Standar kompetensi : Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam
pemecahan masalah.
Kompetensi dasar : Menentukan komposisi dari beberapa transformasi geometri beserta
matriks transformasinya
Kelas/semester : XII/genap
Hari/tanggal : Selasa,2 April 2013
Alokasi waktu : 2x45 menit
Petunjuk umum : Pilih salah satu jawaban yang benar!
SOAL
1. Bayangan kurva y=x2−3 jika dicerminkan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan
dilatasi pusat O dan faktor skalar 2 adalah....
a. y=12
x2+6
b. y=12
x2−6
c. y=12
x2−3
d. y=6−12
x2
e. y=3−12
x2
2. Titik (4,-8) dicerminkan terhadap garisx=6, dilanjutkan dengan rotasi (0,600). Hasilnya
adalah....
a. (−4+4√3 ,4−4 √3 )
b. (−4+4√3 ,−4−4√3 )
c. ( 4+4√3 , 4−4 √3 )
d. ( 4−4√3 ,−4−4 √3 )
e. ( 4+4√3 ,−4+4√3 )
3. Garis y=−3x+1diputar dengan R(0,900), kemudian dicerminkan terhadap sumbu X.
Persamaan bayangannya adalah....
a. 3 y=x+1
b. 3 y=x−1
c. 3 y=−x−1
d. y=− x−1
e. y=3 x−1
4. Bayangan titik A (1,3) oleh gusuran searah sumbu X dengan faktor skala 3 adalah.....
a. (1,6)
b. (1,10)
c. (4,3)
d. (10,3)
e. (3,9)
5. Garis dengan persamaan 2 x+ y+4=0 dicerminkan terhadap garis y=x dan dilanjutkan
dengan transformasi yang bersesuaian dengan matriks [1 20 1]. Persamaan bayangannya
adalah....
a. x−2 y+4=0
b. x+2 y+4=0
c. x+4 y+4=0
d. y+4=0
e. x+4=0
6. Parabola yang persamaannya y=x2−4 x−5 ditransformasikan dengan menggunakan
matriks transformasi [−1 00 1 ]. Persamaan bayangan parabola itu adalah....
a. y=x2+4 x+5
b. y=x2−4 x+5
c. y=x2+4 x−5
d. y=− x2+4 x−5
e. y=− x2−4 x−5
7. Persamaan bayangan parabola y=x2−3, karena refleksi terhadap sumbu x dilanjutkan
oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks [2 11 1] adalah....
a. y2+x2−2 xy−x+2 y−3=0
b. y2+x2+2 xy+x−2 y−3=0
c. y2+x2−2 xy+ x−2 y−3=0
d. y2+x2+2 xy+x+2 y−3=0
e. y2−x2+2 xy+ x+2 y−3=0
8. Bayangan garis 2 x+ y+4=0, jika ditransformasikan dengan suatu transformasi yang
bersesuaian dengan matriks [−1 00 −1], persamaannya adalah....
a. 2 x− y+4=0
b. 2 x+ y−4=0
c. −2 x+ y+4=0
d. x+2 y−4=0
e. x−2 y−4=0
9. T1 adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks [1 20 3 ] dan T2 bersesuaian
dengan matriks [3 01 −2]. Matriks yang bersesuaian dangan T2T1 adalah....
a. [5 −43 −6]
b. [4 21 1]
c. [3 61 −4]
d. [4 21 −5]
e. [3 61 4]
10. Bayangan garis x−2 y+3=0. Oleh transformasi yang berkaitan dengan matriks
[1 −22 −5] dan dilanjutkan dengan matriks [1 2
2 3] adalah...
a. −3 x+2 y+3=0
b. 2 x− y+3=0
c. 2 x+ y+3=0
d. −3 x−2 y+3=0
e. −3 x+ y+3=0
11. T suatu transformasi linier yang memetakan titik-titik (0,1) dan(1,0) berturut-turut
menjadi titik-titik (1,0) dan (0,1). Maka T memetakan (-1,2) menjadi titik.....
