Modul Ajar 6 - Garis Pengaruh R, M Tumpuan Dan Potongan

Modul Ajar 6 Mekanika Teknik III

TUJUAN UMUM:Mahasiswa bisa menurunkan persamaan dan menggambar Garis Pengaruh statis tak tentu.Tujuan khusus:Mahasiswa bisa menurunkan persamaan dan menggambar Garis Pengaruh Reaksi Perletakan , Momen Potongan dan Momen Tumpuan.

Contoh MENCARI PERSAMAAN DAN GAMBAR

Balok menerus statis tak tentuINPUT DATA 3 EI

0.5 m 3 EI

D B C 1 meter

EI EI 5 meter

A m m

Yang menahan reaksi vertikal di A DILEPAS, diberi simpangan dengan menaruh I unit gaya. 1 Unit gaya

D B CA

GAMBAR skets garis elastis

ISIKAN angka 0 atau 1: 1 Keterangan: angka 1 bila melihat jawaban

angka 0 bila jawaban dihilangkan sementara

-1 Gambar bidang Momen

x1 x2

……….(1) ……….(2)

……….(3) ……….(4)

Syarat batas :

diperoleh: 0

diperoleh: -0.833

diperoleh: -2.167

diperoleh: 2.000

GARIS PENGARUH REAKSI PERLETAKAN UJUNG A, yaitu GPRA

L3 = jarak A ke potongan D = L1 / 2 n1=

n2=

L1=

n1 n2 L2=

L1 L2

Karena hanya ada beban vertikal (tidak ada beban horisontal), perletakan sendi atau rol tidak ada bedanyaAnggap B sendi dan Rol di C, merupakan struktur STATIS TERTENTU

MB=

Mx1 Mx2 arah x1 dan x2 bebas

Mx1= -x1 Mx2=-x2 (L1/L2)

y1" = --(1/n1EI) (Mx1) y2" = --(1/n2EI) (Mx2)

y1' = (1/n1EI) (0,5 x12+ C1) y2' = (1/n2EI) (0,5 x2

2L1/L2+ C3)

y1 = (1/n1EI) (1/6 x13+C1 x1 + C2) y2 = (1/n2EI) (1/6 x2

3L1/L2+C3 x2 + C4)

Ada 4 bilangan konstan C1, C2, C3, dan C4 memerlukan 4 syarat batasKondisi syarat batas diambil dengan melihat GAMBAR skets garis elastis diatas

1) Titik C tidak turun menggunakan persamaan y2 ,yaitu y2= 0 saat x2=0

C4=

2) Titik B tidak turun dengan menggunakan persamaan y2 , yaitu y2 = 0 saat x2 = L2

C3=

3) Sudut perputaran titik B kiri persamaan y1' = Sudut perputaran titik B kanan persamaan y2' , yaitu y1' [saat x1 = L1]

= (--)y2' [ saat x2 = L2] Tanda negatif karena arah x1dan x2 berlawanan

C1=


C2=

= 0.666667 (1/EI)

0.50000 ( 0.167 -2.167 2.000 )

0.50000 ( 0.033 -0.833

x1 = 0 m y1 = 10.5 m 0.46875

1 m 0

x2= 0 m y2= 0 2.5 m -0.78125

5 m 0

Bila ada beban berjalan q atau P

C

EI EI

A m mB

1 1 4m m m

INPUT q1 = 3 ton/m panjang = 1 m

DATA q2kanan = 3 ton/m panjang = 4 m dari 0 4

q2kiri= 1 ton/m panjang = 1 m dari 4 5

0 ton 2 m

0 ton 2.5 m

Bila ada beban terbagi rata q dengan besar dan panjang seperti dala data ditabel, maka besarnya Ra bisa dihitungdengan menggunakan persamaan Garis Pengaruh Ra yang ada yaitu

Ra = -5.7000 ton

X0 1

0.25 0.73046875

0.5 0.468750.75 0.22265625

1 05 1 0

3.75 2.25 -0.683593752.5 3.5 -0.78125

1.25 4.75 -0.488281250 6 0

-3.225

-7.2

Faktor pembagi = Penurunan di titik A itu sendiri yaitu y1 [saat x1= 0]

(1/n1EI) (C2) =

Persamaan Garis Pengaruh RA = Pers Garis Elastis/ Faktor pembagi

Pers GP RA1 =y1 = x13 + x1+

RA2 =y2 = x23 + x2 )

x2

x1 P2

P1 q2 KANAN

q1 q2 KIRI

n1 n2

L1 L2

P1 pada x1=

P2 pada x2=

RA = INTEGRAL persamaan Gp RA sesuai dgn batasan yang ada dikalikan q tambah P dikalikan

besarnya Gp RA untuk harga x dari posisi P.

