PENGEMBANGAN DERET DAN FUNGSI
DERET PANGKAT / DERET KUASA / POWER SERIESAda 2 macam deret pangkat :
(1)
ai xi = a0 + a1 x2 + ... + an xn + ...
= deret pangkat dalam x
( Konvergen untuk x = 0 (yang pasti)
X yang lain dicari
(2)
ai (x c)i= a0 + a1 (x c) + a2 (x c)2 + ... + an (x c)n + ...
= deret pangkat dalam x c
( konvergen untuk x = c (yang pasti x yang lain bisa dicari)
Untuk sebuah nilai x deret pangkat tersebut bisa konvergen atau divergen.
Kumpulan nilai-nilai x yang mengakibatkan deret pangkat konvergen disebut internal konvergensi
Mencari interval konvergensi :
Dengan tes rasio untuk konvergen absolut kemudian diselidiki konvergensi pada titik-titik ujung interval.
Contoh soal :
(1)Tentukan interval konvergensi dari deret :
X ( x2 + x3 ( x4 + ... + ((1)n(1 x+ ...
Jawab : un = xnun+1 = xn+1
EMBED Equation.3 =
=
EMBED Equation.3 | x | = 1 . | x | = | x |
Deret konvergen jika | x | < 1 atau (1 < x < 1
Akan diselidiki untuk titik-titik ujung interval yaitu pada x = (1 dan x = 1
Untuk x = (1 deret menjadi
( (1 ( ( ( ( ... = ( (1 + + + ...)
divergenUntuk x = 1 deret menjadi
( (1 ( + ( + ... ( konvergen bersyarat
( Interval konvergensi ( 1 < x < 1
(2)Tentukan interval konvergensi dari deret :
++ + ... + + ...
Jawab : un =
un+1 =
EMBED Equation.3 =
=
EMBED Equation.3 | x ( 2 | = 1 . | x ( 2 | = | x ( |
Deret konvergen jika | x ( 2 | < 1 atau (1 < x ( 2 < 1
( 1 < x < 3 ( titik-titik ujung x = 1 diselidikix = 3
untuk x = 1 ( (1 + ( + ( ... ( konvergen bersyarat
untuk x = 3 ( 1 + + + + ... ( divergen
( Interval konvergensi 1 < x < 3
PENGEMBANGAN DERET DARI FUNGSII. Deret Maclaurin
Fungsi dinyatakan dalam deret pangkat dari x rumus :
f (x) =
Contoh :
1. Kembangkanlah ex dalam deret pangkat dari x
Jawab :
f (x)= ex
f (0)= 1
f (x)= ex
f (0)= 1
f (x)= ex
f (0)= 1
f (x)= ex
f (0)= 1
=> f (x) =
f (x) =ex = 1+
Un =
U
= Deret konvergen untuk semua harga X
2. Kembangkanlah sin x dalam deret pangkat dari x Jawab :
f (x)= sin x
f (0)= 0
f (x)= cos x
f (0)= 1
f (x)= - sin x
f (0)= 0f (x)= - cos x
f (0)= -1
fIV (x)= sin x
fIV (0)= 0
fV (x)= cos x
fv (0)= 1
=> f(x) = sin x = 0 +
= x -
Un =
Un+1 =
= Deret konvergen untuk semua harga x
3. Kembangkanlah f (x) = ln (5 x) dalam deret pangkat dari xJawab :
f (x) = ln (5 x)
f (0)= ln 5fI (x)=
fI (0)= -
fII (x)= - (5 x)-2
fII (0)= -
fIII (x)= - 2 (5 x)-3
fIII (0)= -
fIV (x)= - 6 (5 x)-4
fIV (0)= -
=> ln (5 x) = ln 5 - -
= ln 5 - -
Un =
Un + 1 =
=
Deret konvergen jika
Untuk x = -5 deret : ln 5 + 1 - konvergen bersyaratUntuk x = 5 deret : ln 5 1 - divergen(Deret konvergen dalam interval -5 ( x < 54. Hitung ln (4,93) seteliti 5 desimal(Gunakan jawaban soal no : 3)
Jawab :
Karena hendak diteliti sampai 5 desimal maka perhitungannya 6 atau lebih desimal.ln 4,93 = ln (5 0,07) bisa dipakai deret soal no : 3
dengan x = 0,07ln 4,93 = ln 5 -
= 1,609438 0,014 0,000098 0,0000009 -
= 1,59534
5. Kembangkan f (x) = dengan cara :
bagi biasamaclaurin Bagi biasa : 1 x / 1 \ 1 + x + x2 + x3 +
1-x
x
x-x2
x2 x2-x3 x3 x3-x4 x4
Maclaurin :
f (x) =
f (0)= 1 fI (x) = (1 x)-2
fI (0)= 1
fII (x) = 2 (1 x)-3
fII (0)= 2 fIII (x) = 6 (1 x)-4
fIII (0)= 6
=> f (x) =
= 1 + x + x2 + x3 + + xn-1 +
Deret di atas konvergen untuk |x| < 1 atau -1 < x < 1 di luar interval ini,
deret tidak berlaku missal x = 5
II. Deret TaylorFungsi dinyatakan dalam deret pangkat dari (x a)Rumus :
f (x) = f (a) +
atau jika x a = h, h kecil, a titik dekat makaf (x) = f (a + h) = f (a) +
Contoh :
1. Kembangkan sin x dalam deret pangkat dari (x a)
Jawab :
f (x) = sin x
f (a)= sin afI (x) = cos x
fI (a)= cos a
fII (x) = -sin x
fII (a)= -sin a
fIII (x) = -cos x
fIII (a)= -cos a
fIV (x) = sin x
fIV (a)= sin a
fV (x) = cos x
fV (a)= cos a
f (x) = sin x = sin a +
- +
2. Hitung sin 620 seteliti 5 desimal(gunakan jawaban no : 1)
Jawab :sin 620 ( x = 620 ( ambil a = 600 dekat dengan x
x a = 620 600 = 20 = = 0,034907sin x = sin 620 = sin 600 +
=
-
= 0,866025 + 0,017454 0,000528 0,00000 + ..
