KELILING DAN LUAS LINGKARAN

Theorema 10.5.

Bukti :

Maka C didefinisikan sebagai limit limn→∞pndari parameter pn dari segi - n

yang beraturan yang digambarkan dalam lingkaran (gambar 10.15).

Gambar 10. 15

Ingatlah bagaimana rumus C = 2πr diambil dari Geometri Euclidean. Dari

gambar 10.15 dan Trigonometri Euclidean kita melihat bahwa :

1

Keliling C dari sebuah lingkaran yang jari – jarinya r dinyatakan

dengan

Keliling C dari sebuah lingkaran yang jari – jarinya r dinyatakan

dengan

Keliling C dari sebuah lingkaran yang jari – jarinya r dinyatakan dengan

C = 2π sinh r

Dalam hiperbola, kita menggunakan rumus (10) dari teorema 10.3 untuk

mendapatkan :

Yang dikembangkan menjadi :

(dimana p = pn untuk kesederhanaan tripografi). Pengalian kedua sisi dengan 2n

dan pengambilan limn→∞akan memberikan rumus yang akan dicari (catatan : untuk

lingkaran yang jari – jarinya sangat kecil, rumus hiperbola diturunkan ke rumus

Euclidean)

Teorema ini memungkinkan kita untuk menulis kembali “Aturan Sinus” (14)

dalam bentuk yang valid dalam geometri netral.

2

pn=r2n sin πn=r 2n[ πn− 1

3 ! ( πn )3

+ 15 ! ( πn )

5

−. . .]=2πr−2 r π2

π2 [ π3 !− 15 ! (πn )

3

+ . ..]limn→∞

pn = 2πr

sinh( p2n )=sinh r sin( πn )

p2n [1+ 1

3! ( p2n )

2

+ 15 ! ( p

2n )4

+. . .]= πn

sin r [1− 13 ! ( πn )

2

+ 15 ! ( πn )

4

−. ..]

Akibat (J. Bolyai)

Sinus dari sudut – sudut sebuah segitiga dari satu ke yang lain merupakan

keliling lingkaran yang jari – jarinya sama ke sisi yang berlawanan.

Bolyai menunjukkan bahwa keliling dari sebuah segitiga yang jari – jarinya

r dengan Or yang hasilnya ditulis dalam bentuk :

Anggaplah rumus berikutnya untuk luas. Dengan teorema 10.1 dan kaidah

kita k = 1, luas K dari sebuah segitiga sama dengan defeknya dalam radian,

seperti :

Kita akan menghitung defek ini untuk sebuah segitiga dengan sudut yang

benar di C, sehingga

Teorema 10.6 :

Untuk geometri Euclidean, rumus luas K adalah K=a2. b2

3

Oa : Ob : Oc = sin A : sin B : sin C

K = π−A−B−C

K= π2−( A+B )

tan K2

=tanh p4 n

tanh a2

Bukti :

Langkah – langkah utama dalam pembuktian :

Langkah 2 diperoleh dengan mengsubsitusi rumus (12) ke dalam cosh a dan

cosh b dan menyelesaikan jumlah aljabar dengan menggunakan identitas

trigonometri. Langkah 3 hanya menggunakan identitas cos ( π2 −x) = sin x

Teorema 10.7.

4

tanh2 a2

tanh2 b2 =

(cosh a )−1(cosh a )+1

(coshb )−1(cosh b )+1

= 1−sin ( A+B )1+sin (A+B )

cos ( A−B )cos ( A−B )

= 1−cosK1+cosK

= tan2 K2

Langkah 1 dan 4 hanyalah identiras untuk tanh2( x2 ) dan tanh2( x2 ).

Luas lingkaran dengan jari – jari r adalah 4 r sinh2( r2 )

Bukti :

Di sini kita mendefinisikan luas A dari sebuah lingkaran menjadi limit

limn→∞

Kn dari luas Kn pada segi – n beraturan yang dituliskan. Berdasarkan gambar

10.15. dengan menggunakan teorema sebelumnya dan menulis a, K, p utnuk an ,

Kn , pn, kita memiliki :

Jika kita mengalikan kedua ruas dengan 4n dan menuju ke limit n→∞, kita

peroleh :

Dengan menggunakan limn→∞pn=C, limn→∞

an=r, kontinuitas untuk tan dan tanh,

rumus tersebut menjadi :

Kemudian kita subsitusikan pada rumus (16) untuk C dari teorema 10.5.

dan menggunakan identitas :

5

tan K4 n

=tanh p4 n

tanh a2

A=C tanh r2 . . . .(16)

4 n tan K4n = K + K3 ( K

4n )2

+. . .

