Standar kompetensi : Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam

pemecahan masalah.

Kompetensi dasar : Menentukan komposisi dari beberapa transformasi geometri beserta

matriks transformasinya

Kelas/semester : XII/genap

Hari/tanggal : Selasa,2 April 2013

Alokasi waktu : 2x45 menit

Petunjuk umum : Pilih salah satu jawaban yang benar!

SOAL

1. Bayangan kurva y=x2−3 jika dicerminkan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan

dilatasi pusat O dan faktor skalar 2 adalah....

a. y=12

x2+6

b. y=12

x2−6

c. y=12

x2−3

d. y=6−12

x2

e. y=3−12

x2

2. Titik (4,-8) dicerminkan terhadap garisx=6, dilanjutkan dengan rotasi (0,600). Hasilnya

adalah....

a. (−4+4√3 ,4−4 √3 )

b. (−4+4√3 ,−4−4√3 )

c. ( 4+4√3 , 4−4 √3 )

d. ( 4−4√3 ,−4−4 √3 )

e. ( 4+4√3 ,−4+4√3 )

3. Garis y=−3x+1diputar dengan R(0,900), kemudian dicerminkan terhadap sumbu X.

Persamaan bayangannya adalah....

a. 3 y=x+1

b. 3 y=x−1

c. 3 y=−x−1

d. y=− x−1

e. y=3 x−1

4. Bayangan titik A (1,3) oleh gusuran searah sumbu X dengan faktor skala 3 adalah.....

a. (1,6)

b. (1,10)

c. (4,3)

d. (10,3)

e. (3,9)

5. Garis dengan persamaan 2 x+ y+4=0 dicerminkan terhadap garis y=x dan dilanjutkan

dengan transformasi yang bersesuaian dengan matriks [1 20 1]. Persamaan bayangannya

adalah....

a. x−2 y+4=0

b. x+2 y+4=0

c. x+4 y+4=0

d. y+4=0

e. x+4=0

6. Parabola yang persamaannya y=x2−4 x−5 ditransformasikan dengan menggunakan

matriks transformasi [−1 00 1 ]. Persamaan bayangan parabola itu adalah....

a. y=x2+4 x+5

b. y=x2−4 x+5

c. y=x2+4 x−5

d. y=− x2+4 x−5

e. y=− x2−4 x−5

7. Persamaan bayangan parabola y=x2−3, karena refleksi terhadap sumbu x dilanjutkan

oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks [2 11 1] adalah....

a. y2+x2−2 xy−x+2 y−3=0

b. y2+x2+2 xy+x−2 y−3=0

c. y2+x2−2 xy+ x−2 y−3=0

d. y2+x2+2 xy+x+2 y−3=0

e. y2−x2+2 xy+ x+2 y−3=0

8. Bayangan garis 2 x+ y+4=0, jika ditransformasikan dengan suatu transformasi yang

bersesuaian dengan matriks [−1 00 −1], persamaannya adalah....

a. 2 x− y+4=0

b. 2 x+ y−4=0

c. −2 x+ y+4=0

d. x+2 y−4=0

e. x−2 y−4=0

9. T1 adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks [1 20 3 ] dan T2 bersesuaian

dengan matriks [3 01 −2]. Matriks yang bersesuaian dangan T2T1 adalah....

a. [5 −43 −6]

b. [4 21 1]

c. [3 61 −4]

d. [4 21 −5]

e. [3 61 4]

10. Bayangan garis x−2 y+3=0. Oleh transformasi yang berkaitan dengan matriks

[1 −22 −5] dan dilanjutkan dengan matriks [1 2

2 3] adalah...

a. −3 x+2 y+3=0

b. 2 x− y+3=0

c. 2 x+ y+3=0

d. −3 x−2 y+3=0

e. −3 x+ y+3=0

11. T suatu transformasi linier yang memetakan titik-titik (0,1) dan(1,0) berturut-turut

menjadi titik-titik (1,0) dan (0,1). Maka T memetakan (-1,2) menjadi titik.....

a. (1,-2)

b. (1,2)

c. (2,1)

d. (2,-1)

e. (-2,1)

