SOAL-JAWAB MATEMATIKA SAINTEK PEMBAHASAN SBMPTN · SOAL-JAWAB MATEMATIKA SAINTEK PEMBAHASAN SBMPTN...

SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika IPA/Bahas SBMPTN (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 1

SOAL-JAWAB MATEMATIKA SAINTEK

PEMBAHASAN SBMPTN

Soal 1

Diketahui dua lingkaran berpusat di titik O(0,0) berjari-jari r dan R dengan r < R.

Sebuah garis menyinggung lingkaran dalam di titik E dan memotong lingkaran luar di

titik P. Jika diketahui selisih luas antara lingkaran luar dan lingkaran dalam 36 dan

60EOP , maka persamaan lingkaran luar adalah….

Jawab:

Perhatikan gambar berikut!

Dari informasi selisih luas = 36 , maka

3622 rR

3622 rR ………... (1)

Karena garis PE menyinggung lingkaran

dalam, maka 90OEP (siku-

siku).

Dari informasi 60EOP , maka

OP

OEEOP cos

Maka R

r60cos

R

r

2

1 Rr

2

1 ……. (2)

Substitusi (2) ke (1), kita peroleh:

362

12

2

RR

364

1 22 RR

364

3 2 R 483

4362 R .

Dengan demikian persaman lingkaran luarnya adalah:

222 Ryx .4822 yx


Soal 2

Misalkan segitiga ABC adalah segitiga siku-siku pada titik C. Jika panjang sisi di hadapan

titik A, B, C berturut-turut adalah a, b, c maka cos 2A = ….

Jawab:

AAA 22 sincos2cos

22

c

a

c

b

2

2

2

2 c

a

c

b

2

22

c

ab

Ada juga ya soal

SBMPTN yang simpel..

Soal 3

Fungsi xxxxf sectansec)( 2 untuk 20 x , 2

x dan

2

3x

naik pada interval…..

Jawab:

Fungsi )(xf naik sa’at 0)( xf .

Perhatikan bahwa:

Jika nUxy 2sec maka UnUy n .1

xxxxx 2sectan2sec.tan.sec2 .

Jika vuxxy .sec.tan maka '' uvvuy

xxxxx sec.tan.tansec.sec2

xxx sec.tansec 23


Karena xxxxf sectansec)( 2 , maka untuk bagian naik,

0)( xf

0)sectan(secsec.tan2 232 xxxxx

0)tansectan2(sec 22 xxxx

0)tantan1tan2(sec 22 xxxx

(sebab xx 22 tan1sec )

0)tan21tan2(sec 2 xxx

0)1tan2tan2(sec 2 xxx ………..(*)

Bentuk )1tan2tan2( 2 xx adalah definit postif karena Diskriminannya:

04841.2.4)2(4 22 acbD .

Sehingga (*) menjadi:

0sec x

0sec x

0cos

1

x

Fungsi cos bernilai negatif pada kuadran II dan III, yakni pada interval 2

3

2

x .

Jadi, fungsi )(xf naik pada interval 2

3

2

x .

Soal 4

Jika titik (a, b) dicerminkan terhadap garis y = x – 1 menjadi titik (c, d), maka 2c + d = ….

(nyatakan dalam a dan b !)

Jawab:

Wah… rumus pencerminan terhadap garis y = x – 1 tidaklah terkenal, dan kebanyakan

orang tidak hafal…!! Tapi soal ini bisa kita kerjakan dengan ide sebagai berikut:

Geser titik P(a, b) dan garis y = x – 1, masing-masing digeser satu satuan ke kiri,

sehingga menjadi titik Q dan garis y = x. Lalu titik Q ini dicerminkan terhadap garis


y = x, bayangannya kita namakan Q’. Lalu titik Q’ ini kita geser satu satuan ke kanan,

menjadi P’. Nah, P’ inilah bayangan titik P jika dicerminkan terhadap garis y = x – 1.

Perhatikan koordinatnya:

Titik P(a, b) digeser satu satuan ke kiri, menghasilkan titik Q(a – 1, b).

Titik Q(a – 1, b) dicerminkan terhadap garis y = x menghasilkan titik Q’(b, a – 1)

(Ingat pencerminan terhadap garis y=x memenuhi: (x, y) (y, x))

Lalu titik Q’(b, a – 1) digeser satu satuan ke kanan menjadi P’(b + 1, a – 1).

Titik P’ ini pada soal berkoordinat (c, d) maka:

P’ = (c, d) = (b + 1, a – 1).

