[8]_500638209_MPMT5103 JURNAL 8

Tugas membuat catatan

Arrizal Muhaemin Yunus (500638209) MPMT halaman 1

TUGAS MATA KULIAH MPMT5103

FONDASI MATEMATIKA DAN BUKTI DALAM MATEMATIKA

NAMA : ARRIZAL MUHAEMIN YUNUS

NIM : 500638209

EMAIL : [email protected]

PROGRAM : S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA ONLINE

TUGAS JURNAL 8 TENTANG DIFERENSIAL DAN INTEGRAL

PENGERTIAN TURUNAN

Perhatikan gambar berikut.

Pada gambar di atas, garis L menyinggung kurva y f(x) di titik (x,f(x)), sedangkan garis

L1 melalui titik (x,f(x)) dan titik (x+h,f(x+h)). Jika h mendekati nol, maka garis L1 akan

mendekati garis L, sehingga gradien garis L1 akan mendekati gradien garis L. Hal ini dapat

dinyatakan dalam bentuk limit sebagai berikut:

h

xfhxfmm

hL

hL

)()(limlim

00 1

.

Bentuk h

xfhxf

h

)()(lim

0

dikenal sebagi turunan fungsi y = f(x), yang dinotasikan

dengan

dx

dy, y’ ,

dx

df, atau f’(x).

Dengan demikian secara geometri, turunan fungsi merupakan gradien dari garis singgung kurva

fungsi tersebut.

Karena turunan dedifinisikan dengan menggunakan limit sedangkan limit fungsi bisa

tidak ada, maka fungsi mungkin tidak mempunyai turunan di beberapa titik tertentu.

L

L1

x x+ h

f(x+h)

f(x)

y = f(x)

Gambar 1.

mailto:[email protected]



Sebagai contoh, perhatikan fungsi nilai mutlak xxf )( , yang grafiknya diberikan

dalam gambar di bawah ini.

Jika kita memperhatikan gambar dengan cermat, maka kita akan dapatkan bahwa grafik

fungsi nilai mutlak di atas berupa garis lurus, yang sebelah kanan sumbu y adalah berupa garis

y = x sedangkan yang sebelah kiri sumbu y berupa garis y = -x. Garis di kanan dan kiri sumbu

y mempunyai gradien yang berbeda, sehingga patut dicurigai bahwa fungsi xxf )( tidak

mempunyai turunan di perpotongan kurva dengan sumbu y, yaitu titik (0,0). Pembuktian bahwa

fungsi xxf )( tidak mempunyai turunan di titik (0,0) diberikan di bawah ini.

Karena

11limlim|0|||

lim)0()0(

lim0000

hhhh h

h

h

h

h

fhf

dan

1)1(limlim|0|||

lim)0()0(

lim0000

hhhh h

h

h

h

h

fhf,

maka

h

fhf

h

fhf

hh

)0()0(lim

)0()0(lim

00

,

sehingga h

fhff

h

)0()0(lim)0('

0

tidak ada.

Contoh:

a. Tentukan garis singgung kurva 2xy di titik (2,4)

b. Tentukan apakah di x = 0 fungsi 2xy mempunyai turunan ?

Penyelesaian:

a. Gradien garis singgung kurva 2xy di titik (2,4) adalah

m = 4)4(lim2)2(

lim)2()2(

lim)2('0

22

00

h

h

h

h

fhff

hhh.

Oleh karena itu persamaan garis singgungnya adalah

44)2(44)( 00 xyxyxxmyy

b. Karena 0lim0

lim)0()0(

lim)0('0

22

00

h

h

h

h

fhff

hhh, maka 2xy

mempunyai turunan di x = 0.

Gambar 2.



Jika kita menentukan turunan secara langsung dengan menggunakan definisi turunan,

maka kita akan mendapatkan banyak kesulitan dan memakan waktu lama. Untuk itu, diperlukan

cara lain di samping dengan menggunakan definisi secara langsung, yaitu dengan menggunakan

sifat dan rumus turunan.

