Geometri q

7/24/2019 Geometri q

http://slidepdf.com/reader/full/geometri-q 1/8

Geometri menempati posisi khusus dalam kurikulum matematika sekolah, karena

banyaknya konsep yang termuat. Dari sudut pandang psikologi, geometri merupakan

penyajian abstraksi dari pengalaman visual dan spasial, misalnya bidang, pola, pengukuran

dan pemetaan. Sedangkan dari sudut pandang matematik, geometri menyediakan pendekatan-

pendekatan untuk pemecahan masalah, misalnya gambar-gambar, diagram, sistem koordinat,

vektor, dan transformasi. Geometri juga merupakan lingkungan untuk mempelajari struktur matematika dan aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari. Geometri digunakan oleh setiap

orang dalam kehidupan sehari-hari. Ilmuwan, arsitek, artis, insinyur, dan pengembang

perumahan adalah sebagian kecil contoh profesi yang menggunakan geometri secara reguler.

Dalam kehidupan sehari-hari, geometri digunakan untuk mendesain rumah, taman, atau

dekorasi ada dasarnya geometri mempunyai peluang yang lebih besar untuk dipahami siswa

dibandingkan dengan cabang matematika yang lain, namun bukti-bukti di lapangan

menunjukkan bahwa hasil belajar geometri masih rendah. !anyak siswa yang masih

mengalami kesulitan dalam memahami materi geometri.

"siskin #$%&'()*-)'+ mengemukakan bahwa geometri adalah #$+ cabang matematika

yang mempelajari pola-pola visual, #)+ cabang matematika yang menghubungkan matematika

dengan dunia fisik atau dunia nyata, #+ suatu cara penyajian fenomena yang tidak tampak atau tidak bersifat fisik, dan #+ suatu contoh sistem matematika.

Transformasi GeometriPENDAHULUAN A. Latar Belakang Didalam kehidupan sehari-hari seringkali kitamen!umpai peristi"a atau kegiatan #ang $erhu$ungan dengan transformasi se$agai%ontoh seseorang #ang $erada di es%alator.&etika seseorang $erada di es%alator #ang $eru$ah adalah tempat atau posisi orang terse$ut tidak $erputar tidak $ertam$ahtinggi tidak memendek atau tidak $eru$ah $entuk namun es%alator #ang mem$a"aorang terse$ut $erpindah dari atas ke$a"ah atau dari $a"ah ke atas. Aplikasi #anglainn#a $isa kita lihat seperti ukir-ukiran $ali gapura dan arsitektur pura di Bali.Eu%lidean $idang geomtri ialah mempela!ari ukuran dan $entuk dari o$!ek dalam $idang.'tu adalah satu %a$ang tertua dari matematika. Tentu sa!a dengan ()) B* Eu%lidtelah memiliki $an#ak le$ih +))) tahun #ang lalu semen!ak ,+ /ene De%ratesmemperkenalkan koordinat dan re0olusi disiplin oleh penerapan anal#ti%al tools untukmemperkuat masalah geometri. Dalam kutipan De%rates 1$e$erapa masalah dalamgeometr# $isa dengan mudah mereduksi untuk men#amakan istilah $ah"a suatupengenalan dari !arak tentu garis adalah %ukup untuk mem$angun.2 Begitu $an#akdalam kehidupan kita #ang saling memiliki keterkaitan seperti haln#a 'lmu #angdimana tidak han#a memilik satu hu$ungan melainkan $er$agai hu$ungan antarapihak satu dengan pihak #ang lain#a. 3eperti hu$ungan transformasi geometri #ang

merupakan $agian dari aspek al!a$ar dengan menggunakan konsep matriks. Begitu $an#ak pela!aran #ang ada didalam kehidupan ini namun tak semuan#a dapat dipela!arioleh manusia karena keter$atasan usia #ang telah digariskan oleh sang pen%ipta.3e$erapapun he$atn#a manusia ia tidak akan sanggup untuk dapat mengusai seluruhpengetahuan #ang $egitu luas dan tak ter$atas. Tentang +4) tahun #ang lalu pada ,5+6eli7 &lein menggaris$esari pada Des%rates8 pendekatan analitik dan memulai denganmen#e$ut Erlangen Program #ang dilihatn#a $idang geometri se$agai pela!aran daripengaturan figurasi $idang terse$ut $ah"a sisa tidak ada peru$ahan di$a"ah $e$erapahimpunan dalam transformasi. &lein memulai o$ser0asi $ah"a $idang geometri $isamelengkapi pengertian.Dari poin ini dalam melihat menun!ukan dasar dari rangakaiandan men#ediakan se$uah alternati0e untuk Eu%ild aksioma9pendekatan $uatan. 'ni

