Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
BAB V. INTEGRAL
• Anti-turunan dan Integral Tak Tentu• Persamaan Diferensial Sederhana• Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva• Integral Tentu• Teorema Dasar Kalkulus• Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut• Substitusi dalam Penghitungan Integral Tentu
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Anti-turunan dan Integral Tak Tentu
Fungsi F disebut anti-turunan f pada I apabilaF’(x) = f(x)
untuk setiap x є I. Sebagai contoh, F(x) = x4 + 1 adalahanti-turunan f(x) = 4x3 pada R. Secara umum, keluargafungsi F(x) = x4 + C merupakan anti-turunan f(x) = 4x3
pada R, karena F’(x) = 4x3 = f(x) untuk setiap x є R.
Keluarga fungsi anti-turunan f(x) disebut integral taktentu dari f(x), dan dilambangkan dengan ∫ f(x) dx. Jadi, sebagai contoh,
∫ 4x3 dx = x4 + C.
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Secara grafik, keluarga fungsi anti-turunan f(x) adalah keluarga fungsi yang anggotanya merupakanpergeseran ke atas atau ke bawah dari anggotalainnya. Semua anggota keluarga fungsi tersebutmempunyai turunan yang sama, yaitu f(x).
Keluarga fungsi yang turunannya sama
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Terkait dengan perbendaharaan turunan yang telahkita pelajari sebelumnya, kita mempunyai beberapateorema berikut tentang integral tak tentu.
Teorema 1 (Aturan Pangkat). Jika r є Q dan r ≠ -1, maka ∫ xr dx = xr+1/(r+1) + C.
Contoh 1(a) ∫ x2 dx = x3/3 + C. (b) ∫ x-2 dx = - x-1 + C.
Teorema 2 (Integral Tak Tentu sin x dan cos x)∫ sin x dx = - cos x + C;∫ cos x dx = sin x + C.
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Teorema 3 (Kelinearan Integral Tak Tentu)Jika f dan g fungsi dan k adalah konstanta, maka
∫ k.f(x) dx = k.∫ f(x) dxdan
∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx.
Contoh 3. ∫ (6x2 + 1) dx = 2 ∫ 3x2 dx + ∫ 1 dx = 2.x3 + x + C.
Teorema 4 (Aturan Pangkat yang Diperumum)Jika r є Q dan r ≠ -1 dan g adalah fungsi yang mem-punyai turunan, maka
∫ [g(x)]r.g’(x) dx = [g(x)]r+1/(r+1) + C.
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Contoh 4. ∫ (x2 + 1)5.2x dx = (x2 + 1)6/6 + C. (Di sini kita menerapkan Aturan Pangkat yang Diperumum dengan g(x) = x2 + 1, g’(x) = 2x.)
Contoh 5. Jika g(x) = sin x, maka g’(x) = cos x. Jadi, menurut Aturan Pangkat yang Diperumum,kita peroleh
∫ sin x.cos x dx = (sin x)2/2 + C.
Latihan. Tentukan integral tak tentu di bawah ini.1. ∫ (x2 + x-2) dx.2. ∫ (x3 + 1).x2 dx.3. ∫ sin2 x.sin 2x dx.
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Persamaan Diferensial Sederhana
Jika F’(x) = f(x), maka ∫ f(x) dx = F(x) + C. Dalambahasa diferensial: jika F’(x) = f(x), maka(*) dF(x) = F’(x) dx = f(x) dxsehingga
∫ dF(x) = ∫ f(x) dx = F(x) + C.
Persamaan (*) merupakan contoh persamaandiferensial yang (paling) sederhana.
Persamaan diferensial banyak dijumpai dalammatematika, fisika, maupun bidang ilmu lainnya.
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Contoh 6. Tentukan persamaan kurva yang melaluititik (1,2) dan mempunyai turunan 2x di setiap titik(x,y) yang dilaluinya.
Jawab. Misalkan persamaan kurva tersebut adalah y = f(x). Maka, dalam bahasa diferensial, informasi diatas mengatakan bahwa
dy = 2x dx.Integralkan kedua ruas,
∫ dy = ∫ 2x dx.sehingga kita peroleh
y + C1 = x2 + C2atau y = x2 + C, C = C2 – C1.
