7/24/2019 Geometri q
http://slidepdf.com/reader/full/geometri-q 1/8
Geometri menempati posisi khusus dalam kurikulum matematika sekolah, karena
banyaknya konsep yang termuat. Dari sudut pandang psikologi, geometri merupakan
penyajian abstraksi dari pengalaman visual dan spasial, misalnya bidang, pola, pengukuran
dan pemetaan. Sedangkan dari sudut pandang matematik, geometri menyediakan pendekatan-
pendekatan untuk pemecahan masalah, misalnya gambar-gambar, diagram, sistem koordinat,
vektor, dan transformasi. Geometri juga merupakan lingkungan untuk mempelajari struktur matematika dan aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari. Geometri digunakan oleh setiap
orang dalam kehidupan sehari-hari. Ilmuwan, arsitek, artis, insinyur, dan pengembang
perumahan adalah sebagian kecil contoh profesi yang menggunakan geometri secara reguler.
Dalam kehidupan sehari-hari, geometri digunakan untuk mendesain rumah, taman, atau
dekorasi ada dasarnya geometri mempunyai peluang yang lebih besar untuk dipahami siswa
dibandingkan dengan cabang matematika yang lain, namun bukti-bukti di lapangan
menunjukkan bahwa hasil belajar geometri masih rendah. !anyak siswa yang masih
mengalami kesulitan dalam memahami materi geometri.
"siskin #$%&'()*-)'+ mengemukakan bahwa geometri adalah #$+ cabang matematika
yang mempelajari pola-pola visual, #)+ cabang matematika yang menghubungkan matematika
dengan dunia fisik atau dunia nyata, #+ suatu cara penyajian fenomena yang tidak tampak atau tidak bersifat fisik, dan #+ suatu contoh sistem matematika.
Transformasi GeometriPENDAHULUAN A. Latar Belakang Didalam kehidupan sehari-hari seringkali kitamen!umpai peristi"a atau kegiatan #ang $erhu$ungan dengan transformasi se$agai%ontoh seseorang #ang $erada di es%alator.&etika seseorang $erada di es%alator #ang $eru$ah adalah tempat atau posisi orang terse$ut tidak $erputar tidak $ertam$ahtinggi tidak memendek atau tidak $eru$ah $entuk namun es%alator #ang mem$a"aorang terse$ut $erpindah dari atas ke$a"ah atau dari $a"ah ke atas. Aplikasi #anglainn#a $isa kita lihat seperti ukir-ukiran $ali gapura dan arsitektur pura di Bali.Eu%lidean $idang geomtri ialah mempela!ari ukuran dan $entuk dari o$!ek dalam $idang.'tu adalah satu %a$ang tertua dari matematika. Tentu sa!a dengan ()) B* Eu%lidtelah memiliki $an#ak le$ih +))) tahun #ang lalu semen!ak ,+ /ene De%ratesmemperkenalkan koordinat dan re0olusi disiplin oleh penerapan anal#ti%al tools untukmemperkuat masalah geometri. Dalam kutipan De%rates 1$e$erapa masalah dalamgeometr# $isa dengan mudah mereduksi untuk men#amakan istilah $ah"a suatupengenalan dari !arak tentu garis adalah %ukup untuk mem$angun.2 Begitu $an#akdalam kehidupan kita #ang saling memiliki keterkaitan seperti haln#a 'lmu #angdimana tidak han#a memilik satu hu$ungan melainkan $er$agai hu$ungan antarapihak satu dengan pihak #ang lain#a. 3eperti hu$ungan transformasi geometri #ang
merupakan $agian dari aspek al!a$ar dengan menggunakan konsep matriks. Begitu $an#ak pela!aran #ang ada didalam kehidupan ini namun tak semuan#a dapat dipela!arioleh manusia karena keter$atasan usia #ang telah digariskan oleh sang pen%ipta.3e$erapapun he$atn#a manusia ia tidak akan sanggup untuk dapat mengusai seluruhpengetahuan #ang $egitu luas dan tak ter$atas. Tentang +4) tahun #ang lalu pada ,5+6eli7 &lein menggaris$esari pada Des%rates8 pendekatan analitik dan memulai denganmen#e$ut Erlangen Program #ang dilihatn#a $idang geometri se$agai pela!aran daripengaturan figurasi $idang terse$ut $ah"a sisa tidak ada peru$ahan di$a"ah $e$erapahimpunan dalam transformasi. &lein memulai o$ser0asi $ah"a $idang geometri $isamelengkapi pengertian.Dari poin ini dalam melihat menun!ukan dasar dari rangakaiandan men#ediakan se$uah alternati0e untuk Eu%ild aksioma9pendekatan $uatan. 'ni
