

Menurut AM – GM

2 (ad +bc) (ab +cd)

≤ (a+c)(b+d)

≤ (a+b+c+d)2

8R2

Kedua ruas dibagi 2

4R2

≥1 +

≥

11

≥

≥

14. Lingkaran O mempunyai diameter 10 cm dan segitiga ABC adalah segitiga sama sisi.

Berapa pendekatan luas daerah yang terdekat?

Jawab :

2 (Luas juring – Luas segitiga sama sisi)

= 2( 52 - )

= 25( - )

= 4,5…

15. Diberikan dua buah lingkaran yang saling bertumpukan seperti pada gambar di bawah.

Luas daerah yang diarsir adalah …

A

C

B

O

1

12

Jawab :

Luas daerah yang diarsir = 4 (luas tembereng)

= 4( .12. - )

= ( - )

=

16. Di dalam lingkaran berjari-jari 4, terdapat dua buh lingkaran lain berjari-jari 2 yang tidak

saling berpotongan dan pusatnya terletak pada diameter lingkaran besar. Di atas kedua

lingkaran, terdapat pula sebuah lingkaran seperti pada gambar di bawah. Berapakah jari-

jari lingkaran kecil?

jawab:

Perhatikan segitiga ABC di atas.

Karena segitiga ABC tersebut merupakan segitiga siku-siku di C maka berlaku:

(2 + x)2 = 22 + (4 - x)2

4 + 4x + x2 = 4+16 - 8x + x2

A C

Br r

r

2

2

2

2

13

12x = 16

x = =

17. Gambar kedua busur berikut merupakan seperempat lingkaran. Jika jari-jari setiap

ligkaran 4. Berapakah luas daerah tersebut?

Jawab :

Luas daerah tersebut adalah luas tembereng + luas seperempat lingkaran

= (luas segiempat – luas seperempat lingkaran) + luas seperempat lingkaran

= luas segiempat

= 4 x 4

= 16

]

18. Dua buah lingkaran dengan pusat di O1 dan O2 dengan jari-jari masing-masing 30 dan 10.

Kemudian dibentuk garis lurus yang menyinggung kedua lingkaran tersebut. Hitunglah

luas daerah yang dibentuk kedua lingkaran dan garis lurus!

Jawab :

30O1

10O2

3040

O210

14

Pada ilustrasi di atas, dapat dilihat bahwa terbentuk segitiga siku-siku. dari sini dapat

diperoleh jarak titik singgung kedua lingkaran tersebut yaitu :

=

=

=20

Dari sini diperoleh perbandingan panjang sisi segitiga sebagai berikut:

Jadi, luas daerah yang dimaksud adalah:

= luas trapesium - luas juring1 - luas juring 2

= (30+10) 20 -

= 400

= 400

19. Ketiga lingkaran di bawah ini mempunyai ukuran yang sama dengan pusat O1, O2, dan

O3. Titik potong atas A, B, dan C membentuk garis lurus. Hitunglah perbandingan sudut

CO3W dengan sudut CO1W!

O130 20

40 20

300

600

12

AB C

15

Jawab :

Misalkan sudut BCO3 adalah x (dalam derajat) dan sudut CO3W adalah y (dalam

derajat).

Karena BCO3 segitiga sama kaki maka sudut yang dibentuk oleh CBO3 juga sama

dengan x.

Akibatnya sudut BCO3 = - 2x.

Dari sini diperoleh sudut BO301 = 1800-(1802-2x)-y=2x-y.

Perhatikan kembali bahwa segitiga 02BO3 merupaka segitiga sama kaki sehingga

sudut BO203 = sudut BO301 = 2x-y.

20. Pada lingkaran yang ditunjukkan berikut, taki busur AB dan CD berpotongan di titik P

dan saling tegak lurus. Jika AP = 4, PB = 6 dan PC = 2, berapakah luas lingkaran?

jawab:

01 02 03W

A

G

P

D

B

A

G

P

D

B

12

16

Dengan garis pertolongan di atas, diperoleh segitiga dalam lingkaran dengan panjang AD

dan DB berturut-turut adalah :

AD=

DB=

Dari sini diperoleh:

Rluar=

=

=

Jadi, luas lingkaran adalah

21. Tiga buah lingkaran, masing-masing dengan jari-jari 10 cm saling bersinggungan dengan

yang lain sehingga pusat dari tiga lingkaran tersebut semuanya berada pada satu garis

yang lain. Lingkaran-lingkaran tersebut merupakan lingkaran dalam dari persegi panjang,

sedangkan persegi panjang tersebut berada pada lingkaran besar seperti pada gambar.

Berapakah luas dari lingkaran besar?

4 6

2

17

jawab:

Karena jari-jari lingkaran kecil 10 cm, maka persegi panjang tersebut mempunyai

panjang 60 cm dan lebar 20 cm sehingga jari-jari lingkaran dapat dicari denggan

menggunakan rumus phytagoras :

r2 = 302-102

= 900-100

= 800

Jadi, luas lingkaran besarnya adalah

22. Lingkaran dengan pusat A berjari-jari 3 cm dan lingkaran dengan pusat B berjari-jari 1

cm seperti terlihat pada gambar. Jarak dari O ke D adalah…

Jawab :

R = 3 cm, r=1 cm

AB = 3 cm + 1 cm = 4 cm

AI = R – r = 3 – 1 = 2 cm

BI =

10

30

D

OC

AB

D

C

AB’

J

H

SI 3

3

18

=

= =

Jadi, EF = BI =

Pandang segitiga AIB sebangun dengan segitiga AEC, diperoleh :

OC =

= cm

Berdasarkan sifat tali busur laying-layang, diperoleh :

dan

Pandang segitiga AEC,

tan

tan

Segitiga siku-siku ACE dilukiskan seperti gambar di atas .