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Persamaan y = x2 + C merepresentasikan keluargakurva yang mempunyai turunan 2x di titik (x,y).
Sekarang kita akan mencari anggota keluarga kurvatersebut yang melalui titik (1,2). Dalam hal ini kitamempunyai persamaan
2 = 12 + C,sehingga mestilah C = 1. Jadi persamaan kurva yang kita cari adalah
y = x2 + 1.
Latihan. Tentukan fungsi y = f(x) sedemikiansehingga f ’(x) = 3x2 + 1 dan f(1) = 4.
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Notasi Sigma
Penjumlahan deret n bilangan a1 + a2 + … + andilambangkan dengan notasi sigma
Sebagai contoh,
Teorema 5 (Kelinearan Sigma)
∑=
n
iia
1
∑=
++++=5
1
222222 .54321i
i
∑ ∑= =
=n
i
n
iii akak
1 1;. ∑ ∑ ∑
= = =
+=+n
i
n
i
n
iiiii baba
1 1 1
.)(
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Beberapa deret khusus (dengan indeks i berjalan dari1 sampai dengan n), di antaranya:
∑ i = 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2.
∑ i2 = 12 + 22 + … + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6.
∑ i3 = 13 + 23 + … + n3 = n2(n + 1)2/4.
Deret pertama merupakan deret aritmetika n bilangandengan suku pertama 1 dan beda 1. Untuk pembuktian rumus deret kedua dan ketiga, lihat Purcell hal. 262-264.
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Luas Daerah di Bawah Kurva
Misalkan kita ingin menghitungluas daerah di bawah kurva y = f(x) = x2, 0 ≤ x ≤ 1. Pertama,bagi selang [0,1] atas n selangbagian yang sama panjangnya.Lalu, luas daerah tersebut (L) kita hampiri dengan jumlah luaspersegipanjang di bawah kurva,yakni
.)1(...21012
2
2
2
2
22
−++++≈
nn
nnnL
11/n 2/n0
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Perhatikan bahwa deret di ruas kanan dapat kita tulis-ulang sebagai
yang jumlahnya
Jadi, kita kita peroleh hampiran
Dari sini kita amati bahwa Ln → 1/3 bila n →∞. Jadi, luas daerah yang sedang kita cari adalah 1/3.
[ ]2223 )1(...211
−+++ nn
.6
)12()1(3n
nnn −−
.:6
)12()1(3 nL
nnnnL =−−
≈
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Integral Tentu
Misalkan f : [a,b] → R kontinukecuali di sejumlah terhinggatitik. Bagi selang [a,b] atas n selang bagian (tak perlu samapanjang), sebutlah titik-titikpembaginya a = x0 < x1 < x2 < … < xn-1 < xn = b. Himpunantitik-titik ini disebut sebagaipartisi dari [a,b]. Untuk tiapi = 1, …, n, tulis ∆xi = xi – xi-1(= lebar selang bagian ke-i).
a bx1 xn-1
a b
y=f(x)
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Dari tiap selang bagian, pilih sebarang titik ti є [xi-1, xi]. Lalu bentuk penjumlahan berikut
RP = ∑ f(ti).∆xi
dengan indeks i berjalan dari 1 hingga n. Bentuk inidikenal sebagai jumlah Riemann untuk f terhadappartisi P = {a=x0, x1, …, xn-1, xn=b} dan titik-titik ti.
Contoh 7. Misalkan f(x) = x2, x є [0,1], P = {0, ⅓, ¾, 1}, t1 = ⅓, t2 = ½, t3 = ⅞. Maka jumlah Riemann untuk f terhadap partisi P dan titik-titik ti adalahRP = f(⅓).⅓ + f(½).(¾ – ⅓) + f(⅞)(1 – ¾) = 1/27 + 5/48 + 49/256.
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Jumlah Riemann untuk f merupakan hampiran untukluas daerah di bawah kurva y = f(x), x є [a,b]. Semakin ‘halus’ partisinya, semakin baik hampirantersebut. Jika
ada, maka f dikatakan terintegralkan pada [a,b] danintegral tentu f dari a ke b didefinisikan sebagai
Catatan. |P| = maks {∆xi : i = 1, …, n}.