4 n tanh p4n = p −p

3 ( p4n )

2

+. . .

Untuk membuktikan teorema 10.7.

Dengan memperluas rumus ini dalam sebuah barisan, kita dapat melihat

berapa besarnya luas lingkaran hiperbola dengan menggunakan lingkaran

Euclidean dengan jari – jari yang sama :

Catatan untuk geometri Eliptik

Rumus keliling dan luas sebuah lingkaran dengan jari – jari r adalah :

Rumus bolyai valid dalam geometri eliptik (jadi benar sebuah teorema dalam

geometri mutlak)

6

tanh r2= sinh r

cosh r+1

sinh2 r=cosh2r−1

2 sinh2 r2=cosh2 r−1

A=π (r2+ r 4

12+. . .)

C=2π sin r

A=4 π sin2( r2 )

SEGI EMPAT SACCHERI DAN LAMBERT

Berikutnya kita akan mengulang segi empat Saccheri dengan alas b, panjang

kaki a dan tinggi c. anda lihat di latihan 1, bab 6, bahwa c ¿ b. sekarang kita

membuatnya lebih tepat.

Teorema 10.8.

(karena cosh2a=1+sinh 2a>1 , hal ini menunjukkan bahwa sin( c2 ) ¿ sin b2 , oleh

karena itu c¿ b)

Bukti :

Teorema 10.8 dibuktikan dengan d = AB' dan θ = (∢ A ' AB' ) dalam gambar

10.16, dengan menggunakan rumus (13) dari teorema 10.4 untuk mendapatkan “

dengan menggunakan (10) dan (11) dari teorema 10.3 untuk mendapatkan :

Dan mengeliminasi d untuk mendapatkan

7

Untuk segi empat Saccheri : sinh c2=cosh a. sinh b

2

cos c = cos a. cos d – sin a. sin d cos θ

cosθ=sin( π2 −θ)= sinh asinh d

cosh c = cosh2acoshb−sinh 2a

= cosh2a¿

A’ c B’

a d a

θ

A b B

Gambar 10.16

Sehingga diperoleh identitas

Akibat :

Dengan diberikannya segi empat Lambert, jika c adalah panjang sebuah sisi

yang berdekatan dengan sudut lancip dan b adalah panjang sisi yang berlawanan,

sehingga

dimana a adalah panjang sisi berdekatan lainnya dengan sudut lancip ) secara

khusus, c¿ b).

8

2sinh2 x2=cosh x−1

sinh c = cosh a sinh b,

Akibat yang ditimbulkan dari sisi empat Lambert adalah setengah dari segi

empat Saccheri (lihat gambar 10.17)

Ada rumus lainnya untuk segi empat Lambert yang akan kita peroleh

selanjutnya. Rumus tersebut didasarkan pada konsep segmen yang saling mengisi.

Inilah konsep segmen dengan panjang x, x* dihubungkan oleh :

Makna geometri dalam persamaan ini ditunjukkan dalam gambar 10.18

dimana titik yang ke – 4 dari segi empat Lambert ideal dengan point Ω.

Jika kita menggunakan rumus (4) ke dalam rumus (7) untuk sudut yang

parallel, kita peroleh :

c

a a

b

gambar 10.17

9

∏ ( x )+∏ ¿¿¿ ……(17)

sinh x* = csch x . . . . .(18)

Ω

x Π (x )

Π ¿\ x*

Gambar 10.18

Contoh :

sinh x* = cot Π ¿ = tan Π (x ) = csch x dengan rumus (7) ; rumus (21) mengikuti

rumus (18), (19) dan identitas :

10

cosh x* = cosh x ….. (19)

tanh x* = sech x …. (20)

tanh x∗¿2

=e− x¿ …...(21)

tanh ( t2 ) = sinh t1+cosh t

Teorema 10.19 (Theorema Engel’s)

Ada segitiga yang tepat dengan parameter yang ditampilkan dalam gambar

10.19 jika dan hanya jika ada segi empat Lambert dengan parameter yang

ditampilkan dalam gambar 10.20. catatan bahwa PQ adalah segmen yang saling

mengisi ke segmen yang sudutnya parallel yaitu ∡.