merupakan rangkaian kita mempertim$angkan dua kesamaan hu$ungan dalamtransformasi: ;,< isometri% ;!arak-melestarikankan transformasi< #ang memasukan
7/24/2019 Geometri q
http://slidepdf.com/reader/full/geometri-q 2/8
translasi. /otasi refleksi dan glide refleksi. ;+< kesamaan $idang #ang memasukanisometri% meregang rotasi regangan dan regangan refleksi. &ami $erhasil untukmengerti kongruen dan persamaan dalam $idang figurasi dalam hal ini khususn#atransformasi. Transformasi Geometri merupakan matapela!aran #ang mem$utuhkanima!inasi dalam mempela!arin#a namun pastilah tidak semua sis"a mampu untuk
mem$a#angkan. Disini soft"are autograph merupakan salah satu soft"are #ang dapatmem$antu permasalahan sis"a dalam memahami tentang transformasi geometri. B./umusan =asalah ,. =engetahui 3oft"are pem$ela!aran matematika Autograph +.=emahami %ara penggunaan Autograph (. Penerapan Autograph pada pem$ela!aranTransformasi Geometri. *. Tu!uan Pem$ahasan Tu!uan pem$ahasan makalah ini adalahagar kita mengetahui apa #ang di maksud dengan soft"are autograph sertapemanfaatan apa #ang $isa kita peroleh dari se$uah kema!uan 'T dalam dunia sainskhususn#a dalam matematika itu sendiri. Dan untuk mempermudah pemahamanmengenai Transformasi Geometri se%ara le$ih a$strak dan men#eluruh. Autograph =ath A. 'dentitas dan 3pesifikasi Autograph Autograph adalah program P* #ang dinamis #ang $eroperasi dalam ( mode: ,D - 3tatistik > Pro$a$ilitas +D - Graphing koordinattransformasi dan data $i0ariat (D - Graphing koordinat dan transformasi 3pesifikasi Autograf: ? Autograph 0ersi (.() dapat di!alankan pada 1@indo"s +))) ;3P(< P ista @5 dan 'NTEL =A*2 ? =em$utuhkan ())=B ruang disk dan setidakn#a'nternet E7plorer 4. ? Untuk halaman (D kartu grafis dan dri0er harus mendukung1Dire%t(D C atau le$ih tinggi.2 Pengguna tua pra-'ntel =a% dapat men!alankan 3tatistik Autograph dan halaman +D ;tapi tidak pada halaman (D< di $a"ah Appli%ation irtualP*. B. 3e!arah Autographpertama kali diaplikasikan dalamkelasmatematikadiundle3%hool Peter$orough;'nggris< selama $e$erapatahun. &emudian terinspirasiolehideasli*ouFensPhilip untuk mem$uat dan memasarkan Autograph $erdirilahEastmond Pu$lishing Ltd pada tahun ,CC).Ber$asis dikota pasarke%ilundle()kilometer Barat*am$ridge 'nggris. Padahari-hari a"alperangkat lunakditulisdalamBB*Basi%untuk komputerA%orn #ang kemudianadalah
komputerpredominentdalam pendidikan'nggris. BahkandikemudianAutographdi!ualsuksesdi luar negeridimana punkomputerA%orn$eradaterutama di Australia. Denganruntuhn#aA%orn sof"areterse$utdipindahkanse$agaipaket$erorientasio$!ek untukplatformP* danersi+dilun%urkan pada tahun +))). ersi(dilun%urkanpada tahun +))(untuk pu!ian $esarseperti itu termasuk$agiantanah-melanggarpadagrafik(Ddan geometri. Bahkan untuk ersi saat ini adalah(.(.,)#ang dikeluarkan pada !uli +),+ 3e%ara luas Autografdianggap se$agaiperangkat lunak#angdinamisterkemuka untukmenga!armatematika ditingkat menengah.Autographadalahpemimpin pasardi $idangn#adi 'nggris danmem$uat kema!uankuat di luar negeri. Autograph 0ersi (.(!uga telahditer!emahkandalam $ahasaEropa dan ada0ersidalam $ahasa /usia*ina epang &orea ietnamAra$ 'ndonesia ietnam &orea Hungaria