Sehingga c = b + 1 dan d = a – 1.

Jadi, 2c + d = 2(b + 1) + (a – 1) =2b + 2 + a – 1 = a + 2b + 1.

Soal 5

Diketahui kubus ABCD.EFGH. Titik M berada pada rusuk AD sedemikian sehingga AM :

MD = 1 : 2. Titik N berada di rusuk CD sedemikian sehingga CN : ND = 1 : 2. Titik P

berada pada rusuk DH sedemikian sehingga DP : PH = 2 : 1. Jika adalah sudut antara

bidang MNP dan bidang ACGE, maka nilai sin

Hmmm, ide ini

sepertinya cukup

menarik ….


Jawab:

Karena pada gambar di atas, bidang MNP “tidak berpotongan langsung” dengan bidang

ACGE, maka untuk menentukan sudut antara bidang MNP dengan bidang ACGE, ganti

saja bidang MNP dengan bidang lain yang sejajar dengannya, dalam kasus ini kita ganti

dengan bidang ACH. Bidang ACH adalah bidang yang sejajar dengan bidang MNP. (Ingat

bahwa titik-titik M, N, dan P membagi rusuk-rusuk kubus terkait dengan perbandingan

yang sama yaitu 1 : 2).

Jadi, sudut antara bidang MNP dengan bidang ACGE

= sudut antara bidang ACH dengan bidang ACGE = HOR .

(disini O adalah pusat bidang ABCD dan R adalah pusat bidang EFGH)

Maka

OH

HRsin …….. (1)

Misal panjang rusuk kubus = r, maka:

22

1

2

1rHFHR

dan

222

222

4

22

2

1rrrrROHROH

62

1

4

6 2 rr


Substitusi nilai-nilai ini ke persamaan (1), maka:

33

1

3

1

6

2sin

2121

r

r.

Soal 6

Diketahui sisa pembagian suku banyak )()( xgxf oleh 22 xx adalah x , sisa

pembagian )()( xgxf oleh 232 xx adalah 1x , maka sisa pembagian

22 ))(())(( xgxf oleh 1x adalah….

Jawab:

Karena sisa pembagian suku banyak )()( xgxf oleh 22 xx adalah x , maka

dapat kita tuliz:

xxhxxxgxf )()2()()( 2

Masukkan x = 1,

1)1()211()1()1( 2 hgf

1)1(.0 h

1

Di lain pihak, karena sisa pembagian )()( xgxf oleh 232 xx adalah 1x ,

maka dapat kita tuliz:

)1()()23()()( 2 xxHxxxgxf

Masukkan x = 1 ,

)11()1()21.31()1()1( 2 Hgf

2)1(.0 H

2

Sekarang, jika 22 ))(())(( xgxf dibagi oleh 1x , misalkan sisanya = C. Kita

tuliz:

Cxhxxgxf )(~

)1())(())(( 22


Masukkan x = 1,

Chgf )1(~

)11())1(())1(( 22

Ch )1(~

0

C

Jadi untuk mencari C, kita perlu menghitung 22 ))1(())1(( gf . Caranya…??

Perhatikan yang berikut ini:

222 ))1(()1()1(2))1(())1()1(( ggffgf

222 ))1(()1()1(2))1(())1()1(( ggffgf

2222 ))1((2))1((2))1()1(())1()1(( gfgfgf

22

22

))1(())1((2

))1()1(())1()1((gf

gfgf

C

2

)1()2( 22

2

5 C

Jadi, sisanya = 5/2.

Soal 7

Grafik

xxy

9

13 1

berada di bawah grafik 13 xy jika….

Jawab:

Grafik

xxy

9

13 1

berada di bawah grafik 13 xy jika:

139

13 1

x

xx

+


133

13.3

2 x

xx

0133

13.3

2 x

xx

013

1)13(3

2

xx

013

12.3

2

xx

Samakan penyebut, sehingga menjadi

03

313.2.32

22

x

xxx

03

313.22

23

x

xx

Misalkan xp 3 , maka pertidaksamaan menjadi

0122

23

p

pp

012

2

23

p

pp

Karena p = 1 adalah pembuat nol bentuk 12 23 pp , maka 12 23 pp habis

dibagi p – 1, sehingga dapat difaktorkan. Yuk kita bagi sekarang…!!

12

0

)( 11

)(

1

)( 22

121

2

2

2

23

23

pp

p p

pp

p

pp

ppp

Ayuuuuuukk….