RUMUS-RUMUS TURUNAN

1. Turunan f(x) = axn adalah f’(x) = anxn-1 atau dx

dy= anxn-1

2. Untuk u dan v suatu fungsi,c bilangan Real dan n bilangan Rasional berlaku

a. y = ± v → y’ = v’ ± u’

b. y = c.u → y’ = c.u’

c. y = u.v → y’ = u’ v + u.v’

d. 2

' ''

v

uvvuy

v

uy

e. y = un → y’ = n. un-1.u’

ATURAN TURUNAN FUNGSI

Berikut diberikan beberapa sifat penting dalam pencarian turunan suatu fungsi.

1. Aturan perkalian dengan konstanta.

Jika c konstanta dan f fungsi yang dapat diturunkan, maka

)()( xfdx

dcxcf

dx

d

2. Aturan jumlah.

Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka

)()()()( xgdx

dxf

dx

dxgxf

dx

d

3. Aturan selisih.


)()()()( xgdx

dxf

dx

dxgxf

dx

d

4. Aturan hasil kali.


)()()()()()( xfdx

dxgxg

dx

dxfxgxf

dx

d

5. Aturan hasil bagi.


2)(

)()()()(

)(

)(

xg

xgdx

dxfxf

dx

dxg

xg

xf

dx

d



6. Aturan Rantai.

Di bawah ini diberikan aturan rantai yang banyak digunakan untuk menentukan turunan

fungsi.

Jika f dan g keduanya mempunyai turunan, dan h = f o g adalah fungsi komposisi yang

didefinisikan oleh h(x) = f(g(x)), maka h mempunyai turunan, yaitu h’ yang dinyatakan oleh

h ’(x) = f ’(g(x)). g ’(x)

Dalam notasi Leibniz, jika y = f(u) dan u = g(x) keduanya fungsi yang mempunyai

turunan, maka

dx

du

du

dy

dx

dy .

Bukti:

)('))(('

)()(lim.

))(())((lim

)()(lim.

)()(

))(())((lim

)()(.

)()(

))(())((lim

))(())((lim

)()(lim)('

00

00

0

00

xgxgf

t

xgtxg

p

xgfpxgf

t

xgtxg

xgtxg

xgftxgf

t

xgtxg

xgtxg

xgftxgf

t

xgftxgf

t

thtxhxh

tp

tt

t

tt

GARIS SINGGUNG PADA KURVA

1. Gradien garis singgung

Apabila garis ABdiputar pada titik A maka titik B akan bergerak mendekati titik A (h→0)

maka tali busur ABmenjadi garis singgung (g) pada kurva y = f(x) di titik A (a,f(a))dengan

gradient

)('

)()(lim

0

afm

h

afhafm

g

hg

Sehingga persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik A (a,f(a)) atau A (x1,y1)

adalah

y – y1 = m (x – x1)

y

x

B(a+h),f(a+h)

x=a x=a+h

A(a,f(a) g

y=f(x) Perhatikan gambar di samping

Gradien garis AB adalah

m AB = 12

12

xx

yy

= aha

afhaf

)(

)()(

= h

afhaf )()(



Contoh :

Diketahui kurva y = x2 – 3x + 4 dan titik A (3,4)

a. Tentukan gradient garis singgung di titik A.

b. Tentukan persamaan garis singgung di titik A.

Jawab:

y = x2 – 3x + 4

y’ = 2x – 3

a. Gradien di titik A (3,4)

m = y’x=3 = 2.3 – 3 = 6 – 3 = 3

b. Persamaan garis singgung di titik A (3,4)

y – y1 = m (x – x1)

y – 4 = 3 (x – 3 )

y – 4 = 3x – 9

y = 3x – 5

FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

1. Fungsi f(x) disebut fungsi naik pada interval a ≤ x ≤ b, jika untuk setiap x1

dan x2 dalam interval a ≤ x ≤ b berlaku :

x2 > x1 f(x2) > f(x1) (gb. 1)