∑=
→∆
n
iiiP
xtf10||
).(lim
∫ =b
a
dxxf )( ∑=
→∆
n
iiiP
xtf10||
).(lim
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Dalam notasi , kita mengasumsikan bahwa
a < b. Jika a > b, maka kita definisikan
Jika a = b, maka kita definisikan
Catat pula bahwa
∫b
a
dxxf )(
∫ ∫−=b
a
a
b
dxxfdxxf .)()(
∫ ∫ ==b
a
a
a
dxxfdxxf .0)()(
∫ ∫∫ ==b
a
b
a
b
a
duufdttfdxxf .)()()(
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Teorema 6. Jika f terbatas dan kontinu kecuali disejumlah terhingga titik pada [a,b], maka fungsi fterintegralkan pada [a,b].
Akibat 7. Fungsi polinom, fungsi rasional, f(x) =| x |, g(x) = √x, s(x) = sin x, dan c(x) = cos x meru-pakan fungsi yang terintegralkan pada sebarangselang terbatas yang termuat dalam daerah asalnya.
Sampai di sini kita hanya dapat mengatakan apakahsebuah fungsi terintegralkan pada suatu selang, dengan melihat apakah fungsi tersebut terbatas dankontinu kecuali di sejumlah terhingga titik.
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Namun, untuk menghitung integral tentu fungsitersebut, selain dengan menggunakan definisinya, memerlukan ‘alat bantu’ yang lebih ampuh.
Teorema Dasar Kalkulus
Salah satu alat bantu untuk menghitung integral tentuadalah Teorema Dasar Kalkulus, yang berbunyi:
Jika f kontinu dan mempunyai anti-turunan F pada[a,b], maka
∫ −=b
a
aFbFdxxf ).()()(
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Catatan. Dalam penghitungan integral tentu, notasiberarti F(b) – F(a).
Contoh 8(a)
(b)
Teorema 9 (Kelinearan Integral tentu)
]baxF )(
]∫ =−==1
031
311
032 .03xdxx
] .10sinsinsin)(cos2/
02
2/0 =−==∫
πππxdxx
∫ ∫=b
a
b
a
dxxfkdxxfk ;)(.)(.
∫ ∫ ∫+=+b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf .)()()]()([
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Contoh 9. Dengan menggunakan kelinearan integral tentu, kita dapat menghitung
Sifat-sifat Lanjut Integral Tentu
Selain kelinearan, integral tentu juga memenuhi:
Sifat penjumlahan selang:
∫ ∫ ∫ +=+=+2
0
2
0
2
034
3822 .2)( dxxdxxdxxx
∫ ∫ ∫+=c
a
b
a
c
b
dxxfdxxfdxxf .)()()(
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Sifat pembandingan: Jika f(x) < g(x) pada [a,b], maka
Sifat keterbatasan: Jika m ≤ f(x) ≤ M pada [a,b], maka
Contoh 10. Pada [0,1] berlaku 1 ≤ √1 + x4 ≤ √2; karena itu menurut sifat keterbatasan
∫ ∫<b
a
b
a
dxxgdxxf .)()(
∫ −≤≤−b
a
abMdxxfabm ).()()(
∫ ≤+≤1
0
4 .211 dxx
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Misalkan f terintegralkan pada[a,b]. Definisikan
Di sini, G(x) menyatakan luasdaerah di bawah kurva y = f(t),a ≤ t ≤ x (lihat gambar).
Teorema Dasar Kalkulus II. G’(x) = f(x) pada [a,b]; yakni,
∫=x
a
dttfxG .)()(
].,[),()( baxxfdttfdxd x
a
∈∀=
∫
a x b
y = f(t)
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Contoh 11(a)
(b)
(c)
(d)
.3
1
3 xdttdxd x
=
∫
.3
1
31
3 xdttdxddtt
dxd x
x
−=
−=
∫∫
.162. 33
1
322
1
3 xudxdudtt
duddtt
dxd uxux
==
=
∫∫
=
.1516 333
2
1
31
32
3
xxx
dttdxddtt
dxddtt
dxd x
x
x
x
=+−=
+
=
∫∫∫
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Teorema Nilai Rata-rata Integral
Jika f kontinu pada [a,b], maka terdapat c є [a,b] sedemikian sehingga
Catatan. Nilai f(c) dalam teoremaini disebut nilai rata-rata integral f pada [a,b] (lihat gambar). Per-hatikan bahwa luas daerah di ba-wah kurva y = f(t), t є [a,b], samadengan f(c)(b – a).
