13/10/2012

1

Gerak Dua Dimensi Gerak dua dimensi merupakan gerak dalam bidang

datar

Contoh gerak dua dimensi : Gerak peluru

Gerak melingkar

Gerak relatif

Posisi, Kecepatan , Percepatan 𝑟 𝑖 = vektor posisi partikel di A 𝑟 𝑓 = vektor posisi partikel di B

∆𝑟 = 𝑟 𝑓 − 𝑟 𝑖

Vektor perpindahan :

𝑟 𝑓 = 𝑥𝑓𝑖 + 𝑦𝑓𝑗 𝑟 𝑖 = 𝑥𝑖𝑖 + 𝑦𝑖𝑗

∆𝑟 = (𝑥𝑓𝑖 + 𝑦𝑓𝑗 ) − (𝑥𝑖𝑖 + 𝑦𝑖𝑗 ) = (𝑥𝑓𝑖 − 𝑥𝑖𝑖 ) + (𝑦𝑓𝑗 − 𝑦𝑖𝑗 ) = (𝑥𝑓−𝑥𝑖)𝑖 + (𝑦𝑓 − 𝑦𝑖) 𝑗 ∆𝑟 = ∆𝑥𝑖 + ∆𝑦𝑗

Kecepatan

𝑣 𝑎𝑣𝑔 =∆𝑟

∆𝑡

Perubahan posisi (perpindahan) per satuan waktu

Kecepatan Rata-rata

∆𝑟 = Perpindahan (m)

∆𝑡 = Selisih waktu (s)

𝑣 = lim∆𝑡→0

∆𝑟

∆𝑡=

𝑑𝑟

𝑑𝑡

Kecepatan Sesaat

13/10/2012

2

Percepatan

𝑎 𝑎𝑣𝑔 =∆𝑣

∆𝑡=

𝑣 𝑓 − 𝑣 𝑖𝑡𝑓 − 𝑡𝑖

Perubahan kecepatan per satuan waktu

Percepatan Rata-rata

∆𝑣 𝑓 = kecepatan akhir (m/s)

∆𝑣 𝑖 = kecepatan awal (m/s)

𝑎 = lim∆𝑡→0

∆𝑣

∆𝑡=

𝑑𝑣

𝑑𝑡

Percepatan Sesaat

Gerak dua dimensi dapat dimodelkan sebagai dua gerakan

independen, kedua gerakan saling tegak lurus terkait dengan

sumbu x dan y. Artinya, pengaruh gerak arah y tidak

mempengaruhi gerak arah x dan sebaliknya.

Vektor posisi sebuah partikel bergerak dalam bidang xy :

𝑣 =𝑑𝑥

𝑑𝑡𝑖 +

𝑑𝑦

𝑑𝑡𝑗

𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗

Gerak Dua Dimensi dengan Percepatan

Konstan

𝑣 =𝑑𝑟

𝑑𝑡

= 𝑣𝑥𝑖 + 𝑣𝑦𝑗

Subtitusi pers. Di atas ke :

Sehingga :

13/10/2012

3

𝑣𝑥𝑓 = 𝑣𝑥𝑖 + 𝑎𝑥𝑡 Dari persamaan : → 𝑣𝑥𝑓 = 𝑣𝑥𝑖 + 𝑎𝑥𝑡

𝑣𝑦𝑓 = 𝑣𝑦𝑖 + 𝑎𝑦𝑡

𝑣 𝑓 = 𝑣𝑥𝑖 + 𝑣𝑦𝑗

= (𝑣𝑥𝑖 + 𝑎𝑥𝑡)𝑖 + (𝑣𝑦𝑖 + 𝑎𝑦𝑡)𝑗

= (𝑣𝑥𝑖𝑖 + 𝑣𝑦𝑖𝑗 ) + 𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 𝑡

Subtitusi kedua pers di atas ke pers :

𝑣 𝑓 = 𝑣 𝑖 + 𝑎 𝑡

Subtitusi pers. : 𝑥𝑓 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑥𝑖𝑡 +1

2𝑎𝑥𝑡

2

𝑦𝑓 = 𝑦𝑖 + 𝑣𝑦𝑖𝑡 +1

2𝑎𝑦𝑡

2

𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 ke pers :

𝑟 𝑓 = (𝑥𝑖 + 𝑣𝑥𝑖𝑡 +1

2𝑎𝑥𝑡

2)𝑖 + (𝑦𝑖 + 𝑣𝑦𝑖𝑡 +1

2𝑎𝑦𝑡

2)𝑗

= 𝑥𝑖𝑖 + 𝑦𝑖𝑗 + 𝑣𝑥𝑖𝑡𝑖 + 𝑣𝑦𝑖𝑡𝑗 +1

2(𝑎𝑥𝑡

2𝑖 + 𝑎𝑦𝑡2𝑗 )