dan $an#ak lainn#a.Hal itu dilakukan untuk le$ih meningkatkan pangsa pasar #ang akandiraih. Hal itu sesuai dengan tu!uan perusahaan ini #ang akan le$ih meningkatkan fituratau konten pendukung untuk kemudahan penggunan#a. Perusahaan inimemilikiren%anaam$isius untuk0ersi masa depan. 'niadalah fitur#ang kuatdari%ara kita $eker!a$ah"a umpan $alik dariguru kelasdi seluruhduniaakandimasukkankeAutograph. *. =ainPersonil AutographdipahamiolehDUGLA3BUTLE/dariideaslidan realisasiolehPH'L'P*UEN3dandiprogramdan diran%angoleh=A/&HAT3ELL.3TEPHEN@hippadalah=ana!erPengem$angan'nstalasi.3'=N@oodheadadalah DirekturPengem$angan.&ontri$usi$erharga lainn#a$erasaldari:=ikePinna amie*ollindan=ohanGanesalingham. 'nilah orang #ang pertama kalimemperkenalkan Autograph $agi kita semua. Douglas Butler setelah di"isuda dalam=athemati%s and Ele%tri%al 3%ienss at *am$ridge Uni0ersit# dan se$uah musim denganE=' /e%ords.'a menga!ar matematika selama () thn. Dia !uga ketua matematik padaundle 3%hool ;Peter$rought U&< pada tahun ,CC)s dan ketua dari =E' 3%hool Pro!e%t
7/24/2019 Geometri q
http://slidepdf.com/reader/full/geometri-q 3/8
seorang pem$im$ing U& *urri%ulum de0elopment pro!e%t untuk thn. Pada thn +)))dia menemukan ino0asi '*T Training *entre #ang $ertempat di undle 3%hool #angsekarang mem$uat sum$er pemasukan $aru untuk pem$ela!aran #ang kita gunakanpada %omputer dalam matematik dan men!alankan T3= ;Te%hnolog# in 3e%ondar# and*ollege =athemati%s< guru training $ahkan dalam U& dan $an#ak kota di kepulauan.
3elain peker!aan dalam Autograph dia adalah seorang pianis #ang tekun dan men!aitse$agai sampingann#a. Tulisann#a 1The internet for mathemati%s2 ;re0ised !ul# +))(<dan konstri$usi dalam Tea%hing 3e%ondar# =athemati%s dengan te%hnolog# ;openuni0ersit# anuar# +))4<. =ark Hatsell setelah lulus dari Birmingham Uni0ersit# inEle%troni% and 3oft"are Engineering =ark tidak men!aga kesempatan padakesempatan di Nene 3ailing *lu$ $erpindah ke pener!emahan old A%orn 0ersion of Autograph ke @indo"s platform $erfikir itu semua akan $eru$ah men!adi musim.3etelah I tahun $erlalu Autograph + telah lahir dan =ark #ang mem$a"a inspirasidunia dari d#nami% sele%ta$le o$!e%ts ke %oordinate geometr# and statisti%s %epatpopular dengan guru di U& dan a$road. 3emua telah mengatakan $ah"a ketika dia tidak kreatif pada %omputer ke#$oard =ark tidak akan men!adi seorang high performan%e +-man dingh#. D. &egunaan Autograph ini merupakan soft"are untuk pem$ela!aranmatematika disekolah menengah. Adapun fitur dari soft"are autograph ini $an#ak sekalimanfaatn#a untuk kita selaku pendidik dalam men#a!ikan pem$ela!aran #ang menarikguna menggugah minat dan antusiasme peserta didik. Terdapat fitur untukpem$ela!aran Trigonometri al!a$ar geometri statisti% dan transformasi. &egunaan danmanfaat autograph ini sangat diperhatikan oleh produsen pem$uat soft"are ini. Hal ituditun!ukan dengan dikeluarkann#a $uku ;e$ook< interaktif #ang disediakan untukpegangan guru dan $uku untuk interaktif pen#elidikan untuk peserta didik. &egunaaninti dari autograph ini adalah memudahkan kita dalam melakukan pem$ela!aranmatematika mem$erikan efek $er$eda dari $ahan #ang akan disampaikan olehpendidik mem$erikan sarana in0estigasi untuk peserta didik agar le$ih memahamikonsep #ang dia!arkan pendidikn#a. =elihat dari fungsimanfaat dan kegunaan
autograph ini sudah sela#akn#a kita men%o$a mem$erikan sesuatu #ang $er$eda padapeserta didik kita guna men%iptakan pem$ela!aran matematika #ang menarik danmen#enangkan. E. Penerapan Autograp pada pem$ela!aran Transformasi Geometri/efleksi adalah topik #ang %o%ok sangat $aik untuk dia!arkan dengan %ara 0isual dandinamis. 3is"a #ang mungkin $er!uang dengan komponen numerik dan al!a$armatematika mungkin memiliki permasalahan untuk topik #ang le$ih 0isual sepertirefleksi dan !ika Anda dapat menghu$ungkan mereka dalam proses pem$ela!aran makakemungkinan memiliki efek positif sepan!ang sisa studi mereka . Autographmemungkinkan Anda untuk dengan mudah dan dinamis memanipulasi o$!ek dan garisse%ara interaktif men%akup setiap aspek #ang mungkin dari refleksi mengu!i kesadarankhusus sis"a Anda sampai ke $atasJ Pertan#aan diagnostik #ang ideal untuk digunakan