RA

Tengah AB

Deikian juga MD dan DD bisa dicari dgn bantuan RA

MD=

DD=

0 1 2 3 4 5 6 7

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Garis Pengaruh Ra

meter panjang

-0.6 ( 0.166667 -1.833333

-0.6 ( 0.033333 -1.166667

0 00.25 0.2734375

0.5 0.53750.75 0.7828125

1 15 1 1

3.75 2.25 1.57031252.5 3.5 1.4375

1.25 4.75 0.83593750 6 0


Balok menerus statis tak tentu

0.5 m D B C

EI EI

A m m





diperoleh -0.045455

Gp RB

y1 = x13+ x1 )

y2 = x23+ x2 )

GARIS PENGARUH MOMEN POTONGAN DI D, yaitu GPMD

L3 =

n1 n2

L1 L2

Diber kopel MO =1

MB1 Diberikan 1 pasang Momen MO = 1, karena tidak adatumpuan di D, maka terjadi penurunan sebesar D

MO = 1

M B dan D dicaritimdul defleksi D

MB2

D

Mencari MB1 dengan cara Persamaan 3 Momen

qBD = qBC +MB1 (L1-L3) + MO (L1-L3) = - MB1L2

3 n1EI 6 n1EI 3 n2EI

MB1 =

Mencari MB2 dalam fungsi EID dengan cara Persamaan 3 Momen

0 1 2 3 4 5 6 7

0

0.5

1

1.5

2

Garis Pengaruh Rb

meter panjang

diperoleh 3.272727

1 1 -0.045455 3.272727 D D

A B A B

2 02.091 = harus S A M A = 6.545

0.6250

2 Selalu positif berarti pemisalan arah momen benarMerupakan bidang momen negatif

Gambar bidang Momen:

D B-1

-2

Syarat batas :

diperoleh: 0

diperoleh: 1.666667

diperoleh: 4.333333

diperoleh: -4

diperoleh: 0

diperoleh: 3.666667

= = 2.6666666667 /EI

qBD = qBC + D - MB2 (L1-L3) = +MB2 L2

(L1 -L3) 3 n1EI 3 n2 EI

MB2 = EID

Mencari MB dan D

=MB1 MB2 = EID

EID

maka EI D =

dan MB=MB1+MB2=

x2 x3

x1

Mx1 Mx3

Mx2

x1 berlaku dari 0 sampai L3

x2 berlaku dari L3 sampai L1

x3 berlaku dari 0 sampai L2

Mx1= - 1x1/ (L3) Mx2=MB x2 / (L1) Mx3=MB x3 / (L2)

y1" = --(1/n1EI) (Mx1) y2" = --(1/n1EI) (Mx2) y3" = --(1/n2EI) (Mx3)

y1' = +(1/n1EI) (0,5 x12/ L3+ C1) y2' = --(1/n1EI) (0,5 MBx2

2/ L1+ C3) y3' = --(1/n2EI) (0,5 MBx32/L2+ C5)

y1 = +(1/n1EI) (1/6 x13/ L3+C1 x1 +C2) y2 = --(1/n1EI) (1/6 MBx2

3/ L1+C3 x2 + C4) y3 = --(1/n2EI) (1/6 MBx33/L2+C5 x3 + C6)

Ada 6 bilangan konstan C1, C2, C3, C4,C5 dan C6 memerlukan 6 syarat batasKondisi syarat batas diambil dengan melihat GAMBAR skets garis elastis diatas

1) Titik A tidak turun menggunakan persamaan y1 ,yaitu y1= 0 saat x1=0

C2=


C5=

3) Sudut perputaran titik B kiri persamaan y2' = perputaran titik B kanan persamaan y3' , yaitu y2' [saat x2 = L1]

= (--)y3' [ saat x3 = L2] Tanda negatif karena arah x2dan x3 berlawanan

C3=


C4=

5) Titik C tidak turun dengan menggunakan persamaan y3 , yaitu y3 = 0 saat x3 = 0

C6=

6) Penurunan di D dengan persamaan y1 = Penurunan di D dengan persamaan y2 , yaitu y1 [saat x1 = L3]

= y2 [ saat x2 = L3]

C1=

Faktor pembagi = jumlah harga mutlak sudut pada potongan D kiri dan kanan

[y1' saat x1= L3] + [y2' saat x2= L3]

Persamaan Garis Pengaruh MD = Pers Garis Elastis/ Faktor pembagi

0.125 ( 0.333333 3.666667 0 )