2. Fungsi f(x) disebut fungsi turun pada interval a ≤ x ≤ b, jika untuk setiap x1 dan x2 dalam

interval a ≤ x ≤ b berlaku :

x2 > x1 f(x2) < f(x1) (gb. 2)

3. Fungsi f disebut fungsi naik pada titik dengan absis a, jika f’ (a) > 0

4. Fungsi f disebut fungsi turun pada titik dengan absis a, jika f’ (a) < 0

0

f(x1)

f(x2)

x

y

f(x1)

f(x2)

x1 x2 x1 x2 x

y

0



Contoh

Tentukan pada interval mana fungsi f(x) = x3 + 9x2 + 15x + 4 merupakan :

a. Fungsi naik

b. Fungsi turun

Jawab:

f(x) = x3 + 9x2 + 15x + 4

f’(x) = 3x2 + 18x + 15

a. Syarat fungsi naik

f’(x) > 0

3x2 + 18x + 15 > 0

x2 + 6x + 5 > 0

(x+1) (x+5) > 0

Harga batas

x = -1 , x = -5

Jadi fungsi naik pada interval

x < 5 atau x > -1

NILAI STASIONER

Jenis – jenis nilai stasioner

1. Nilai stasioner di titik A.

Pada : x < a diperoleh f’(x) > a

x = a diperoleh f’(x) = a

x > a diperoleh f’(x) < a

Fungsi yang mempunyai sifat demikian dikatakan fungsi f(x) mempunyai nilai

stasioner maksimum f(a) pada x = a dan titik (a,f(a)) disebut titik balik maksimum.

2. Nilai stasioner di titik B dan D.

a. Pada : x < b diperoleh f’(x) < 0

x = b diperoleh f’(x) = 0

x > b diperoleh f’(x) < 0

Fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(b) pada x = b dan titik (b,f(b))

disebut titik belok.

b. Pada : x < d diperoleh f’ (x) > 0

x = d diperoleh f’ (x) = d

x > d diperoleh f’ (x) > d

-5 -1

a. Syarat fungsi turun

f’(x) < 0

3x2 + 18x + 15 < 0

x2 + 6x + 5 < 0

(x+1) (x+5) < 0

Harga batas

x = -1 , x = -5

Jadi fungsi naik pada interval

-5 < x < -1

-5 -1

a

0

A B

C

D y

x 0 x=a x=b x=c x=d

Perhatikan grafik fungsi y = f(x) disamping

Pada titik A,B,C dan D dengan absis

berturut-turut x = a, x = b, x = c dan x = d

menyebabkan f’(x) = 0 maka f(a), f(b), f(c)

dan f(d) merupakan nilai – nilai stasioner.

0

b

d

0 + +

- -

+ +



fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(d) pada x = dan titik (d,f(d))

disebut titik belok

Pada titik B atau D sering hanya disingkat nilai stasioner belok.

3. Nilai stasioner di titik E

Pada : x < e diperoleh f’(x) < 0

x = e diperoleh f’(x) = 0

x > e diperoleh f’(x) > 0

Fungsi ini mempunyai nilai stasioner minimum f(e) pada x = e dan titik (e,f(e))

disebut titik balik minimum.

Contoh :

Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari fungsi f(x) = x2 + 2x

Jawab : f(x) = x2 + 2x

f’(x) = 2x + 2

= 2(x + 1)

Nilai stasioner didapat dari f’(x) = 0

2(x + 1) = 0

x = -1

f(-1) = (-1)2 + 2(-1) = -1

Jadi diperoleh titik stasioner (-1,-1)

x = 1

x

2 ( x + 1 )

f’(x)

-1- -1 -1+

- 0 +

- 0 +

Bentuk grafik

Titik balik minimum

MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI

Untuk menggambar grafik fungsi y = f(x) ada beberapa langkah sebagai berikut :

1. Tentukan titik-titik potong grafik dengan sumbu x ( jika mudah ditentukan ), yaitu

diperoleh dari y = 0.

2. Tentukan titik potong dengan sumbu y, yaitu diperoleh dari x = 0.

3. tentukan titik-titik stasioner dan jenisnya.