merupakan rangkaian kita mempertim$angkan dua kesamaan hu$ungan dalamtransformasi: ;,< isometri% ;!arak-melestarikankan transformasi< #ang memasukan



translasi. /otasi refleksi dan glide refleksi. ;+< kesamaan $idang #ang memasukanisometri% meregang rotasi regangan dan regangan refleksi. &ami $erhasil untukmengerti kongruen dan persamaan dalam $idang figurasi dalam hal ini khususn#atransformasi. Transformasi Geometri merupakan matapela!aran #ang mem$utuhkanima!inasi dalam mempela!arin#a namun pastilah tidak semua sis"a mampu untuk

mem$a#angkan. Disini soft"are autograph merupakan salah satu soft"are #ang dapatmem$antu permasalahan sis"a dalam memahami tentang transformasi geometri. B./umusan =asalah ,. =engetahui 3oft"are pem$ela!aran matematika Autograph +.=emahami %ara penggunaan Autograph (. Penerapan Autograph pada pem$ela!aranTransformasi Geometri. *. Tu!uan Pem$ahasan Tu!uan pem$ahasan makalah ini adalahagar kita mengetahui apa #ang di maksud dengan soft"are autograph sertapemanfaatan apa #ang $isa kita peroleh dari se$uah kema!uan 'T dalam dunia sainskhususn#a dalam matematika itu sendiri. Dan untuk mempermudah pemahamanmengenai Transformasi Geometri se%ara le$ih a$strak dan men#eluruh. Autograph =ath A. 'dentitas dan 3pesifikasi Autograph Autograph adalah program P* #ang dinamis #ang $eroperasi dalam ( mode: ,D - 3tatistik > Pro$a$ilitas +D - Graphing koordinattransformasi dan data $i0ariat (D - Graphing koordinat dan transformasi 3pesifikasi Autograf: ? Autograph 0ersi (.() dapat di!alankan pada 1@indo"s +))) ;3P(< P ista @5 dan 'NTEL =A*2 ? =em$utuhkan ())=B ruang disk dan setidakn#a'nternet E7plorer 4. ? Untuk halaman (D kartu grafis dan dri0er harus mendukung1Dire%t(D C atau le$ih tinggi.2 Pengguna tua pra-'ntel =a% dapat men!alankan 3tatistik Autograph dan halaman +D ;tapi tidak pada halaman (D< di $a"ah Appli%ation irtualP*. B. 3e!arah Autographpertama kali diaplikasikan dalamkelasmatematikadiundle3%hool Peter$orough;'nggris< selama $e$erapatahun. &emudian terinspirasiolehideasli*ouFensPhilip untuk mem$uat dan memasarkan Autograph $erdirilahEastmond Pu$lishing Ltd pada tahun ,CC).Ber$asis dikota pasarke%ilundle()kilometer Barat*am$ridge 'nggris. Padahari-hari a"alperangkat lunakditulisdalamBB*Basi%untuk komputerA%orn #ang kemudianadalah

komputerpredominentdalam pendidikan'nggris. BahkandikemudianAutographdi!ualsuksesdi luar negeridimana punkomputerA%orn$eradaterutama di Australia. Denganruntuhn#aA%orn sof"areterse$utdipindahkanse$agaipaket$erorientasio$!ek untukplatformP* danersi+dilun%urkan pada tahun +))). ersi(dilun%urkanpada tahun +))(untuk pu!ian $esarseperti itu termasuk$agiantanah-melanggarpadagrafik(Ddan geometri. Bahkan untuk ersi saat ini adalah(.(.,)#ang dikeluarkan pada !uli +),+ 3e%ara luas Autografdianggap se$agaiperangkat lunak#angdinamisterkemuka untukmenga!armatematika ditingkat menengah.Autographadalahpemimpin pasardi $idangn#adi 'nggris danmem$uat kema!uankuat di luar negeri. Autograph 0ersi (.(!uga telahditer!emahkandalam $ahasaEropa dan ada0ersidalam $ahasa /usia*ina epang &orea ietnamAra$ 'ndonesia ietnam &orea Hungaria