-0.125 ( -0.333333 4.333333 -4 ) CARA LANGSUNG

-0.125 ( -0.066667 1.666667 0 )

CARA INTERPOLASI

brntang AD 1 unit gaya

catatan:

B C

EI EI

A m m

Ra1

0.25 ( 0.166667 -2.166667 2 ) -- 1( 0.5

0.25 ( 0.166667 1.833333 0 ) =ATAU dgn menyamakan angka terdepan dari cara langsung bila belum sama

= 0.125 ( 0.333333 3.666667 0 ) cocok dgn cara langsung

sepanjang bentang DB 1 unit gaya

B C

EI EI

A m m

Ra1

( Masih pakai Ra1 karena 1 unit gaya masih berada dalam daerah persamaan Ra1) 1 unit gaya sudah berada diluar keseimbangan

0.25 ( 0.166667 -2.166667 2 ) =ATAU dgn menyamakan angka terdepan dari cara langsung bila belum sama

= -0.125 ( -0.333333 4.333333 -4 ) cocok dgn cara langsung

sepanjang bentang BC. 1 unit gaya

B C

EI EI

A m m

Ra2

0.25 ( 0.033333 -0.833333ATAU dgn menyamakan angka terdepan dari cara langsung bila belum sama

= -0.125 ( -0.066667 1.666667 cocok dgn cara langsung

X 0 0

Pers GP MD1 =y1 = x13 + x1+

MD2 =y2 = x23 + x2+

MD3 =y3 = x23 + x2+

Untuk mencari persamaan Garis Pengaruh MD1 sepanjang AD, maka gaya 1 unit diletakkan sejauh x1 dalam

x1 MD2 D Bila Gp RC dan RB yang

L3 n1 n2 diketahui, maka SMD KANAN

L1 L2 bisa dipakai

Keseimbangan sebelah kiri potongan D, SMD KIRI = 0 ( anggap arah bidang MD positif)

MD1 = Ra1 x L3 -- 1 (L3 -- X1) =

x13 + x1+ - x1) =

x13 + x1+

x13 + x1+

Untuk mencari persamaan Garis Pengaruh MD2 sepanjang DB, maka gaya 1 unit diletakkan sejauh x2 berlaku

x2 MD2 D

L3 n1 n2

L1 L2

Keseimbangan sebelah kiri potongan D, SMD KIRI = 0

MD2 = Ra1 x L3 =

x23 + x2+

x23 + x2 +

Untuk mencari persamaan Garis Pengaruh MD3 sepanjang BC, maka gaya 1 unit diletakkan sejauh x3 berlaku

x3

MD3 D

L3 n1 n2

L1 L2

Keseimbangan sebelah kiri potongan D, SMD KIRI = 0

MD3 = Ra2x L3 =

x23 + x2 ) =

x23 + x2 )

MD

0 1 2 3 4 5 6 7

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Garis Pengaruh M potongan di D

meter panjang

0.125 0.05737304690.25 0.115234375

0.375 0.17407226560.5 0.234375

0.5 0.2343750.625 0.1716308594

0.75 0.1113281250.875 0.0539550781

1 05 1 0

4.375 1.625 -0.2136230473.75 2.25 -0.341796875

3.125 2.875 -0.3967285162.5 3.5 -0.390625

1.875 4.125 -0.3356933591.25 4.75 -0.244140625

0.625 5.375 -0.1281738280 6 0


Balok menerus statis tak tentuINPUT DATA 3 EI

3 EI

B C 1 meter

EI EI 5 meter

A m m

Momen yang terjadi di B dihilangkan,reaksi vertikal di B TETAP, kanan kiri diputar dengan

B CA




-1 Gambar bidang Momen

x1 x2

……….(1) ……….(2)

……….(3) ……….(4)

Syarat batas :

tengah AB

GARIS PENGARUH MOMEN TUMPUAN DI B, yaitu GPMB

n1=

n2=

L1=

n1 n2 L2=

L1 L2

memberi momen kopel MO = 1

MO = 1

Bidang Momen bisa langsung digambar, karena M di B diketahui = MO = 1 unit momen

MO=

Mx1 Mx2 arah x1 dan x2 bebas

Mx1= -x1/ L1 Mx2=-x2 / L2

y1" = --(1/n1EI) (Mx1) y2" = --(1/n2EI) (Mx2)

y1' = (1/n1EI) (0,5 x12 / L1+ C1) y2' = (1/n2EI) (0,5 x2

2 / L2+ C3)

y1 = (1/n1EI) (1/6 x13 / L1+C1 x1 + C2) y2 = (1/n2EI) (1/6 x2

3 / L2+C3 x2 + C4)