a. (1,-2)
b. (1,2)
c. (2,1)
d. (2,-1)
e. (-2,1)
12. Jika titik P(2,-3) dicerminkan terhadap garis lurus m menghasilkan bayangan P '(4,5),
maka persamaan garis lurus m adalah....
a. 4 x− y−11=0
b. x−4 y+1=0
c. x+ y−4=0
d. 4 x+ y+7=0
e. x+4 y−7=0
13. Lingkaran ¿ ditransformasikan oleh matriks [0 −11 0 ]dan dilanjutkan oleh matriks
[1 00 1]maka bayangan lingkaran itu adalah .....
a. x2+ y2+6 x−4 y−12=0
b. x2+ y2−6 x−4 y−12=0
c. x2+ y2−4 x−6 y−12=0
d. x2+ y2+4 x−6 y−12=0
e. x2+ y2+4 x+6 y−12=0
14. Garis yang persamaannya y=2 x+√2 dirotasikan sejauh 450 dengan pusat O(0,0).
Persamaan garis yang terjadi adlah.....
a. y+3 x+2=0
b. y−3 x+2=0
c. y+2 x−3=0
d. y+x−2=0
e. 3 y+x+4=0
15. Garis 2 x− y+1=0 diputar dengan R(0,300), kemudian diputar lagi dengan R(0,600).
Persamaan bayangannya adalah....
a. x−2 y+1=0
b. x+2 y−1=0
c. 2 y−x−1=0
d. 2 y−x+1=0
e. 2 y+x+1=0
16. Bayangan segitiga ABC dengan A(2,1), B(6,2), dan C(5,4) jika dicerminkan terhadap
sumbu Y dilanjutkan dengan rotasi (0,900) adalah....
a. A' (−2 ,−1 ) , B' (−6 ,−2 ) ,C ' (−5 ,−4 )
b. A' (−1 ,−2 ) , B' (−2 ,−6 ) ,C ' (−4 ,−5 )
c. A' (1,−2 ) , B' (2,−6 ) ,C' (4 ,−5 )
d. A' (1, 2 ) , B' (2 ,6 ) ,C ' ( 4 ,5 )
e. A' (2 ,1 ) , B' (6 , 2 ) ,C ' (5 , 4 )
17. Persamaan bayangan garis 2 x+3 y+1=0karena refleksi terhadap sumbu Y dilanjutkan
dengan rotasi pusat O sebesar π2
adalah....
a. 2 x−3 y−1=0
b. 2 x+3 y−1=0
c. 3 x+2 y+1=0
d. 3 x−2 y−1=0
e. 3 x+2 y−1=0
18. T adalah (7,k) dengan dilatasi (T,2) memetakan titik (4,2) ke titik (1,-4) maka k
adalah....
a. 4
b. 6
c. 8
d. 9
e. 10
19. Persamaan hasil translasi kurva y=x2+1 dengan T=[ 2−3 ]adalah.....
a. y=x2−4 x+2
b. y=x2+4 x+2
c. y=− x2−4 x+2
d. y=x2+2 x+2
e. y=x2−4 x−2
20. Hasil pencerminan titik A(4,5) terhadap y=√3 x adalah.....
a. 2+ 25√3 , 2√3+ 2
5
b. −2+ 52√3 , 2√3+ 5
2
c. 2−25
√3 ,−2+ 25
d. −2−25
√3 ,2√3−25
e. 2−25
√3 , 2√3−25
21. Ditentukan T1 adalah refleksi terhadap garis x=−4. T2 adalah refleksi terhadap garis
x=6. Bayangan titik A(-2, 4) oleh transformasi T2 dilanjutkan oleh T1 adalah....
a. A '(−6 , 4)
b. A '(6 ,4)
c. A '(−18 ,4)
d. A' (−22 , 4 )
e. A '(−18 ,4)
22. Ellips dengan persamaan 4 x2+9 y2=36 digeser [−12 ] kemudian diputar 900 dengan
pusat (-1, 2). Persamaan bayangan ellips tersebut adalah....