pada a"al pela!aran untuk memungkinkan Anda untuk mendapatkan gam$aran #ang%epat dan akurat dari tingkat sis"a Anda pemahaman.=ereka diran%ang sedemikianrupa sehingga kesalahpahaman umum $ah"a sis"a Anda dapat memegang harusmengarahkan mereka ke salah satu !a"a$an #ang salah sehingga memungkinkan Andauntuk $ela!ar di mana masalah $er$ohong dari respon mereka. Biasan#a sa#amem$erikan kelas sa#a () detik "aktu $erpikir dan kemudian meminta mereka untukmenahan !ari-!ari mereka: , untuk A + untuk B dll 3etelah kita mem$ahas refleksi disini kita mengalihkan perhatian kita #ang lain dari transformasi - rotasi. Bagi $an#aksis"a ini adalah #ang paling sulit dari transformasi dan sa#a pasti $isa $ersimpati.3a#amenemukan rotasi sulit untuk mem$a#angkan di kepala sa#a danmenggam$arkann#adiatas kertas. Untungn#a ada soft"are geometri dinamis seperti Autograph untuk mem$antu sis"a. mengeluarkan &emampuan untuk memanipulasio$!ek dan poin segera mengu$ah sudut rotasi dan men#em$un#ikan informasi pentingmemungkinkan kita untuk mengumpulkan paket sum$er da#a dan kegiatan untuk
7/24/2019 Geometri q
http://slidepdf.com/reader/full/geometri-q 4/8
$enar-$enar mem$a"a topik rotasi hidup. &ita $ahkan dapat men!ela!ah ke dunia (DJPertan#aan diagnostik #ang ideal untuk digunakan pada a"al pela!aran untukmemungkinkan Anda untuk mendapatkan gam$aran #ang %epat dan akurat dari tingkatsis"a Anda pemahaman.=ereka diran%ang sedemikian rupa sehingga kesalahpahamanumum $ah"a sis"a Anda dapat memegang harus mengarahkan mereka ke salah satu
!a"a$an #ang salah sehingga memungkinkan Anda untuk $ela!ar di mana masalah $er$ohong dari respon mereka. Biasan#a sa#a mem$erikan kelas sa#a () detik "aktu $erpikir dan kemudian meminta mereka untuk menahan !ari-!ari mereka: , untuk A +untuk B dll
Sejarah Geometri Non Euclid
Sejarah Geometri Non-Euclid
Non-Euclidean geometri adalah salah satu dari dua geometri tertentu yang, longgar berbicara,
diperoleh dengan meniadakan Euclidean paralel postulat , yaitu hiperbolik dan geometri eliptik .
Ini adalah satu istilah yang, untuk alasan sejarah, memiliki arti dalam matematika yang jauh lebih
sempit dari yang terlihat untuk memiliki dalam bahasa Inggris umum. Ada banyak sekali geometri
yang tidak geometri Euclidean , tetapi hanya dua yang disebut sebagai non-Euclidean geometri.
Perbedaan penting antara geometri Euclidean dan non-Euclidean adalah
siat paralel baris. Euclid !s kelima mendalilkan, yang paralel mendalilkan , setara dengan yang
Playair postulat yang menyatakan bah"a, dalam bidang dua dimensi, untuk setiap garis yang
diketahui ℓ dan A titik, yang tidak pada ℓ, ada tepat satu garis melalui A yang tidak
berpotongan ℓ.#alam geometri hiperbolik, sebaliknya, ada tak terhingga banyak baris melalui A
ℓ tidak berpotongan, sementara dalam geometri eliptik, setiap baris melalui A memotong ℓ $lihat
entri pada geometri hiperbolik , geometri berbentuk bulat panjang , dan geometri mutlak untuk
inormasi lebih lanjut%.
&ara lain untuk menggambarkan perbedaan antara geometri adalah mempertimbangkan dua
garis lurus tanpa batas "aktu diperpanjang dalam bidang dua dimensi yang baik tegak lurus ke
saluran ketiga'
#alam geometri Euclidean garis tetap konstan jarak dari satu sama lain bahkan jika
diperpanjang hingga tak terbatas, dan dikenal sebagai paralel.
