INTEGRAL
KELOMPOK
JOHAN SETIAWAN
ABIY RAIHAN ALFARIZI
CHRISNA BARKA
DINDA ARIFAH
HAFSHA ULRIKA
Integral
1. INTEGRAL TAK TENTU DAN TENTU (SUATU PENDAHULUAN)
2. Aplikasi dalam Ekonomi
Integral tak tentu
Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari integral atau turunan antinya, yaitu F(x)
Bentuk umum integral dari f(x) adalah :
kxFdxxf )()(
Dimana k adalah sembarang konstanta yang nilainya
tidak tentu.
3
Integral tak tentu Β©
Contoh
untuk fungsi asal : F(x) = x2 + 5
fungsi turunannya : f(x) = dF(x) / dx = 2x
Jika prosesnya dibalik, maka :
kxkxFdxxf 2)()(
4
Kaidah- kaidah Integrasi tak tentu
Kaidah 1. Formula Pangkat
kn
xdxx
nn
1
1
Kaidah 2. Formula Logaritmis
kxdxx
ln1
5
Kaidah- kaidah Integrasi tak tentu Β©
Kaidah 3. Formula Eksponensial
Kaidah 4. Formula Penjumlahan
f(x)u kedue
kedxe
uu
xx
kG(x)F(x)
dxxgdxxfdxxgxf
)()()()(
6
Kaidah-kaidah Integrasi tak tentu Β©
Kaidah 5. Formula Perkalian
Kaidah 6. Formula Substitusi
0 )( ndxxfndxn f(x)
kuFduufdxdx
duuf )()()(
7
Penerapan Ekonomi
Pendekatan integral tak tentu dapat diterapkanuntuk mencari persamaan fungsi total darisuatu variabel ekonomi apabila persamaanfungsi marginalnya diketahui.
1. Fungsi Biaya
2. Fungsi Penerimaan
3. Fungsi Produksi
Fungsi Biaya
Biaya total πΆ = π(π)
Biaya marjinal : ππΆ = πΆβ² =ππΆ
ππ= πβ²(π)
Biaya total tak lain adalah integral dari biaya biaya marjinal
πΆ = ππΆππ = πβ² π ππ
Contoh kasus
Biaya marjinal dari suatu perusahaanditunjukkan oleh ππΆ = 3π2 β 6π + 4. Carilah persamaan biaya total dan biayarata-ratanya.
Biaya total : πΆ = ππΆππ
= 3π2 β 6π + 4 ππ
Biaya rata-rata : π΄πΆ =πΆ
π= π2 β 3π + 4 + π π
Konstanta π tak lain adalah biayatetap. Jika diketahui biaya tetaptersebut sebesar 4, maka :
πΆ = π3 β 3π2 + 4π + 4
π΄πΆ = π2 β 3π + 4 + 4 π
Fungsi Penerimaan
Penerimaan total : π = π(π)
Penerimaan marjinal : ππ = π β² =ππ
ππ= πβ²(π)
Penerimaan total tak lain adalah integral dan penerimaan marjinal
π = ππ ππ = πβ² π ππ
Contoh Kasus Carilah persamaan penerimaan total dan
penerimaan rata-rata dari suatu perusahaanjika penerimaan marjinalnya ππ = 16 β 4π.
Penerimaan total : π = ππ ππ
= 16 β 4π ππ
= 16π β 2π2
Penerimaan rata-rata: π΄π =π
π= 16 β 2π
Dalam persamaan penerimaan total kontantaπ = 0, sebab penerimaan tidak akan ada jikatak ada barang yang dihasilkan atau terjual.
Fungsi Produksi
Produk total : π = π(π) di mana,
π = keluaran; π = masukan
Produk marjinal : ππ = πβ² =ππ
ππ= πβ²(π)
Produk total tak lain adalah integral dari produk marjinal
π = ππ ππ = πβ² π ππ
Contoh kasus
Produk marjinal sebuah perusahaan dicerminkan olehππ = 18π β 3π2. Carilah persamaan produk total dan
produk rata-ratanya.
Produk total : π = ππ ππ
= (18π β 3π2) ππ
= 9π2 β π3
Produk rata-rata : π΄π =π
π= 9π β π2
Dalam persamaan produk total juga konstant π = 0, sebab tidak akan ada barang (P) yang dihasilkn jikatidak ada bahan (X) yang diolah atau digunakan.
Integral Tertentu
Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang nilai-nilai variabel bebasnya (memiliki batas-batas) tertentu.
Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas areal yang terletak di antara kurva y = f(x) dan sumbu horizontal β x, dalam suatu rentangan wilayah yang dibatasi oleh x = a dan x =b.
Bentuk umum :
)()()()( aFbFxFdxxf
b
a
b
a
16
Integral Tertentu Β©
βx1
βx2
βxn
0 a x1 x2 xi xi bxn
x
y
y=f(x)
Nilai atau harga masing-
masing titik yang mebatasi
tiap sub-rentangan adalah :
X0 = a
X1 = a + βx
X2 = a + 2 (βx)
β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦
Xn = a + n (βx) = b
x0 17
Kaidah- kaidah Integrasi Tertentu
Untuk a < b < c, berlaku :
a
b
b
a
a
b
a
b
a
dxxfdxxf
dxxf
aFbFxFdxxf
)()( .3
0)( .2
)()()()( .1
18
Kaidah- kaidah Integrasi Tertentu Β©
bc
a
b
c
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
dxxfdxxfdxxf
dxxgdxxfdxxgxf
dxxfkdxxkf
)()()( .6
)()()()( .5
)()( .4
19
Surplus Konsumen
Surplus konsumen atau CS (singkatan dariConsumer Surplus)
Surplus konsumen mencerminkan suatukeuntungan lebih atau surplus yang dinikmati oleh konsumen tertentu berkenaandengan tingkat harga pasar.