12. Jika titik P(2,-3) dicerminkan terhadap garis lurus m menghasilkan bayangan P '(4,5),

maka persamaan garis lurus m adalah....

a. 4 x− y−11=0

b. x−4 y+1=0

c. x+ y−4=0

d. 4 x+ y+7=0

e. x+4 y−7=0

13. Lingkaran ¿ ditransformasikan oleh matriks [0 −11 0 ]dan dilanjutkan oleh matriks

[1 00 1]maka bayangan lingkaran itu adalah .....

a. x2+ y2+6 x−4 y−12=0

b. x2+ y2−6 x−4 y−12=0

c. x2+ y2−4 x−6 y−12=0

d. x2+ y2+4 x−6 y−12=0

e. x2+ y2+4 x+6 y−12=0

14. Garis yang persamaannya y=2 x+√2 dirotasikan sejauh 450 dengan pusat O(0,0).

Persamaan garis yang terjadi adlah.....

a. y+3 x+2=0

b. y−3 x+2=0

c. y+2 x−3=0

d. y+x−2=0

e. 3 y+x+4=0

15. Garis 2 x− y+1=0 diputar dengan R(0,300), kemudian diputar lagi dengan R(0,600).

Persamaan bayangannya adalah....

a. x−2 y+1=0

b. x+2 y−1=0

c. 2 y−x−1=0

d. 2 y−x+1=0

e. 2 y+x+1=0

16. Bayangan segitiga ABC dengan A(2,1), B(6,2), dan C(5,4) jika dicerminkan terhadap

sumbu Y dilanjutkan dengan rotasi (0,900) adalah....

a. A' (−2 ,−1 ) , B' (−6 ,−2 ) ,C ' (−5 ,−4 )

b. A' (−1 ,−2 ) , B' (−2 ,−6 ) ,C ' (−4 ,−5 )

c. A' (1,−2 ) , B' (2,−6 ) ,C' (4 ,−5 )

d. A' (1, 2 ) , B' (2 ,6 ) ,C ' ( 4 ,5 )

e. A' (2 ,1 ) , B' (6 , 2 ) ,C ' (5 , 4 )

17. Persamaan bayangan garis 2 x+3 y+1=0karena refleksi terhadap sumbu Y dilanjutkan

dengan rotasi pusat O sebesar π2

adalah....

a. 2 x−3 y−1=0

b. 2 x+3 y−1=0

c. 3 x+2 y+1=0

d. 3 x−2 y−1=0

e. 3 x+2 y−1=0

18. T adalah (7,k) dengan dilatasi (T,2) memetakan titik (4,2) ke titik (1,-4) maka k

adalah....

a. 4

b. 6

c. 8

d. 9

e. 10

19. Persamaan hasil translasi kurva y=x2+1 dengan T=[ 2−3 ]adalah.....

a. y=x2−4 x+2

b. y=x2+4 x+2

c. y=− x2−4 x+2

d. y=x2+2 x+2

e. y=x2−4 x−2

20. Hasil pencerminan titik A(4,5) terhadap y=√3 x adalah.....

a. 2+ 25√3 , 2√3+ 2

5

b. −2+ 52√3 , 2√3+ 5

2

c. 2−25

√3 ,−2+ 25

d. −2−25

√3 ,2√3−25

e. 2−25

√3 , 2√3−25

21. Ditentukan T1 adalah refleksi terhadap garis x=−4. T2 adalah refleksi terhadap garis

x=6. Bayangan titik A(-2, 4) oleh transformasi T2 dilanjutkan oleh T1 adalah....

a. A '(−6 , 4)

b. A '(6 ,4)

c. A '(−18 ,4)

d. A' (−22 , 4 )

e. A '(−18 ,4)

22. Ellips dengan persamaan 4 x2+9 y2=36 digeser [−12 ] kemudian diputar 900 dengan

pusat (-1, 2). Persamaan bayangan ellips tersebut adalah....