#alam geometri hiperbolik mereka (kur)a pergi* satu sama lain, peningkatan jarak
sebagai salah satu bergerak lebih jauh dari titik persimpangan dengan tegak lurus umum,
garis-garis ini sering disebut ultraparallels.
#alam geometri berbentuk bulat panjang garis (kur)a ke arah* satu sama lain dan
akhirnya berpotongan.
Sejarah Awal
7/24/2019 Geometri q
http://slidepdf.com/reader/full/geometri-q 5/8
Sementara geometri Euclidean , dinamai matematika"an +unani Euclid , termasuk beberapa
dari matematika tertua, non-Euclidean geometri tidak secara luas diterima sebagai sah sampai
abad ke-.
Perdebatan yang akhirnya menyebabkan penemuan non-Euclidean geometri mulai segera
setelah karya Euclid !s Elemenditulis. #alam Elemen, Euclid dimulai dengan sejumlah asumsi
$/ deinisi, lima pengertian umum, dan lima postulat% dan berusaha untuk membuktikan semua
hasil lain $ proposisi % dalam pekerjaan. +ang paling terkenal dari postulat sering disebut sebagai
(0elima Postulat Euclid,* atau cukup dengan * paralel mendalilkan (, yang dalam ormulasi asli
Euclid adalah'
1ika garis lurus jatuh pada dua garis lurus sedemikian rupa sehingga sudut interior pada sisi
yang sama bersama-sama kurang dari dua sudut yang tepat, maka garis-garis lurus, jika
diproduksi tanpa batas "aktu, bertemu di sisi itu yang adalah sudut kurang dari dua kanan
sudut.
2ain yang hebat matematika telah menemukan bentuk-bentuk sederhana dari properti ini
$lihat postulat paralel untuk laporan setara%. 3erlepas dari bentuk dalil, bagaimanapun, secara
konsisten tampaknya lebih rumit dari yang lain Euclid postulat $termasuk, misalnya, (Antara duatitik garis lurus bisa diambil*%.
Setidaknya seribu tahun, geometers merasa kesulitan akibat kompleksitas yang berbeda dari
kelima postulat, dan percaya itu bisa dibuktikan sebagai teorema dari keempat lainnya. 4anyak
berusaha untuk menemukan bukti oleh kontradiksi , termasuk matematika"an Arab Ibn al-
5aytham $Alha6en, abad ke-%, dengan Persia matematika"an 7mar 0hayy8m$abad %
dan Nasir al-#in al-3usi $abad ke-/%, dan dengan Italia matematika Gio)anni Girolamo
Saccheri $abad 9%.
3eorema Ibn al-5aytham, 0hayyam dan al-3usi pada segiempat , termasuk segiempat
2ambert dan Saccheri segiempat , adalah (teorema pertama dari hiperbolik dan geometri
berbentuk bulat panjang . * 3eorema-teorema bersama dengan alternati mereka mendalilkan,seperti aksioma Playair !s , memainkan peran penting dalam perkembangan selanjutnya dari
non-Euclidean geometri. 7paya-upaya a"al pada menantang kelima postulat memiliki pengaruh
yang besar terhadap pembangunan di antara geometers kemudian Eropa, termasuk :itelo , 2e)i
ben Gerson , Alonso , 1ohn :allis dan Saccheri. Semua upaya a"al dibuat di mencoba untuk
merumuskan non-Euclidean Namun geometri diberikan bukti cacat dari paralel mendalilkan,
mengandung asumsi yang pada dasarnya setara dengan postulat paralel. 7paya-upaya a"al itu,
bagaimanapun, memberikan beberapa siat a"al dari geometri hiperbolik dan eliptik.
0hayyam, misalnya, mencoba untuk mendapatkan dari setara mendalilkan ia merumuskan dari
(prinsip-prinsip 4ertuah* $Aristoteles %' “Dua garis lurus berpotongan konvergen dan tidak
mungkin untuk dua garis lurus konvergen menyimpang ke arah di mana mereka bertemu. *
0hayyam kemudian dianggap sebagai tiga kasus yang tepat, tumpul, dan akut yang sudut
puncak dari sebuah segiempat Saccheri dapat mengambil dan setelah membuktikan sejumlah
teorema tentang mereka, ia benar membantah kasus tumpul dan akut berdasarkan dalil nya dan
karena berasal klasik postulat Euclid yang tidak disadarinya adalah setara dengan postulat
sendiri. &ontoh lain adalah anak al-3usi, Sadr al-#in $kadang-kadang dikenal sebagai (Pseudo-
3usi*%, yang menulis sebuah buku tentang subjek di 9, berdasarkan pengalaman kemudian
al-3usi, yang disajikan lain setara hipotesis untuk paralel dalil . (#ia pada dasarnya re)isi kedua
sistem Euclidean aksioma dan dalil-dalil dan bukti-bukti proposisi banyak dari Elemen.” 0aryanya
diterbitkan di ;oma tahun <= dan dipelajari oleh geometers Eropa, termasuk Saccheri yang
mengkritik pekerjaan ini serta yang dari :allis.