A

α=Π (l)

c b

Π (m )=β

B a C

Gambar 10.19

R

Q r Π (a)

l¿ m

P b S

Gambar 10.20

11

Makna geometri dari teorema Engel,’s ditampilkan dalam gambar 10.21.

Termasuk konstruksi parallel J. Bolyai (gambar 10.16). Jika B = X adalah titik

antara R dan S, sehingga PX ≅ QR. Teorema Engel’s mengatakan (∢

BAC)r = Π (PQ¿) dan karena (∢QPX)r =

π2−¿ (∢BAC)r , (∢QPX)r = Π (PQ ) dst.

PX adalah garis lintang sejajar ke QR .

Theorema Engel’s yang mengatakan bahwa panah yang berasal dari garis

lintang sejajar R ke SP menbuat sudut dengan RS adalah kongruen ke ∢ ABC dan

panah yang berasal dari garis lintang sejajar dari X ke SP membuat sudut dengan

XS adalah kongruen ke sudut lancip ∢R dari sisi empat Lambert.

Bukti :

Untuk pembuktian dimulai dengan segi empat Lambert yang digambarkan

seperti dalam gambar 10.22.

R

Q

X = B

P = A S = C

Gambar 10.21

12

R z Q ϕ

w d v

θ S u P Gambar 10.22

dari gambar 10.22 kita peroleh :

Misalkan θ = (∢SPR)r , d = PR. Dengan teorema 10.3

sinh w = sin θ sinh d

= cos ( π2 −θ) sinh d

= tanh v cosh d

= tanh v (cosh u cosh w)

sehingga ,

dan simetri dengan

13

sinh w = cosh z sinh v . . . (i)

sinh z = cosh w sinh u . . . (i’)

tanh w = tanh v cosh u . . . (ii)

Misalkan ϕ = (∢R)r. dengan aturan sinus dan teorema 10.3

Sehingga dengan (i’) dan teorema 10.3, kita memiliki

dan simetri dengan :

Sekarang misalkan x adalah titik antara R dan S, sehingga PX=z ,dan

ingatlah segitiga yang tepat ΔPSX (gambar 10.21). Dengan (i’) , (ii’) dan (iii’),

kita peroleh (dengan menggunakan Teorema 10.3)

14

tanh z = tanh u cosh v . . . (ii’)

sin∅sinQS

=sin (∢QSR )r

sinh z= cos (∢PSQ )r

sinh z= tanh u

tanhQS sinh z

sin ϕ = tanh ucoshQSsinh z

=tanh u¿¿¿ ... (iii)

sin ϕ = coshucosh z . . . (iii’)

sin(∢PXS )r=sinh usinh z

=sechw

cos (∢PXS )r= tanh utanh z

=sechv=tanh v¿

cosh XS= cosh zcosh u

=csc∅

Sehingga :

Dengan formula/rumus (5), (6) dan (5). Jika kita menggambarkan P

sebagai A, X sebagai B dan S sebagai C, kita akan mendapatkan segitiga yang

tepat Δ ABC yang sesuai dengan segi empat lambert seperti yang dinyatakan

sebelumnya.

Sebaliknya diberikan segitiga tepat ΔPSX , kita bisa menemukan PQRS

dengan menempatkan R sama denngan titik khusus pada SX sehingga

Π (RS )=(∢PXS )r dan menenpatkan Q sama dengan kaki dari garis tegak lurus R

ke garis melalui garis tegak lurus P ke PS .