Ada 4 bilangan konstan C1, C2, C3, dan C4 memerlukan 4 syarat batasKondisi syarat batas diambil dengan melihat GAMBAR skets garis elastis diatas

0 1 2 3 4 5 6 7

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Garis Pengaruh M potongan di D

meter panjang

diperoleh: 0

diperoleh: -0.833333

diperoleh: 0

diperoleh: -0.166667

= = 0.6666666667 /EI

0.5 ( 0.166667 -0.166667

0.5 ( 0.033333 -0.833333

x1 = 0 m y1 = 00.5 m -0.03125

1 m 0

x2= 0 m y2= 0 2.5 m -0.78125

5 m 0

q1 = 0 ton/m panjang = 1 mq2kanan = 9 ton/m panjang = 2.5 m dari 0 2.5q2kiri= 5 ton/m panjang = 2.5 m dari 2.5 5

Ra = -17.5781 ton

X0 0

0.125 -0.0102539060.25 -0.01953125

0.375 -0.026855469

0.5 -0.031250.625 -0.031738281

0.75 -0.027343750.875 -0.017089844

1 05 1 0

4.375 1.625 -0.4272460943.75 2.25 -0.68359375

3.125 2.875 -0.7934570312.5 3.5 -0.78125

1.875 4.125 -0.6713867191.25 4.75 -0.48828125

0.625 5.375 -0.2563476560 6 0

0

-17.57813

CARA INTERPOLASI

1 unit gaya catatan:

B C

EI EI

A m m

Ra1

0.5 ( 0.1666666667 -2.166667 2 ) -- 1 ( 1

1) Titik C tidak turun menggunakan persamaan y2 ,yaitu y2= 0 saat x2=0

C4=


C3=

3) Titik A tidak turun menggunakan persamaan y1 ,yaitu y1= 0 saat x1=0

C2=


C1=

Faktor pembagi = jumlah harga mutlak sudut pada tumpuan B kiri dan kanan

[y1' saat x1= L1] + [y2' saat x2= L2]

Persamaan Garis Pengaruh MB = Pers Garis Elastis/ Faktor pembagi

Pers GP MB1 =y1 = x13 + x1 )

MB2 =y2 = x23 + x2 )

MB

tengah AB

MD=

DD=

Untuk mencari persamaan Garis Pengaruh MB1 sepanjang AB, maka gaya 1 unit diletakkan sejauh x1 dalam bentang AB

x1 MB2 Bila Gp RC yang diketahui,

n1 n2 maka SMB KANAN yg dipakai

L1 L2

Keseimbangan sebelah kiri B, SMB KIRI = 0 ( anggap arah bidang MB positif)

MB1 = Ra1 x L1 -- 1 (L1 -- X1) = x13 + x1+ -- x1)

0 1 2 3 4 5 6 7

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.10

Garis Pengaruh Momen Tumpuan Mb

meter panjang

= 0.5 ( 0.1666666667 -0.166667 0 )ATAU dgn menyamakan angka terdepan dari cara langsung

= 0.5 ( 0.1666666667 -0.166667 0 ) cocok dgn cara langsung

1 unit gaya

B C

EI EI

A m m

Ra2

= 0.5 ( 0.0333333333 -0.833333ATAU dgn menyamakan angka terdepan dari cara langsung

= 0.5 ( 0.0333333333 -0.833333 cocok dgn cara langsung

Cek hasil perhitungan

0.5 m 1 ton di D D B C

3 EI 3 EIA 1 m 5 m

CARA MODIFIED ( MODIFIKASI)

titik B sendiKARENA KOLOM TIDAK ADA, ISIKAN HARGA "EI" KOLOM DENGAN

PILIHAN

titik D setitik E sedata: beban terpusat beban terbagi rata panjang kekakuan batang

0 0 0 0 EI

1 0 1 3 EI

0 0 5 3 EI

0 ton 3 0 EI

0 0 0

0 1 0

A (bebas) B 3 EI C 3 EI D SENDI

SENDI 1.5m

0

0 EI 1.5m

E SENDI

0 0.5 0.5 2.5 2.5m m m m m

3 9 EI

3 1.8 EI

x13 + x1+

x13 + x1+

Untuk mencari persamaan Garis Pengaruh MB2 sepanjang BC, maka gaya 1 unit diletakkan sejauh x2 dalam bentang BC

MB2 x2

n1 n2

L1 L2

Keseimbangan sebelah kiri B, SMB KIRI = 0 ( anggap arah bidang MB positif)

MB2 = Ra2 x L1 x23 + x2 )

x23 + x2 )

L3 =

Berapa basar RA, M potongan di D dan MB akibat beban 1 ton dipertengahan AB

Diambilkan dari Modul Ajar 2 Mekanika Teknik III (BALOK B-C-D)Contoh latihan Portal Tetap ( Tidak Bergoyang)Jenis perletakan yang sudah ditetapkan

Jenis perletakan yang bisa dipilih ANGKA 0 (KOSONG), "L4" BEBAS, "H" = 0.