a. 4 ¿

b. 9¿

c. 4 ¿

d. 9¿

e. 4 ¿

23. Diketahui titik A(0,1,2) dan B(1,3,-1) dan C(x,y,-7)kolinier(segaris). Nilai x dan y

berturut-turut adalah....

a. x = 3, y= 7

b. x = 2, y = 3

c. x =1, y =-1

d. x =7, y = 3

e. x = -3, y = -7

24. tentukan persamaan bayangan parabola y=8 x2, jika mendapat transformasi yang

berkaitan dengan matriks [1 00 −1]

a. y=−6 x2

b. y=6 x

c. y=−5x2

d. y=−8x2

e. y=2 x

25. Persamaan peta garis 2 x− y+4=0 , jika dicerminkan terhadap garis y=x , dilanjutkan

rotasi berpusat di (0,0) sejauh 2700 berlawanan arah jarum jam adalah....

a. 2 x− y+4

b. −2 x+ y+4

c. 2 x− y−2

d. x− y+4

e. 2 x+ y+4

Kunci jawaban Skor

Benar Salah

1. B 1 0

2. E 1 0

3. C 1 0

4. D 1 0

5. E 1 0

6. C 1 0

7. A 1 0

8. B 1 0

9. B 1 0

10. A 1 0

11. D 1 0

12. E 1 0

13. B 1 0

14. A 1 0

15. E 1 0

16. B 1 0

17. E 1 0

18. C 1 0

19. A 1 0

20. B 1 0

21. D 1 0

22. D 1 0

23. A 1 0

24. D 1 0

25. E 1 0

Keterangan :

Jika siswa menjawab dengan benar maka skor 1

Jika siswa menjawab salah maka skor 0

Penyelesaian :

1. M1 = pencerminan terhadap sumbu x = [1 00 −1]

M2 = dilatasi pusat O dengan k = 2 → [2 00 2]

Karena ditanya M1 dilanjutka oleh M2, maka dapat dinyatakan dalam

M 2∘M 1=M 2∘M 1

¿ [2 00 2] . [1 0

0 −1]¿ [2 0

0 −2][ x '

y ']=[2 00 −2] [ x

y ] atau x=M−1 . x '

[ xy ]= 1

4−0 [−2 00 2][ x '

y ' ]

=[−12

0

012][ x '

y ']

[ xy ]=[−1

2x '

12

y ' ]Jadi x =

−12

x ' dan y=12

y 'Jawab: B

2. (4,-8) dicerminkan terhadap garis x = 6, bayangannya adalah titik (8,-8). Titik (8,-8)

dirotasikan oleh (0,600) didapat

x '=xcos θ− y sin θ

¿8 cos600−(−8 )sin 600

¿8.12+8.

12

√3=4+4 √3

y '=x sin q+ y sin q

¿8 sin 600+(−8 ) cos600

¿8.12

√3−8.12

¿4 √3−4

Jadi bayangannya (4+4√3 ,−4+4 √3) Jawab: E

3. y=−3x+1

Ambil dua titik pada y=−3x+1 (0,1 ) dan (1,−2 )

R90 sb.x

(0,1)→(-1,0)→(-1,0)

R90 sb.x

(1,-2)→(2,1)→(2,-1)

Persamaan garis melalui (-1,0) dan (2,-1)

y−0−1−0

= x+12+1

→ 3 y=−x−1 Jawab: C

4. Bayangan titik A(1,3) oleh gusuran searah sumbu x dengan faktor skala 3

[ x '

y ']=[0 30 1] [13 ]=[1+9

0+3]=[103 ]

Jadi peta dari titik A (1,3) oleh transformasi gusuran searah sumbu x dengan faktor

skala 3 adalah A '(10,3) Jawab: D

5. Garis 2 x+ y+4=0 dicerminkan terhadap garis y=x kemudian dilanjutkan dengan

transformasi yang bersesuaian dengan matriks [1 20 1]

Matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap garis y=x adalah [0 11 0]

[ x 'y ' ]=[1 2

0 1] [0 11 0 ][ x

y ][ x '

y ']=[2 11 0] [ x

y ][ x '

y ']=[2 x+ yx ]→ x= y' …… (1 )

2 x+ y=x '

