Modul Ajar 6 Mekanika Teknik III
TUJUAN UMUM:Mahasiswa bisa menurunkan persamaan dan menggambar Garis Pengaruh statis tak tentu.Tujuan khusus:Mahasiswa bisa menurunkan persamaan dan menggambar Garis Pengaruh Reaksi Perletakan , Momen Potongan dan Momen Tumpuan.
Contoh MENCARI PERSAMAAN DAN GAMBAR
Balok menerus statis tak tentuINPUT DATA 3 EI
0.5 m 3 EI
D B C 1 meter
EI EI 5 meter
A m m
Yang menahan reaksi vertikal di A DILEPAS, diberi simpangan dengan menaruh I unit gaya. 1 Unit gaya
D B CA
GAMBAR skets garis elastis
ISIKAN angka 0 atau 1: 1 Keterangan: angka 1 bila melihat jawaban
angka 0 bila jawaban dihilangkan sementara
-1 Gambar bidang Momen
x1 x2
……….(1) ……….(2)
……….(3) ……….(4)
Syarat batas :
diperoleh: 0
diperoleh: -0.833
diperoleh: -2.167
diperoleh: 2.000
GARIS PENGARUH REAKSI PERLETAKAN UJUNG A, yaitu GPRA
L3 = jarak A ke potongan D = L1 / 2 n1=
n2=
L1=
n1 n2 L2=
L1 L2
Karena hanya ada beban vertikal (tidak ada beban horisontal), perletakan sendi atau rol tidak ada bedanyaAnggap B sendi dan Rol di C, merupakan struktur STATIS TERTENTU
MB=
Mx1 Mx2 arah x1 dan x2 bebas
Mx1= -x1 Mx2=-x2 (L1/L2)
y1" = --(1/n1EI) (Mx1) y2" = --(1/n2EI) (Mx2)
y1' = (1/n1EI) (0,5 x12+ C1) y2' = (1/n2EI) (0,5 x2
2L1/L2+ C3)
y1 = (1/n1EI) (1/6 x13+C1 x1 + C2) y2 = (1/n2EI) (1/6 x2
3L1/L2+C3 x2 + C4)
Ada 4 bilangan konstan C1, C2, C3, dan C4 memerlukan 4 syarat batasKondisi syarat batas diambil dengan melihat GAMBAR skets garis elastis diatas
1) Titik C tidak turun menggunakan persamaan y2 ,yaitu y2= 0 saat x2=0
C4=
2) Titik B tidak turun dengan menggunakan persamaan y2 , yaitu y2 = 0 saat x2 = L2
C3=
3) Sudut perputaran titik B kiri persamaan y1' = Sudut perputaran titik B kanan persamaan y2' , yaitu y1' [saat x1 = L1]
= (--)y2' [ saat x2 = L2] Tanda negatif karena arah x1dan x2 berlawanan
C1=
4) Titik B tidak turun dengan menggunakan persamaan y1 , yaitu y1 = 0 saat x1 = L1
C2=
= 0.666667 (1/EI)
0.50000 ( 0.167 -2.167 2.000 )
0.50000 ( 0.033 -0.833
x1 = 0 m y1 = 10.5 m 0.46875
1 m 0
x2= 0 m y2= 0 2.5 m -0.78125
5 m 0
Bila ada beban berjalan q atau P
C
EI EI
A m mB
1 1 4m m m
INPUT q1 = 3 ton/m panjang = 1 m
DATA q2kanan = 3 ton/m panjang = 4 m dari 0 4
q2kiri= 1 ton/m panjang = 1 m dari 4 5
0 ton 2 m
0 ton 2.5 m
Bila ada beban terbagi rata q dengan besar dan panjang seperti dala data ditabel, maka besarnya Ra bisa dihitungdengan menggunakan persamaan Garis Pengaruh Ra yang ada yaitu
Ra = -5.7000 ton
X0 1
0.25 0.73046875
0.5 0.468750.75 0.22265625
1 05 1 0
3.75 2.25 -0.683593752.5 3.5 -0.78125
1.25 4.75 -0.488281250 6 0
-3.225
-7.2
Faktor pembagi = Penurunan di titik A itu sendiri yaitu y1 [saat x1= 0]
(1/n1EI) (C2) =
Persamaan Garis Pengaruh RA = Pers Garis Elastis/ Faktor pembagi
Pers GP RA1 =y1 = x13 + x1+
RA2 =y2 = x23 + x2 )
x2
x1 P2
P1 q2 KANAN
q1 q2 KIRI
n1 n2
L1 L2
P1 pada x1=
P2 pada x2=
RA = INTEGRAL persamaan Gp RA sesuai dgn batasan yang ada dikalikan q tambah P dikalikan
besarnya Gp RA untuk harga x dari posisi P.