4. tentukan nilai-nilai y untuk nilai x besar positif dan untuk x yang besar negative.

Contoh :

Diketahui persamaan y = f(x) = 3x – x3, tentukan :

a. Tentukan titik potong dngan sumbu x dan sumbu y.

b. Nilai stasioner dan titik stasioner.

c. Nilai y untuk x besar positif dan untuk x besar negative.

d. Titik Bantu

- + 0

e



Jawab:

a. i. Grafik memotong sumbu x, bila y = 0.

Y = 0 = 3x – x3

↔ 0 = x (3 – x2)

↔ 0 = x ( 3 - x ) ( 3 + x)

Titik potong sumbu x adalah (0,0), ( 3 ,0), (- 3 ,0)

ii. memotong sumbu y, jika x = 0

y = 3x – x3

y = 3.0 - 03

y = 0

titik potong sumbu y adalah (0,0)

b. Syarat stasioner adalah : f’ (x) = 0

f’ (x) = 3 – 3x2

↔ 3 (1 - x 2)

↔ 3 (1 – x) (1 + x)

x = 1, x = -1

untuk x = 1, f(1) = 3(1) – (1)3 = 2

x = -1, f(-1) = 3(-1) – (-1)3 = -2

nilai stasionernya : y = 2 dan y = -2

titik stasioner : (1,2) dan (-1,-2)

c. y = 3x – x2 , untuk nilai x besar maka bilangan 3 dapat diabaikan terhadap x, sehingga

y = -x3. Jika x besar positif maka y = besar negative dan jika x besar negative maka y

besar positif.

d. Titik Bantu

x -2 2 -3 3 …

, y 2 -2 18 -18 …

-2 -1 0 1 2

1

2

-√3 √3 x

y

-1

-2



INTEGRAL TAK TENTU

1. Pengertian integral

Untuk mengetahui pengertian integral, akan lebih mudah jika kita pahami dulu materi

turunan yang telah dipelajari sebelumnya.

Definisi :

Integral merupakan antiturunan, sehingga jika terdapat fungsi F(x) yang kontinu

pada interval [a, b] diperoleh dx

xFd ))((= F’(x) = f(x). Antiturunan

dari f(x) adalah mencari fungsi yang turunannya adalah f (x), ditulis f(x) dx

Secara umum dapat kita tuliskan :

∫ f(x) dx = ∫F’(x) dx = F(x) + C

Catatan:

f(x) dx : disebut unsur integrasi, dibaca ” integral f(x) terhadap x”

f(x) : disebut integran (yang diitegralkan)

F(x) : disebut fungsi asal (fungsi primitive, fungsi pokok)

C : disebut konstanta / tetapan integrasi

Perhatikan tabel dibawah ini !

Pendiferensialan

F(x) F′(x) = f(x)

x2 + 3x

x2 + 3x + 2

x2 + 3x - 6

x2 + 3x + 3

x2 + 3x +C, dengan

C = konstanta R

2x + 3

2x + 3

2x + 3

2x + 3

2x + 3

Pengintegralan

Berdasarkan tabel diatas dapat kita simpulkan bahwa dari F(x) yang berbeda diperoleh

F′(x) yang sama, sehingga dapat kita katakan bahwa jika F′(x) = f(x) diketahui sama, maka

fungsi asal F(x) yang diperoleh belum tentu sama. Proses pencarian fungsi asal F(x) dari

F′(x) yang diketahui disebut operasi invers pendiferensialan (anti turunan) dan lebih

dikenal dengan nama operasi integral.



Jadi, secara umum perumusan integrasi dasar sebagai berikut:

Integral fungsi aljabar

1. k dx = k x + C

2. ,1

1

Cn

xdxx

nn

bila n ≠ -1

3. ,1̀

`1 cxn

adxax nn

dengan n 1

4. dxxgdxxfdxxgxf )()())()((

5. ,)()(. dxxfadxxfa dimana a konstanta sebarang.