2 ( y ' )+ y=x '

y=x '−2 y ' ……(2)

(1 ) dan (2) disubtitusi kepersamaan garis :

2 x+ y+4=0 2 y '+x '−2 y '+4=0

2 x+ y+4=0 x '+4=0

Jadi persamaan bayangannya x+4=0 Jawab: E

6. y=x2−4 x−5

Misal x=1 → y=12−4.1−5

¿−8

Jadi (1,-8)

x=−1 → y=(−1 )2−4 (−1 )−5

y=0

Jadi (-1,0)

[ x '

y ']=[ 1 −8−1 0 ] [−1 0

0 1]

[ x '

y ']=[−1 −81 0 ]

Misal hasil transformasinya adalah :

y '=( x ' )2+a x '+b , maka :

−8=(−1 )2+a (−1 )+b

¿1−a+b

−a+b=−9…… (1 )

0=(1 )2+a (1 )+b

a+b=−1…… (2 )

Dari (1) dan (2)

−a+b=−9

a+b=−¿1 -

−2 a=−8

a=4 → 4+b=−1

→ b=−5

Jadi hasil transformasinya: y=x2+4 x−5 Jawab: C

7. ( x , y ) M2 =[1 00 −1]( x ' , y ' )

¿(x ,− y)[2 11 1] ( x ' ' , y ' ' )

¿ (2 x− y , x− y )

Diperoleh: (1) x ' '=2 x− y

(2) y ' '=x− y -

x ' '− y ' '=x …………. (3 )

Dengan mensubtitusikan x ke (2) diperoleh:

y=x ' '−2 y ' ' …………. (4 )

Subtitusikan x=x ' '− y ' ' dan y=x ' '−2 y ' ' kepersamaan y=x2−3 ,diperoleh:

x ' '−2 y ' '=¿

⟺ x ' '−2 y ' '=¿

⟺¿

Sehingga bayangan y=x2−1 setelah dicerminkan terhadap sumbu x yang dilanjutkan

oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks [2 11 1] adalah

y2+x2−2 xy−x+2 y−3=0 Jawab: A

8. 2 x+ y+4=0

Jika x = 0 maka y = -4

Jika y = 0 maka x = -2

Jadi titik-titik (0,-4) dan (-2,0) terletak pada garis.

Titik-titik tersebut ditransformasikan sehingga didapat :

[−1 00 −1] [ 0 −2

−4 0 ]=[0 24 0]

Jadi bayangan titiknya (0,4) dan (2,0)

Persamaan garisnya adalah

y− y1

x−x1

=y2− y1

x2−x1

⟺ y−4x−0

=0−42−0

⟺2 y−8=−4 x

⟺2 x+ y−4=0 Jawab: B

9. T1 dan T2 masing-masing transformasi yang bersesuaian dengan matriks [1 20 3 ] dan

[3 01 −2]

Matriks yang bersesuaian dengan:

T 2∘T 1=[3 01 −2]+[1 2

0 3]¿ [4 2

1 1] Jawab: B

10. Ambillah 2 buah titik sembarang yang melalui garis: x−2 y+3=0 , misal titik itu A dan

B

untuk x = 0→y=32⟶ titik A (0 ,

32)

untuk y = 0 → x=−3⟶ titik B(−3,0)

kedua titik ini kita transformasikan (kita cerminkan) dengan matriks yang berkaitan

dengan matriks [1 −22 −5] sebagai berikut:

[1 −22 −5] [ 0 −3

32

0 ]=[ −3 −3−15

2−6 ]

Lalu dilanjutkan dengan matriks [1 22 3] sebagai berikut:

[1 22 3] [ −3 −3

−152

−6]=[ −18 −15

−2812

−24 ]Jadi bayangan titik A dan B yaitu:

A' ' (−18 ,−2812 )dan B ' ' (−15 ,−24 )

Kita tahu bahwa 2 buah titik hanya dilalui oleh satu garis lurus. Jadi, geris lurus yang

melalui garis A' ' dan B ' ' adalah:

x+18−15+18

=y+28

12

−24+2812

⟶−3 x+2 y+3=0

Maka garis itu adalah bayangan dari garis x−2 y+3=0 Jawab:A

11. (0,1) dipetakan menjadi (0,1)

(1,0) dipetakan menjadi (0,1)

Berarti pencerminan terhadap y=x ,[(0¿1)(1¿0)] sebagai matriks operator.

