Integral Tak Tentudan
Integral Tertentu
Pengertian Integral
• Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat F’(x) = f(x),
• maka F(x) merupakan antiturunan atau integral dari f(x).
Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut :
• notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang matematikawan Jerman)
• f(x) fungsi integran• F(x) fungsi integral umum yang bersifat F’(x)
f(x)• c konstanta pengintegralan
cxFdxxf
• Jika f ‘(x) = xn, maka , n ≠ -1, dengan c sebagai konstanta
cxn
xf n
1
11
Integral Tak Tentu
• apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat didiferensialkan pada interval sedemikian hingga maka antiturunan dari f(x) adalah F(x) + c
• Secara matematis, ditulis
cxFdxxf
• di mana • Lambang integral yang
menyatakan operasi antiturunan• f(x) Fungsi integran, yaitu fungsi yang
dicari antiturunannya• c Konstanta
dx
Teorema 1• Jika n bilangan rasional dan n ≠ 1, maka
, c adalah konstanta.
cxn
dxx nn
1
11
Teorema 2• Jika f fungsi yang terintegralkan dan k
suatu konstanta, maka
dxxfkdxxkf
Teorema 3• Jika f dan g fungsi-fungsi yang
terintegralkan, maka
dxxgdxxfdxxgxf
Teorema 4• Jika f dan g fungsi-fungsi yang
terintegralkan, maka dxxgdxxfdxxgxf
Teorema 5
• Aturan integral substitusi• Jika u suatu fungsi yang dapat
didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional tak nol maka
, dimana c adalah konstanta dan r ≠ -1.
cxur
dxxuxu tr 1
11'
Teorema 6• Aturan integral parsial• Jika u dan v fungsi-fungsi yang dapat
didiferensialkan, maka
vduuvudv
Teorema 7 • Aturan integral trigonometri
• dimana c adalah konstanta.
cxx
cxxdx
cxxdx
tancos
1
cossin
sincos
2
...)4( 2.1 52 dxxx
xdudx2
cxcuduu 62655 )4(61
61
2xdu2x u
) ...(1
2.23
2
latihanbuatx
dxx
METODE SUBTITUSIDalam menyelesaikan masalah integrasi pertama - tama kita mengusahakan mengubahnya menjadi bentuk rumus dasar dengan menggunakan variabel lain ( subtitusi )Contoh :
Jawab :u = x2 + 4 du = 2x dx
duvvuddvu .).(.
duvvudvu ...
duv dvu.
INTEGRAL PARSIAL
Misalkan u dan v fungsi yang differensiabel
terhadap x, maka :
d(u.v) = v.du + u.dv
u.dv = d(u.v) – v.du
harus lebih mudah dari
yang perlu diperhatikan pada metode ini adalah :(1). Bagian yang terpilih sebagai dv harus mudah diintegral.
(2).
dxx ln dvu.
ln x u dxdux1
dxx ln dx
Contoh :
=
Jawab :
dv = dx v = x
Jadi :
= xln x -
= x ln x – x + c
nnnnn axaxaxaxa
12
21
10 ......
)()()(xQxPxH
2222)( 23
2
xxx
xxxH
INTEGRAL FUNGSI RASIONALSebuah polinom dalam x adalah sebuah fungsi berbentuk :
Fungsi H(x) disebut fungsi rasional jika :
dimana P(x) dan Q(x) adalah polinomJika derajat P(x) lebih rendah dari derajat Q(x), maka H(x) disebut “Rasional Sejati”Contoh :
Sedangkan jika derajat P(x) lebih tinggi dari derajat Q(x),
maka H(x) disebut “Rasional Tidak Sejati”
Contoh :
42336
41310)( 2
22
24
xxx
xxxxxH
Untuk menyelesaikan integral dalam bentuk fungsi rasional,
)()(xQxP
: ditulis sebagai jumlah dari bagian yang lebih
sederhana dengan menguraikan Q(x) dalam hasil
kali faktor-faktor linier atau kuadratis, yaitu :
)).....()(()( 21 naxaxaxxQ
)(.....