dan $an#ak lainn#a.Hal itu dilakukan untuk le$ih meningkatkan pangsa pasar #ang akandiraih. Hal itu sesuai dengan tu!uan perusahaan ini #ang akan le$ih meningkatkan fituratau konten pendukung untuk kemudahan penggunan#a. Perusahaan inimemilikiren%anaam$isius untuk0ersi masa depan. 'niadalah fitur#ang kuatdari%ara kita $eker!a$ah"a umpan $alik dariguru kelasdi seluruhduniaakandimasukkankeAutograph. *. =ainPersonil AutographdipahamiolehDUGLA3BUTLE/dariideaslidan realisasiolehPH'L'P*UEN3dandiprogramdan diran%angoleh=A/&HAT3ELL.3TEPHEN@hippadalah=ana!erPengem$angan'nstalasi.3'=N@oodheadadalah DirekturPengem$angan.&ontri$usi$erharga lainn#a$erasaldari:=ikePinna amie*ollindan=ohanGanesalingham. 'nilah orang #ang pertama kalimemperkenalkan Autograph $agi kita semua. Douglas Butler setelah di"isuda dalam=athemati%s and Ele%tri%al 3%ienss at *am$ridge Uni0ersit# dan se$uah musim denganE=' /e%ords.'a menga!ar matematika selama () thn. Dia !uga ketua matematik padaundle 3%hool ;Peter$rought U&< pada tahun ,CC)s dan ketua dari =E' 3%hool Pro!e%t



seorang pem$im$ing U& *urri%ulum de0elopment pro!e%t untuk thn. Pada thn +)))dia menemukan ino0asi '*T Training *entre #ang $ertempat di undle 3%hool #angsekarang mem$uat sum$er pemasukan $aru untuk pem$ela!aran #ang kita gunakanpada %omputer dalam matematik dan men!alankan T3= ;Te%hnolog# in 3e%ondar# and*ollege =athemati%s< guru training $ahkan dalam U& dan $an#ak kota di kepulauan.

3elain peker!aan dalam Autograph dia adalah seorang pianis #ang tekun dan men!aitse$agai sampingann#a. Tulisann#a 1The internet for mathemati%s2 ;re0ised !ul# +))(<dan konstri$usi dalam Tea%hing 3e%ondar# =athemati%s dengan te%hnolog# ;openuni0ersit# anuar# +))4<. =ark Hatsell setelah lulus dari Birmingham Uni0ersit# inEle%troni% and 3oft"are Engineering =ark tidak men!aga kesempatan padakesempatan di Nene 3ailing *lu$ $erpindah ke pener!emahan old A%orn 0ersion of Autograph ke @indo"s platform $erfikir itu semua akan $eru$ah men!adi musim.3etelah I tahun $erlalu Autograph + telah lahir dan =ark #ang mem$a"a inspirasidunia dari d#nami% sele%ta$le o$!e%ts ke %oordinate geometr# and statisti%s %epatpopular dengan guru di U& dan a$road. 3emua telah mengatakan $ah"a ketika dia tidak kreatif pada %omputer ke#$oard =ark tidak akan men!adi seorang high performan%e +-man dingh#. D. &egunaan Autograph ini merupakan soft"are untuk pem$ela!aranmatematika disekolah menengah. Adapun fitur dari soft"are autograph ini $an#ak sekalimanfaatn#a untuk kita selaku pendidik dalam men#a!ikan pem$ela!aran #ang menarikguna menggugah minat dan antusiasme peserta didik. Terdapat fitur untukpem$ela!aran Trigonometri al!a$ar geometri statisti% dan transformasi. &egunaan danmanfaat autograph ini sangat diperhatikan oleh produsen pem$uat soft"are ini. Hal ituditun!ukan dengan dikeluarkann#a $uku ;e$ook< interaktif #ang disediakan untukpegangan guru dan $uku untuk interaktif pen#elidikan untuk peserta didik. &egunaaninti dari autograph ini adalah memudahkan kita dalam melakukan pem$ela!aranmatematika mem$erikan efek $er$eda dari $ahan #ang akan disampaikan olehpendidik mem$erikan sarana in0estigasi untuk peserta didik agar le$ih memahamikonsep #ang dia!arkan pendidikn#a. =elihat dari fungsimanfaat dan kegunaan

autograph ini sudah sela#akn#a kita men%o$a mem$erikan sesuatu #ang $er$eda padapeserta didik kita guna men%iptakan pem$ela!aran matematika #ang menarik danmen#enangkan. E. Penerapan Autograp pada pem$ela!aran Transformasi Geometri/efleksi adalah topik #ang %o%ok sangat $aik untuk dia!arkan dengan %ara 0isual dandinamis. 3is"a #ang mungkin $er!uang dengan komponen numerik dan al!a$armatematika mungkin memiliki permasalahan untuk topik #ang le$ih 0isual sepertirefleksi dan !ika Anda dapat menghu$ungkan mereka dalam proses pem$ela!aran makakemungkinan memiliki efek positif sepan!ang sisa studi mereka . Autographmemungkinkan Anda untuk dengan mudah dan dinamis memanipulasi o$!ek dan garisse%ara interaktif men%akup setiap aspek #ang mungkin dari refleksi mengu!i kesadarankhusus sis"a Anda sampai ke $atasJ Pertan#aan diagnostik #ang ideal untuk digunakan