Kesesuaian dalam teorema 10.9 memberikan barisan untuk teorema yang

ada. Misalnya, dikatakan bahwa dari adanya segitiga tepat dengan parameter

(aΠ (m) , cΠ ( l) , b ) , kita bisa menarik kesimpulan dengan adanya segi empat

Lambert dengan parameter (l *,c , Π (a ),m , b ) , seperti gambar 10.20. Sekarang

bacalah parameter sebelumnya, ini diberikan dalam gambar 10.23, dimana kita

menarik kesimpulan dari adanya segitiga tepat yang kedua dalam gambar 10.24

dengan memiliki parameter ¿¿

15

(∢PXS )r=Π (w)

(∢XPS )r=Π (v¿)

Π (XS )=∅

b

m

a

cm *b

ca

l*

Gambar 10.23 Gambar 10.24

Kita bisa melanjutkan membaca parameter ini , dengan mendapatkan segi

empat Lambert kedua, dan sebagainya. Kemudian kita akhiri dengan adanya segi

empat Lambert kelima dan empat segitiga lainnya, diimplikasikan dengan adanya

segitiga pertama. Hasilnya dirangkum dalam tabel berikut

ABC∢Ckiri Lambert PQR, ∢ R acute

BC ∢B AB ∢ A AC PQ QR ∢R RS SP

a Π (m) c Π ¿¿ b l* c Π (a ) m b

a c m Π ¿¿ l* c* m Π ¿¿ b* a

l* Π (m ) b* Π ¿¿ c* m* b* Π ¿¿ a* l*

c* Π ¿¿ a* Π ( l ) m* b a* Π ¿¿ l c*

m* *a l Π (c ) b a l Π (b ) c m*

Untuk catatan juga bahwa karena Teorema 10.3 memberikan rumus yang

menunjukkan bagaimana segitiga yang tepat dengan khusus ditentukan oleh dua

dari lima parameternya. Teorema 10.9 memberikan kita hasil yang sama untuk

segi empat Lambert (contohnya, dimulai dengan u dan v, w diberikan oleh (ii),

z oleh (ii’) dan φ dengan (iii) dalam pembuktian teorema 10.9

16

l*

KOORDINAT PADA BIDANG HIPERBOLA

Pilihlah garis tegak lurus melalui pangkal O dan aturlah sistem koordinat

dari salah satu diantaranya, sehingga nantinya bisa dinamakan sumbu u dan

sumbu v. Untuk titik P, misalkan U dan V adalah proyeksi garis tegak lurus dari P

pada sumbu-sumbu ini dan misalkan u dan v adalah masing-masing koordinat dari

U dan V . Sehingga kita memperoleh segi empat Lambert UOVP. Kita

menamakan sisi yang tersisa dengan koordinat w, z sehingga

Gambar 10.25

(lihat gambar 10.25). Rumus (ii) dan (ii’) dalam pembuktian teorema 10.9

menunjukkan bahwa jika berada dalam kuadran pertama (misalnya u>0 danv>0)

dan w=PU ,danz=PV . Kita menempatkan:

17

u UO

(22) tanh w = tanh v cosh u

tanh z = tanh u cosh v

w

z P

w

V

Selanjutnya kita namakan ( u, v) koordinat axial, (v,w) koordinat

Lobachevsky, (x,y) koordinat Beltrami dan ( T, X, Y) koordinat Weierstrass dari

titik P.Dua berikutnya adalah sistem koordinat yang paling penting seperti yang

ditunjukkan oleh teorema panjang berikutnya

TEOREMA 10.10 (masih mengasumsikan k = 1)

Penentuan setiap titik P terhadap pasangannya (x,y) dari koordinat Beltrami

akan memberikan isomorpisme bidang hiperbola kedalam model Beltrami-Klein,

secara khusus Ax + By +C = 0 adalah sebuah persamaan sebuah garis koordinat

Beltrami jika dan hanya jika A2 + B2 > C2, dan setipa garis memiliki sebuah

persamaan. Jarak P1 P2 antara dua titik diberikan dalam istilah koordinat Beltrami

dengan

Dimana p1 = (1,xi , yi ), produk inti p1 .p2 didefinisikan dengan

18

x = tanh u, y = tanh v . . . . (23)

T = cosh u cosh w, X = xT, Y = yT. . . . . (24)

cosh P1P2=p1 . p2

‖p1‖‖p2‖,

. . . (25)

p1.p2 = 1 – x1x2 – y1y2 ,

dan ‖pi‖=√ pi . p i . Sama halnya jika Aix +Bix +Ci = 0 adalah persamaan dari 2

garis li , i = 1,2, memotong sebuah sudut yanng tidak tumpul dengan ukuran

radian θ sehingga,

Dimana produk inti yang sekarang didefinisikan oleh

dan ‖li‖=√ li .li (secara khusus, 0 = l1.l2, adalah kondisi yang penting untuk garis-

garis yang tegak lurus)

Penentuan setiap titik P terhadap rangkap tiga (T, X, Y) dari koordinat

Weierstrass memetakan bidang hiperbola kedalam tempat:

Dimana satu dari dua lembar hiperbola berada dalam tiga ruang Cartesius.