Giordano >itale , dalam bukunya Euclide restituo $?9@, ?9?%, menggunakan Saccheri
segiempat untuk membuktikan bah"a jika tiga poin adalah jarak yang sama di pangkalan A4
dan &# 033, maka A4 dan &# di mana-mana berjarak sama.
7/24/2019 Geometri q
http://slidepdf.com/reader/full/geometri-q 6/8
#alam sebuah karya berjudul Euclides ab Omni Naevo indicatus !Euclid Dibebaskan dari
"emua #acat$, yang diterbitkan tahun //, Saccheri geometri eliptik cepat dibuang sebagai
kemungkinan $beberapa orang lain dari aksioma Euclid harus dimodiikasi untuk geometri
berbentuk bulat panjang untuk bekerja% dan mulai bekerja membuktikan besar jumlah hasil
dalam geometri hiperbolik. #ia akhirnya mencapai titik di mana ia percaya bah"a hasil
menunjukkan ketidakmungkinan geometri hiperbolik. 0laimnya tampaknya telah didasarkan
pada pengandaian Euclidean, karena tidak ada kontradiksi logis hadir. #alam upaya untuk
membuktikan geometri Euclidean ia malah tidak sengaja menemukan sebuah geometri baru
yang layak, tapi tidak menyadarinya.
Pada ?? 1ohann 2ambert menulis, tetapi tidak mempublikasikan, %heorie der &arallellinien di
mana ia mencoba, sebagai Saccheri lakukan, untuk membuktikan postulat kelima. #ia bekerja
dengan angka yang hari ini kita sebut segiempat 'ambert, suatu segiempat dengan tiga sudut
kanan $dapat dianggap setengah dari segiempat Saccheri%. #ia segera menghilangkan
kemungkinan bah"a sudut keempat adalah tumpul, karena memiliki Saccheri dan 0hayyam, dan
kemudian melanjutkan untuk membuktikan teorema banyak berdasarkan asumsi sudut akut.
3idak seperti Saccheri, ia tidak pernah merasa bah"a ia telah mencapai kontradiksi dengan
asumsi ini. #ia telah membuktikan hasil non-Euclidean bah"a jumlah sudut dalam segitigameningkat sebagai luas segitiga berkurang, dan ini menyebabkan dia untuk berspekulasi
mengenai kemungkinan model kasus akut pada bola berjari-jari imajiner. #ia tidak memba"a ide
ini lebih jauh.
Pada saat ini itu sangat percaya bah"a alam semesta bekerja menurut prinsip-prinsip geometri
Euclidean
Aksioma Dasar non-Euclidean Geometri
Geometri Euclidean aksiomatik dapat dijelaskan dalam beberapa cara. Sayangnya, sistem yang
asli Euclid lima postulat $aksioma% bukan salah satu dari ini sebagai bukti nya mengandalkan
asumsi tak tertulis beberapa yang juga seharusnya diambil s
ebagai aksioma. sistem 5ilbert yang terdiri dari @ aksioma paling dekat mengikuti pendekatan
Euclid dan memberikan pembenaran untuk semua bukti Euclid. Sistem lain, menggunakan set
yang berbeda dari istilah terdeinisimendapatkan geometri yang sama dengan jalan yang
berbeda. #alam semua pendekatan, bagaimanapun, ada aksioma yang secara logis setara
dengan kelima Euclid postulat, paralel dalil. 5ilbert menggunakan bentuk aksioma Playair,
sementara 4irkho , misalnya, menggunakan aksioma yang mengatakan bah"a (tidak ada
sepasang yang sama tetapi tidak kongruen segitiga. * #alam salah satu sistem, penghapusan
satu aksioma yang setara dengan postulat sejajar, dalam bentuk apapun yang diperlukan, dan
meninggalkan semua aksioma lainnya utuh, menghasilkan geometri absolut . Sebagai pertama
9 proposisi Euclid $dalam %he Elements$ tidak memerlukan penggunaan postulat paralel atauapa setara dengan itu, mereka semua pernyataan benar dalam geometri mutlak.