pada a"al pela!aran untuk memungkinkan Anda untuk mendapatkan gam$aran #ang%epat dan akurat dari tingkat sis"a Anda pemahaman.=ereka diran%ang sedemikianrupa sehingga kesalahpahaman umum $ah"a sis"a Anda dapat memegang harusmengarahkan mereka ke salah satu !a"a$an #ang salah sehingga memungkinkan Andauntuk $ela!ar di mana masalah $er$ohong dari respon mereka. Biasan#a sa#amem$erikan kelas sa#a () detik "aktu $erpikir dan kemudian meminta mereka untukmenahan !ari-!ari mereka: , untuk A + untuk B dll 3etelah kita mem$ahas refleksi disini kita mengalihkan perhatian kita #ang lain dari transformasi - rotasi. Bagi $an#aksis"a ini adalah #ang paling sulit dari transformasi dan sa#a pasti $isa $ersimpati.3a#amenemukan rotasi sulit untuk mem$a#angkan di kepala sa#a danmenggam$arkann#adiatas kertas. Untungn#a ada soft"are geometri dinamis seperti Autograph untuk mem$antu sis"a. mengeluarkan &emampuan untuk memanipulasio$!ek dan poin segera mengu$ah sudut rotasi dan men#em$un#ikan informasi pentingmemungkinkan kita untuk mengumpulkan paket sum$er da#a dan kegiatan untuk



$enar-$enar mem$a"a topik rotasi hidup. &ita $ahkan dapat men!ela!ah ke dunia (DJPertan#aan diagnostik #ang ideal untuk digunakan pada a"al pela!aran untukmemungkinkan Anda untuk mendapatkan gam$aran #ang %epat dan akurat dari tingkatsis"a Anda pemahaman.=ereka diran%ang sedemikian rupa sehingga kesalahpahamanumum $ah"a sis"a Anda dapat memegang harus mengarahkan mereka ke salah satu

!a"a$an #ang salah sehingga memungkinkan Anda untuk $ela!ar di mana masalah $er$ohong dari respon mereka. Biasan#a sa#a mem$erikan kelas sa#a () detik "aktu $erpikir dan kemudian meminta mereka untuk menahan !ari-!ari mereka: , untuk A +untuk B dll

Sejarah Geometri Non Euclid

Sejarah Geometri Non-Euclid

Non-Euclidean geometri adalah salah satu dari dua geometri tertentu yang, longgar berbicara,

diperoleh dengan meniadakan Euclidean paralel postulat , yaitu hiperbolik dan geometri eliptik .

Ini adalah satu istilah yang, untuk alasan sejarah, memiliki arti dalam matematika yang jauh lebih

sempit dari yang terlihat untuk memiliki dalam bahasa Inggris umum. Ada banyak sekali geometri

yang tidak geometri Euclidean , tetapi hanya dua yang disebut sebagai non-Euclidean geometri.

Perbedaan penting antara geometri Euclidean dan non-Euclidean adalah

siat paralel baris. Euclid !s kelima mendalilkan, yang paralel mendalilkan , setara dengan yang

Playair postulat yang menyatakan bah"a, dalam bidang dua dimensi, untuk setiap garis yang

diketahui ℓ dan A titik, yang tidak pada ℓ, ada tepat satu garis melalui A yang tidak

berpotongan ℓ.#alam geometri hiperbolik, sebaliknya, ada tak terhingga banyak baris melalui A

ℓ tidak berpotongan, sementara dalam geometri eliptik, setiap baris melalui A memotong ℓ $lihat

entri pada geometri hiperbolik , geometri berbentuk bulat panjang , dan geometri mutlak untuk

inormasi lebih lanjut%.

&ara lain untuk menggambarkan perbedaan antara geometri adalah mempertimbangkan dua

garis lurus tanpa batas "aktu diperpanjang dalam bidang dua dimensi yang baik tegak lurus ke

saluran ketiga'

#alam geometri Euclidean garis tetap konstan jarak dari satu sama lain bahkan jika

diperpanjang hingga tak terbatas, dan dikenal sebagai paralel.