Persamaan sebuah garis dalam koordinat Weierstrass adalah homogen linear

( misalnya bentuk AX +BY+CT = 0)

Sebelum memberikan bukti, untuk catatan bahwa gambaran Weierstrass

memberikan satu interpretasi dari bidang hiperbola sebagai sebuah “ bidang jari-

jari imajiner I “. Maksudnya jika kita menggantikan bentuk kuadrat positif biasa

tertentu X2 + Y2 + T2 (yang mengukur jarak yang dikuadratkan dengan asalnya)

dengan bentuk kuadrat yang tidak tertentu X2 + Y2 - T2 , sehingga bidang jari-jari

I kejarak ini, memiliki persamaan

19

cosθ=

l1. l2‖l1‖‖l2‖ , . . . . (26)

l1. l2 = A1A2 + B1B2 – C1C2

T2 – X2 – Y2 = 1, T¿1 ,

X2 + Y2 - T2 = i2 = -1,

yang merupakan persamaan sebuah hiperbola. Metrik tidak tertentu ini

adalah analog 3 dimensi dari metrik yang ditentukan oleh X2 + Y2 + Z2- T2 dalam

ruang 4 dimensi yang digunakan untuk relativitas tertentu ( lihat Taylor dan

Wheeler, 1992) Catatan bahwa ” garis-garis” dalam model Weierstrass adalah titik

potong dengan lembar hiperbola pada bidang euclidean melalui pangkalnya.

Untuk menggambarkan model ini, bayangkan saja satu cabang hiperbola T2 - X2

= 1 dalam bidan (T, X) mengelilingi sumbu T. Lihat gambar 7. 19

Bukti :

Bukti teorema 10.10 didasarkan pada trigonometri sisi empat Lambert yang

diperoleh dari teorema sebelumnya.

Seperti grafik dalam gambar 10.13 menunjukkan, u → tanh u adalah

pemetaan satu- satu dari keseluruhan garis ril kedalam interval terbuka ( -1, 1).

Pasangan (x, y) dari koordinat Beltrami, yakninya x + y2 < 1, berasal dari

kenyataan bahwa garis-garis tegak lurus terhadap sumbu U dan V memotong jika

dan hanya jika |u| < |v|* (lihat gambar 10.18) yaitu :

(gunakan rumus (20))

Untuk memperoleh rumus jarak, perkenalkan koordinat polar (r, θ ) untuk

titik P dalam gambar 10.25 yang didefinisikan denngan

20

tanh2u < tanh2 |v|* = sech 2 v = 1 – tanh 2 v

r=OP

θ=∢(XOP)r , jikav ≧0−∢ (XOP )r , jika v≦ 0

Hubungan denngan koordinat sumbu adalah:

dengan rumus (10) untuk cosin sebuah sudut dalam segitiga dan identitas

sinθ=cos (π /2−θ ) oleh karena itu

dari identitas sech 2 r = 1 – tanh 2 r, kita dapatkan

jika p ( 1, x, y ) dimana rumus jarak ketika P1 = P dan P2 = 0 . Secara umum P1 dan

P2 (27) memberikan

Anggaplah O, P1, P2 yang pertama adalah kolinear, sehingga

21

tanh r cos θ = tanh u = x . . . (27)

tanh r sin θ = tanh v = y

tanh 2 r = tanh 2 u + tanh 2 v = x2 + y2

cosh r =( 1 – x2 – y2) -1/2 = || p || -1

cos (θ2−θ1 )=cosθ1 cosθ2+sin θ1 sin θ2

¿x1 x2+ y1 y2

tanh r1 . tanh r2

cosh P1P2=cosh (r1± r2 ) karena cos (θ2−θ1 )=±1 ,

cosh P1P2=cosh r1 cosh r 2−sinh r1sinh r 2cosh (θ2−θ1)

¿cosh r1cosh r2 [1− tanh r1 tanhr 2cos (θ2−θ1) ]