Apabila T memetakan titik (-1,2) adalah:

[(0¿1)(1¿0)] [−1

2 ]=[ x '

y ' ]⇒ x '=0+2=2

y '=−1+0=−1

Jadi titik (-1,2)dipetakan terhadap y = x menjadi (2,-1) Jawab: D

12. Dimisalkan persamaan garis lurus m ≡ y=ax+b m tegak lurus dengan PP'

Koefisien garis P P' ≡ n= 5+34−2

=82=4

n=4 makaa=−14

(karena PQ⊥m )

Q tengah−tengah PP '⇒Q ¿

≡Q (3,1)

Jadi persamaan garis m yang melalui (3,1) dengan koefisien −14

adalah :

y− y1=a ( x−x1 )

y−1=−14

( x−3 )

y−1=−14

x+ 34

4 y−4=−x+3

x+4 y−7=0 Jawab: E

13. T 1=[0 −11 0 ] dan T 2=[1 0

0 1]T=T 2 ∙ T1=[1 0

0 1] ∙[0 −11 0 ]=[0 −1

1 0 ]L :¿

Pusat (2,-3) dan r = 5

Untuk mencari lingkaran hasil transformasi (L') cukup menstransformasikan pusat

lingkaran L saja.

L'=T ∙ L→ [ x '

y ' ]=[0 −11 0 ][ 2

−3]=[32]Persamaan L'¿

x2+ y2−6 x−4 y−12=0 Jawab: B

14. P : y=2 x+√2

T=rotasi sejauh 450

¿ [cos 450 −sin 450

sin 450 cos450 ]=12√2[1 −1

1 1 ]T−1=1

2√2[1 −1

1 1 ]P'=T ∙ P maka P=T−1 ∙P '

[ xy ]=1

2√2[ 1 1

−1 1] [ x '

y ']x=1

2√2 x '+ 1

2√2 y '

y=−12

√2 x '+ 12√2 y '

Bayangannya: P ' (mengganti variabel x dan y dengan variabel x ' dan y ' pada persamaan

P)

P' :−√22

x '+ √22

y '=2(√22

x '+ √22

y ')+√2 (dikali √2 dikedua ruasnya)

−x '+ y '=2 x '+2 y'+2

y+3 x+2=0 Jawab: A

15. T 1=R (0 ,300 ) dan T2=R (0 , 600)

T=T 2∘T 1=R (0 ,900 )=[0 −11 0 ]

P'=T ∙ P →[ x '

y ']=[0 −11 0 ][ x

y ]

[ x '

y ']=[− yx ] maka y=− x'

x= y '

Bayangan akhirnya: P' :2 ( y ' )− (−x ' )+1=0

2 y+x+1=0 Jawab: E

16. T 1=refleksi terhadap sumbu y=[−1 00 1 ]

T 2=rotasi (0 ,900 )=[0 −11 0 ]

T=T 2∘T 1=[0 −11 0 ] ∙[−1 0

0 1]=[ 0 −1−1 0 ]

P'=T ∙ P

[ x '

y ']=[ 0 −1−1 0 ][ x

y ]

[ x '

y ']=[− y−x ]

Bayangannya:A (2,1 ) → A' (−1 ,−2 )

B (6,2 )→ B ' (−2 ,−6 )

C (5,4)→C ' (−4 ,−5) Jawab: B

17. P :2x+3 y+1=0

T 1=pencerminanterhadap sumbu y [−1 00 1]

T 2=rotasi sebesarπ2=[0 −1

1 0 ]T=T 2∘T 1=[0 −1

1 0 ] [−1 00 1]

¿ [ 0 −1−1 0 ]

T−1=[ 0 −1−1 0 ]

P'=T ∙ P maka P=T−1 ∙P '