#alam geometri hiperbolik mereka (kur)a pergi* satu sama lain, peningkatan jarak

sebagai salah satu bergerak lebih jauh dari titik persimpangan dengan tegak lurus umum,

garis-garis ini sering disebut ultraparallels.

#alam geometri berbentuk bulat panjang garis (kur)a ke arah* satu sama lain dan

akhirnya berpotongan.

Sejarah Awal

http://anasari92.blogspot.co.id/2013/12/sejarah-geometri-non-euclid.html

http://anasari92.blogspot.co.id/2013/12/sejarah-geometri-non-euclid.html



Sementara geometri Euclidean , dinamai matematika"an +unani Euclid , termasuk beberapa

dari matematika tertua, non-Euclidean geometri tidak secara luas diterima sebagai sah sampai

abad ke-.

Perdebatan yang akhirnya menyebabkan penemuan non-Euclidean geometri mulai segera

setelah karya Euclid !s Elemenditulis. #alam Elemen, Euclid dimulai dengan sejumlah asumsi

$/ deinisi, lima pengertian umum, dan lima postulat% dan berusaha untuk membuktikan semua

hasil lain $ proposisi % dalam pekerjaan. +ang paling terkenal dari postulat sering disebut sebagai

(0elima Postulat Euclid,* atau cukup dengan * paralel mendalilkan (, yang dalam ormulasi asli

Euclid adalah'

1ika garis lurus jatuh pada dua garis lurus sedemikian rupa sehingga sudut interior pada sisi

yang sama bersama-sama kurang dari dua sudut yang tepat, maka garis-garis lurus, jika

diproduksi tanpa batas "aktu, bertemu di sisi itu yang adalah sudut kurang dari dua kanan

sudut.

2ain yang hebat matematika telah menemukan bentuk-bentuk sederhana dari properti ini

$lihat postulat paralel untuk laporan setara%. 3erlepas dari bentuk dalil, bagaimanapun, secara

konsisten tampaknya lebih rumit dari yang lain Euclid postulat $termasuk, misalnya, (Antara duatitik garis lurus bisa diambil*%.

Setidaknya seribu tahun, geometers merasa kesulitan akibat kompleksitas yang berbeda dari

kelima postulat, dan percaya itu bisa dibuktikan sebagai teorema dari keempat lainnya. 4anyak

berusaha untuk menemukan bukti oleh kontradiksi , termasuk matematika"an Arab Ibn al-

5aytham $Alha6en, abad ke-%, dengan Persia matematika"an 7mar 0hayy8m$abad %

dan Nasir al-#in al-3usi $abad ke-/%, dan dengan Italia matematika Gio)anni Girolamo

Saccheri $abad 9%.

3eorema Ibn al-5aytham, 0hayyam dan al-3usi pada segiempat , termasuk segiempat

2ambert dan Saccheri segiempat , adalah (teorema pertama dari hiperbolik dan geometri

berbentuk bulat panjang . * 3eorema-teorema bersama dengan alternati mereka mendalilkan,seperti aksioma Playair !s , memainkan peran penting dalam perkembangan selanjutnya dari

non-Euclidean geometri. 7paya-upaya a"al pada menantang kelima postulat memiliki pengaruh

yang besar terhadap pembangunan di antara geometers kemudian Eropa, termasuk :itelo , 2e)i

ben Gerson , Alonso , 1ohn :allis dan Saccheri. Semua upaya a"al dibuat di mencoba untuk

merumuskan non-Euclidean Namun geometri diberikan bukti cacat dari paralel mendalilkan,

mengandung asumsi yang pada dasarnya setara dengan postulat paralel. 7paya-upaya a"al itu,

bagaimanapun, memberikan beberapa siat a"al dari geometri hiperbolik dan eliptik.

0hayyam, misalnya, mencoba untuk mendapatkan dari setara mendalilkan ia merumuskan dari

(prinsip-prinsip 4ertuah* $Aristoteles %' “Dua garis lurus berpotongan konvergen dan tidak

mungkin untuk dua garis lurus konvergen menyimpang ke arah di mana mereka bertemu. *

0hayyam kemudian dianggap sebagai tiga kasus yang tepat, tumpul, dan akut yang sudut

puncak dari sebuah segiempat Saccheri dapat mengambil dan setelah membuktikan sejumlah

teorema tentang mereka, ia benar membantah kasus tumpul dan akut berdasarkan dalil nya dan

karena berasal klasik postulat Euclid yang tidak disadarinya adalah setara dengan postulat

sendiri. &ontoh lain adalah anak al-3usi, Sadr al-#in $kadang-kadang dikenal sebagai (Pseudo-

3usi*%, yang menulis sebuah buku tentang subjek di 9, berdasarkan pengalaman kemudian

al-3usi, yang disajikan lain setara hipotesis untuk paralel dalil . (#ia pada dasarnya re)isi kedua

sistem Euclidean aksioma dan dalil-dalil dan bukti-bukti proposisi banyak dari Elemen.” 0aryanya

diterbitkan di ;oma tahun <= dan dipelajari oleh geometers Eropa, termasuk Saccheri yang

mengkritik pekerjaan ini serta yang dari :allis.