Tetapi rumus ini juga bertahan ketika O, P1 ,P2 tidak kolinear dengan hukum

kosinus (13). Penggantian dua rumus sebelumnya akan memberikan rumus yang

diinginkan (25)

Pemetaan P (x,y) yang mengantarkan panjang hiperbola kedalam

panjang klein merupakan rumus yang serasi (25) dengan rumus dilatihan K-14,

Bab 7. Ini berasal dari kalkulasi menurut rumus:

dan identitas

Rumus (28) diperoleh dari (25) dimana identitas tanh 2t = 1 – cosh-2t.( Istilah

dalam kurung disisi kanan (28) dapat ditulis dengan (p1.p2)2 - ||p1||2||p2||2. Sepintas

lalu, ½ yang terdapat dalam rumus (29) menjelaskan kenapa faktor ½ muncul

dalam rumus untuk panjang klein dalam teorema 7.4 halaman 268).

Karena P (x,y) adalah sebuah isometri, dia adalah kolineasi, sehingga

garis-garis pada bidang hiperbola dipetakan kedalam penghubung antara dua titik

mutlak pada model klein, yang memiliki persamaan linear seperti yang

digambarkan dalam teorema.

Rumus (26) untuk cosθ merupakan pernyataan yang tegas tentang ukuran

sudut dalam model klein. Kita lalui model itu dimana isomorpis P (x,y).

Anggaplah dua garis bertemu dititik Po dengan koordinat (xo , yo ) dan anggaplah

kita menulis garis ke-i dengan ´P0 Pi, dimana Pi memiliki koordinat (xi , yi ), i =

1,2. Kemudian koefisien dalam persamaan garis ke-i diberikan oleh Ai = yi – yo ,

22

tanhP1 P2=[ (x1−x2 )2+ ( y1− y2 )2−(x1 y2−x2 y1 )2 ]1 /2

p1 p2

. . . .

arctanh t=12

ln 1+t1−t . . . . (29)

Bi = xo –xi , Ci = xi yo- yixo. Anggaplah P0 = 0, pusat mutlak. Kemudian rumus (26)

diturunkan ke:

yang merupakan rumus Euclidean untuk cosin dari sudut ∢P1 O P2. Tetapi model

klein sesuai dengan titik khusus O, sehingga kita telah memverifikasi (26) dalam

hal ini.

Jika Po ≠ 0 , mari kita cari mosi hiperbola T, sehingga T(0) = Po, dan

Misalkan Qi = T-1(Pi). Karena T mempertahankan ukuran sudut, yang kita

lakkukan selanjutnnya adalah menunjukkan bahwa rumus (26) sama dengan ∢ Q1

O Q2

Kita perlu 2 lemma (yang dijabarkan dalam latihan 9)

Lemma 10.1

Bukti

Misalkan r = OP dan kita ketahui bahwa cosh r = ‖p‖−1, x = tanh r cos θ, y = tanh r sin θ.

Koordinat M (x’,y’) diberikan dengan x’ = tanh (r/2) cos θ, y’ = tanh (r/2) sin θ

sehingga x’ = x tanh (r/2) / tanh r, y’ = y tanh (r/2) / tanh r. Tetapi

23

cosθ=x1 x2+ y1 y2

(x12+ y1

2 )1 /2 ( x22+ y2

2 )1/2

Koordinat titik tengah Klei M dari O dan P adalah

( x1+‖p‖

, y1+‖p‖)

Dimana ‖p‖=√1−x2− y2 dan titik P merupakan koordinat (x,y)

Lemma 10.2

Bisektor garis tegak lurus dari OP0 yang melewati titik tengah dan memiliki

kecondongan – x0/y0 (karena garis tegak lurus klein sama dengan garis tegak

lurus Euclidean pada saat satu garis antara dua titik di lingkaran merupakan

diameter mutlak.

Jika kita menerapkan rumus umum untuk refleksi pada model klein yang

anda periksa di latihan K-16, bab 7, lemma 10.2 mengimplikasikan bahwa refleksi

melalui bisektor garis tegak lurus oP0 diberikan dengan :

Dengan menggunakan rumus ini, perhitungan yang sudah dilakukan

menunjukkan bahwa rumus (26) sama dengan cosin ∢Q1OQ2.