Ayuuuuuukk..…


Dari pembagian di atas, kita dapatkan

)12)(1(12 223 ppppp

Sehingga pertidaksamaan menjadi:

0)12)(1(

2

2

p

ppp

Bentuk )12( 2 pp adalah definit positif (selalu bernilai positif, berapapun nilai

p-nya) karena diskriminannya 071.2.414 22 acbD dan koefisien

p2 nya = a = 2 > 0.

Buat garis bilangan:

0p atau 10 p

03 x 130 x

0333 x

(tidak ada x yang memenuhi) 0 x

Jadi, penyelesaiannya adalah 0 x atau cukup dituliz saja 0x .

Soal 8

Nilai dari xx

x

x 2

)2cos(1

22lim

= ….

Jawab:

)2(

)sin21(1

2

)2cos(1 222

222limlim

xxxx

xx

xx


)2(

sin22

22

2lim

xx

x

x

)2(

sin.

sin22

22

2

2lim

xx

xx

x

1

)(.

2

0sin2 21

0 .

Wahai kawan, bedakan ya :

b

a

bx

ax

x

sinlim

0 dan 0

0sinlim

0

bb

ax

x

Soal 9

Suatu barisan geometri semua sukunya positif. Jika 91

43

21

UU

UU maka

....32

4321

UU

UUUU

Jawab:

Rumus suku ke-n barisan geometri adalah 1 n

n arU .

Maka dari 91

43

21

UU

UU

91

32

arar

ara

araarar 9932

)1(9)1(2 rarar

92 r 3r (karena suku-sukunya positif)


Dengan demikian,

2

32

32

4321

arar

ararara

UU

UUUU

)1(

)1( 32

rar

rrra

)1(

)1( 32

rr

rrr

)31(3

)3331( 32

3

10

12

40 .

Soal 10

Misalkan x

bxaxf )( mempunyai titik belok di )13 ,4( . Nilai a + b = ….

Jawab:

Fahami bahwa titik belok (4, 13) tentu berada pada grafik y = f (x). Dengan demikian,

4

4)4(13b

af

2

213b

a ……………………….……… (1)

Titik belok memenuhi persamaan: 0)( xf .

Kita cari turunan pertama:

21

21

)(

bxaxx

bxaxf

23

212

1

21)(

bxaxxf

25

23

212

3

21

21)(

bxaxxf


25

432

3

41

bxax .

Maka 0)(4

xxf

04.4. 25

432

3

41

ba

02.2. 25

2432

32

41

ba

02.2. 5433

41 ba

0..321

43

81

41 ba

Kalikan kedua ruas dengan 4 x 32, sehingga menjadi:

034 ba ……………… (2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2), kita peroleh:

8

39a dan

2

13b

Sehingga 8

91

8

5239

2

13

8

39

ba .

Soal 11

Diketahui )2()( xfxf untuk setiap x . Jika 2

0 )( Bdxxf maka

7

3.... )8( dxxf

Jawab:

Karena )2()( xfxf untuk setiap x , maka )(xf adalah fungsi periodik

dengan periode = 2. Dengan demikian, berlaku:

....)8()6()4()2()( xfxfxfxfxf (1)

dan juga:

....)8()6()4()2()( xfxfxfxfxf (2)

Selain itu, jika fungsi f periodik dengan periode p, berlaku:


pb

pa

pb

pa

b

a

dxxfdxxfdxxf )( )( )( …... (3)

Maka:

7

3

7

3)()8( dxxfdxxf (digunakan persamaan (1))

27

23)( dxxf (digunakan persamaan (3))

5

1)( dxxf

5

4

4

2

2

1)()()( dxxfdxxfdxxf (“dipecah”)

25

24

24

22

2

1)()()( dxxfdxxfdxxf

(digunakan persamaan (3))

3

2

2

0

2


23

22

2

0

2


(digunakan persamaan (3))

1

0

2

0

2


2

0

2

1

1

0)()()( dxxfdxxfdxxf (pindah tempat aja)

2

0

2

0)( )( dxxfdxxf (digabung)

)(22

0 dxxf

.2B

CARA LAIN:

Buat sembarang grafik dengan periode 2, misalkan seperti pada gambar di bawah.


Maka

7

3

7

3)()8( dxxfdxxf

= Luas daerah biru di bawah:

= Luas daerah biru di bawah:

= 2 x Luas ini:

= 2

0 )( 2 dxxf

= 2B.

