1
INTEGRAL TAK TENTU
2
Rumus umum integral
f(x) = integran (fungsi yg diintegralkan)
a dan b = batas pengintegralan
a = batas bawah
b = batas atas
dx = faktor pengintegral
F = hasil integral dari f(x)
=lambang integral
b
a
F(x)f (x) dx
3
Integral tentu b
a
dx f(x) bilangan
Perbedaan integral tentu dan tak tentu
Integral tak tentu fungsib
a
dx f(x)
4
Jika V(t) adl volume air dlm waduk pada waktu
t, maka turunan V’(t) adl laju mengalirnya air ke
dalam waduk pada waktu t.
)V(t)V(t dt (t)V' 12
2t
1t
perubahan banyaknya air dalam
waduk diantara t1 dan t2
Penerapan Integral dalam Ilmu Sains
5
2t
1t
dtdt
d[C][C](t2)-[C](t1)
Jika [C](t) adl konsentrasi hasil suatu reaksi
kimia pd waktu t,maka laju reaksi adl turunan
d[C]/dt
perubahan konsentrasi C dari waktu t1 ke t2
Jika massa sebuah batang, diukur dari ujung kiri
ke titik x adalah m(x), maka kerapatan linier
adalah (x)=m’(x)
b
a
m(a)m(b)dx ρ(x)
massa dari ruas batang yg terletak
diantara x=a dan x=b
6
Jika laju pertumbuhan populasi adl dn/dt, maka
)n(t)n(t dt dt
dn12
2t
1t
pertambahan populasi selama periode waktu t1 ke t2
Percepatan benda adl a(t)=v’(t) sehingga
)v(t)v(t dt a(t) 12
2t
1t
perubahan dlm kecepatan dari waktu t1 ke t2
7
RUMUS DASAR & SIFAT
n 1n n 1 n
x x x x
kxkx kx kx
d x1. x n x x dx n 1
dx n 1
d 1 12. lnx dx lnx C
dx x x
d3. e e e dx e C
dx
d e4. e ke e dx C
dx k
x
x a a dx C
ln a
(kf )(x)dx k f (x)dx
f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx
8
x4 dx = ????
r 1 r g(x)
g(x) dx Cr 1
g(x) = xr = 4
r 1
r
5
r
xC
4 1 5
4+1
g(x)g(x) dx C
1
x C =
Jika g suatu fungsi yg bisa dideferensialkan dan
r suatu bilangan rasional bukan -1, maka
Contoh :
9
INTEGRAL SUBSTITUSI
Integral substitusi yaitu menggantikan suatu
variabel dg variabel baru dalam operasi
pengintegralan
Aturan substitusi
Jika U = g(x) adl fungsi terdiferensialkan yang daerah nilainya berupa selang I dan f kontinu
pada I, maka
f (U) du = f (g(x)) g’(x) dx
Teknik pengintegralan
u du
10
1. Hitunglah dx 12x
11
1. Hitunglah dx 12x
u=2x+1
du=2 dx
dx=1/2 du
C1)(2x3
1
Cu3
1C
3/2
u
2
1
duu2
1
2
duudx 12x
3/2
3/23/2
1/2
12
INTEGRAL PARSIAL
Bila integral substitusi GAGAL integral parsial
Integral parsial : suatu metode yg didasarkan
pd pengintegralan rumus
turunan hasilkali dari dua fungsi
Andaikan u=u(x) dan v=v(x), maka
Dx[u(x) v(x)] = u(x) v’(x) + v(x) u’(x)
dengan mengintegralkan dua ruas, diperoleh
u(x) v(x) = u(x) v’(x) dx + v(x) u’(x) dx
13
atau u(x) v’(x) dx = u(x) v(x) - v(x) u’(x) dx
krn dv=v’(x) dx dan du=u’(x)dx, persamaan
menjadi:Pengintegralan Parsial Tak Tentu
b
a
b
a
b
a
dx (x)u'v(x)v(x) u(x)dx (x)v' u(x)
Pengintegralan Parsial Tentu
b
a
b
a
b
a
du vv udv u
u dv = u v - v du
14
Gambar diagram u dv=uv-vdu
15
1. Tentukan lnx dx
16
1. Tentukan lnx dx
u = ln x
du = 1/x dx
dv = dx
v = x
x
x ln x x C
1ln x dx x lnx x dx
x
ln x dx
17
INTEGRAL TRIGONOMETRI
2
2
sin x dx = - cos x + C
cos x dx = sin x + C
sec x dx = tan x + C
co sec x dx = -cotan x + C
tan x sec x dx = sec x + C
cotan x cosec x dx = -cosec x + C
18
INTEGRAL TRIGONOMETRI
Strategi untuk menghitung sinmx cosnx dx
1.Jika pangkat kosinusbil.ganjil (n=2k+1),
simpan satu faktor kosinus dan gunakan
cos2x=1-sin2x utk menyatakan faktor yg tersisa
dalam sinus
sinm x cos2k+1 x dx = sinmx (cos2x)k cos x dx
= sinmx (1-sin2x )k cos x dx
kemudian substitusikan u=sinx
du=cosx dx
19
2. Jika pangkat sinusbil.ganjil (m=2k+1),
simpan satu faktor sinus dan gunakan
sin2x=1-cos2x utk menyatakan faktor yg tersisa
dalam kosinus
sin2k+1 x cosn x dx = (sin2x)k cosnx sin x dx
= (1-cos2x)k cosnx sin x dx
kemudian substitusikan u = cosx
du= -sin x dx
NB : Jika pangkat sinus maupun kosinus
adalah ganjil, gunakan point (1) atau (2)
20
3. Jika pangkat sinus maupun kosinus adalah
bilangan genap, gunakan persamaan sudut-
paruh
sin2x = ½ (1-cos 2x)
cos2x = ½ (1+cos2x)
sinx cosx = ½ sin 2x
21
1. Tentukan cos3x dx
22
1. Tentukan cos3x dx
untuk mempermudah dijabarkan menjadi:
cos3x = cos2x . cos x = (1-sin2x) cos x
cos3x = cos2x . cos x dx
= (1-sin2x) cos x dx
misal :
u = sin x
du= cos x dx
cos3x = (1-u2) du
= u - 1/3 u3 + C
= sin x – 1/3 sin3x + C
23
Strategi untuk menghitung tanmx secnx dx
1.Jika pangkat secan bil.genap (n=2k),
simpan satu faktor sec2x dan gunakan
sec2x=1+tan2x utk menyatakan faktor yg
tersisa dalam tan x
tanm x sec2k x dx = tanmx (sec2x)k-1 sec2 x dx
= tanmx (1+ tan2x )k-1 sec2x dx
kemudian substitusikan u = tan x
du=sec2 x dx
24
2. Jika pangkat tangenbil.ganjil (m=2k+1),
simpan satu faktor sec x tan x dan gunakan
tan2x=sec2x-1 utk menyatakan faktor yg tersisa
dalam sec x
tan2k+1 x secn x dx = (tan2x)k secn-1 x sec x tan x dx
= (sec2x-1 )k secn-1x sec x tan x dx
kemudian substitusikan u = sec x
du=tan x sec x dx
25
dxx secx tan Hitunglah 46
26
dxx secx tan Hitunglah 46
dxx sec x)tan(1x tan
dxx secx secx tandxx secx tan
226
22646
ingat, sec2x = 1 + tan2x
misal u=tan x
du = sec2x dx
Cxtanxtan
duuu
du u u
du )u(1 udxx secx tan
9917
71
9917
71
86
2646
Top Related