RA
Tengah AB
Deikian juga MD dan DD bisa dicari dgn bantuan RA
MD=
DD=
0 1 2 3 4 5 6 7
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Garis Pengaruh Ra
meter panjang
-0.6 ( 0.166667 -1.833333
-0.6 ( 0.033333 -1.166667
0 00.25 0.2734375
0.5 0.53750.75 0.7828125
1 15 1 1
3.75 2.25 1.57031252.5 3.5 1.4375
1.25 4.75 0.83593750 6 0
Contoh MENCARI PERSAMAAN DAN GAMBAR
Balok menerus statis tak tentu
0.5 m D B C
EI EI
A m m
GAMBAR skets garis elastis
GAMBAR skets garis elastis
ISIKAN angka 0 atau 1: 1 Keterangan: angka 1 bila melihat jawaban
angka 0 bila jawaban dihilangkan sementara
diperoleh -0.045455
Gp RB
y1 = x13+ x1 )
y2 = x23+ x2 )
GARIS PENGARUH MOMEN POTONGAN DI D, yaitu GPMD
L3 =
n1 n2
L1 L2
Diber kopel MO =1
MB1 Diberikan 1 pasang Momen MO = 1, karena tidak adatumpuan di D, maka terjadi penurunan sebesar D
MO = 1
M B dan D dicaritimdul defleksi D
MB2
D
Mencari MB1 dengan cara Persamaan 3 Momen
qBD = qBC +MB1 (L1-L3) + MO (L1-L3) = - MB1L2
3 n1EI 6 n1EI 3 n2EI
MB1 =
Mencari MB2 dalam fungsi EID dengan cara Persamaan 3 Momen
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.5
1
1.5
2
Garis Pengaruh Rb
meter panjang
diperoleh 3.272727
1 1 -0.045455 3.272727 D D
A B A B
2 02.091 = harus S A M A = 6.545
0.6250
2 Selalu positif berarti pemisalan arah momen benarMerupakan bidang momen negatif
Gambar bidang Momen:
D B-1
-2
Syarat batas :
diperoleh: 0
diperoleh: 1.666667
diperoleh: 4.333333
diperoleh: -4
diperoleh: 0
diperoleh: 3.666667
= = 2.6666666667 /EI
qBD = qBC + D - MB2 (L1-L3) = +MB2 L2
(L1 -L3) 3 n1EI 3 n2 EI
MB2 = EID
Mencari MB dan D
=MB1 MB2 = EID
EID
maka EI D =
dan MB=MB1+MB2=
x2 x3
x1
Mx1 Mx3
Mx2
x1 berlaku dari 0 sampai L3
x2 berlaku dari L3 sampai L1
x3 berlaku dari 0 sampai L2
Mx1= - 1x1/ (L3) Mx2=MB x2 / (L1) Mx3=MB x3 / (L2)
y1" = --(1/n1EI) (Mx1) y2" = --(1/n1EI) (Mx2) y3" = --(1/n2EI) (Mx3)
y1' = +(1/n1EI) (0,5 x12/ L3+ C1) y2' = --(1/n1EI) (0,5 MBx2
2/ L1+ C3) y3' = --(1/n2EI) (0,5 MBx32/L2+ C5)
y1 = +(1/n1EI) (1/6 x13/ L3+C1 x1 +C2) y2 = --(1/n1EI) (1/6 MBx2
3/ L1+C3 x2 + C4) y3 = --(1/n2EI) (1/6 MBx33/L2+C5 x3 + C6)
Ada 6 bilangan konstan C1, C2, C3, C4,C5 dan C6 memerlukan 6 syarat batasKondisi syarat batas diambil dengan melihat GAMBAR skets garis elastis diatas
1) Titik A tidak turun menggunakan persamaan y1 ,yaitu y1= 0 saat x1=0
C2=
2) Titik B tidak turun dengan menggunakan persamaan y3 , yaitu y3 = 0 saat x3 = L2