24

tanh( r2 )tanh r

= sinh rcosh r+1

. cosh rsinh r

¿(1+ 1cosh r )

−1

¿ (1+‖p‖)−1

x '=[‖p0‖

2−‖p0‖]−x0 ( x0 x+ y0 y+‖p0‖−1 )‖p0‖

2−‖p0‖+ [‖p0‖−1 ] (x0 x+ y0 y+‖p0‖−1 )

Untuk memeriksa rumus, perlu dicatat bahwa cos θ = 0 jika dan hanya jika

A1A2 + B1B2 + C1 (-C2) = 0, dimana persamaan ini menyatakan bahwa garis l1

melewati kutub(A2, B2, -C2) dari garis l2.

PUTARAN TERBATAS SEBUAH SEGITIGA

Anda telah mempelajari di latihan 9, Bab 5 bahwa beberadaan lingkaran

terbatas untuk setiap segitiga ekivalen dengan hukum / postulat paralel Euclidean.

Lingkaran terbatas ada jika dan hanya jika bisektor garis tegak lurus dari sisi-sisi

berjalan bersama-sama di sebuah titik biasa (latihan 12 bab 6). Di latihan 13, bab

6 dan latihan utama7, Bab 6, anda melihat bahwa bisektor garis tegak lurus selalu

berjalan bersama-samadi sebuah titik ideal atau titik ultra ideal jika lingkaran

terbatas tidak ada.

Dalam hal ultra ideal, anda melihat (lihat gambar 6.26) bahwa puncak A, B,

C dari segitiga yang diberikan semuanya adalah sama jauh dari garis tegak lurus

biasa t ke bisektor garis tegak lurus. Ini mengimplikasikan bahwa mereka terletak

pada kurva yang sama jauh yang memiliki t sebagai sebuah sumbu. Menurut

defenisi kita tentang “kurva sama jauh/kurva equidistant” bahwa A, B, C

terletak di sisi yang sama dari t.

Beberapa penulis (seperti Coxeter, Sommerville) mendefenisikan “kurva

sama jauh” dengan cara yang berbeda, misalnya mereka mendefenisikannya

sebagai temapat semua titik di jarak yang sama dari sumbu t, tidak

dipermasalahkan sisi t yang mana. Penulis-penulis ini akan menandakan “kurva

equidistant kita” dengan satu dari dua cabang mereka. Kita sebut saja kurva

25

equidistant Coxeter dan Sommerville sebagai “sebuah kurva equidistant yang

double”, yang mengindikasikan perpaduan 2 kurva equidistant yang memiliki

sumbu yang sama, yang satu merupakan refleksi dari yang satu lagi yang

berseberangan dengan sumbu. Di latihan II (a), Bab 6, anda melihat bahwa setiap

segitiga dibatasi oleh kurva equidistant yang double yang sumbu-sumbunya

merupakan garis-garis yang menggabungkan pasangan titik-titik tengah dari sisi-

sisi. (Gambar 6.24).................

Gambar 10.26

26

Mengacu pada model bidang setengah atas Poincare : lingkaran Euclidean

melalui A, B, C adalah sebuah lingkaran hiperbola jika semuanya terletak di

bidang setengah atas (bandingkan latihan P-5, Bab 7, dan latihan 48, Bab 9).

Gambar 10.26 menunjukkan 3 kurva equidistant yang double dan sebuah

lingkaran hiperbola yang membatasi segitiga ABC pada model ini.

Teorema berikutnya memberikan kriteria trigonometri untuk memutuskan

manakah tipe dari segitiga yang membatasi segtiga ABC.

Teorema 10. 11

Dengan angka-angka baku untuk segitiga ABC, misalkan a adalah panjang

sebuah sisi yang terpanjang sehingga ∢ A adalah sebuah sudut yang terbesar.