Integral fungsi trigonometri

1. Cxdxx cos sin

2. Cbaxa

dxbax )cos(1

)sin(

3. Cxdxx sin cos

4. Cbaxa

dxbax )sin(1

)cos(

Untuk mengerjakan integral fungsi trigonometri akan digunakan kesamaan-kesamaan

sebagai berikut berikut ini:

1. sin2x +cos2x = 1 4. sin x. cos x = 2

1sin 2x

2. sin2x = 2

1(1- cos 2x) 5. 1 – cos x = 2 sin2 x

2

1

3. cos2x = 2

1(1 + cos 2x ) 6. 1 + cos x = 2 cos2 x

2

1

Contoh soal :

1. 5x dx = C

x

6

6

2. 3 x dx = 3

1

x dx = Cxx

3

43

4

4

3

3

4

3. Cxxx

dxxx 32

5

3

2)352(

232

4. Cxxdxxxdx 2sin4

1

2

1)2cos1̀(

2

1sin 2

5. dx4 4x + C



2. Kegunaan integral tak tentu

Kegunaan integral tak tentu cukup banyak, diantaranya adalah untuk menyelesaikan

masalah yang berkaitan dengan kecepatan, jarak, dan waktu.

Perhatikan contoh berikut :

Sebuah molekul bergerak sepanjang suatu garis koordinat dengan persamaan

percepatan a(t)= -12t + 24 m/detik. Jika kecepatannya pada t = 0 adalah 20 m/detik.

Tentukan persamaan kecepatan moleku ltersebut !

Penyelesaian:

Percepatan molekul a(t) = -12t +24

Sehingga : v = a dt

v = )2412( t dt

v = -6t2 + 24t + C

pada t=0, vo = 20 m/detik, maka 20 = 0 + 0 + C, C = 20

Jadi, persamaan kecepatannya adalah v = -6t2 + 24t + 20

INTEGRAL TERTENTU

Integral tertentu dinotasikan dengan

b

a

xf )( dx = ba

xF )( = F(b) – F(a)

Keterangan:

f(x) adalah integran, yaitu f(x) = F’(x)

a, b adalah batas-batas pengintegralan

[a, b] adalah interval pengintegralan

Contoh soal :

1.

2

2

3x dx =

2

2

4

4

1

x =

44 )2(4

1)2(

4

1 = ( 4 – 4 ) = 0

2. )4(

2

0

2 xx dx =

2

0

23 23

1

xx =

2323 )0(2)0(

3

1)2(2)2(

3

1

= (8/3 + 8 ) – ( 0 + 0 ) = 10 3

2

3. x2

0

2cos

dx= )2cos1(2

12

0

x

dx = 2

0

2sin4

1

2

1

xx

=

)

2(2sin

4

1

2.

2

1 =

4)00(

4

1)0

2(

2

1



TEKNIK PENGINTEGRALAN

1. Integral Substitusi

Pada bagian ini akan dibahas teknik integrasi yang disebut metode substitusi. Konsep

dasar dari metode ini adalah dengan mengubah integral yang kompleks menjadi bentuk

yang lebih sederhana.

Bentuk umum integral substitusi adalah sebagai berikut.

duufdxdx

duuf )(])([

Contoh soal :

a. Tentukan dxxx 42 )3(2 !

b. Tentukan xxx d cos.sin 3 !

Penyelesaian:

a. Misalkan u = 32 x , maka xdx

du2 atau

x

dudx

2

Sehingga diperoleh, dxxx 42 )3(2 = x

duux

2 2 4

= duu 4

= Cu 5

5

1

= Cx 52 )3(5

1

b. Misalkan u = sin x, maka xdx

du cos atau

x

dudx

cos

Sehingga diperoleh, xxx d cos.sin 3 = x

dux

cos cosu 3

= duu 3

= Cu 4

4

1

= Cx 4sin4

1



2. Integral Parsial

Teknik integral parsial ini digunakan bila suatu integral tidak dapat diselesaikan

dengan cara biasa maupun dengan cara substitusi. Prinsip dasar integral parsial adalah

sebagai berikut.

y = u .v dy = du.v + u.dv

dy = v du + u dv

y = v du + u dv

u.v = v du + u dv

u dv = u.v - v du

pengintegralan parsial integral tak tentu pengintegralan parsial integral tertentu

u v′ = uv - u′v b

a

u v′ = bauv - b

a

u′v

u dv = uv - v du b

a

u dv = bauv - b

a

v du

Contoh soal :

Tentukan xx sin2 dx !