= 0,88295
3. Kembangkan ex/2 dalam deret pangkat dari (x 2)Jawab :f (x)= ex/2
f (2) = efI (x)=
fI (2)=
fII (x)=
fII (2)=
fIII (x)=
fIII (2)=
fIV (x)=
fIV (2)=
=> f (x) = ex/2 = e +
= e (1 +
Pandang yang di dalam kurung :
Un =
Un+1 =
=
Deret konvergen untuk semua harga x
4. Kembangkan y = ln x dalam (x 3)Jawab :f (x) = ln x
f (3)= ln 3fI (x)=
fI (3)=
fII (x)= -x-2
fII (3)= -
fIII (x)= 2x-3
fIII (3)=
fIV (x)= -6x-4
fIV (3)=
=> f (x) = ln x = ln 3 +
+
= ln 3 +
-
Tanpa mengindahkan suku pertama
Un =
Un+1 =
=
Deret konvergen pada
Untuk x = 0, deret = ln 3 1 divergenUntuk x = 6, deret = ln 3 + 1 konvergen bersyarat
Deret di atas konvergen dalam interval 0 < x 6Soal-soal Latihan :
1. Kembangkan e2x dalam x
2. Kembangkan cos x dalam x
3. Kembangkan cos x dalam (x a)
4. Hitung cos 910 seteliti 5 desimal (gunakan jawaban soal no : 3)
5. Kembangkan ex/5 dalam (x 5)
6. Kembangkan e-x2 dalam x
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMBDra. Muchsinah M.Si
KALKULUS LANJUT
_1258791935.unknown
_1258901338.unknown
_1258908875.unknown
_1258909049.unknown
_1265915112.unknown
_1265916142.unknown
_1265916356.unknown
_1265916801.unknown
_1265918254.unknown
_1265916382.unknown
_1265916355.unknown
_1265915889.unknown
_1265914669.unknown
_1265915011.unknown
_1258909024.unknown
_1258909037.unknown
_1258908971.unknown
_1258907940.unknown
_1258908392.unknown
_1258908850.unknown
_1258908313.unknown
_1258901375.unknown
_1258901402.unknown
_1258901352.unknown
_1258795350.unknown
_1258797716.unknown
_1258893015.unknown
_1258894090.unknown
_1258894109.unknown
_1258893963.unknown
_1258893998.unknown
_1258894015.unknown
_1258893083.unknown
_1258798451.unknown
_1258892729.unknown
_1258892928.unknown
_1258892972.unknown
_1258892740.unknown
_1258892662.unknown
_1258892691.unknown
_1258798547.unknown
_1258892641.unknown
_1258798480.unknown
_1258798091.unknown
_1258798292.unknown
_1258798436.unknown
_1258798136.unknown
_1258797916.unknown
_1258798033.unknown
_1258797832.unknown
_1258796897.unknown
_1258797389.unknown
_1258797470.unknown
_1258797702.unknown
_1258797430.unknown
_1258797092.unknown
_1258797337.unknown
_1258796942.unknown
_1258795657.unknown
_1258795828.unknown
_1258796817.unknown
_1258795670.unknown
_1258795412.unknown
_1258795434.unknown
_1258795365.unknown
_1258794697.unknown
_1258795206.unknown
_1258795307.unknown
_1258795331.unknown
_1258795278.unknown
_1258794852.unknown
_1258794918.unknown
_1258794766.unknown
_1258794292.unknown
_1258794438.unknown
_1258794618.unknown
_1258794390.unknown
_1258792443.unknown
_1258792534.unknown
_1258792254.unknown
_1258786965.unknown
_1258789965.unknown
_1258790966.unknown
_1258791582.unknown
_1258791749.unknown
_1258791476.unknown
_1258790344.unknown
_1258790529.unknown
_1258790047.unknown
_1258789319.unknown
_1258789817.unknown
_1258789867.unknown
_1258789674.unknown
_1258787654.unknown
_1258788919.unknown
_1258787483.unknown
_1258785120.unknown
_1258786158.unknown
_1258786633.unknown
_1258786932.unknown
_1258786205.unknown
_1258785974.unknown
_1258786087.unknown
_1258785633.unknown
_1258784089.unknown
_1258784542.unknown
_1258784587.unknown
_1258784129.unknown
_1258783886.unknown
_1258783950.unknown
_1258732028.unknown
Top Related