7ntuk mendapatkan geometri non-Euclidean, paralel dalil $atau ekui)alen% harus diganti oleh
yang negasi . Beniadakanaksioma Playair !s bentuk, karena itu adalah pernyataan majemuk $C
terdapat satu dan hanya satu C%, bisa dilakukan dengan dua cara. Entah ada akan ada lebih
dari satu baris melalui paralel titik ke garis diberikan atau akan ada tidak ada garis melalui titik
paralel ke garis yang diberikan. #alam kasus pertama, menggantikan paralel dalil $atau
ekui)alen% dengan pernyataan (#i pesa"at, diberi titik P dan garis l tidak mele"ati P, terdapat
dua garis melalui P yang tidak memenuhi l” dan menjaga semua aksioma lainnya, hasil geometri
hiperbolik . 0asus kedua tidak ditangani dengan mudah. &ukup mengganti paralel mendalilkan
dengan pernyataan, (#alam pesa"at, diberi titik P dan garis l tidak mele"ati P, semua garis
melalui P memenuhi l”, tidak memberikan satu set konsisten aksioma. Ini mengikuti sejak garis
paralel ada di geometri mutlak , tetapi pernyataan ini mengatakan bah"a tidak ada garis paralel.Basalah ini dikenal $dalam kedok yang berbeda% untuk 0hayyam, Saccheri dan 2ambert dan
7/24/2019 Geometri q
http://slidepdf.com/reader/full/geometri-q 7/8
merupakan dasar untuk menolak mereka apa yang dikenal sebagai (kasus sudut tumpul*. 7ntuk
mendapatkan satu set konsisten aksioma yang meliputi aksioma ini tentang tidak memiliki garis
paralel, beberapa aksioma lain harus t"eak. Penyesuaian harus dibuat tergantung pada sistem
aksioma yang digunakan. 4eberapa diantaranya t"eak akan memiliki eek memodiikasi kedua
postulat Euclid dari pernyataan bah"a segmen garis dapat diperpanjang tanpa batas "aktu
untuk pernyataan bah"a garis tak terbatas. ;iemann !sgeometri eliptik muncul sebagai geometri
paling alami memuaskan aksioma ini.
Model non-Euclidean geometri
7ntuk rincian lebih lanjut tentang topik ini, lihat Bodel non-Euclidean geometri .
Pada bola, jumlah sudut segitiga tidak sama dengan 9@ D. Permukaan sebuah bola bukan
ruang Euclidean, tetapi secara lokal hukum geometri Euclidean adalah perkiraan yang baik.
#alam sebuah segitiga kecil di muka bumi, jumlah dari sudut sangat hampir 9@ D.
#ua geometri Euclidean dimensi dimodelkan dengan gagasan kita tentang (datar pesa"at . (
Geometri Elliptic
Bodel sederhana untuk geometri eliptik adalah bola, di mana garis * lingkaran
besar ($seperti ekuator atau meridian didunia %, dan poin yang berla"anan satu sama lain
$disebut poin antipodal % diidentiikasi $dianggap sama%. Ini juga salah satu model standar
dari pesa"at proyekti nyata . Perbedaannya adalah bah"a sebagai model geometri eliptik
metrik diperkenalkan memungkinkan pengukuran panjang dan sudut, sedangkan pada model
pesa"at proyekti tidak ada metrik tersebut.
#alam model berbentuk bulat panjang, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan titik A, yang tidak
pada ℓ, semua baris melalui A akan berpotongan ℓ.
Geometri Hiperbolik
4ahkan setelah pekerjaan 2obache)sky, Gauss, dan 4olyai, pertanyaannya tetap' apakah modelseperti itu ada untukgeometri hiperbolik Bodel untuk geometri hiperbolik dija"ab oleh Eugenio
4eltrami , pada 9?9, yang pertama kali menunjukkan bah"a permukaan yang
disebut pseudosphere memiliki sesuai kelengkungan untuk model sebagian dariruang
hiperbolik , dan dalam makalah kedua di tahun yang sama, mendeinisikan Bodel 0lein yang
model keseluruhan dari ruang hiperbolik, dan digunakan ini untuk menunjukkan bah"a geometri
Euclidean dan geometri hiperbolik adalaheFuiconsistent , sehingga geometri hiperbolik
adalah logis konsisten jika dan hanya jika geometri Euclidean adalah. $Implikasi terbalik berikut
dari horosphere model geometri Euclidean.%
#alam model hiperbolik, dalam bidang dua dimensi, untuk setiap garis yang
diketahui ℓ dan %itik, yang tidak pada ℓ, adatak terhingga banyak baris melalui A yang tidak
berpotongan ℓ.#alam model ini konsep-konsep non-Euclidean geometri sedang di"akili oleh objek Euclidean
dalam pengaturan Euclidean. Ini memperkenalkan sebuah distorsi perseptual dimana garis-garis
lurus dari geometri non-Euclidean yang di"akili oleh kur)a Euclidean yang secara )isual
membungkuk. Ini (lentur* bukan milik non-Euclidean baris, hanya kecerdasan dari cara mereka
di"akili.