C5=
3) Sudut perputaran titik B kiri persamaan y2' = perputaran titik B kanan persamaan y3' , yaitu y2' [saat x2 = L1]
= (--)y3' [ saat x3 = L2] Tanda negatif karena arah x2dan x3 berlawanan
C3=
4) Titik B tidak turun dengan menggunakan persamaan y2 , yaitu y2 = 0 saat x2 = L2
C4=
5) Titik C tidak turun dengan menggunakan persamaan y3 , yaitu y3 = 0 saat x3 = 0
C6=
6) Penurunan di D dengan persamaan y1 = Penurunan di D dengan persamaan y2 , yaitu y1 [saat x1 = L3]
= y2 [ saat x2 = L3]
C1=
Faktor pembagi = jumlah harga mutlak sudut pada potongan D kiri dan kanan
[y1' saat x1= L3] + [y2' saat x2= L3]
Persamaan Garis Pengaruh MD = Pers Garis Elastis/ Faktor pembagi
0.125 ( 0.333333 3.666667 0 )
-0.125 ( -0.333333 4.333333 -4 ) CARA LANGSUNG
-0.125 ( -0.066667 1.666667 0 )
CARA INTERPOLASI
brntang AD 1 unit gaya
catatan:
B C
EI EI
A m m
Ra1
0.25 ( 0.166667 -2.166667 2 ) -- 1( 0.5
0.25 ( 0.166667 1.833333 0 ) =ATAU dgn menyamakan angka terdepan dari cara langsung bila belum sama
= 0.125 ( 0.333333 3.666667 0 ) cocok dgn cara langsung
sepanjang bentang DB 1 unit gaya
B C
EI EI
A m m
Ra1
( Masih pakai Ra1 karena 1 unit gaya masih berada dalam daerah persamaan Ra1) 1 unit gaya sudah berada diluar keseimbangan
0.25 ( 0.166667 -2.166667 2 ) =ATAU dgn menyamakan angka terdepan dari cara langsung bila belum sama
= -0.125 ( -0.333333 4.333333 -4 ) cocok dgn cara langsung
sepanjang bentang BC. 1 unit gaya
B C
EI EI
A m m
Ra2
0.25 ( 0.033333 -0.833333ATAU dgn menyamakan angka terdepan dari cara langsung bila belum sama
= -0.125 ( -0.066667 1.666667 cocok dgn cara langsung
X 0 0
Pers GP MD1 =y1 = x13 + x1+
MD2 =y2 = x23 + x2+
MD3 =y3 = x23 + x2+
Untuk mencari persamaan Garis Pengaruh MD1 sepanjang AD, maka gaya 1 unit diletakkan sejauh x1 dalam
x1 MD2 D Bila Gp RC dan RB yang
L3 n1 n2 diketahui, maka SMD KANAN
L1 L2 bisa dipakai
Keseimbangan sebelah kiri potongan D, SMD KIRI = 0 ( anggap arah bidang MD positif)
MD1 = Ra1 x L3 -- 1 (L3 -- X1) =
x13 + x1+ - x1) =
x13 + x1+
x13 + x1+
Untuk mencari persamaan Garis Pengaruh MD2 sepanjang DB, maka gaya 1 unit diletakkan sejauh x2 berlaku
x2 MD2 D
L3 n1 n2
L1 L2
Keseimbangan sebelah kiri potongan D, SMD KIRI = 0
MD2 = Ra1 x L3 =
x23 + x2+
x23 + x2 +
Untuk mencari persamaan Garis Pengaruh MD3 sepanjang BC, maka gaya 1 unit diletakkan sejauh x3 berlaku
x3
MD3 D