a. 4 ¿
b. 9¿
c. 4 ¿
d. 9¿
e. 4 ¿
23. Diketahui titik A(0,1,2) dan B(1,3,-1) dan C(x,y,-7)kolinier(segaris). Nilai x dan y
berturut-turut adalah....
a. x = 3, y= 7
b. x = 2, y = 3
c. x =1, y =-1
d. x =7, y = 3
e. x = -3, y = -7
24. tentukan persamaan bayangan parabola y=8 x2, jika mendapat transformasi yang
berkaitan dengan matriks [1 00 −1]
a. y=−6 x2
b. y=6 x
c. y=−5x2
d. y=−8x2
e. y=2 x
25. Persamaan peta garis 2 x− y+4=0 , jika dicerminkan terhadap garis y=x , dilanjutkan
rotasi berpusat di (0,0) sejauh 2700 berlawanan arah jarum jam adalah....
a. 2 x− y+4
b. −2 x+ y+4
c. 2 x− y−2
d. x− y+4
e. 2 x+ y+4
Kunci jawaban Skor
Benar Salah
1. B 1 0
2. E 1 0
3. C 1 0
4. D 1 0
5. E 1 0
6. C 1 0
7. A 1 0
8. B 1 0
9. B 1 0
10. A 1 0
11. D 1 0
12. E 1 0
13. B 1 0
14. A 1 0
15. E 1 0
16. B 1 0
17. E 1 0
18. C 1 0
19. A 1 0
20. B 1 0
21. D 1 0
22. D 1 0
23. A 1 0
24. D 1 0
25. E 1 0
Keterangan :
Jika siswa menjawab dengan benar maka skor 1
Jika siswa menjawab salah maka skor 0
Penyelesaian :
1. M1 = pencerminan terhadap sumbu x = [1 00 −1]
M2 = dilatasi pusat O dengan k = 2 → [2 00 2]
Karena ditanya M1 dilanjutka oleh M2, maka dapat dinyatakan dalam
M 2∘M 1=M 2∘M 1
¿ [2 00 2] . [1 0
0 −1]¿ [2 0
0 −2][ x '
y ']=[2 00 −2] [ x
y ] atau x=M−1 . x '
[ xy ]= 1
4−0 [−2 00 2][ x '
y ' ]
=[−12
0
012][ x '
y ']
[ xy ]=[−1
2x '
12
y ' ]Jadi x =
−12
x ' dan y=12
y 'Jawab: B
2. (4,-8) dicerminkan terhadap garis x = 6, bayangannya adalah titik (8,-8). Titik (8,-8)
dirotasikan oleh (0,600) didapat
x '=xcos θ− y sin θ
¿8 cos600−(−8 )sin 600
¿8.12+8.
12
√3=4+4 √3
y '=x sin q+ y sin q
¿8 sin 600+(−8 ) cos600
¿8.12
√3−8.12
¿4 √3−4
Jadi bayangannya (4+4√3 ,−4+4 √3) Jawab: E
3. y=−3x+1
Ambil dua titik pada y=−3x+1 (0,1 ) dan (1,−2 )
R90 sb.x
(0,1)→(-1,0)→(-1,0)
R90 sb.x
(1,-2)→(2,1)→(2,-1)
Persamaan garis melalui (-1,0) dan (2,-1)
y−0−1−0
= x+12+1
→ 3 y=−x−1 Jawab: C
4. Bayangan titik A(1,3) oleh gusuran searah sumbu x dengan faktor skala 3
[ x '
y ']=[0 30 1] [13 ]=[1+9
0+3]=[103 ]
Jadi peta dari titik A (1,3) oleh transformasi gusuran searah sumbu x dengan faktor
skala 3 adalah A '(10,3) Jawab: D
5. Garis 2 x+ y+4=0 dicerminkan terhadap garis y=x kemudian dilanjutkan dengan
transformasi yang bersesuaian dengan matriks [1 20 1]
Matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap garis y=x adalah [0 11 0]
[ x 'y ' ]=[1 2
0 1] [0 11 0 ][ x
y ][ x '
y ']=[2 11 0] [ x
y ][ x '
y ']=[2 x+ yx ]→ x= y' …… (1 )
2 x+ y=x '
2 ( y ' )+ y=x '
y=x '−2 y ' ……(2)