Giordano >itale , dalam bukunya Euclide restituo $?9@, ?9?%, menggunakan Saccheri

segiempat untuk membuktikan bah"a jika tiga poin adalah jarak yang sama di pangkalan A4

dan &# 033, maka A4 dan &# di mana-mana berjarak sama.



#alam sebuah karya berjudul Euclides ab Omni Naevo indicatus !Euclid Dibebaskan dari

"emua #acat$, yang diterbitkan tahun //, Saccheri geometri eliptik cepat dibuang sebagai

kemungkinan $beberapa orang lain dari aksioma Euclid harus dimodiikasi untuk geometri

berbentuk bulat panjang untuk bekerja% dan mulai bekerja membuktikan besar jumlah hasil

dalam geometri hiperbolik. #ia akhirnya mencapai titik di mana ia percaya bah"a hasil

menunjukkan ketidakmungkinan geometri hiperbolik. 0laimnya tampaknya telah didasarkan

pada pengandaian Euclidean, karena tidak ada kontradiksi logis hadir. #alam upaya untuk

membuktikan geometri Euclidean ia malah tidak sengaja menemukan sebuah geometri baru

yang layak, tapi tidak menyadarinya.

Pada ?? 1ohann 2ambert menulis, tetapi tidak mempublikasikan, %heorie der &arallellinien di

mana ia mencoba, sebagai Saccheri lakukan, untuk membuktikan postulat kelima. #ia bekerja

dengan angka yang hari ini kita sebut segiempat 'ambert, suatu segiempat dengan tiga sudut

kanan $dapat dianggap setengah dari segiempat Saccheri%. #ia segera menghilangkan

kemungkinan bah"a sudut keempat adalah tumpul, karena memiliki Saccheri dan 0hayyam, dan

kemudian melanjutkan untuk membuktikan teorema banyak berdasarkan asumsi sudut akut.

3idak seperti Saccheri, ia tidak pernah merasa bah"a ia telah mencapai kontradiksi dengan

asumsi ini. #ia telah membuktikan hasil non-Euclidean bah"a jumlah sudut dalam segitigameningkat sebagai luas segitiga berkurang, dan ini menyebabkan dia untuk berspekulasi

mengenai kemungkinan model kasus akut pada bola berjari-jari imajiner. #ia tidak memba"a ide

ini lebih jauh.

Pada saat ini itu sangat percaya bah"a alam semesta bekerja menurut prinsip-prinsip geometri

Euclidean

Aksioma Dasar non-Euclidean Geometri

Geometri Euclidean aksiomatik dapat dijelaskan dalam beberapa cara. Sayangnya, sistem yang

asli Euclid lima postulat $aksioma% bukan salah satu dari ini sebagai bukti nya mengandalkan

asumsi tak tertulis beberapa yang juga seharusnya diambil s

ebagai aksioma. sistem 5ilbert yang terdiri dari @ aksioma paling dekat mengikuti pendekatan

Euclid dan memberikan pembenaran untuk semua bukti Euclid. Sistem lain, menggunakan set

yang berbeda dari istilah terdeinisimendapatkan geometri yang sama dengan jalan yang

berbeda. #alam semua pendekatan, bagaimanapun, ada aksioma yang secara logis setara

dengan kelima Euclid postulat, paralel dalil. 5ilbert menggunakan bentuk aksioma Playair,

sementara 4irkho , misalnya, menggunakan aksioma yang mengatakan bah"a (tidak ada

sepasang yang sama tetapi tidak kongruen segitiga. * #alam salah satu sistem, penghapusan

satu aksioma yang setara dengan postulat sejajar, dalam bentuk apapun yang diperlukan, dan

meninggalkan semua aksioma lainnya utuh, menghasilkan geometri absolut . Sebagai pertama

9 proposisi Euclid $dalam %he Elements$ tidak memerlukan penggunaan postulat paralel atauapa setara dengan itu, mereka semua pernyataan benar dalam geometri mutlak.