L3 n1 n2
L1 L2
Keseimbangan sebelah kiri potongan D, SMD KIRI = 0
MD3 = Ra2x L3 =
x23 + x2 ) =
x23 + x2 )
MD
0 1 2 3 4 5 6 7
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
Garis Pengaruh M potongan di D
meter panjang
0.125 0.05737304690.25 0.115234375
0.375 0.17407226560.5 0.234375
0.5 0.2343750.625 0.1716308594
0.75 0.1113281250.875 0.0539550781
1 05 1 0
4.375 1.625 -0.2136230473.75 2.25 -0.341796875
3.125 2.875 -0.3967285162.5 3.5 -0.390625
1.875 4.125 -0.3356933591.25 4.75 -0.244140625
0.625 5.375 -0.1281738280 6 0
Contoh MENCARI PERSAMAAN DAN GAMBAR
Balok menerus statis tak tentuINPUT DATA 3 EI
3 EI
B C 1 meter
EI EI 5 meter
A m m
Momen yang terjadi di B dihilangkan,reaksi vertikal di B TETAP, kanan kiri diputar dengan
B CA
GAMBAR skets garis elastis
ISIKAN angka 0 atau 1: 1 Keterangan: angka 1 bila melihat jawaban
angka 0 bila jawaban dihilangkan sementara
-1 Gambar bidang Momen
x1 x2
……….(1) ……….(2)
……….(3) ……….(4)
Syarat batas :
tengah AB
GARIS PENGARUH MOMEN TUMPUAN DI B, yaitu GPMB
n1=
n2=
L1=
n1 n2 L2=
L1 L2
memberi momen kopel MO = 1
MO = 1
Bidang Momen bisa langsung digambar, karena M di B diketahui = MO = 1 unit momen
MO=
Mx1 Mx2 arah x1 dan x2 bebas
Mx1= -x1/ L1 Mx2=-x2 / L2
y1" = --(1/n1EI) (Mx1) y2" = --(1/n2EI) (Mx2)
y1' = (1/n1EI) (0,5 x12 / L1+ C1) y2' = (1/n2EI) (0,5 x2
2 / L2+ C3)
y1 = (1/n1EI) (1/6 x13 / L1+C1 x1 + C2) y2 = (1/n2EI) (1/6 x2
3 / L2+C3 x2 + C4)
Ada 4 bilangan konstan C1, C2, C3, dan C4 memerlukan 4 syarat batasKondisi syarat batas diambil dengan melihat GAMBAR skets garis elastis diatas
0 1 2 3 4 5 6 7
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
Garis Pengaruh M potongan di D
meter panjang
diperoleh: 0
diperoleh: -0.833333
diperoleh: 0
diperoleh: -0.166667
= = 0.6666666667 /EI
0.5 ( 0.166667 -0.166667
0.5 ( 0.033333 -0.833333
x1 = 0 m y1 = 00.5 m -0.03125
1 m 0
x2= 0 m y2= 0 2.5 m -0.78125
5 m 0
q1 = 0 ton/m panjang = 1 mq2kanan = 9 ton/m panjang = 2.5 m dari 0 2.5q2kiri= 5 ton/m panjang = 2.5 m dari 2.5 5
Ra = -17.5781 ton
X0 0
0.125 -0.0102539060.25 -0.01953125
0.375 -0.026855469
0.5 -0.031250.625 -0.031738281
0.75 -0.027343750.875 -0.017089844
1 05 1 0
4.375 1.625 -0.4272460943.75 2.25 -0.68359375
3.125 2.875 -0.7934570312.5 3.5 -0.78125
1.875 4.125 -0.6713867191.25 4.75 -0.48828125
0.625 5.375 -0.2563476560 6 0
0
-17.57813
CARA INTERPOLASI
1 unit gaya catatan:
