PENGEMBANGAN DERET DAN FUNGSI

DERET PANGKAT / DERET KUASA / POWER SERIESAda 2 macam deret pangkat :

(1)

ai xi = a0 + a1 x2 + ... + an xn + ...

= deret pangkat dalam x

( Konvergen untuk x = 0 (yang pasti)

X yang lain dicari

(2)

ai (x c)i= a0 + a1 (x c) + a2 (x c)2 + ... + an (x c)n + ...

= deret pangkat dalam x c

( konvergen untuk x = c (yang pasti x yang lain bisa dicari)

Untuk sebuah nilai x deret pangkat tersebut bisa konvergen atau divergen.

Kumpulan nilai-nilai x yang mengakibatkan deret pangkat konvergen disebut internal konvergensi

Mencari interval konvergensi :

Dengan tes rasio untuk konvergen absolut kemudian diselidiki konvergensi pada titik-titik ujung interval.

Contoh soal :

(1)Tentukan interval konvergensi dari deret :

X ( x2 + x3 ( x4 + ... + ((1)n(1 x+ ...

Jawab : un = xnun+1 = xn+1

EMBED Equation.3 =

=

EMBED Equation.3 | x | = 1 . | x | = | x |

Deret konvergen jika | x | < 1 atau (1 < x < 1

Akan diselidiki untuk titik-titik ujung interval yaitu pada x = (1 dan x = 1

Untuk x = (1 deret menjadi

( (1 ( ( ( ( ... = ( (1 + + + ...)

divergenUntuk x = 1 deret menjadi

( (1 ( + ( + ... ( konvergen bersyarat

( Interval konvergensi ( 1 < x < 1

(2)Tentukan interval konvergensi dari deret :

++ + ... + + ...

Jawab : un =

un+1 =

EMBED Equation.3 =

=

EMBED Equation.3 | x ( 2 | = 1 . | x ( 2 | = | x ( |

Deret konvergen jika | x ( 2 | < 1 atau (1 < x ( 2 < 1

( 1 < x < 3 ( titik-titik ujung x = 1 diselidikix = 3

untuk x = 1 ( (1 + ( + ( ... ( konvergen bersyarat

untuk x = 3 ( 1 + + + + ... ( divergen

( Interval konvergensi 1 < x < 3

PENGEMBANGAN DERET DARI FUNGSII. Deret Maclaurin

Fungsi dinyatakan dalam deret pangkat dari x rumus :

f (x) =

Contoh :

1. Kembangkanlah ex dalam deret pangkat dari x

Jawab :

f (x)= ex

f (0)= 1

f (x)= ex

f (0)= 1

f (x)= ex

f (0)= 1

f (x)= ex

f (0)= 1

=> f (x) =

f (x) =ex = 1+

Un =

U

= Deret konvergen untuk semua harga X

2. Kembangkanlah sin x dalam deret pangkat dari x Jawab :

f (x)= sin x

f (0)= 0

f (x)= cos x

f (0)= 1

f (x)= - sin x

f (0)= 0f (x)= - cos x

f (0)= -1

fIV (x)= sin x

fIV (0)= 0

fV (x)= cos x

fv (0)= 1

=> f(x) = sin x = 0 +

= x -

Un =

Un+1 =

= Deret konvergen untuk semua harga x

3. Kembangkanlah f (x) = ln (5 x) dalam deret pangkat dari xJawab :

f (x) = ln (5 x)

f (0)= ln 5fI (x)=

fI (0)= -

fII (x)= - (5 x)-2

fII (0)= -

fIII (x)= - 2 (5 x)-3

fIII (0)= -

fIV (x)= - 6 (5 x)-4

fIV (0)= -

=> ln (5 x) = ln 5 - -

= ln 5 - -

Un =

Un + 1 =

=

Deret konvergen jika

Untuk x = -5 deret : ln 5 + 1 - konvergen bersyaratUntuk x = 5 deret : ln 5 1 - divergen(Deret konvergen dalam interval -5 ( x < 54. Hitung ln (4,93) seteliti 5 desimal(Gunakan jawaban soal no : 3)

Jawab :

Karena hendak diteliti sampai 5 desimal maka perhitungannya 6 atau lebih desimal.ln 4,93 = ln (5 0,07) bisa dipakai deret soal no : 3

dengan x = 0,07ln 4,93 = ln 5 -

= 1,609438 0,014 0,000098 0,0000009 -

= 1,59534

5. Kembangkan f (x) = dengan cara :

bagi biasamaclaurin Bagi biasa : 1 x / 1 \ 1 + x + x2 + x3 +

1-x

x

x-x2

x2 x2-x3 x3 x3-x4 x4

Maclaurin :

f (x) =

f (0)= 1 fI (x) = (1 x)-2

fI (0)= 1

fII (x) = 2 (1 x)-3

fII (0)= 2 fIII (x) = 6 (1 x)-4

fIII (0)= 6

=> f (x) =

= 1 + x + x2 + x3 + + xn-1 +

Deret di atas konvergen untuk |x| < 1 atau -1 < x < 1 di luar interval ini,

deret tidak berlaku missal x = 5

II. Deret TaylorFungsi dinyatakan dalam deret pangkat dari (x a)Rumus :

f (x) = f (a) +

atau jika x a = h, h kecil, a titik dekat makaf (x) = f (a + h) = f (a) +

Contoh :