(1 ) dan (2) disubtitusi kepersamaan garis :
2 x+ y+4=0 2 y '+x '−2 y '+4=0
2 x+ y+4=0 x '+4=0
Jadi persamaan bayangannya x+4=0 Jawab: E
6. y=x2−4 x−5
Misal x=1 → y=12−4.1−5
¿−8
Jadi (1,-8)
x=−1 → y=(−1 )2−4 (−1 )−5
y=0
Jadi (-1,0)
[ x '
y ']=[ 1 −8−1 0 ] [−1 0
0 1]
[ x '
y ']=[−1 −81 0 ]
Misal hasil transformasinya adalah :
y '=( x ' )2+a x '+b , maka :
−8=(−1 )2+a (−1 )+b
¿1−a+b
−a+b=−9…… (1 )
0=(1 )2+a (1 )+b
a+b=−1…… (2 )
Dari (1) dan (2)
−a+b=−9
a+b=−¿1 -
−2 a=−8
a=4 → 4+b=−1
→ b=−5
Jadi hasil transformasinya: y=x2+4 x−5 Jawab: C
7. ( x , y ) M2 =[1 00 −1]( x ' , y ' )
¿(x ,− y)[2 11 1] ( x ' ' , y ' ' )
¿ (2 x− y , x− y )
Diperoleh: (1) x ' '=2 x− y
(2) y ' '=x− y -
x ' '− y ' '=x …………. (3 )
Dengan mensubtitusikan x ke (2) diperoleh:
y=x ' '−2 y ' ' …………. (4 )
Subtitusikan x=x ' '− y ' ' dan y=x ' '−2 y ' ' kepersamaan y=x2−3 ,diperoleh:
x ' '−2 y ' '=¿
⟺ x ' '−2 y ' '=¿
⟺¿
Sehingga bayangan y=x2−1 setelah dicerminkan terhadap sumbu x yang dilanjutkan
oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks [2 11 1] adalah
y2+x2−2 xy−x+2 y−3=0 Jawab: A
8. 2 x+ y+4=0
Jika x = 0 maka y = -4
Jika y = 0 maka x = -2
Jadi titik-titik (0,-4) dan (-2,0) terletak pada garis.
Titik-titik tersebut ditransformasikan sehingga didapat :
[−1 00 −1] [ 0 −2
−4 0 ]=[0 24 0]
Jadi bayangan titiknya (0,4) dan (2,0)
Persamaan garisnya adalah
y− y1
x−x1
=y2− y1
x2−x1
⟺ y−4x−0
=0−42−0
⟺2 y−8=−4 x
⟺2 x+ y−4=0 Jawab: B
9. T1 dan T2 masing-masing transformasi yang bersesuaian dengan matriks [1 20 3 ] dan
[3 01 −2]
Matriks yang bersesuaian dengan:
T 2∘T 1=[3 01 −2]+[1 2
0 3]¿ [4 2
1 1] Jawab: B
10. Ambillah 2 buah titik sembarang yang melalui garis: x−2 y+3=0 , misal titik itu A dan
B
untuk x = 0→y=32⟶ titik A (0 ,
32)
untuk y = 0 → x=−3⟶ titik B(−3,0)
kedua titik ini kita transformasikan (kita cerminkan) dengan matriks yang berkaitan
dengan matriks [1 −22 −5] sebagai berikut:
[1 −22 −5] [ 0 −3
32
0 ]=[ −3 −3−15
2−6 ]
Lalu dilanjutkan dengan matriks [1 22 3] sebagai berikut:
[1 22 3] [ −3 −3
−152
−6]=[ −18 −15
−2812
−24 ]Jadi bayangan titik A dan B yaitu:
A' ' (−18 ,−2812 )dan B ' ' (−15 ,−24 )
Kita tahu bahwa 2 buah titik hanya dilalui oleh satu garis lurus. Jadi, geris lurus yang
melalui garis A' ' dan B ' ' adalah:
x+18−15+18
=y+28
12
−24+2812
⟶−3 x+2 y+3=0
Maka garis itu adalah bayangan dari garis x−2 y+3=0 Jawab:A
11. (0,1) dipetakan menjadi (0,1)
(1,0) dipetakan menjadi (0,1)
Berarti pencerminan terhadap y=x ,[(0¿1)(1¿0)] sebagai matriks operator.