Sifat arang
Euclid dan geometri non-Euclidean secara alami memiliki siat serupa, yaitu mereka yang tidak
tergantung pada siat paralelisme. 0esamaan ini adalah subjek dari geometri netral $juga
disebut geometri absolut$. Namun, siat yang membedakan satu geometri dari yang lain adalah
orang-orang yang secara historis menerima perhatian yang besar.
7/24/2019 Geometri q
http://slidepdf.com/reader/full/geometri-q 8/8
Selain perilaku baris sehubungan dengan tegak lurus umum, disebutkan dalam pendahuluan,
kami juga memiliki berikut ini' Sebuah segiempat 2ambert adalah segiempat yang memiliki tiga sudut kanan. Sudut
keempat dari segiempat 2ambert adalah akut jika geometri hiperbolik, sebuah sudut yang
tepat jika geometri Euclidean adalah atau tumpul jika geometri adalah berbentuk bulat
panjang. Akibatnya, empat persegi panjanghanya ada dalam geometri Euclidean. Sebuah segiempat Saccheri adalah segiempat yang memiliki dua sisi dengan panjang
yang sama, baik tegak lurus ke samping disebut basis. #ua lainnya dari sudut segiempat
Saccheri disebut sudut puncak dan mereka memiliki ukuran yang sama. Sudut puncak
dari sebuah segiempat Saccheri yang akut jika geometri hiperbolik, sudut yang tepat jika
geometri Euclidean adalah sudut tumpul dan jika geometri adalah berbentuk bulat
panjang. 1umlah dari ukuran sudut segitiga apapun adalah kurang dari 9@ D jika geometri
hiperbolik, sama dengan 9@ D jika geometri Euclidean, dan lebih besar dari 9@ D jika
geometri adalah berbentuk bulat panjang.#acat segitiga adalah nilai numerik $9@ D
jumlah dari ukuran sudut segitiga%. 5asil ini juga dapat dinyatakan sebagai' cacat segitiga
dalam geometri hiperbolik adalah positi, cacat segitiga dalam geometri Euclidean adalah
nol, dan cacat segitiga dalam geometri eliptik adalah negati.
Hal !entingn"a #
Non-Euclidean geometri adalah contoh dari sebuah pergeseran paradigma dalam sejarah ilmu
pengetahuan . Sebelum model pesa"at non-Euclidean yang disajikan oleh 4eltrami, 0lein, dan
PoincarH, geometri Euclidean berdiri tertandingi sebagai model matematika dari ruang . Selain
itu, karena substansi subjek dalam geometri sintetis adalah pameran kepala rasionalitas, titik
Euclidean pandang di"akili otoritas mutlak. Non-Euclidean geometri, meskipun diasimilasi oleh
peneliti dipelajari, terus menjadi tersangka bagi mereka yang tidak memiliki paparan konsep
hiperbolis dan elips.
Penemuan non-Euclidean geometri memiliki eek riak yang jauh melampaui batas-batasmatematika dan ilmu pengetahuan. ilsu Immanuel 0ant pengobatan itu pengetahuan manusia
memiliki peran khusus untuk geometri. Itu adalah contoh utama tentang sintetis pengetahuan
apriori, tidak berasal dari indera atau disimpulkan melalui logika pengetahuan kita tentang
ruang merupakan kebenaran bah"a kita dilahirkan dengan. Sayangnya bagi 0ant, konsepnya ini
geometri unalterably benar adalah Euclidean. 3eologi juga dipengaruhi oleh perubahan dari
kebenaran absolut untuk kebenaran relati dalam matematika yang adalah hasil dari pergeseran
paradigma.
0eberadaan non-Euclidean geometri berdam
pak pada (kehidupan intelektual* dari Inggris >ictoria dalam banyak hal dan khususnya adalah
salah satu aktor yang menyebabkan yang menyebabkan pemeriksaan ulang pengajaran
geometri berdasarkan Euclid !s Elemen . Basalah kurikulum yang hangat diperdebatkan pada
saat itu dan bahkan subyek dari bermain, Euclid dan (ivals modern
Top Related