(JE)pit, (SE)ndi, atau (RO)l(JE)pit, atau (SE)ndi

V1= ton q1= t/m L1= m AB=

V2= ton q2= t/m L2= m BC=

V3= ton q3= t/m L3= m CD=

H= L4= m CE=

q1= q2= q3=

V1= V2= V3=

L 4 / 2 =

H=

L 4 / 2 =

L1 L2/2 L2/2 L3/2 L3/2

k CB = EICB /L2=

k CD = EICD /L3=

3 0 EI

Faktor distribusi titik C

I I = isikan satuan yang diinginkan0.833 0.167 0.000 kedalam te

pilihan :Momen Primair

0 ton meter 0 ton meter

-0.1875 ton meter -0.1875 ton meter

+(1/8)(q3)(L3)^2+(3/16)(V3)(L3)= 0 ton meter 0 ton meter

-(3/16)(H)(L4)= 0 ton meter 0 ton meter

faktor induksi = 0,5

cara Momen Distribusi bila titik D adalah perletakan : SENDI dan E adalah perletakan : SENDI

0 faktor induksi0.5 0.5 0.5 0

B C titik kumpulBA BC CB CD CE nama batang

0 1 0.833 0.167 0.000 0 m0.00 -0.19 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.16 0.03 0.00

0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 -0.03 0.03 0.00 0.00 0.00 momen akhirton meter

0 0 -0.03125 0.03125 0 0 0 ton m

x

anggap lebar balok menerus sama0.000 0.031 C 0.031 0.000

0.000 0.531 0.006 SENDIB D

0.000 D

0.000 0.469 0.531 0.538 0.006 -0.006

0.000Reaksi perletakan di A 0.000

0.469 tonCocok dgn gambar Gp RA pada pertengahan AB

0.000

0.000 E

0.234 tonmeter SENDI

Cocok dgn gambar Gp MD pada pertengahan AB atau tepat dipuncak 0.538

Momen tumpuan di B.

0.031 tonmeterCocok dgn gambar Gp MB pada pertengahan AB

k CE = EICE /L4=

mCB mCD mCE

(to)n cm(kg) m(te)tap

Mp BA= -V1 L1 - 0,5 q1 L12=

Mp CB= -(1/8)q2L22-(3/16)V2L2=

Mp CD=

Mp CE=

distribusi

induksi

distribusi

induksi

HB = HD =

VD =

VB =

RA =

Momen di D, tengah BC, tepat di gaya V2 HE =

MD = = RA x (L2)/2

VE =

MB =

D B

EI EI C

A m m

MERUBAH ARAH ATAU BERLAKUNYA X 1, X 2.

x1 x2

n1 n2

L1 L2

Persamaan Gp RA

0.50000 ( 0.16667 -2.16667 2.00000 )

0.50000 ( 0.03333 -0.83333

D B

EI EI C

A m m

maka persamaan menjadi

0.50000 [ 0.03333 -0.83333

Pers GP RA1 =y1 = x13 + x1+

RA2 =y2 = x23 + x2 )

MISAL arah x2 mau dirubah menjadi x22 dengan arah sbb:

x22 x2

x1

n1 n2

L1 L2

substitusikan x2 dengan x2 = L2 - x22

RA2 =y2 = (L2 - x22)3 + (L2 - x22) ]

0

-0.833333

-2.166667

2

0.666667

0.5

0.5

10.46875

0

0-0.78125

0

4

-2.7074

-0.045455

MD=

3.272727

2.0002.091

0.625

2

-2

1.666667

4.333333

-4

3.666667

2.666667

0.125

-0.125

-0.125

cocok dgn cara langsung

0

-0.833333

0

-0.166667

0.666667

0.50.5

0.166667 -2.166667 2

0.033333 -0.833333

06.545455

0.333333 3.666667 0

-0.333333 4.333333 -4

-0.066667 1.666667 0

0.166667 -0.1666670.033333 -0.833333

Modul Ajar 6 - Garis Pengaruh R, M Tumpuan Dan Potongan

Documents

Transcript of Modul Ajar 6 - Garis Pengaruh R, M Tumpuan Dan Potongan