∫−=
b
a
dttfab
cf .)(1)(
a bc
y = f(t)
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Contoh 12. Misalkan f(x) = x2, x є [0,1]. Maka
Jadi nilai rata-rata integral f pada [0,1] adalah ⅓.
Latihan. Tentukan nilai rata-rata integral f(x) = 4x3
pada [1,3].
Substitusi dalam Penghitungan Integral Tentu
Misalkan kita ingin menghitung integral berikut
]∫ =−==1
031
311
032 .03xdxx
∫ ++4
0
2 .)12.( dxxxx
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Dengan menggunakan Aturan Pangkat yang Diper-umum, kita dapat menghitung integral tak tentunya:
∫ (x2 + x)½.(2x + 1) dx = ⅔(x2 + x)3/2 + C.
Dengan demikian, integral tentu tadi dapat dihitung:
Integral semacam ini, baik integral tentu maupunintegral tak tentu, dapat pula dihitung dengan tekniksubstitusi, yang akan kita bahas selanjutnya.
]∫ =+=++4
0
2/3324
02/32
322/12 .)20()()12()( xxdxxxx
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Sebagai contoh, untuk menghitung integral tak tentu∫ (x2 + x)½.(2x + 1) dx, kita gunakan substitusi peubahu = x2 + x, sehingga du = (2x + 1)dx dan integral diatas menjadi ∫ u½ du. Dengan Aturan Pangkat, kitaperoleh
∫ u½ du = ⅔ u3/2 + C.
Substitusikan kembali u = x2 + x, kita dapatkan
∫ (x2 + x)½.(2x + 1) dx = ⅔(x2 + x)3/2 + C,
sebagaimana yang kita peroleh sebelumnya denganAturan Pangkat yang Diperumum.
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Sekarang, untuk menghitung integral tentu
kita lakukan substitusi seperti tadi: u = x2 + x, du = (2x + 1)dx. Selanjutnya kita perhatikan efeksubstitusi ini terhadap kedua batas integral. Padasaat x = 0, kita peroleh u = 0; sementara pada saatx = 4, kita dapatkan u = 20. Dengan demikian
sama seperti yang kita peroleh sebelumnya.
]∫ ∫ ===++4
0
20
0
2/33220
02/3
322/12/12 ,)20()12()( uduudxxxx
∫ ++4
0
2/12 ,)12()( dxxxx
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Catatan. Dalam menghitung integral tentu denganteknik substitusi, kedua batas integral pada umum-nya berubah dan kita dapat menghitung integral dalam peubah baru tanpa harus mensubstitusikankembali peubah lama.
Secara umum, dengan melakukan substitusi u = g(x), du = g’(x)dx, kita peroleh
Integral tak tentu: ∫ f(g(x)).g’(x)dx = ∫ f(u) du.
Integral tentu: ∫ ∫=b
a
bg
ag
duufdxxgxgf)(
)(
.)()(')).((
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Latihan. Hitung integral tentu/tak tentu berikut:
1. ∫ √3x + 2 dx.2. ∫ cos(3x + 2) dx.
3.
4.
5.
∫ +1
0
3 .)23( dxx
∫4/
0
cos
2
.π
dxx
x
∫ +
4
1)1(
1 .3 dttt
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
SOAL-SOAL BAB V
5.1 no. 1, 5, 10, 15, 22, 23, 32, 33.5.2 no. 5, 13, 15.5.3 no. 1, 9, 21, 25.5.4 no. 19.5.5 no. 1, 11, 21, 25.5.6 no. 1, 7, 12, 15, 22.5.7 no. 1, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 27, 30.5.8 no. 5, 8, 17, 20, 25, 32.
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
BAB. VI PENGGUNAAN INTEGRAL
• Luas Daerah di Bidang• Volume Benda Pejal di Ruang:
– Metode Cincin– Metode Kulit Tabung– Metode Irisan Sejajar
• Momen dan Pusat Massa
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Luas Daerah di Bidang
Diketahui daerah di bidangseperti pada gambar disamping, bagaimana kitadapat menghitung luasdaerah tersebut?