Apabila T memetakan titik (-1,2) adalah:
[(0¿1)(1¿0)] [−1
2 ]=[ x '
y ' ]⇒ x '=0+2=2
y '=−1+0=−1
Jadi titik (-1,2)dipetakan terhadap y = x menjadi (2,-1) Jawab: D
12. Dimisalkan persamaan garis lurus m ≡ y=ax+b m tegak lurus dengan PP'
Koefisien garis P P' ≡ n= 5+34−2
=82=4
n=4 makaa=−14
(karena PQ⊥m )
Q tengah−tengah PP '⇒Q ¿
≡Q (3,1)
Jadi persamaan garis m yang melalui (3,1) dengan koefisien −14
adalah :
y− y1=a ( x−x1 )
y−1=−14
( x−3 )
y−1=−14
x+ 34
4 y−4=−x+3
x+4 y−7=0 Jawab: E
13. T 1=[0 −11 0 ] dan T 2=[1 0
0 1]T=T 2 ∙ T1=[1 0
0 1] ∙[0 −11 0 ]=[0 −1
1 0 ]L :¿
Pusat (2,-3) dan r = 5
Untuk mencari lingkaran hasil transformasi (L') cukup menstransformasikan pusat
lingkaran L saja.
L'=T ∙ L→ [ x '
y ' ]=[0 −11 0 ][ 2
−3]=[32]Persamaan L'¿
x2+ y2−6 x−4 y−12=0 Jawab: B
14. P : y=2 x+√2
T=rotasi sejauh 450
¿ [cos 450 −sin 450
sin 450 cos450 ]=12√2[1 −1
1 1 ]T−1=1
2√2[1 −1
1 1 ]P'=T ∙ P maka P=T−1 ∙P '
[ xy ]=1
2√2[ 1 1
−1 1] [ x '
y ']x=1
2√2 x '+ 1
2√2 y '
y=−12
√2 x '+ 12√2 y '
Bayangannya: P ' (mengganti variabel x dan y dengan variabel x ' dan y ' pada persamaan
P)
P' :−√22
x '+ √22
y '=2(√22
x '+ √22
y ')+√2 (dikali √2 dikedua ruasnya)
−x '+ y '=2 x '+2 y'+2
y+3 x+2=0 Jawab: A
15. T 1=R (0 ,300 ) dan T2=R (0 , 600)
T=T 2∘T 1=R (0 ,900 )=[0 −11 0 ]
P'=T ∙ P →[ x '
y ']=[0 −11 0 ][ x
y ]
[ x '
y ']=[− yx ] maka y=− x'
x= y '
Bayangan akhirnya: P' :2 ( y ' )− (−x ' )+1=0
2 y+x+1=0 Jawab: E
16. T 1=refleksi terhadap sumbu y=[−1 00 1 ]
T 2=rotasi (0 ,900 )=[0 −11 0 ]
T=T 2∘T 1=[0 −11 0 ] ∙[−1 0
0 1]=[ 0 −1−1 0 ]
P'=T ∙ P
[ x '
y ']=[ 0 −1−1 0 ][ x
y ]
[ x '
y ']=[− y−x ]
Bayangannya:A (2,1 ) → A' (−1 ,−2 )
B (6,2 )→ B ' (−2 ,−6 )
C (5,4)→C ' (−4 ,−5) Jawab: B
17. P :2x+3 y+1=0
T 1=pencerminanterhadap sumbu y [−1 00 1]
T 2=rotasi sebesarπ2=[0 −1
1 0 ]T=T 2∘T 1=[0 −1
1 0 ] [−1 00 1]
¿ [ 0 −1−1 0 ]
T−1=[ 0 −1−1 0 ]
P'=T ∙ P maka P=T−1 ∙P '
[ xy ]=[ 0 −1
−1 0 ] [ x 'y ' ]=[− y '
−x ' ]Bayangannya :
P' :2 (− y ' )+3 (−x ' )+1=0 ( dikali (−1 ) )