B C
EI EI
A m m
Ra1
0.5 ( 0.1666666667 -2.166667 2 ) -- 1 ( 1
1) Titik C tidak turun menggunakan persamaan y2 ,yaitu y2= 0 saat x2=0
C4=
2) Titik B tidak turun dengan menggunakan persamaan y2 , yaitu y2 = 0 saat x2 = L2
C3=
3) Titik A tidak turun menggunakan persamaan y1 ,yaitu y1= 0 saat x1=0
C2=
4) Titik B tidak turun dengan menggunakan persamaan y1 , yaitu y1 = 0 saat x1 = L1
C1=
Faktor pembagi = jumlah harga mutlak sudut pada tumpuan B kiri dan kanan
[y1' saat x1= L1] + [y2' saat x2= L2]
Persamaan Garis Pengaruh MB = Pers Garis Elastis/ Faktor pembagi
Pers GP MB1 =y1 = x13 + x1 )
MB2 =y2 = x23 + x2 )
MB
tengah AB
MD=
DD=
Untuk mencari persamaan Garis Pengaruh MB1 sepanjang AB, maka gaya 1 unit diletakkan sejauh x1 dalam bentang AB
x1 MB2 Bila Gp RC yang diketahui,
n1 n2 maka SMB KANAN yg dipakai
L1 L2
Keseimbangan sebelah kiri B, SMB KIRI = 0 ( anggap arah bidang MB positif)
MB1 = Ra1 x L1 -- 1 (L1 -- X1) = x13 + x1+ -- x1)
0 1 2 3 4 5 6 7
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.10
Garis Pengaruh Momen Tumpuan Mb
meter panjang
= 0.5 ( 0.1666666667 -0.166667 0 )ATAU dgn menyamakan angka terdepan dari cara langsung
= 0.5 ( 0.1666666667 -0.166667 0 ) cocok dgn cara langsung
1 unit gaya
B C
EI EI
A m m
Ra2
= 0.5 ( 0.0333333333 -0.833333ATAU dgn menyamakan angka terdepan dari cara langsung
= 0.5 ( 0.0333333333 -0.833333 cocok dgn cara langsung
Cek hasil perhitungan
0.5 m 1 ton di D D B C
3 EI 3 EIA 1 m 5 m
CARA MODIFIED ( MODIFIKASI)
titik B sendiKARENA KOLOM TIDAK ADA, ISIKAN HARGA "EI" KOLOM DENGAN
PILIHAN
titik D setitik E sedata: beban terpusat beban terbagi rata panjang kekakuan batang
0 0 0 0 EI
1 0 1 3 EI
0 0 5 3 EI
0 ton 3 0 EI
0 0 0
0 1 0
A (bebas) B 3 EI C 3 EI D SENDI
SENDI 1.5m
0
0 EI 1.5m
E SENDI
0 0.5 0.5 2.5 2.5m m m m m
3 9 EI
3 1.8 EI
x13 + x1+
x13 + x1+
Untuk mencari persamaan Garis Pengaruh MB2 sepanjang BC, maka gaya 1 unit diletakkan sejauh x2 dalam bentang BC
MB2 x2
n1 n2
L1 L2
Keseimbangan sebelah kiri B, SMB KIRI = 0 ( anggap arah bidang MB positif)
MB2 = Ra2 x L1 x23 + x2 )
x23 + x2 )
L3 =
Berapa basar RA, M potongan di D dan MB akibat beban 1 ton dipertengahan AB
Diambilkan dari Modul Ajar 2 Mekanika Teknik III (BALOK B-C-D)Contoh latihan Portal Tetap ( Tidak Bergoyang)Jenis perletakan yang sudah ditetapkan
Jenis perletakan yang bisa dipilih ANGKA 0 (KOSONG), "L4" BEBAS, "H" = 0.