7ntuk mendapatkan geometri non-Euclidean, paralel dalil $atau ekui)alen% harus diganti oleh

yang negasi . Beniadakanaksioma Playair !s bentuk, karena itu adalah pernyataan majemuk $C

terdapat satu dan hanya satu C%, bisa dilakukan dengan dua cara. Entah ada akan ada lebih

dari satu baris melalui paralel titik ke garis diberikan atau akan ada tidak ada garis melalui titik

paralel ke garis yang diberikan. #alam kasus pertama, menggantikan paralel dalil $atau

ekui)alen% dengan pernyataan (#i pesa"at, diberi titik P dan garis l tidak mele"ati P, terdapat

dua garis melalui P yang tidak memenuhi l” dan menjaga semua aksioma lainnya, hasil geometri

hiperbolik . 0asus kedua tidak ditangani dengan mudah. &ukup mengganti paralel mendalilkan

dengan pernyataan, (#alam pesa"at, diberi titik P dan garis l tidak mele"ati P, semua garis

melalui P memenuhi l”, tidak memberikan satu set konsisten aksioma. Ini mengikuti sejak garis

paralel ada di geometri mutlak , tetapi pernyataan ini mengatakan bah"a tidak ada garis paralel.Basalah ini dikenal $dalam kedok yang berbeda% untuk 0hayyam, Saccheri dan 2ambert dan



merupakan dasar untuk menolak mereka apa yang dikenal sebagai (kasus sudut tumpul*. 7ntuk

mendapatkan satu set konsisten aksioma yang meliputi aksioma ini tentang tidak memiliki garis

paralel, beberapa aksioma lain harus t"eak. Penyesuaian harus dibuat tergantung pada sistem

aksioma yang digunakan. 4eberapa diantaranya t"eak akan memiliki eek memodiikasi kedua

postulat Euclid dari pernyataan bah"a segmen garis dapat diperpanjang tanpa batas "aktu

untuk pernyataan bah"a garis tak terbatas. ;iemann !sgeometri eliptik muncul sebagai geometri

paling alami memuaskan aksioma ini.

Model non-Euclidean geometri

7ntuk rincian lebih lanjut tentang topik ini, lihat Bodel non-Euclidean geometri .

Pada bola, jumlah sudut segitiga tidak sama dengan 9@ D. Permukaan sebuah bola bukan

ruang Euclidean, tetapi secara lokal hukum geometri Euclidean adalah perkiraan yang baik.

#alam sebuah segitiga kecil di muka bumi, jumlah dari sudut sangat hampir 9@ D.

#ua geometri Euclidean dimensi dimodelkan dengan gagasan kita tentang (datar pesa"at . (

Geometri Elliptic

Bodel sederhana untuk geometri eliptik adalah bola, di mana garis * lingkaran

besar ($seperti ekuator atau meridian didunia %, dan poin yang berla"anan satu sama lain

$disebut poin antipodal % diidentiikasi $dianggap sama%. Ini juga salah satu model standar

dari pesa"at proyekti nyata . Perbedaannya adalah bah"a sebagai model geometri eliptik

metrik diperkenalkan memungkinkan pengukuran panjang dan sudut, sedangkan pada model

pesa"at proyekti tidak ada metrik tersebut.

#alam model berbentuk bulat panjang, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan titik A, yang tidak

pada ℓ, semua baris melalui A akan berpotongan ℓ.

Geometri Hiperbolik

4ahkan setelah pekerjaan 2obache)sky, Gauss, dan 4olyai, pertanyaannya tetap' apakah modelseperti itu ada untukgeometri hiperbolik Bodel untuk geometri hiperbolik dija"ab oleh Eugenio

4eltrami , pada 9?9, yang pertama kali menunjukkan bah"a permukaan yang

disebut pseudosphere memiliki sesuai kelengkungan untuk model sebagian dariruang

hiperbolik , dan dalam makalah kedua di tahun yang sama, mendeinisikan Bodel 0lein yang

model keseluruhan dari ruang hiperbolik, dan digunakan ini untuk menunjukkan bah"a geometri

Euclidean dan geometri hiperbolik adalaheFuiconsistent , sehingga geometri hiperbolik

adalah logis konsisten jika dan hanya jika geometri Euclidean adalah. $Implikasi terbalik berikut

dari horosphere model geometri Euclidean.%

#alam model hiperbolik, dalam bidang dua dimensi, untuk setiap garis yang

diketahui ℓ dan %itik, yang tidak pada ℓ, adatak terhingga banyak baris melalui A yang tidak

berpotongan ℓ.#alam model ini konsep-konsep non-Euclidean geometri sedang di"akili oleh objek Euclidean

dalam pengaturan Euclidean. Ini memperkenalkan sebuah distorsi perseptual dimana garis-garis

lurus dari geometri non-Euclidean yang di"akili oleh kur)a Euclidean yang secara )isual

membungkuk. Ini (lentur* bukan milik non-Euclidean baris, hanya kecerdasan dari cara mereka

di"akili.