3 x+2 y−1=0 Jawab: E
18. [ x '
y ']=2[ x−7y−k ]+[7k ]
[ 1−4 ]=2 [4−7
2−k ]+[7k ]−4=2 (2−k )+k=4−2 k+k
k=8 Jawab: C
19. [ x '
y ']=[ x+2y−3]
x=x '−2 y= y '+3
y=x2+1
( y '+3 )=¿
y '=x ' 2−4 x '+4+1−3
¿ x '2−4 x '+2
Jadi y=x2−4 x+2 Jawab: A
20. A (4,5 ) , y=√3 x misalkan petanya A '=(x ' , y ' )
y=√3 x , dengan tgα=√3
α=600
[ x '
y ']=[cos 2 α sin 2αsin 2α −cos2α ] [45 ]
¿ [cos 1200 sin1200
sin1200 −cos1200][ 45 ]
¿ [ −12
12
√3
12√3
12
] [45]=[45 ]=[−2+ 52
√3
2√3+52
]Jadi, petanya adalah (−2+ 5
2√3 , 2√3+ 5
2 ) Jawab: B
21. Bayangan akhir setelah refleksi terhadap x=6 dilanjutkan dengan refleksi terhadap
garis x=−4 yaitu: P' ' ( x ”, y ' ' )=P' ' {2 (b−a )+x , y' ' }A'=P' ' {2 (−4−6 )−2, 4}
A'=P ' ' (−22,4) Jawab: D
22. P :4 x2+9 y2=36 ,T 1=[−12 ]dan T 2=rotasi 900=[0 −1
1 0 ]P'=T 1+P → P=P'−T 1
[ xy ]=[ x '
y ' ]−[−12 ]=[ x '+1
y '−2]Persamaan ellips setelah digeser adalah P' ' : 4¿
Bayangan akhir setelah diputar sejauh 900 dengan pusat rotasi (-1,2) diperoleh dari
P' '=T2 ∙ P' →[ x ' '+1y ' '−2]=[0 −1
1 0 ] [ x '+1y '−2]
¿ [− y '+2x'+1 ]
x ' '+1=− y '+2 → y '=1−x ' '
y ' '−2=x '+1→ x '= y ' '−3
persamaanP ' ' diperoleh denganmengganti x ' dan y ' dengan x ' ' dan y ' '
P' ' : 4 {( y ' '−3 )+1 }2+9 ∙{ (1−x ' ' )−2¿2=36
4 ¿
9¿ Jawab: D
23. A (0,1,2 ) ,B (1,3 ,−1 ) , C ( x , y ,−7 ) kolinier ,maka :
AB=k BC
b−a=k (c−b )
[ 1−03−1
−1−2]=k [ x−1y−3
−7+1]⇒ [ 12
−3]=k [ x−1y−3−6 ]
−6 k=−3⇒k=12
k ( x−1 )=1
12
( x−1 )=1
x−1=2⇒ x=3
Jadi x = 3 dan y = 7 Jawab: A
24. Misalkan ada sebuah titik (a,b) terletak pada parabola y=8 x2,
maka berlakub=8 a2. Jika (a ' , b' ) bayangan dari (a,b) maka
[a'
b' ]=[1 00 −1][ab]
[a'
b' ]=[ a−b] atau a=a '
b=−b '
Jika disubtitusikan ke persamaan b=8 a2 maka: −b '=8¿ atau b '=−8¿
Jadi persamaan bayangannya adalah y=−8x2 Jawab: D
25. [ x '
y ']=R 2700∘M y=x [ xy ]
¿ [cos 2700 −sin2700
sin2700 cos 2700 ][0 11 0][ x
y ]¿ [ 0 1
−1 0] [ xy ]
¿ [ x− y ]
x=x '
y=− y '
2 x− y+4=0
2 x'+ y '+4=0→ 2x+ y+4=0 Jawab: E