Soal 12

Diketahui fungsi kxxf )( dan xxg )( . Misalkan D adalah daerah yang dibatasi

kurva g , sumbu y dan y = 1. Jika kurva f membagi daerah D sama besar maka k = ….

Jawab:


Perhatikan grafik di bawah!

Fungsi f membagi daerah D menjadi dua bagian sama besar, misalkan D1 dan D2

seperti pada gambar. Jelas fungsi f mesti cekung ke bawah agar dapat membagi dearah

D. (Kalau cekung ke atas tidak bisa, coba aja gambar sendiri!)

Maka

21 D LuasD Luas

dxxgxfdxxf 1

0

1

0

))()(())(1(

dxxxdxx kk 1

0

1

0

)()1(

1

0

211

0

1

2

1

1

1

1

1

xx

kx

kx kk

002

1

1

100

1

11

kk

1

1

1

1

2

11

kk

1

2

2

3

k

433 k

3

1k .


Soal 13

Banyaknya bilangan genap tiga digit abcn sehingga cb 3 adalah….

Jawab:

n adalah bilangan genap tiga digit , berbentu abcn .

Kemungkinan digit untuk a adalah 1, 2, 3, …., 9 ada 9 kemungkinan !

Karena disyaratkan cb 3 , maka b paling kecil mulai dari 4.

Untuk b = 4 maka c = 6 atau 8 (karena harus genap) ada 2 kemungkinan.

Untuk b = 5 maka c = 6 atau 8 ada 2 kemungkinan.

Untuk b = 6 maka c = 8 ada 1 kemungkinan.

Untuk b = 7 maka c = 8 ada 1 kemungkinan.

Untuk b = 8 maka tidak ada pilihan digit untuk c.

Untuk b = 9 juga tidak ada pilihan digit untuk c.

Jadi , banyak kemungkinan susunan (b, c) adalah 2 + 2 + 1 + 1 = 6.

Dengan demikian, banyaknya bilangan genap tiga digit n = abc ada 9 x 6 = 54 bilangan.

Soal 14

Garis singgung kurva 23 xy di titik ),( baP dan ),( baQ memotong sumbu y

di titik R. Nilai a yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah….

Jawab:

Kurva 23 xy adalah sebuah parabola yang terbuka ke bawah, memotong sumbu

Y di ordinat y = 3, seperti diperlihatkan pada gambar.


Gradien garis singgung kurva di titik Q(a,b) adalah axym

.

Karena 23 xy , maka axym

axax22

.

Maka persamaan garis singgung kurva yang melalui titik Q(a,b) adalah:

)( axmby

)(2 axaby

baaxy 222 ………….(1)

Misalkan koordinat titik R adalah ),( RR yx . Dari gambar jelas 0Rx . Karena titik

R terletak juga pada garis persamaan (1), maka titik ),( RR yx memenuhi persamaan

(1) . Maka:

bababaaxy RR 222 22022 .

Diketahui segitiga PQR samasisi. Maka berlaku:

QRPQ

22 QRPQ

2222 )()()()( QRQRPQPQ yyxxyyxx

22222 )2()0()())(( bbaabbaa

2222 )2(0)2( aaa

422 44 aaa

24 340 aa

)34(0 22 aa

02 a atau 034 2 a

0a 4

32 a

32

1a

Jadi, nilai a yang memenuhi adalah 32

1 .

Tidak memenuhi, sebab a = 0

mengakibatkan P berimpit dengan Q,

dan tidak terbentuk segitiga PQR


Soal 15

Diketahui tiga bilangan positif alog2, blog2

, clog2membentuk barisan

aritmatika. Jika 128abc maka suku kedua barisan tersebut adalah….

Jawab:

Barisan aritmatika adalah barisan yang mempunyai beda (selisih antar suku) yang

tetap. Pada barisan ini,

beda = bcab loglogloglog 2222

b

c

a

bloglog 22

b

c

a

b

2bac

Sementara itu, diketahui pula:

128abc

128acb

72 2bb

73 2b

37

2b

Dengan demikian, suku kedua = 3

72log 3

72 .

SOAL-JAWAB MATEMATIKA SAINTEK PEMBAHASAN SBMPTN · SOAL-JAWAB MATEMATIKA SAINTEK PEMBAHASAN SBMPTN...

Documents

Transcript of SOAL-JAWAB MATEMATIKA SAINTEK PEMBAHASAN SBMPTN · SOAL-JAWAB MATEMATIKA SAINTEK PEMBAHASAN SBMPTN...