Penyelesaian:

Cara 1: dengan menggunakan rumus u dv = uv - v du

Misal : u = x2, xdxdu 2

dv = sin x dx xdxv sin = - cos x

sehingga diperoleh, xx sin2 dx = x2. (-cos x) - xdxx 2)cos(

= x2. (-cos x) + xdxx 2.cos

= - x2.cos x + 2 (x.sin x - xdxsin )

= - x2. cos x + 2x. sin x +2 cos x + C

Selain cara di atas, dapat pula diselesaikan dengan cara sebagai berikut : untuk

menentukan integral parsial bentuk ,udv yang turunan ke-k dari u adalah 0 dan

integral ke- k dari v selalu ada.



Cara 2:

Diturunkan Diintegralkan

+ x2 sin x

- 2x - cos x

+ 2 - sin x

- 0 cos x

Deferensialkan sampai nol

Sehingga diperoleh, xdxx sin2 = - x2. cos x + 2x. sin x +2 cos x + C

PENGGUNAAN INTEGRAL TERTENTU.

1. Penggunaan Integral Tertentu, untuk menghitung Luas Daerah.

Luas daerah antara kurva dengan sumbu X atau sumbu Y

y

y y = f(x)

x=a x=b

0 x

0 x=a x=b x

y =f(x)

(a) ( b)

y y1 = f(x) y

y= sin x

y2 = g(x)

0 a b x 0 a b x

(c) (d)

Keterangan:

(a) Luas daerah di atas sumbu x

(b) Luas daerah di bawah sumbu x

(c) Luas daerah dibatasi oleh dua kurva

(d) Luas daerah dibatasi oleh y = sinx



Dari gambar diatas luas daerah yang diarsir :

LA = b

a

xf )( dx LB =

a

b

b

a

dxxfdxxf )()(

LC = dxyy

b

a

)( 21 LD = b

a

xdxsin

Contoh soal :

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh:

1. y =2x - 2, untuk 0 2 x

2. y1= x2 dan y2 = 2x +3

3. y = cos x, untuk2

3

2

x

Penyelesaian:

1. y =2x - 2

Gambar dibawah memperlihatkan daerah yang dibatasi oleh kurva y=2x- 2

y= 2x-2

y L = L1 + L2

0 1 2 x

-1

-2

L1=

2

1

)22( dxx 2

1

2 2xx ( 22-12)-(2.2 – 2.1)= (4-1)-(4-2)=3-2=1

L2=

1

0

)22( dxx 11.212 21

0

2 xx

Jadi luas L=1+ 1 = 2 satuan luas



2. y1 = x2 dan y2 = 2x + 3

Gambar dibawah memperlihatkan daerah yang dibatasi oleh kurva . y1 = x2 dan

y2 = 2x + 3

y=2x+3

y

9 y=x2 menentukan batas-batasnya

y1 - y2 = 0 jadi diperoleh

x2 - 2x-3=0 x1= -1 dan x2= 3

(x +1)(x – 3 )=0 (-1) sebagai batas bawah dan (3)

sebagai batas atas.

-1 0 3

L =

3

1

2)32( xx dx

=

3

1

32

3

13

xxx =

)1.(

3

1)1.(313.

3

13.33 3232

=

)

3

131(9

= 103

2satuan luas

atau dengan menggunakan cara cepat ( khusus untuk luas yang dibatasi oleh dua kurva

yang belum diketahui batas-batasnya).