Fungsi permintaan (P) = f (Q) menunjukkanjumlah suatu barang yang akan dibeli olehkonsumen pada tingkat harga tertentu.
Surplus konsumen Jika tingkat harga pasar adalah Pe, maka bagi
konsumen tertentu yang sebetulnya mampudan bersedia membayar dengan harga yang lebih tinggi dari Pe.
Hal ini akan merupakan keuntungan baginya, sebab ia cukup membayar barang tadi denganharga Pe. Secara geometri, besarnya surplus konsumen ditunjukkan oleh luar daerah di bawah kurva permintaaan tetapi di atastingkat harga pasar.
B (O1, π)
πΆπ
PeE (Qe,Pe)
P=f(Q)
A( π,0)
Qe
Q
Surplus konsumen atau πΆπ
(singkatan dari Consumersβ surplus) tak lain adalah segitigaπππ·πΈ, dengn rentang wilayah yang dibatasi oleh π = 0 sebagai batas-bawah dan π = ππ sebagai batas-atas.
Besarnya surplus konsumen adalah :
πΆπ = 0
ππ
π(π) ππ β ππππ
Dalam hal fungsi permintaan berbentuk π =π(π) atau
πΆπ = ππ
π
π π ππ
Dalam hal fungsi permintaan berbentuk π =π(π); π adalah nilai π untuk π = 0 atau
penggal kurva permintaan pada sumbu harga
Dengan demikian :
πΆπ = 0
ππ
π(π) ππ β ππππ = ππ
π
π π ππ
Contoh Kasus
Fungsi permintan akan suatu barangditunjukkan oleh persamaan π = 48 β0,03π2. Hitunglah surplus konsumenjika tingkat harga pasar adalah 30.
Jawab
π = 48 β 0,03π2
Jika π = 0, π = 48
Jika π = 0, π = 40 β‘ π
Jika π β‘ ππ = 30, π β‘ ππ = 40
πΆπ = ππ
ππ(π) ππ = 30
40(48 β 0,03π2) ππ
= 48π β 0,01(40)3 4030
= 48 40 β
Cs40
30
0 21 48
E
Q
P
Surplus Produsen
Surplus Produsen atau Ps (singkatan dariProducersβ Surplus)
Mencerminkan suatu keuntungan lebihatau surplus yang dinikmati olehprodusen tertentu berkenaan dngantingkat harga pasar dari barang yang ditawarkan
Fungsi penawaran π = π(π) menunjukkanjumlah suatu barang yang akn dijual olehprodusen pada tingkat harga tertentu
Surplus Produsen
Jika tingkat harga pasar adalah ππ, makabagi produsen tertentu yang sebetulnyabersedia menjual dengan harga yang lebih rendah dari ππ
Hal ini merupakan keuntungan baginya, sebab ia dapat menjual barangnyadengan harga ππ. Secara geometri, besarnya surplus produsen ditunjukkanoleh luas area di atas kurva penawarantetapi di bawah tingkat harga pasar.
P
Pe
P=f(Q)
E(Qe,Pe)
D(0, π)
Qe
Q
Surplus produsen (Ps)
0
Surplus produsen atau Ps (singkatan dari Producersβ surplus) tak lain adalahsegitiga πππ·πΈ, denganrentang wilayah yang dibatasi oleh π = 0 sebagaibatas bawah dan π = ππ
sebagai batas-atas.
Besarnya surplus produsen adalah :
ππ = ππππ β 0
ππ
π π ππ
Dalam hal fungsi penawaran berbentuk π =π(π)
ππ = π
ππ
π π ππ
Dalam hal fungsi penawaran berbentuk π =π(π); π adalah nilai π untuk π = 0, ataupenggal kurva penawaran pada sumbu harga
Dengan demikian :
ππ = ππππ β 0
ππ
π π ππ = π
ππ
π π ππ
Contoh Kasus
Seorang produsen mempunyai fungsipenawaran π = 0,50π + 3. Berapasurplusprodusen itu bila tingkat hargakeseimbangan di pasar adalah 10?
π = 0,50π + 3 β π = β6 + 2π
π = 0 β π = β6
π = 0 β π = 3 β‘ π
ππ = 10 β ππ = 14
Cara pertama
ππ = ππππ β 0ππ π π ππ = 14 10 β 0
14(0,50π + 3) ππ
= 140 β [0,25π2 + 3π] 140
= 140 β 0,25 14 2 + 3 14 β 0,25(0)2+3(0)
= 140 β 91 β 0 = 49
Cara Kedua
ππ = π
ππ π(π) ππ = 310
(β6 + 2π) ππ
= β6π + π2 103
= β6 10 + 102 β β6 3 + 32}
= 40 β β9 = 49
P
10
3
0 14 Q
ππ
Top Related