Lingkaran yang membatasi segitiga ABC adalah

A

C’ B’

A’

27

lingkaranHorocycle

kurva equidistant⇔ sinh a2 ¿¿¿sinh b

2+sinh c

2

⇔

¿

B C

Ω

Gambar 10.27

Bukti

Anggaplah pertama kali tempat dimana bisektor garis tegak lurus adalah

paralel dengan asimtot melalui titik ideal Ω. Menurut lemma 6.3 hal 215, gambar

10.27, dimana A’, B’, C’ adalah titik-titik tengah. Ini menunjukkan bahwa (∢

A)r = (∢ C’A Ω)r + (∢B’ A Ω)r = ∏ ( c2 )+∏ ( b2 )Di saat bisektor garis tegak lurus memiliki sebuah garis tegak lurus t, Gambar

10.28 menyatakan :

Karena ∢C ' AΩ>∢C' A Λdan∢B' AΩ>∢B ' A Σ terlihat bahwa

(∢ A )r> (∢C ' A Λ )r+(∢B ' A Σ )r=Π (c /2 )+Π (b/2 )

Disaat bisector garis tegak lurus bertemu kita memiliki :

Karna inilah satu-satunya kemungkinan yang lain. Oleh karena itu , criteria yang

kedua dibuat.

28

(∢ A )r<Π (c /2 )+Π (b/2 ) ,

Pengambilan criteria yang pertama dalam istilah sinus hiperbola dari criteria yang

kedua melibatkan sebuah kalkulasi dengan menggunakan rumus awal. Pertama

dengan hukum kosinus hiperbola (13)

Kedua, dengan identitas untuk cos (x + y) dan rumus 5 dan 6 maka :

Kriteria pertama mengikuti persamaan ini setelah beberapa tahap aljabar.

29

cos A= coshbcosh c−coshasinh b sinh c

¿(2 sinh2 b

2+1)(2sinh2 c

2+1)−(2 sinh2 a

2+1)

4 sinh b2

cosh b2

sinh c2

cosh c2

¿2sinh 2 b

2sinh 2 c

2+sinh 2 b

2+sinh2 c

2−sinh2 a

2

2 sinh b2

sinh c2

cosh b2

cosh c2

cos [∏ ( b2 )+∏ ( c2 )] ¿cos∏ ( b2 )cos∏ ( c2 )−sin∏ ( b2 )sin∏ ( c2 )

¿ tanh b

2tanh c

2− 1

cosh b2

cosh c2

¿sinh b

2sinh c

2−1

cosh b2

cosh c2

Akibat Teorema.

Sebuah segitiga sama kaki yang panjang alasnya lebih pendek dari sisi-

sisinya (khususnya segitiga sama sisi) memiliki sebuah lingkaran terbatas.

A

C’ B’

A’

B C

t

A Ω Σ

Gambar 10.28

Jika alas lebih panjang dari sisi-sisinya, lingkaran terbatas berupa :

dimana a adalah panjang alas dan b adalah panjang sebuah sisi. Kita tinggalkan

bukti untuk latihan 10.

30

lingkaranHorocycle

kurva equidistant⇔ cosh a¿¿¿4 coshb−3

Teorema yang terakhir kita memberikan rumus yang menarik yang

menghubungkan jari-jari lingkaran terbatas dengan luas sebuah segitiga.

Teorema 10.12

Jika segitiga ABC memiliki sebuah lingkaran terbatas dengan jari-jari R,

sehingga daerah K dari segitiga ABC dinyatakan dengan

Catatan

Jika kita hanya melihat istilah dalam rangkaian perluasan sin dan tan

(misalnya kita hanya melihat pada segitiga hiperbola yang sangat kecil, maka

rumus ini diturunkan ke rumus euclidean yaitu :

31

(30) sin k2=

tanh a2

tanh b2

tanh c2

tanhR

K=ab c4 R

Dalam geometri Euclidean, kita bisa menggantikan K dengan 1/2bc sin A

dan menyelesaikan R dalam geometri hiperbola. Latihan 28 memberikan sebuah

rumus untuk R dalam istilah sisi-sisi segitiga.

Inilah sebuah bukti dari rumus Euclidean. Pilihlah B sebagai sebuah puncak,

sehingga diameter BD dari lingkaran terbatas K memotong sisi AC. Kemudian

∢ D dari segitiga ABC dan ∢ A adalah BC dari K, sehingga sin A = sin D =

a /2 R (karena ∢ BCD benar, maka ditulis dalam setengah lingkaran. Subsitusikan

sin A dalam K = 1/2bcsin A untuk mendapatkan rumus. Bukti dari teorema 10.12

akan ditunjukkan pada latihan-latihan 20 – 28.

32