L = 26a

DD

Sehingga luas menjadi : y = 2x + 3 - x2, D = b2-4.a.c = 4- 4.(-1).3 =16

L = 3

210

6

64

)1.(6

16162

satuan luas



3. y = cos x

y L = - 2

3

2

cos

xdx = - 2

3

2

sin

x = -(sin 2

3 – sin

2

)

= - (-1 - 1)

= 2 satuan luas

1 y = cos x

0 2

2

3 x

PENGGUNAAN INTEGRAL TERTENTU.

1. Penggunaan Integral Tertentu, untuk menghitung Luas Daerah.

Luas daerah antara kurva dengan sumbu X atau sumbu Y

y

y y = f(x)

x=a x=b

0 x

0 x=a x=b x

y =f(x)

(a) ( b)

y y1 = f(x) y

y= sin x

y2 = g(x)

0 a b x 0 a b x

(d) (d)

Keterangan:

(e) Luas daerah di atas sumbu x

(f) Luas daerah di bawah sumbu x

(g) Luas daerah dibatasi oleh dua kurva

(h) Luas daerah dibatasi oleh y = sinx



Dari gambar diatas luas daerah yang diarsir :

LA = b

a

xf )( dx LB =

a

b

b

a

dxxfdxxf )()(

LC = dxyy

b

a

)( 21 LD = b

a

xdxsin

Contoh soal :

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh:

1. y =2x - 2, untuk 0 2 x

2. y1= x2 dan y2 = 2x +3

3. y = cos x, untuk2

3

2

x

Penyelesaian:

1. y =2x - 2

Gambar dibawah memperlihatkan daerah yang dibatasi oleh kurva y=2x- 2

y= 2x-2

y L = L1 + L2

0 1 2 x

-1

-2

L1=

2

1

)22( dxx 2

1

2 2xx ( 22-12)-(2.2 – 2.1)= (4-1)-(4-2)=3-2=1

L2=

1

0

)22( dxx 11.212 21

0

2 xx

Jadi luas L=1+ 1 = 2 satuan luas



2. y1 = x2 dan y2 = 2x + 3

Gambar dibawah memperlihatkan daerah yang dibatasi oleh kurva . y1 = x2 dan

y2 = 2x + 3

y=2x+3

y

9 y=x2 menentukan batas-batasnya

y1 - y2 = 0 jadi diperoleh

x2 - 2x-3=0 x1= -1 dan x2= 3

(x +1)(x – 3 )=0 (-1) sebagai batas bawah dan (3)

sebagai batas atas.

-1 0 3

L =

3

1

2)32( xx dx

=

3

1

32

3

13

xxx =

)1.(

3

1)1.(313.

3

13.33 3232

=

)

3

131(9

= 103

2satuan luas

atau dengan menggunakan cara cepat ( khusus untuk luas yang dibatasi oleh dua kurva

yang belum diketahui batas-batasnya).

L = 26a

DD

Sehingga luas menjadi : y = 2x + 3 - x2, D = b2-4.a.c = 4- 4.(-1).3 =16

L = 3

210

6

64

)1.(6

16162

satuan luas



3. y = cos x

y L = - 2

3

2

cos

xdx = - 2

3

2

sin

x = -(sin 2

3 – sin

2

)

= - (-1 - 1)

= 2 satuan luas

1 y = cos x

0 2

2

3 x



2. Penggunaan integral tertentu, untuk menghitung volume benda putar.

Pengertian benda putar adalah suatu bentuk bidang datar yang diputar sejauh 360o,

terhadap suatu garis pada bidang datar tersebut sebagai sumbu putarannya perhatikan

gambar berikut:

BENTUK BIDANG DATAR HASIL PENGAMATAN

1. A

B C

2. C

B D

3. K L

M N

1. ▲ABC diputar dengan AB

sebagai pusat sumbu putar.

A

C′ C

2. ▲BCD, diputar dengan BD

Sebagai pusat sumbu putar.

C

D

C′

3.Persegi panjang ABCD diputar

dengan KM sebagai pusat sumbu

putar.

K

L

M N

B

B

[8]_500638209_MPMT5103 JURNAL 8

Documents

Transcript of [8]_500638209_MPMT5103 JURNAL 8