𝑟 𝑓 = 𝑟 𝑖 + 𝑣 𝑖𝑡 +1

2𝑎 𝑡2

Sehingga :

13/10/2012

4

Sebuah partikel bergerak pada bidang xy, dengan komponen kecepatan awal arah x 20 m/s dan y -15 m/s. Partikel mengalami percepatan dalam arah x sebesar ax = 4 m/s

2 . Tentukan: a. Kecepatan total b. Tentukan kecepatan dan laju pada t = 5 s

Contoh Soal 4.1

= (𝑣𝑥𝑖 + 𝑎𝑥𝑡)𝑖 + (𝑣𝑦𝑖 + 𝑎𝑦𝑡)𝑗

𝑣 𝑓 = 𝑣 𝑖 + 𝑎 𝑡

= 20 + 4 𝑡 𝑖 + [−15 + 0 𝑡]𝑗

= 20 + 4 𝑡 𝑖 − 15𝑗 ]

𝑣 𝑓 = 20 + 4 5 𝑖 − 15𝑗 ]

= (40𝑖 − 15𝑗 ) m/s

𝑣𝑓 = 𝑣 𝑓 = 𝑣𝑥𝑓2 + 𝑣𝑦𝑓2

= (40)2 + (−15)2 = 43 m/s

Penyelesaian :

13/10/2012

5

Gerak Peluru Gerak peluru ialah gerak dengan lintasan berbentuk parabol

Untuk memudahkan menganalisa, maka digunakan dua asumsi: • Percepatan gerak jatuh bebas adalah konstan selama sepanjang gerak dan

arahnya ke bawah. • Efek hambatan udara diabaikan.

Dengan asumsi tersebut, maka lintasan dari gerak peluru selalu parabola seperti gambar di bawah .

Persamaan gerak peluru adalah:

𝑟 𝑓 = 𝑟 𝑖 + 𝑣 𝑖𝑡 +1

2𝑎 𝑡2

Dimana : 𝑎𝑥 = 0 𝑎𝑦 = −9,81 𝑚/𝑠

2

𝑣𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 cos 𝜃𝑖 𝑣𝑦𝑖 = 𝑣𝑖 sin 𝜃𝑖

Tinggi dan Jarak maksimum Gerak Peluru

Dua titik pada gerak peluru yang sangat menarik untuk dianalisa (lihat gambar di samping) adalah: • Titik puncak A, yang memiliki

koordinat Cartesian (R/2 , h). • Titik B, yang memiliki koordinat (R ,

0). R disebut jarak horisontal maksimum dari peluru, dan h adalah ketinggian maksimum.

𝑣𝑦𝑓 = 𝑣𝑦𝑖 + 𝑎𝑦𝑡

Tinggi maksimum

→ 𝑣𝑦𝑓= 𝑣𝑦𝐴 = 0

0 = 𝑣𝑖 sin𝜃𝑖 − 𝑔𝑡𝐴 𝑡𝐴 =𝑣𝑖 sin 𝜃𝑖

𝑔

13/10/2012

6

𝑦𝑓,𝑚𝑎𝑥 = ℎ = 0 + 𝑣𝑖 sin 𝜃𝑖𝑣𝑖 sin 𝜃𝑖

𝑔−

1

2𝑔

𝑣𝑖 sin 𝜃𝑖

𝑔

2

Dengan menggunakan pers. 𝑦𝑓 = 𝑦𝑖 + 𝑣𝑦𝑖𝑡 −1

2𝑔𝑡2 , dimana 𝑦𝑖 = 0,

maka :

=𝑣𝑖

2 sin2 𝜃𝑖𝑔

−𝑣𝑖

2 sin2 𝜃𝑖2𝑔

ℎ =𝑣𝑖

2 sin2 𝜃𝑖2𝑔

𝑅 = 𝑣𝑥𝑖𝑡𝐵

Tinggi maksimum

Waktu yang dibutuhkan untuk mencapai jarak maksimum R adalah dua kali waktu untuk mencapai tinggi

maksimum 𝑡𝐵 = 2𝑡𝐴 , gunakan pers. 𝑥𝑓,𝑚𝑎𝑥 = 𝑅 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑥𝑖𝑡, dimana : 𝑥𝑖 = 0,

dan 𝑣𝑥𝑖 = 𝑣𝑥𝐵 = 𝑣𝑖 cos 𝜃𝑖, maka :