Sifat arang

Euclid dan geometri non-Euclidean secara alami memiliki siat serupa, yaitu mereka yang tidak

tergantung pada siat paralelisme. 0esamaan ini adalah subjek dari geometri netral $juga

disebut geometri absolut$. Namun, siat yang membedakan satu geometri dari yang lain adalah

orang-orang yang secara historis menerima perhatian yang besar.



Selain perilaku baris sehubungan dengan tegak lurus umum, disebutkan dalam pendahuluan,

kami juga memiliki berikut ini' Sebuah segiempat 2ambert adalah segiempat yang memiliki tiga sudut kanan. Sudut

keempat dari segiempat 2ambert adalah akut jika geometri hiperbolik, sebuah sudut yang

tepat jika geometri Euclidean adalah atau tumpul jika geometri adalah berbentuk bulat

panjang. Akibatnya, empat persegi panjanghanya ada dalam geometri Euclidean. Sebuah segiempat Saccheri adalah segiempat yang memiliki dua sisi dengan panjang

yang sama, baik tegak lurus ke samping disebut basis. #ua lainnya dari sudut segiempat

Saccheri disebut sudut puncak dan mereka memiliki ukuran yang sama. Sudut puncak

dari sebuah segiempat Saccheri yang akut jika geometri hiperbolik, sudut yang tepat jika

geometri Euclidean adalah sudut tumpul dan jika geometri adalah berbentuk bulat

panjang. 1umlah dari ukuran sudut segitiga apapun adalah kurang dari 9@ D jika geometri

hiperbolik, sama dengan 9@ D jika geometri Euclidean, dan lebih besar dari 9@ D jika

geometri adalah berbentuk bulat panjang.#acat segitiga adalah nilai numerik $9@ D

jumlah dari ukuran sudut segitiga%. 5asil ini juga dapat dinyatakan sebagai' cacat segitiga

dalam geometri hiperbolik adalah positi, cacat segitiga dalam geometri Euclidean adalah

nol, dan cacat segitiga dalam geometri eliptik adalah negati.

Hal !entingn"a #

Non-Euclidean geometri adalah contoh dari sebuah pergeseran paradigma dalam sejarah ilmu

pengetahuan . Sebelum model pesa"at non-Euclidean yang disajikan oleh 4eltrami, 0lein, dan

PoincarH, geometri Euclidean berdiri tertandingi sebagai model matematika dari ruang . Selain

itu, karena substansi subjek dalam geometri sintetis adalah pameran kepala rasionalitas, titik

Euclidean pandang di"akili otoritas mutlak. Non-Euclidean geometri, meskipun diasimilasi oleh

peneliti dipelajari, terus menjadi tersangka bagi mereka yang tidak memiliki paparan konsep

hiperbolis dan elips.

Penemuan non-Euclidean geometri memiliki eek riak yang jauh melampaui batas-batasmatematika dan ilmu pengetahuan. ilsu Immanuel 0ant pengobatan itu pengetahuan manusia

memiliki peran khusus untuk geometri. Itu adalah contoh utama tentang sintetis pengetahuan

apriori, tidak berasal dari indera atau disimpulkan melalui logika pengetahuan kita tentang

ruang merupakan kebenaran bah"a kita dilahirkan dengan. Sayangnya bagi 0ant, konsepnya ini

geometri unalterably benar adalah Euclidean. 3eologi juga dipengaruhi oleh perubahan dari

kebenaran absolut untuk kebenaran relati dalam matematika yang adalah hasil dari pergeseran

paradigma.

0eberadaan non-Euclidean geometri berdam

pak pada (kehidupan intelektual* dari Inggris >ictoria dalam banyak hal dan khususnya adalah

salah satu aktor yang menyebabkan yang menyebabkan pemeriksaan ulang pengajaran

geometri berdasarkan Euclid !s Elemen . Basalah kurikulum yang hangat diperdebatkan pada

saat itu dan bahkan subyek dari bermain, Euclid dan (ivals modern

Geometri q

Documents

Transcript of Geometri q