[ xy ]=[ 0 −1

−1 0 ] [ x 'y ' ]=[− y '

−x ' ]Bayangannya :

P' :2 (− y ' )+3 (−x ' )+1=0 ( dikali (−1 ) )

3 x+2 y−1=0 Jawab: E

18. [ x '

y ']=2[ x−7y−k ]+[7k ]

[ 1−4 ]=2 [4−7

2−k ]+[7k ]−4=2 (2−k )+k=4−2 k+k

k=8 Jawab: C

19. [ x '

y ']=[ x+2y−3]

x=x '−2 y= y '+3

y=x2+1

( y '+3 )=¿

y '=x ' 2−4 x '+4+1−3

¿ x '2−4 x '+2

Jadi y=x2−4 x+2 Jawab: A

20. A (4,5 ) , y=√3 x misalkan petanya A '=(x ' , y ' )

y=√3 x , dengan tgα=√3

α=600

[ x '

y ']=[cos 2 α sin 2αsin 2α −cos2α ] [45 ]

¿ [cos 1200 sin1200

sin1200 −cos1200][ 45 ]

¿ [ −12

12

√3

12√3

12

] [45]=[45 ]=[−2+ 52

√3

2√3+52

]Jadi, petanya adalah (−2+ 5

2√3 , 2√3+ 5

2 ) Jawab: B

21. Bayangan akhir setelah refleksi terhadap x=6 dilanjutkan dengan refleksi terhadap

garis x=−4 yaitu: P' ' ( x ”, y ' ' )=P' ' {2 (b−a )+x , y' ' }A'=P' ' {2 (−4−6 )−2, 4}

A'=P ' ' (−22,4) Jawab: D

22. P :4 x2+9 y2=36 ,T 1=[−12 ]dan T 2=rotasi 900=[0 −1

1 0 ]P'=T 1+P → P=P'−T 1

[ xy ]=[ x '

y ' ]−[−12 ]=[ x '+1

y '−2]Persamaan ellips setelah digeser adalah P' ' : 4¿

Bayangan akhir setelah diputar sejauh 900 dengan pusat rotasi (-1,2) diperoleh dari

P' '=T2 ∙ P' →[ x ' '+1y ' '−2]=[0 −1

1 0 ] [ x '+1y '−2]

¿ [− y '+2x'+1 ]

x ' '+1=− y '+2 → y '=1−x ' '

y ' '−2=x '+1→ x '= y ' '−3

persamaanP ' ' diperoleh denganmengganti x ' dan y ' dengan x ' ' dan y ' '

P' ' : 4 {( y ' '−3 )+1 }2+9 ∙{ (1−x ' ' )−2¿2=36

4 ¿

9¿ Jawab: D

23. A (0,1,2 ) ,B (1,3 ,−1 ) , C ( x , y ,−7 ) kolinier ,maka :

AB=k BC

b−a=k (c−b )

[ 1−03−1

−1−2]=k [ x−1y−3

−7+1]⇒ [ 12

−3]=k [ x−1y−3−6 ]

−6 k=−3⇒k=12

k ( x−1 )=1

12

( x−1 )=1

x−1=2⇒ x=3

Jadi x = 3 dan y = 7 Jawab: A

24. Misalkan ada sebuah titik (a,b) terletak pada parabola y=8 x2,

maka berlakub=8 a2. Jika (a ' , b' ) bayangan dari (a,b) maka

[a'

b' ]=[1 00 −1][ab]

[a'

b' ]=[ a−b] atau a=a '

b=−b '

Jika disubtitusikan ke persamaan b=8 a2 maka: −b '=8¿ atau b '=−8¿

Jadi persamaan bayangannya adalah y=−8x2 Jawab: D

25. [ x '

y ']=R 2700∘M y=x [ xy ]

¿ [cos 2700 −sin2700

sin2700 cos 2700 ][0 11 0][ x

y ]¿ [ 0 1

−1 0] [ xy ]

¿ [ x− y ]

x=x '

y=− y '

2 x− y+4=0

2 x'+ y '+4=0→ 2x+ y+4=0 Jawab: E