= 𝑣𝑖 cos 𝜃𝑖 2𝑡𝐴

= 𝑣𝑖 cos 𝜃𝑖2𝑣𝑖 sin 𝜃𝑖

𝑔

=2𝑣𝑖

2 sin𝜃𝑖 cos 𝜃𝑖𝑔

𝑅 =𝑣𝑖

2 sin 2𝜃𝑖𝑔

Kerena : 2 sin𝜃𝑖 cos 𝜃𝑖 = sin 2𝜃𝑖, maka :

13/10/2012

7

Contoh Soal 4.1

Seorang pelompat jauh melompat dengan kecepatan awal 11 m/s dan membentuk sudut 20o. Tentukan : a. Berapa jauh lompatan maksimal arah

horizontal. b. Berapa tinggi maksimum lompatan.

Diketahui : 𝑣𝑖 = 11𝑚

𝑠

𝛼 = 20𝑜

Ditanya : a. 𝑅 = ......?....... m b. ℎ =.......?....... m

Penyelesaian : a. 𝑅 = ......?....... m

𝑅 =𝑣𝑖

2 sin 2𝜃𝑖𝑔

=(11

𝑚𝑠)2sin(20𝑜)

9,81 𝑚/𝑠2 =7,94 m

ℎ =𝑣𝑖

2 sin2 𝜃𝑖2𝑔

=(11

𝑚𝑠)2sin2(20𝑜)

2(9,81𝑚𝑠2

) =0,722 m

b. ℎ = ......?....... m

13/10/2012

8

Contoh Soal 4.2

Sebuah batu dilemparkan dari atap sebuah gedung dengan sudut 30o, dan kecepatan 20 m/s. Tinggi gedung adalah 45 m. Tentukan : a. Berapa lama waktu yang diperlukan

batu untuk mencapai tanah?. b. Berapa kecepatan batu sesaat sebelum

menyentuh tanah?.

Diketahui : 𝑣𝑖 = 20𝑚

𝑠

𝛼 = 30𝑜 𝑦𝑖 = 0 𝑦𝑓 = −45 m

Ditanya : a. 𝑡 = .......?....... s b. 𝑣𝑓 =.......?....... m/s

𝑦𝑓 = 𝑦𝑖 + 𝑣𝑦𝑖𝑡 −1

2𝑔𝑡2

Penyelesaian : a. t = ......?....... m

𝑣𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 cos 𝜃𝑖 = (20𝑚

𝑠) cos(30𝑜) = 17,3 𝑚/𝑠

𝑣𝑦𝑖 = 𝑣𝑖 sin 𝜃𝑖 = (20𝑚

𝑠) sin(30𝑜) = 10 𝑚/𝑠

−45 m = 0 + 10𝑚

𝑠𝑡 −

1

29,81

𝑚

𝑠2𝑡2 = 10

𝑚

𝑠𝑡 − 4,905

𝑚

𝑠2𝑡2

⇔ − 4,905𝑚

𝑠2𝑡2 + 10

𝑚

𝑠𝑡 + 45𝑚 = 0

13/10/2012

9

𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Dimana : 𝑥 = 𝑡 𝑏 = 10 𝑎 = −4,905

− 4,905𝑚

𝑠2𝑡2 + 10

𝑚

𝑠𝑡 + 45𝑚 = 0

Persamaan di atas identik dengan pers. : 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

𝑡 =(−10

𝑚𝑠 ) ± (10

𝑚𝑠 )

2−4(−4,905𝑚𝑠2

)(45 𝑚)

2(−4,905𝑚𝑠2

)

𝑡 = 4,22 𝑠 dan 𝑡 = −2,18 𝑠 maka t yang dipakai adalah yang bernilai positif, yaitu 𝒕 = 𝟒, 𝟐𝟐 𝒔

b. 𝑣𝑓 = ......?....... m/s

𝑣𝑥𝑓 = 𝑣𝑥𝑖 = 17,3𝑚

𝑠 𝑣𝑦𝑓 = 𝑣𝑦𝑖 + 𝑎𝑦𝑡

= (10𝑚

𝑠) + (−9,82

𝑚

𝑠2)(4,22 𝑠)

= −31,3𝑚

𝑠

𝑣𝑓 = 𝑣𝑥𝑓2 + 𝑣𝑦𝑓2

= (17,3𝑚

𝑠)2+(−31,3

𝑚

𝑠)2

= 35,8𝑚

𝑠