Pada prinsipnya, kita dapat membagi daerah tersebutmenjadi beberapa bagian, di mana tiap bagian me-rupakan daerah di antara dua kurva. Jadi persoalan-nya adalah bagaimana menghitung luas daerah diantara dua kurva, yang akan dibahas selanjutnya.
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Contoh 1. Hitung luas daerah(tertutup) yang dibatasi olehkurva y = x2 dan y = x.
Jawab: Misal kita ‘iris’ daerahtersebut secara vertikal, dantiap irisannya mempunyai lebar∆x dan tinggi kira-kira sama dengan x – x2, sehinggaluasnya adalah ∆L ≈ (x – x2)∆x (lihat gambar). Jadi, luas daerah tersebut secara keseluruhan adalah L ≈∑x (x – x2)∆x. Ambil limitnya, kita peroleh
]∫ =−=−=1
0611
0322 .)( 32 xxdxxxL
y = x
y = x2
10 ∆x
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Latihan. Hitung luas daerah di Kuadran I yang dibatasi oleh kurva y = 2 – x2, garis y = x, dansumbu-x. (Petunjuk. Setelah anda menggambardaerah yang dimaksud, irislah daerah tersebutsecara horisontal dan taksir luas tiap irisannya.)
Volume Benda Pejal di Ruang; Metode Cincin
Bila suatu daerah D diputarmengelilingi sebuah sumbu, maka akan diperoleh suatubenda putar. Bagaimanamenghitung volumenya?
D
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Contoh 2. Daerah yang dibatasioleh kurva y = x2 dan y = xdiputar mengelilingi sumbu-x.Hitung volume benda putaryang terbentuk.
Jawab: Tiap irisan membentuk cincin dengan jari-jariluar x2, jari-jari dalam x4, dan tebal ∆x, yang volume-nya adalah ∆V ≈ π(x2 – x4)∆x. Jumlahkan dan ambillimitnya, kita peroleh
[ ]∫ =−=−=1
01521
05342 .)( 53 πππ xxdxxxV
y = x
y = x2
10 ∆x
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Latihan. Daerah pada Contoh 2diputar mengelilingi sumbu-y.Hitung volume benda putar yangterbentuk. (Petunjuk. Iris daerahtersebut secara horisontal dantaksir volume cincin yang ter-bentuk dari tiap irisannya.)
Metode Kulit Tabung
Volume benda putar pada soal latihan di atas dapatpula dihitung dengan Metode Kulit Tabung sebagaiberikut. Iris daerahnya secara vertikal, sehingga tiap
y = x
y = x2
10
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
irisannya akan membentuk su-atu kulit tabung dengan jari-jarix, tinggi x – x2, dan tebal ∆x.Volume kulit tabung tsb adalah
∆V ≈ 2πx(x – x2)∆x. Jumlahkan dan ambil limitnya, kita peroleh
Anda dapat menghitung integral ini dan bandingkanhasilnya dengan hasil yang Anda peroleh denganMetode Cincin.
y = x
y = x2
10 ∆x
∫ −=1
0
2 .)(2 dxxxxV π
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Latihan. Hitung volume bendaputar yang terbentuk apabiladaerah yang dibatasi oleh y = x2
dan y = x diputar mengelilingigaris x = 1, dengan (a) MetodeCincin dan (b) Metode Kulit Tabung.
Metode Irisan Sejajar
Benda putar memiliki penampang berbentuk cakramatau cincin. Volume benda dengan penampangtertentu secara umum dapat dihitung dengan MetodeIrisan Sejajar.
y = x
y = x2
10
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Contoh 3. Alas sebuah benda adalahdaerah di Kuadran I yang dibatasioleh kurva y = 1 – x2, sumbu-x, dansumbu-y. Penampangnya yang tegaklurus terhadap sumbu-x berbentukbujursangkar. Hitung volume bendatersebut.
Jawab: Iris benda tersebut secara tegak lurus ter-hadap sumbu-x. Maka, tiap irisannya berbentukseperti keping bujursangkar dengan panjang sisi1 – x2 dan tebal ∆x, sehingga volumenya adalah∆V ≈ (1 – x2)2∆x. Jumlahkan dan ambil limitnya,
alas benda
y = 1-x2
∆x
alas keping
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
kita peroleh volume benda tersebut
Latihan. Alas sebuah bendaadalah daerah yang dibatasioleh lingkaran x2 + y2 = 1. Penampangnya yang tegaklurus terhadap sumbu-x ber-bentuk bujursangkar. Hitungvolume benda tersebut.