)()()()(
2
2
1
1
n
n
axA
axA
axA
xQxP
naxxQ )()(
nn
axA
axA
axA
xQxP
)(.....
)()()()(
221
))(()( 22 fexdxcbxaxxQ
)()()()(
22 fexdxDCx
cbxaxBAx
xQxP
1. Faktor Q(x) semua linier dan tak berulang,
, maka :
2. Faktor Q(x) semua linier berulang,
, maka :
3. Q(x) adalah kuadratis,
, maka :
....2
)1(.1 2 dxxx
x
)1)(2()2()1(
12)1)(2(1
xxxBxA
xB
xA
xxx
dxxx
x2
)1(2 23
1xdx
132xdx
cxx |1|ln32|2|ln
31
contoh :
jawab :
x = 2 2 – 1 = A(2+1) 1 = 3A A = 1/3
x = -1 -1 – 1 = B(-1-2) -2= -3B B = 2/3
Jadi,
+
=
....12
)1(.2 2 dxxx
x
222 )1()1(
)1(1)1(1
xBxA
xB
xA
xx
dxxx
x12
)1(2 1x
dx 2)1(
2xdx
cx
x
)1(
2|1|ln
x = 1 1 + 1 = B B = 2
mis, x = 0 0 +1 = A(0 – 1) + B 1 = - A + 2 A = 1
Jadi,
+
,222 xba atauxba ,222 222 axb
222 xba zbax sin zaxba cos 222
222 xba ztgbax zaxba sec 222
222 axb zbax sec ztgaaxb 222
SUBTITUSI TRIGONOMETRI
Jika Integran mengandung salah satu dari bentuk : ,
dan tidak memiliki faktor irrasional lainnya, maka dapat ditransformasikan ke dalam fungsi trigonometri dengan menggunakan variabel baru :
Bentuk Subtitusi Memperoleh
....49.1
2
dxxx
zx sin23
zdzdx cos23
cos 349 2 zx
dz
zzdzz
z
zdxxx
sincos3) cos
23(
sin23
cos349 22
dzzdzzec sin3 cos3
cxxx
22
49|2
493|ln3
contoh :
jawab :
,
Jadi,
= 3 ln |cosec z – ctg z| + 3 cos z + c
dzzz
sinsin13
2
....4
.222 xx
dx
ztgx 2 zdzdx 2sec2 sec24 2 zx
22 4 xx
dx dz
zztgz
)sec2)(4(sec2
2
2
dzzz2sin4
cos
zzd
2sin)(sin
41 c
z
sin41
cxx
4
4 2
jawab :
,
Jadi,
• Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang
nilai-nilai variabel bebasnya (memiliki batas-batas)
tertentu.
• Jika fungsi terdefinisi pada interval tertutup [a,b] , maka
integral tertentu dari a ke b dinyatakan oleh : • Dimana :
• f(x) : integran
a : batas bawahb : batas atas
Integral TerTentu
b
a
dxxf )(
KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU
)()()()( aFbFxFdxxfb
a
b
a
6,61832312551
2551
51
5555
25
5
2
5
2
54
xxdxx
a
a
dxxf 0)(
0323251
2251
51
5552
25
2
2
2
2
54
xxdxx
b
a
a
b
dxxfdxxf )()(
6,61831253251
5251
51
5552
55
2
5
2
5
54
xxdxx
KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTUKAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU
b
a
b
a
dxxfkdxxkf )()( 3093323125
51.5
555
52
55
2
5
2
54
xxdxx
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 6,7111.330936,618
555
2
5
2
5
2
4444
dxxdxxdxxx
c
a
b
c
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()( 6,6183
2
5
3
5
2
444 dxxdxxdxx
Top Related