1. Kembangkan sin x dalam deret pangkat dari (x a)

Jawab :

f (x) = sin x

f (a)= sin afI (x) = cos x

fI (a)= cos a

fII (x) = -sin x

fII (a)= -sin a

fIII (x) = -cos x

fIII (a)= -cos a

fIV (x) = sin x

fIV (a)= sin a

fV (x) = cos x

fV (a)= cos a

f (x) = sin x = sin a +

- +

2. Hitung sin 620 seteliti 5 desimal(gunakan jawaban no : 1)

Jawab :sin 620 ( x = 620 ( ambil a = 600 dekat dengan x

x a = 620 600 = 20 = = 0,034907sin x = sin 620 = sin 600 +

=

-

= 0,866025 + 0,017454 0,000528 0,00000 + ..

= 0,88295

3. Kembangkan ex/2 dalam deret pangkat dari (x 2)Jawab :f (x)= ex/2

f (2) = efI (x)=

fI (2)=

fII (x)=

fII (2)=

fIII (x)=

fIII (2)=

fIV (x)=

fIV (2)=

=> f (x) = ex/2 = e +

= e (1 +

Pandang yang di dalam kurung :

Un =

Un+1 =

=

Deret konvergen untuk semua harga x

4. Kembangkan y = ln x dalam (x 3)Jawab :f (x) = ln x

f (3)= ln 3fI (x)=

fI (3)=

fII (x)= -x-2

fII (3)= -

fIII (x)= 2x-3

fIII (3)=

fIV (x)= -6x-4

fIV (3)=

=> f (x) = ln x = ln 3 +

+

= ln 3 +

-

Tanpa mengindahkan suku pertama

Un =

Un+1 =

=

Deret konvergen pada

Untuk x = 0, deret = ln 3 1 divergenUntuk x = 6, deret = ln 3 + 1 konvergen bersyarat

Deret di atas konvergen dalam interval 0 < x 6Soal-soal Latihan :

1. Kembangkan e2x dalam x

2. Kembangkan cos x dalam x

3. Kembangkan cos x dalam (x a)

4. Hitung cos 910 seteliti 5 desimal (gunakan jawaban soal no : 3)

5. Kembangkan ex/5 dalam (x 5)

6. Kembangkan e-x2 dalam x

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMBDra. Muchsinah M.Si

KALKULUS LANJUT

_1258791935.unknown

_1258901338.unknown

_1258908875.unknown

_1258909049.unknown

_1265915112.unknown

_1265916142.unknown

_1265916356.unknown

_1265916801.unknown

_1265918254.unknown

_1265916382.unknown

_1265916355.unknown

_1265915889.unknown

_1265914669.unknown

_1265915011.unknown

_1258909024.unknown

_1258909037.unknown

_1258908971.unknown

_1258907940.unknown

_1258908392.unknown

_1258908850.unknown

_1258908313.unknown

_1258901375.unknown

_1258901402.unknown

_1258901352.unknown

_1258795350.unknown

_1258797716.unknown

_1258893015.unknown

_1258894090.unknown

_1258894109.unknown

_1258893963.unknown

_1258893998.unknown

_1258894015.unknown

_1258893083.unknown

_1258798451.unknown

_1258892729.unknown

_1258892928.unknown

_1258892972.unknown

_1258892740.unknown

_1258892662.unknown

_1258892691.unknown

_1258798547.unknown

_1258892641.unknown

_1258798480.unknown

_1258798091.unknown

_1258798292.unknown

_1258798436.unknown

_1258798136.unknown

_1258797916.unknown

_1258798033.unknown

_1258797832.unknown

_1258796897.unknown

_1258797389.unknown

_1258797470.unknown

_1258797702.unknown

_1258797430.unknown

_1258797092.unknown

_1258797337.unknown

_1258796942.unknown

_1258795657.unknown

_1258795828.unknown

_1258796817.unknown

_1258795670.unknown

_1258795412.unknown

_1258795434.unknown

_1258795365.unknown

_1258794697.unknown

_1258795206.unknown

_1258795307.unknown

_1258795331.unknown

_1258795278.unknown

_1258794852.unknown

_1258794918.unknown

_1258794766.unknown

_1258794292.unknown

_1258794438.unknown

_1258794618.unknown

_1258794390.unknown

_1258792443.unknown

_1258792534.unknown

_1258792254.unknown

_1258786965.unknown

_1258789965.unknown

_1258790966.unknown

_1258791582.unknown

_1258791749.unknown

_1258791476.unknown

_1258790344.unknown

_1258790529.unknown

_1258790047.unknown

_1258789319.unknown

_1258789817.unknown

_1258789867.unknown

_1258789674.unknown

_1258787654.unknown

_1258788919.unknown

_1258787483.unknown

_1258785120.unknown

_1258786158.unknown

_1258786633.unknown

_1258786932.unknown

_1258786205.unknown

_1258785974.unknown

_1258786087.unknown

_1258785633.unknown

_1258784089.unknown

_1258784542.unknown

_1258784587.unknown

_1258784129.unknown

_1258783886.unknown

_1258783950.unknown

_1258732028.unknown