Hal ini berarti . Berdasarkan perbandingan segitiga siku-siku diperoleh :

Karena OC

maka OD

Jadi, jarak dari O ke D adalah cm.

23. Pada gambar disamping terdapat sebuah seperempat lingkaran besar, di dalamnya ada

dua buah setengah lingkaran sedang dan kecil. Jika panjang jari-jari seperempat lingkaran

12 cm, hitunglah jari-jari setengah lingkaran terkecil.

O E .F

A

E

21

C

O C

D

a

2a

19

jawab:

Misalkan jari-jari setengah lingkaran terkecil .

Dengan membuat seketsa segitiga seperti disamping, diperoleh hubungan sisi menurut

teorema Pythagoras sebagai berikut :

Jadi, panjang jari-jari lingkaran terkecil = 4 cm.

24. Pada gambar di samping, luas arsiran daerah bagian A, sedangkan luas arsiran

daerah bagian B. Hitunglah perbandingan luas daerah A terhadap luas daerah B.

Jawab :

Daerah A dan B beririsan berupa daerah yang tidak diarsir.

Luas daerah tidak diarsir luas daerah tidak diarsir B.

6 cmO

12- r

r

A B

20

Jadi perbandingan luas daerah A terhadap luas daerah B adalah

Luas A : Luas B

25. Diketahui segiempat tali busur ABCD. Pusat lingkaran luarnya adalah O dan diameternya

25. Ditarik garis OP AD dan OQ CD. Tentukan panjang sisi AB, BC, CD, DA, OP, dan

OQ dalam bentuk bilangan asli!

Jawab :

Perhatikan segitiga OPD

Perhatikan segitiga OQD

Beberapa kemungkinan

OP = 12 dan AD = 7

atau OP = 7 dan AD = 12

OQ = 12 dan CD = 7

atau OQ = 10 dan CD = 15

karena AD CD, maka AD = 7 dan CD = 12 atau AD = 12 dan CD = 7

maka OQ = 10 dan OP = 12

Perhatikan segitiga ADC

Perhatikan segitiga ABC

misalkan : AB = p dan BC = q

A B

OP

QC

D

α β

21

dengan mempergunakan rumus persamaan kuadrat:

harus bentuk kuadrat maka atau 24

dan , maka q = 20 atau 24

Jadi panjang sisi ABCD adalah 5, 15, 20, 24

26. Misalkan a dan b menyatakan luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah. Kelima

lingkaran kecil berjari-jari r. Titik-titik pusat lingkaran kecil yang menyinggung lingkaran

besar merupakan titik-titik sudut persegi. Jika cm2, maka

jawab:

Misalkan r adalah jari-jari lingkaran kecil-kecil. Dari yang diketahui,

Di lain pihak, jari-jari lingkaran besar adalah

Luas daerah b yang diarsir adalah:

27. Pada gambar di samping, titik O adalah pusat lingkaran yang berjari-jari r. Jika panjang

ruas garis ED juga sama dengan r, buktikan bahwa !

O A

B

CE

D

r

rr

22

Jawab :

Gunakan garis bantuan OD yang panjangnya r (jari-jari lingkaran).

Dari sini diperoleh dua buah segitiga samakaki yaitu segitiga EDO dan segitiga BOD

samakaki.

Misalkan . Karena segitiga EDO samakaki, maka .

Akibatnya .

Jadi,

Terbukti tiga kali .

28. Diketahui sebuah lingkaran berdiameter AB. Titik C, D, dan E terletak pada busur AB

dan sepihak terhadap AB. Titik F terletak pada bagian busur AB lainnya,

dan . M adalah titik potong BD dan CE. Buktikan

.

jawab:

segitiga BOF sama sisi

garis bagi

maka trapesium MOBE sama kaki.

Jadi,

A B

C

D

EM

O

23

29. Luas daerah yang diasir setengah dari luas yang tidak diasir. panjang AB dibagi panjang

AC adalah…..

jawab:

luas yang diasir = luas daerah yang tidak diasir

π r2 = ( π (R2 - r2))

2 π2 = R2 - r2

3 r2 = R2 - r2

=

=

=

30. Dari gambar berikut ini diketahui bahwa jari – jari lingkaran yang kecil adalah 3 cm dan

jari – jari lingkaran yang besar adalah 5 cm. panjang CD adalah….. cm

jawab

A

BC

ABCD

F

=

=

5 CD + 15 = 3 CD + 33

2 CD = 18

24

ABCD

E

25

DAFTAR PUSTAKA

Kurniawan. 2007. Siap Juara Olimpiade Matematika SMP. Jakarta: Erlangga.

Binatari Nikenasih. 2009. Super Jenius Olimpiade Matematika SMP. Jakarta : Pustaka

Widyatama.

Sukino. 2009. Maestro Olimpiade Matematika SMP. Jakarta : Erlangga.

Dharmawi Hendra dkk. 2007. Jago Olimpiade Matematika. Tangerang : i-Publishing.