∫ =−=1
015822 .)1( dxxV
1
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Momen dan Pusat Massa
Misalkan kita mempunyai kawat yang kita letakkanpada garis bilangan real sehingga menutupi selang[a,b]. Misalkan diketahui rapat massa kawat tersebutdi titik x adalah ρ(x). Maka, massa potongan kawatyang lebarnya ∆x kurang-lebih akan sama dengan∆m ≈ ρ(x)∆x.
Jumlahkan dan ambil limitnya, kita peroleh massakawat tersebut:
∫=b
a
dxxm .)(ρ
0 a b∆x
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Kita juga dapat menghitung momennya terhadap titik0. (Momen = jarak × massa.) Pertama, momen tiappotongan kawat dengan lebar ∆x terhadap 0 adalah∆M ≈ xρ(x)∆x. Jumlahkan dan ambil limitnya, kitaperoleh momen kawat tersebut terhadap 0:
Dengan mengetahui massa kawat dan momennyaterhadap 0, kita dapat menentukan pusat massanya, yakni
∫=b
a
dxxxM .)(ρ
.)(
)(
∫∫== b
a
b
a
dxx
dxxx
mMx
ρ
ρ
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Contoh 4. Diketahui kawat dengan panjang 10 cm dan rapat massa di setiap titik sama dengan 3 kali kuadrat jarak titik tsb dari salah satu ujung kawat.Tentukan massa dan pusat massa kawat tersebut.
Jawab: Kita letakkan kawat tersebut sehingga me-nempati selang [0,10] pada garis bilangan real. Maka, rapat massanya di titik x adalah ρ(x) = 3x2. Massakawat tersebut dan momenya terhadap 0 adalah
Jadi, pusat massanya adalah 7,5 cm dari ujung kiri.
∫ ==10
0
2 ;10003 dxxm ∫ ==10
0
3 .75003 dxxM
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Sekarang misalkan kita mem-punyai suatu keping homogen(rapat massanya ρ konstan) ygmenempati daerah D yang ter-letak di antara dua kurva, sebuty = f(x) dan y = g(x), sepertipada gambar. Iris daerah D secara vertikal. Maka, massa, momen terhadap sumbu-y, dan momen ter-hadap sumbu-x dari tiap irisannya adalah
[ ][ ][ ] .)()(
;)()(;)()(
2221 xxgxfM
xxgxfxMxxgxfm
x
y
∆−≈∆
∆−≈∆∆−≈∆
ρ
ρρ
a b
y=f(x)
y=g(x)
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Jumlahkan dan ambil limitnya, kita peroleh massakeping dan momennya terhadap kedua sumbu ko-ordinat, yakni
Koordinat pusat massa keping tersebut adalah
[ ]
[ ]
[ ] .)()(
;)()(
;)()(
2221 dxxgxfM
dxxgxfxM
dxxgxfm
b
ax
b
ay
b
a
−=
−=
−=
∫∫∫
ρ
ρ
ρ
.;m
Mym
Mx xy ==
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Contoh 5. Diketahui keping homogen dengan rapatmassa 1 yang menempati daerah yang dibatasi olehkurva y = √x dan y = x2. Tentukan massa dan pusatmassa keping tersebut.
Jawab. Massa keping tersebut adalah
Momennya terhadap kedua sumbu koordinat adalah∫ =−=1
0
2 .31)( dxxxm
.)(
;)(
20341
021
20321
0
=−=
=−=
∫∫
dxxxM
dxxxxM
x
y
Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB
MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah
Dengan demikian pusat massanya adalah (9/10,9/10).(Di sini pusat massanya terletak pada garis y = x, yang merupakan sumbu simetri keping tersebut.)
Latihan. Tentukan massa dan pusat massa kepingsetengah lingkaran x2 + y2 = 1 bagian atas.
Teorema Pappus. Jika suatu daerah D pada bidang diputar mengelilingi suatusumbu yang tidak me-motong D, makavolume benda putar yang terbentuk samadgn luas daerah D kali keliling lingkaranyang ditempuh oleh titik pusat massa D.
D
Top Related