(JE)pit, (SE)ndi, atau (RO)l(JE)pit, atau (SE)ndi
V1= ton q1= t/m L1= m AB=
V2= ton q2= t/m L2= m BC=
V3= ton q3= t/m L3= m CD=
H= L4= m CE=
q1= q2= q3=
V1= V2= V3=
L 4 / 2 =
H=
L 4 / 2 =
L1 L2/2 L2/2 L3/2 L3/2
k CB = EICB /L2=
k CD = EICD /L3=
3 0 EI
Faktor distribusi titik C
I I = isikan satuan yang diinginkan0.833 0.167 0.000 kedalam te
pilihan :Momen Primair
0 ton meter 0 ton meter
-0.1875 ton meter -0.1875 ton meter
+(1/8)(q3)(L3)^2+(3/16)(V3)(L3)= 0 ton meter 0 ton meter
-(3/16)(H)(L4)= 0 ton meter 0 ton meter
faktor induksi = 0,5
cara Momen Distribusi bila titik D adalah perletakan : SENDI dan E adalah perletakan : SENDI
0 faktor induksi0.5 0.5 0.5 0
B C titik kumpulBA BC CB CD CE nama batang
0 1 0.833 0.167 0.000 0 m0.00 -0.19 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.16 0.03 0.00
0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 -0.03 0.03 0.00 0.00 0.00 momen akhirton meter
0 0 -0.03125 0.03125 0 0 0 ton m
x
anggap lebar balok menerus sama0.000 0.031 C 0.031 0.000
0.000 0.531 0.006 SENDIB D
0.000 D
0.000 0.469 0.531 0.538 0.006 -0.006
0.000Reaksi perletakan di A 0.000
0.469 tonCocok dgn gambar Gp RA pada pertengahan AB
0.000
0.000 E
0.234 tonmeter SENDI
Cocok dgn gambar Gp MD pada pertengahan AB atau tepat dipuncak 0.538
Momen tumpuan di B.
0.031 tonmeterCocok dgn gambar Gp MB pada pertengahan AB
k CE = EICE /L4=
mCB mCD mCE
(to)n cm(kg) m(te)tap
Mp BA= -V1 L1 - 0,5 q1 L12=
Mp CB= -(1/8)q2L22-(3/16)V2L2=
Mp CD=
Mp CE=
distribusi
induksi
distribusi
induksi
HB = HD =
VD =
VB =
RA =
Momen di D, tengah BC, tepat di gaya V2 HE =
MD = = RA x (L2)/2
VE =
MB =
D B
EI EI C
A m m
MERUBAH ARAH ATAU BERLAKUNYA X 1, X 2.
x1 x2
n1 n2
L1 L2
Persamaan Gp RA
0.50000 ( 0.16667 -2.16667 2.00000 )
0.50000 ( 0.03333 -0.83333
D B
EI EI C
A m m
maka persamaan menjadi
0.50000 [ 0.03333 -0.83333
Pers GP RA1 =y1 = x13 + x1+
RA2 =y2 = x23 + x2 )
MISAL arah x2 mau dirubah menjadi x22 dengan arah sbb:
x22 x2
x1
n1 n2
L1 L2
substitusikan x2 dengan x2 = L2 - x22
RA2 =y2 = (L2 - x22)3 + (L2 - x22) ]
0
-0.833333
-2.166667
2
0.666667
0.5
0.5
10.46875
0
0-0.78125
0
4
-2.7074
-0.045455
MD=
3.272727
2.0002.091
0.625
2
-2
1.666667
4.333333
-4
3.666667
2.666667
0.125
-0.125
-0.125
cocok dgn cara langsung
0.000
0
-0.833333
0
-0.166667
0.666667
0.50.5
0.166667 -2.166667 2
0.033333 -0.833333
06.545455
0.333333 3.666667 0
-0.333333 4.333333 -4
-0.066667 1.666667 0
0.166667 -0.1666670.033333 -0.833333
Top Related